高中数学—— 命题及其关系
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高中数学命题及其关系知识点
高中数学命题及其关系知识点1、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。
)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题是否命题同真同骗人。
2、对映射的概念了解吗?映射f：a→b，是否注意到a中元素的任意性和b中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?(一对一，多对一，容许b中存有元素并无原象。
)3、函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)4、反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②交换x、y;③标明定义域)5、反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x等距;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;6、函数f(x)具备奇偶性的必要(非充份)条件就是什么?(f(x)定义域关于原点对称)高中数学复习计划要注意进度的安排，应该前紧后松，而不能前松后紧。
因为随着日期的推移，人的疲劳度越来越深，效率会有所下降，后面多留些时间，有利于随机应变，从容不迫，减少紧张，增强自信心。
在模拟考试之前，所有的系统复习应该全部结束;模拟考试之后所要做的，只是查补细小的漏洞，调整心情和体力，稳定状态，坚定信心。
绝对无法与老师的复习计划二者两张皮，自搞出一套。
负责管理初三教学的老师，通常都存有数年甚至数十年的教学经验，对如何指导同学们展开中考集训非常存有心得体会，这样的老师明确提出的复习计划，就是绝对无法忽略的。
你必须搞的就是，针对自己的特定情况予以调整。
假如某一部分科学知识就是你掌控得极好、平时考试没什么问题的内容，就足矣花掉些时间;若某一部分科学知识就是研习得不好、问题比较多的内容，就要多花掉些时间，在顺利完成了老师布置的内容之后再多看看多想要几遍，另外自己打听一些有关的参照题目搞，非把它学坚实不容。
在时间上，可以比老师的计划略快一步，无法比老师的计划快。
一定要把握好“量”，要给自己留有余地。
要好好考虑自己订的计划的可行性。
把几本书全背上几遍固然好，可是从体力、时间上来说根本不可能。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
人教A版高中数学选修2-1：1.1命题及其关系课件
例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 若整数a能被2整除，则a是偶数； 2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。
2) 写成若p，则q 的情势：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两 直线平行，同位角相等”。
视察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
3.
若若f(fx(x)不)是是正正弦弦函函数数，p，则则f(fx(x)是)不周是期周函期数函；数q .
┐p
┐q
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作
原结论 反设词 原结论
反设词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个
小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个
对所有x, 存在某x， 对任何x，
成立 不成立
不成立
存在某x， 成立
结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。（4）“一定是”的否定为“一定
“┐p” “┐q”
互否命题 原命题 (原命题的)否命题
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同 位角不相等，两直线不平行”。
视察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
高考数学总复习命题及其关系充分条件与必要条件PPT课件
[自主解答] (1)“存在集合 C 使得 A ⊆C，B ⊆∁UC”⇔ “A ∩B＝∅”．故 C 正确．
(2)当数列{an}的首项 a1＜0 时，若 q＞1，则数列{an}是递减 数列；当数列{an}的首项 a1＜0 时，要使数列{an}为递增数列，则 0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也 不必要条件．故选 D.
