第5章 扰动模型

根据能观测性的条件的推导，可以获得状态为：
其中，Wo是系统的能观测性矩阵。下述预报器给出前m步的状态：
于是，由n个实测信号值的线性组合就得到信号的预报器。该预报器 可以表示为： 预报器模型I 其中，P是(n－1)次多项式。
还可用递推方程表示：
预报器模型II
表示预报器，其中矩阵K的选择要使得矩阵(I-KC)的所有的 特征值为零。
5.2 扰动的模型

经典扰动模型 分段确定性扰动 其他扰动
习惯上，把不同类型的扰动区分为： 负载扰动，测量误差和参数变化。 负载扰动 负载扰动 影响过程的变量，是典型缓慢变化的量，可以是周期 性的。 典型例子： 力学系统：稳定天线上的阵风，船的波浪，电动机的负载； 过程控制：供给流涕的质量偏差，指令流量的偏差； 热力学系统：环境温度的变化。
为了形式化一个切合实际的预报问题，需要不同的模型。构造 能合理地表达预报问题地扰动模型是非常重要的。

分段确定性扰动
例子一：阶跃信号的预报器
例子二：斜坡信号的预报器
上述例子表明，除了少数几点之外预报误差总是为零。这个观 察结果与扰动难以预报的实际经验不完全符合。这表明：阶跃 和斜坡信号不是解决预报问题的合理模型。解析的信号是无用 的，因为解析函数由它在任意短时间间隔内的值是唯一给定的。 阶跃和斜坡除了原点外处处解析。

经典扰动模型
这些经典的扰动模型对于分析扰动对系统的影响是有用的，可 以用这些模型研究局部反馈和前馈可能得到改进，不适合用预 报削减扰动的情况。 脉冲 阶跃 斜坡
正弦
图 简单的扰动模型
冲击和脉冲 冲击和脉冲是短时突变扰动的简单抽象。它们可以代表负载 扰动以及测量误差，对于连续系统，这种扰动是一种冲击( 函数)；在采用系统中，把这种扰动模型化为幅值为1，持续 时间为一个采用周期的脉冲。 阶跃 阶跃信号是扰动的另一种模式。它常用以代表负载扰动或者 是测量偏差。 斜坡 斜坡函数时间为负时，它为零；时间为正时，它线性的增加。 它可以表示漂移的测量误差和突然开始漂移的扰动。 正弦 正弦周期性扰动的模型。适当选择频率可以表示低频负载扰 动以及高频的测量噪声。
线性随机差分方程的特性
研究线性随机差分方程定义的随机过程的特性，并且计算出该 过程的一阶矩和二阶矩。 特性一：均值函数
对线性随机差分方程两边取均值，可以得到下面的差分方程：
初始条件为： 这样，该均值将以无扰系统的同样方式传播。
特性二：协方差函数
为了计算协方差函数，引入：
其中， 其满足具有初始条件的均值为零的线性随机差分方程。 因为：
让信号由动态系统：
产生。假设系统输出y是标量且是完全能观测的。假定除了在孤 立点外输入v(k)都为零。如果系统状态已知，那么就可直接预报 输入为零的任何时间间隔上的状态。然而，当有脉冲时，状态 可能以任意方式变化，但在一个脉冲之后将总有一个输入为零 的时间间隔。由于系统时能观测的，于是，可以计算出过程状 态。这样，直到一个新的脉冲出现之前，都可以获得准确的预 报。
假定脉冲出现的时刻事前未知，脉冲的幅值也是未知的，这种信 号称为分段确定性信号。除了孤立点(给定集合，孤立点就是存在 它的一个临域，在这个临域内除了它之外没有属于集合的点 )外， 该信号是确定的，但是孤立点的变化是不可预报的。例子：
图 m＝3时，分段恒定信号和分段线性信号以及它们m步预报
状态空间模型
其中： 由： 给出。
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注一：如果随机变量是高斯分布的，那么，此随机过程惟一的 由其均值函数m和且协方差函数r表征。
注二：如果系统有输出y＝Cx，那么，由my＝Cm给出y的均值 函数，并且，由于：ryy ＝CrxxCT给出y的协方差。
注三：式(3)中各项都由物理解释。协方差P可以表示状态的不 确定性，P(k)T此项表明由于系统动力学特性在时刻k的不确 定性是怎样传播的，而R1项描述扰动v引起的不确定性的增加。
方法三：用前馈削减扰动的影响
用前馈削减可测量的扰动，其方法一般原理如图所示。
图 用前馈削减扰动
前馈是另一种控制方法。它是用来消除可测量的扰动，其 基本思想为：用实测扰动来预防扰动对于过程变量的影响，进 而引入适当的补偿控制作用。 与反馈相比较，其优点为：可以在扰动影响变量之前就发 挥校正作用。
如果对扰动w和控制u到输出y的传递函数分别为Hw和Hp，则 前馈补偿器的传递函数Hff理论上为：
线性随机差分方程定义为： 考虑把采样周期选作时间单位的离散时间系统。
1. 假设时刻k的状态x(k)给出，那么，在时刻k＋1的状态的概 率分布就是x(k)的函数。
2. 如果x(k)的均值是线性的且围绕均值的分布与x(k)独立，那 么， x(k＋1)可以表示为：
线性随机差分方程 其中，v(k)是一个均值为零，协方差为R1的随机变量，它与x(k) 独立并且与x所有的过去值独立。这意味着v(k)还与其所有过去 值独立。 序列 {v(k)，k＝…，－1，0，1…}是个独立同分布随机变量序 列，于是随机过程{v(k)}是离散时间白噪声。 为了完全定义随机过程{v(k)}，需要规定其初始条件，假定其初 始状态均值为m0，协方差矩阵为R0
重点内容：