提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是 q” 等价于“q 是 p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是 q 的充 分不必要条件”是截然不同的．
1．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1， 0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不 充分条件．
[答案] (1)C (2)D (3)①④
充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三 步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论， 从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题 目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验 证得到的必要条件是否满足充分性． (3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充 分必要性，判断是否成立即可．
B．若 x≤1，则 x＞0
C．若 x≤1，则 x≤0
D．若 x＜1，则 x＜0
高中数学常用逻辑用语：命题及其关系
常用逻辑用语：命题及其关系要求层次重难点 “若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题A 理解四种命题的相互关系；掌握充要条件的判定四种命题的相互关系B 充要条件C（一） 知识内容1．对于“如果p ，则q ”形式的命题，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．定理：经过证明为真的命题．当命题“如果p ，则q ”经过推理证明断定是真命题时，我们就说则p 可以推出q ，记作p q ，读作“p 推出q ”．2．命题的四种形式：命题“如果p ，则q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p q ，进行“换位”和“换质（否定）”后，可以构成四种不同形式的命题． ⑴原命题：如果p ，则q ； ⑵原命题的逆命题：如果q ，则p ； ⑶原命题的否命题：如果非p ，则非q ； ⑷原命题的逆否命题：如果非q ，则非p ．否逆为互逆为互否互否互逆互否互逆如果非q ,则非p如果非p ,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q3．命题“如果p ，则q ”的四种形式之间有如下关系：⑴互为逆否命题的两个命题等价（同真或同假）．因此证明原命题，也可以改证它的逆否命题．例题精讲高考要求常用逻辑用语：命题及其关系板块一：命题的四种形式⑵互逆或互否的两个命题不等价．<教师备案>注意命题的否定与否命题之间的区别，前者是命题的反面，且与命题的真假恰好相反；后者是对条件与结论同时进行否定，它的真假与原命题的真假没有绝对的联系．（二）典例分析【例1】 判断下列语句是否是命题：⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷260x +>；⑸112+>；【例2】 判断下列命题的真假．⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑵垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑶每一个周期函数都有最小正周期； ⑷两个无理数的乘积一定是无理数； ⑸若A B ，则A B B ≠；⑹若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑺已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑻已知a b c d ∈R ，，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π()3p ，并判断它是不是真命题；【例4】 下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例5】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ①如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ② 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ③ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ④ 命题②、③、④与命题①有何关系？【例6】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑵命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑶命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．⑷命题l ：“ABC ∆中，若90C ︒∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”； ⑸命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．【例7】 下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题④“若x x 是无理数”的逆否命题A ．①②③④B ．①③④C ．②③④D ．①④【例8】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．⑴“负数的平方是正数”；⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；【例9】 ⑴命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ ⑵有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．【例10】 ⑴ “在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为；⑵（2007重庆）命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x - B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x【例11】 下列命题中_________为真命题．①“A B A =”成立的必要条件是“A B ”；②“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．【例12】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为∅”．它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个【例13】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑵写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．【例14】 ⑴命题p ：奇函数一定有(0)0f =；命题q ：函数1y x x=+的单调递减区间是[10)(01]，，-．则下列四个判断中正确的是（ ）A ．p 真q 真B ． p 真q 假C ． p 假q 真D ． p 假q 假 ⑵设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）【例15】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈，记a 的象为()f a ．若映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题： ①设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =；②对a V ∈，设()2f a a =，则f 是平面M 上的线性变换； ③若e 是平面M 上的单位向量，对a V ∈设()f a a e =-，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，，a b V ∈，若，a b 共线，则()()，f a f b 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）【例16】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．【例18】 关于x 的方程()222110x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【例19】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假【例20】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例21】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．4【例22】 下面有五个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ②终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点．④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6得到3sin 2y x =的图象．⑤函数πsin 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0π，上是减函数． 其中真命题的序号是 ．【例23】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥C ．a α⊂，b β⊥，αβ∥D ．a α⊂，b β∥，αβ⊥【例24】 命题“若ABC ∆不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．【例25】 给出以下四个命题：①“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例26】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，A x y 、22()，B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例27】 有下列四个命题：①“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【例28】 已知三个不等式：000，，c dab bc ad a b>->->（其中，，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例29】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥【例30】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，∥，则αβ∥D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥【例31】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3。
高中数学选修1-1公式概念总结
焦点在 x 轴上： kOP
kAB
a2 b2
；焦点在
y
轴上： kOP
kAB
b2 a2
.
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程 1、双曲线的定义：我们把平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于
F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点 F1 ，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点的距离 F1F2
“非 p ”或“ p 的否定”.与集合 U A x x U 且 x A
选修 1-1 数学
2
6、 p 非 q 的真假：若 p 是真命题， p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题。 简记为：与 p 真假性相反。
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1、定义：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”
b2 a2
cos OF2B
P 不在 y 轴上： e sin sin sin
cos
cos
2
2
9、交点三角形面积公式：
选修 1-1 数学
4
S
PF1F2
b2 sin 1 cos
b2 tan 2
C
yP
1 2
PF1
PF2
sin
周长公式： C 2a c
10、椭圆的第二定义：平面内，若动点 M (x, y) 与定点 F c, 0 的距离和它到定直线
11、直线与椭圆的位置关系
x2
位置关系的判定：联立
a
2
y2 b2
1 a
b
0
消去 x 或消去 y 解方程。
Ax By C 0
①当直线与椭圆有两个焦点时，直线与椭圆相交，即 0 ；②当直线与椭圆有一个焦点时， 直线与椭圆相切，即 0 ；③当直线与椭圆无焦点时，直线与椭圆相离，即 0 .
高中数学知识点精讲精析 命题及其关系
1.1 命题及其关系1.命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．2．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．强调：(１)注意命题与假命题的区别．如：“作直线AB”．这本身不是命题．也更不是假命题．(２)命题是一个判断，判断的结果就有对错之分．因此就要引入真命题、假命题的的概念，强调真假命题的大前提，首先是命题。
3．定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式原命题：若P，则q．则：逆命题：若q，则P．否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命题：若￢q，则￢P．5．①原命题为真，它的逆命题不一定为真。
【高中数学】第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用结论1．充要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于1．(选修1-1P8A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是() A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.2．(选修1-1P10练习T3(2)改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x －1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区(1)不明确命题的条件与结论；(2)对充分必要条件判断错误；(3)含有大前提的命题的否命题易出错．1．命题“若△ABC有一内角为π3，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题()A．与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2020·长春质量检测(二))命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.【答案】 D(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．综上可得，真命题是①②③④.故选B.充分条件、必要条件的判断(师生共研)(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－b sin x＝cos x＋b sin x，则2b sin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁U C，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁U C，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q 的充分不必要条件．故选A.充分条件、必要条件的应用(典例迁移)已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m ≤x ≤1＋m }．若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围．【解】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}， 由p 是q 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎨⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，p 是q 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0，3]．【迁移探究1】 (变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件．解：若p 是q 的充要条件，则P ＝S ， 所以⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使p 是q 的充要条件．【迁移探究2】 (变结论)本例条件不变，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以p ⇒q 且q ⇒p .所以[－2，10][1－m ，1＋m ]． 所以⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系来求解．[注意] (1)注意对区间端点值的处理；(2)注意条件的等价变形．设p ：－m ＋12<x <m －12(m >0)；q ：x <12或x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为______．解析：因为p 是q 的充分不必要条件，又m >0，所以m －12≤12，所以0<m ≤2. 答案：(0，2]思想方法系列1 等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．已知条件p ：|x －4|≤6；条件q ：(x －1)2－m 2≤0(m >0)．若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则m 的取值范围为______．【解析】 条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤1＋m ，又綈p 是綈q的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件．故有⎩⎨⎧m >0，1－m ≥－21＋m ≤10，，所以0<m ≤3.【答案】 (0，3]本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y⇒/x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．2．(2020·宁夏银川一中模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.[基础题组练]1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a≠0⇒/ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件解析：选C.对于A ，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C ，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D ，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选C.4．已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③解析：选 A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．5．“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件．解析：因为(x ＋1)(y －2)＝0，所以x ＝－1或y ＝2，所以(x ＋1)(y －2)＝0⇒/ x ＝－1且y ＝2，x ＝－1且y ＝2⇒(x ＋1)(y －2)＝0，所以是必要不充分条件．答案：必要不充分6．已知命题p ：x ≤1，命题q ：1x <1，则綈p 是q 的______．解析：由题意，得綈p ：x >1，q ：x <0或x >1，故綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要条件7．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.答案：[－3，0]8．已知命题p ：(x ＋3)(x －1)>0；命题q ：x >a 2－2a －2.若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，可知p ：x >1或x <－3，因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，得a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，即a ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[综合题组练]1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x ，y ∈R ，则“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当“x ＋y ≤1”时，如x ＝－4，y ＝1，满足x ＋y ≤1，但不满足“x ≤12且y ≤12”．当“x ≤12且y ≤12”时，根据不等式的性质有“x ＋y ≤1”．故“x ＋y ≤1”是“x ≤12且y ≤12”的必要不充分条件．故选B.3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4 ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <1C ．a >3D ．a ≥3解析：选D.|x －1|<a ⇒－a <x －1<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4⇒⎩⎨⎧a ≥1，a ≥3⇒a ≥3.故D 正确．4．下列命题中为真命题的序号是______．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x <0时，x ＋1x ≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④。
高中数学命题及其关系PPT课件
(1)若直线a∥b，则a和b无公共点. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (5)两个全等三角形的面积相等.
其中判断为真的语句称为真命题．
(2)２＋４＝７. (4)若x2=1，则x=1. (6)３能被２整除.