描述扰动的方法 分析扰动对于系统的影响的不同方法
5.1 减小扰动影响的方法

在扰动源出削减扰动； 局部反馈削减扰动的影响； 来自可测扰动的前馈削减扰动的影响； 用预报来估计不可测扰动，扰动中的可预报部分则可以 用前馈削减；
方法一：在扰动源出削减扰动
削减扰动影响的最明显的方法就是尽量减少扰动源。 典型例子： 采用能有效搅拌的水箱以减弱成分的偏差； 在伺服系统中利用优质轴承减少摩擦力； 把传感器放在扰动较小的地方； 改进传感器的电子部分，使得噪声减小； 用低噪声的传感器代替一般的传感器； 在时间上或者空间上更好的安排样点来改变采样方式，以便 能较好的再现过程特征。
方法二：局部反馈削减扰动的影响
如果不能在扰动源出削减扰动，可以设法用局部反馈削减它 们，图示说明其方法的一般原理。
图 用局部反馈削减扰动，扰动应当在A点和B点之间进入系 统， A点和B点之间的动力学应允许回路采用高的增益
对于使用该方法需要具有以下条件： 1. 必须完全明确扰动进入系统的途径； 2. 必须得到反映扰动结果的实测变量； 3. 必须得到在扰动附近得到进入系统的控制变量； 4. 把控制变量与实测变量联系起来的动力学应允许使用高增益 的控制回路，因此，需要一个附加的反馈回路。 典型例子： 采用稳压其减小到电子管、仪器和调节器的电源电压变化； 用稳压电源电压的方法削减温控中的温度偏差。
v( k) 和
(k)是独立的，对上式两边取均值，得到：
初始条件为： P的递推方程表明协方差是怎样传播的。 为了计算状态协方差函数，观察：
v( k) 和
(k)是独立的，并且v(k)均值为零，得到：
重复上述步骤，得到：
于是通过一个具有用给定的动态系统传播方差函数变得到协方差 函数。
小结：离散的白噪声随机过程 考虑线性随机差分方程定义的随机过程。其中，v(k)是一个均 值为零，协方差为R1的白噪声过程。令其初始状态均值为m0， 协方差矩阵为R0，于是此过程的均值函数为： (1 ) 其协方差函数为： (2 ) (3 )

随机过程的扰动模型
1 概念 随机过程有限维分布函数 一个随机过程在n个不同时刻的值是n维随机变量。把函 数：
式中，P表示概率。 如果所有有限维分布是正态的，则就称随机过程是高斯的，或 者是正态的。
随机过程x的均值函数定义为：
随机过程的协方差函数定义为：
两个随机过程的互协方差函数定义为：
考虑随机变量：
因为v的均值为零，所以，这个变量的均值也为零。因为在整个 不交叉的时间间隔上v的增量是不相关的。故，对于k1的随机变 量v(tk)和v(t0)也是不相关的。 v(tk)的协方差为：
(5)
由采样过程{x(t)}而得到的随机序列{x(tk): k=0,1…}可由差分方程
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描述。其中{v(tk): k=0,1…}是均值为零和协方差为式(5)的不相关的 随机变量序列。
线性随机差分方程
如果过程模型由连续时间微分方程表示，采样得到的方程为离散 时间随机模型。 连续时间过程微分方程为：
其中 v 是向量，其元素是白噪声随机过程，由于其具有无穷大方 差，习惯上把上述微分方程写成： 随机微分方程 假设信号v具有零均值，不相关增量和方差为： (4)
令采样瞬时为{tk: k=0,1…}，在一个采样周期内对(4)积分，得：
如果这个传递函数是不稳定的或者是不能实现的，则选择一个 适合的近似代替。常常基于一个静态模型设计前馈补偿器，这 时，传递函数Hff可以简化为一个定态增益。
因为前馈是一种开环补偿，它需要一个准确的过程模型，用
数字控制容易加入过程模型，这样，可以预料随着数字控制的使
用，前馈的应用将会增加。实际上，前馈补偿器就是一个动态系统 求逆的计算。 前馈的一般过程为： 1. 测出扰动；
2. 生成力图抵消扰动的控制信号；
3. 再把控制信号加到过程上。 前馈特别适用于： 由于指令信号或者参考信号变化产生的扰动；
适用于由过程逆向偏差产生顺向扰动的串级过程。
方法四：用预报削减扰动的影响
用预报削减扰动的方法是前馈原理的推广。当扰动不能实测时， 就可以用此方法。其原理为： 用可测信号预报扰动，再由此预报产生前馈信号。重要的是： 预报扰动本本身不是必须的，能模拟出代表扰动对重要的过程 变量的影响的信号就足够了。
随机过程是平稳的的定义为：
如果对于所有的，n，t1…tn，x(t1)… x(tn)的有限维分布等 于x(t1＋)，x(t2＋)… x(tn＋)… 的有限维分布，则称此随 机过程是平稳的。
随机过程是弱平稳的的定义为： 如果对于所有的，只要分布的前两个矩相同，则称此随 机过程是弱平稳的。 (弱)平稳过程的互频谱密度是其互协方差函数的傅立叶变换： 互谱密度函数
测量误差
测量误差要进入传感器中。在某些传感器中，可能由于校准而由 定态误差，典型的测量误差具有高频成分，由于传感器的动力学 特性还可能由动态误差，在传感器和过程之间还可能存在复杂的 动态相互作用。典型的例子就是陀螺测量和核反应堆中液位的测 量。 参数变化 使用着线性理论，再附加负载扰动和测量噪声。不过，实际系统 常常是非线性的。把非线性的模型线性化得到线性模型，这意味 着各种扰动可以更复杂的方式加入，于是，某些扰动还可以当作 模型参数的偏差。