判断为假的语句称为假命题．
(2)若整数a是素数,则a是奇数. (4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行. (9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. 练习中的命题(2)(4)(9),具有 “若P, 则q” 的形式 也可写成 “如果P,那么q” 的形式
试问:命题②，③，④与命题①有何关系？
三个概念
①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ②如果两个三角形的面积相等，那么它们全等；
１.互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是 第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个 叫做原命题的逆命题.
冒牌教习笑嘻嘻地吼道：“终于到地方了，方圆百里之内，都是试炼区域，只要不出这个区域，随便你们怎么折腾，各自玩耍去 吧，遇到无法应付的危险，就喊救命……哇哈哈，老子也难得自由一会儿，我去也！”
话音未落。 冒牌教习如同脱缰的野狗一般，化作一道流光，冲天而去，消失的无影无踪。 众人面面相觑。 四面隐隐有兽吼之声传来，一种荒野独有的燥热野性气息从四面八方侵袭而来，这是一种若有若无的危险气息。 少年们才到来不过数十息的时间，荒野的危险已经露出了狰狞的獠牙。 第0025章 极限试炼 叶青羽观察了一下周围的地形。 周围的地势倒是开阔，乱石散布的荒野之间，有稀稀落落不知名的怪树，大地上生长着青灰色的荆棘草，绵延向远方…… 周围有嗡嗡嗡飞舞着带着腥臭味道的蚊虫。
原命题：若p ,则q 逆命题：若q ,则p
高二数学四种命题的关系PPT优秀课件
3.若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾, ∴a能被2整除.
反证法的一般步骤：
(1)假设命题的结论不成立,即假
反设
设结论的反面成立；
(2)从这个假设出发，经过推理
归谬
论证，得出矛盾；
(3) 由矛盾判定假设不正确，
结论
从而肯定命题的结论正确。
加强训练
1.已知函数f(x)是（-∞，+ ∞ ）上的增函数， a,b∈R,若f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)， 求证：a+b ≥0.
四种命题中的真假性有什么规律?
原命题 凡质数都是奇数 假
逆命题 凡奇数都是质数 假
否命题 不是质数就不是奇数 假
逆否命题 不是奇数就不是质数 假
几条结论:
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 逆否命题
真
真
假
真
真
假
假
假
1、真假个数一定是偶数，即0个，2个，4个。 2、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。 3、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
互
互逆
否 否命题
若p则 q 互 逆
逆命题 若q 则p
互
否 逆否命题
【高中数学】命题及其关系、充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一四种命题及其真假判断[典例](2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是()A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析]①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案]D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是()A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P |x ＝k ＋12，k ∈Z|x ＝k2，k ∈Zx ∈P ，则x ∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝|x ＝k ＋12，k ∈Z＝|x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝|x ＝k2，k ∈Z 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二充分、必要条件的判断[典例](1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析](1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由|x －12|＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“|x －12|＜12”⇒“x 3＜1”；由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，|x －12|≥12，即“x 3＜1”“|x －12|＜12”．所以“|x －12|＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件．(3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q⇒非p但非p非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．[答案](1)B(2)A(3)A[提醒]判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若x2<1，则－1<x<1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cosθ<0，则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1，则非p：xy＝1，非q：x＝1且y＝1.可知非q⇒非p，非p非q，即非q是非p的充分不必要条件．故p是q的充分不必要条件，即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件．考点三根据充分、必要条件求参数的范围[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x ∈S的必要条件，则m的取值范围是________．[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.－m≤1＋m，－m≥－2，＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[答案][0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，1＋m＝10，解得{m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且S P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．－m≤－2，＋m>10－m<－2，＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定解析：选B命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以BA .于是“x ≠y ”是“cosx ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是()A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．。
数学：1.1《命题及其关系》PPT课件(新人教A版-选修2-1)
逆命题； ⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是否命题； ⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是逆否命题.
四种命题的形式
原命题：若p则q； 逆命题：若q则p； 否命题：若┐p则┐q； 逆否命题：若┐q则┐p.
例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、 否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
例2.把下列命题改写成“若p则q”的 形式，并写出它们的逆命题、否命 题与逆否命题，同时指出它们的真 假。
练习
1.举出一些命题的例子,并判断它们的真假. 2.判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形
是正方形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线; (4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三 角形.
命题(1)(4)(5),具有 “若P, 则q”
的形式
也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命 题的条件,q叫做结论. 记做:
pq
指出下列命题中的条件p和结论q:
(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直 且平分.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-1
1.1《命题及其关系》
教学目标
了解命题的概念，会判断一个命题的真假，
并会将一个命题改写成“若，则”的形式； 进一步理解命题的概念，了解命题的逆命 题、否命题与逆否命题，会分析四种命题 的相互关系。 教学重点：命题的改写；四种命题的概念 及相互关系 。 教学难点：命题概念的理解；四种命题的 相互关系 。
高二数学命题及关系知识点归纳
高二数学命题及关系知识点归纳高二数学命题及关系知识点归纳无论掌握哪一种知识，对智力都是有用的，它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。
下面是小编为大家整理的高二数学命题及关系知识点归纳，欢迎参考~一、知识梳理知识点一命题及四种命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.注意：命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系.(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关.注意：(补充)1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题知识点二充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件的概念(1)充分条件：pq 则p是q的充分条件即只要有条件p就能充分地保证结论q的`成立，p成立就足够了，即有它即可。
亦即要使q成立，有(2)必要条件：pq 则q是p的必要条件pqqp即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，即无它不可。
(补充)(3)充要条件pq且qp即pq则“p、q互为充要条件(既是充分又是必要条件)p”等 p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、“q当且仅当(补充)2、充要关系的类型(1)充分但不必要条件定义：若pq，但qp，p是q的充分但不必要条件; 则(2)必要但不充分条件定义：若 q则p，但pq， p是q的必要但不充分条件(3)充要条件定义：若 pq，且qp，即pq，p、q互为充要条件; 则(4)既不充分也不必要条件定义：若pp， q，且qp、q互为既不充分也不必要条件. 则3、判断充要条件的方法：①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法). 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性集合法----利用集合的观点概括充分必要条件若条件p以集合A 的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断.(1)若AB，则p是q的充分但不必要条件(2)若BA，则p是q的必要但不充分条件B，则p是q的充要条件(4)若AB， B，且A则p是q的既不必要也不充分条件 (3)若A(补充)简记作----若A、B具有包含关系，则(1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析(一)四种命题及其相互关系例1.(1) 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是( )A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数例1.(2)下列命题中正确的是( )①“若a≠0，则ab≠0”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“若x-3是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④例1.(3)(2014·陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假问题2四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同真假.(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假.同时要关注“特例法”的应用.。
高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修
高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标：1. 理解充分条件和必要条件的概念。
2. 学会判断充分条件和必要条件。
3. 掌握充分条件和必要条件与命题之间的关系。
二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件与命题之间的关系。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：充分条件和必要条件的概念及判断方法。
2. 教学难点：充分条件和必要条件与命题之间的关系。
四、教学方法：1. 采用案例分析法，通过具体例子引导学生理解充分条件和必要条件的概念。
2. 采用小组讨论法，让学生在小组内讨论如何判断充分条件和必要条件。
3. 采用归纳法，引导学生总结充分条件和必要条件与命题之间的关系。
五、教学过程：1. 引入新课：通过一个生活中的例子，引导学生思考什么是充分条件和必要条件。
2. 讲解充分条件和必要条件的定义：给出充分条件和必要条件的定义，让学生理解这两个概念。
3. 判断充分条件和必要条件：通过例子，讲解如何判断充分条件和必要条件。
4. 充分条件和必要条件与命题之间的关系：引导学生总结充分条件和必要条件与命题之间的关系。
5. 课堂练习：给出一些题目，让学生判断充分条件和必要条件。
6. 课堂小结：总结本节课所学内容，让学生巩固知识。
7. 作业布置：布置一些练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问学生，了解学生对充分条件和必要条件的理解和掌握程度。
2. 课堂练习：观察学生在练习题中的表现，判断他们是否能够正确判断充分条件和必要条件。
3. 课后作业：通过批改学生的作业，了解他们对本节课知识的掌握情况。
七、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，确保学生能够更好地理解和掌握充分条件和必要条件。
2. 反思教学内容：根据学生的掌握情况，调整教学内容，确保学生能够全面掌握充分条件和必要条件。
八、课后作业：1. 练习题：让学生通过做练习题，巩固对充分条件和必要条件的理解和判断能力。
高中数学命题及其关系_充分条件与必要条件
3.反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论,(2)从假设出发,经过推理论证得出矛盾,(3)断定
假设错误,肯定结论成立. 反证法属于间接证法,当证明一个结论成立,已知条件较少,或
结论的情况较多,或结论是以否定形式出现,如某些结论中 含有“至多”､“至少”､“惟一”､“不可能”､“不都” 等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立.
四种命题的结构不明致误
【典例2】 写出命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的逆 命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
[剖析] 解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命 题､否命题､逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一 个结论时出错,如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b 不都是偶数”,而不应该是“a,b都是奇数”.
[正解] 逆命题:“若a+b是偶数,则a,b都是偶数.”它是假命 题;
否命题:“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.”它是假命题; 逆否命题:“若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.”它是真命题.
[评析]四种命题的结构与等价关系
如果原命题是“若A,则B”,则这个命题的逆命题是“若B,则 A”,否命题是“若¬A,则¬B”,逆否命题是“若¬B,则¬A”. 这里面有两组等价的命题,即“原命题和它的逆否命题等 价,否命题与逆命题等价”.在解答由一个命题写出该命题 的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它 们之间的等价关系.
x2
x2
1,
2,
m m
2, 3
1,
m
2;
又≥0,即: m2 4m 12≥0;解之得m 6或m≤ 2;
高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系有关“命题”的几个问题素材1
有关“命题”的几个问题写出命题P“所有的分数都是无理数”的非P命题,大部分同学会写成“所有的分数都不是无理数”,这显然是错误的，但是新教材中没有讲清楚这类含量词的命题的否定形式，现在对“简易逻辑”教学中的几个问题作一论述。
一、关于命题概念:新教材中只说：可以判断真假的语句叫做命题。
正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题.例如“12〉5”“3是12的约数”是真命题,“0.5是整数”是假命题；“x 〉5”不是命题.那么对“x 〉5”有如下几个问题：问题1：它不是命题是什么呢?这种需要根据前提才能判断真假的判断句叫条件命题。
（教参上称为开语句)，如“x >5”就是条件命题，它的真假要根据x的值来确定。
而含有逻辑联结词的式子都可叫做逻辑表达式。
逻辑表达式的真假由题设条件决定。
如当x=6时，x 〉5为真,当x=2时，x >5为假.问题2：命题是怎样构成的?一个完整的命题必由主项，谓项,量词和判断词四部分构成.例如命题“所有实数的绝对值都是正数”的主项是“实数的绝对值”，谓项“正数"，量词是“所有",判断词是“都是”。
问题3:命题是怎样分类的？根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题.单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。
如“3是正数”就是单称命题。
全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何",“都"等，也常被省略。
如“整数是有理数"的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数"。
特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的"，“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。
如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。
根据判断词的不同，命题又可分为性质命题和关系命题。
性质命题的判断词常用“是”，“不是”;用来判断主项是否符合某项性质。
例如“3是正数”就是性质命题。
关系命题的判断词常用“有"，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在"，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。
高中数学《命题及其关系充分条件与必要条件》教案苏教版选修
高中数学《命题及其关系-充分条件与必要条件》教案苏教版选修一、教学目标：1. 让学生理解充分条件和必要条件的概念，掌握判断充分条件和必要条件的方法。
2. 培养学生运用充分条件和必要条件分析问题、解决问题的能力。
3. 帮助学生建立充分条件和必要条件之间的联系，理解它们在数学论证中的应用。
二、教学内容：1. 充分条件和必要条件的定义。
2. 判断充分条件和必要条件的方法。
3. 充分条件和必要条件与数学论证的关系。
三、教学重点与难点：重点：充分条件和必要条件的定义及判断方法。
难点：充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
四、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入充分条件和必要条件的概念。
2. 新课讲解：讲解充分条件和必要条件的定义，举例说明判断方法。
3. 课堂练习：让学生运用充分条件和必要条件判断给出的命题。
4. 案例分析：分析充分条件和必要条件在数学论证中的应用。
5. 总结提升：总结本节课的主要内容，强调充分条件和必要条件的重要性。
五、课后作业：1. 复习本节课的内容，理解充分条件和必要条件的概念及判断方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考充分条件和必要条件在实际问题中的应用，准备下一节课的分享。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例发现充分条件和必要条件的规律。
2. 利用逻辑推理和反证法，让学生在实践中掌握充分条件和必要条件的判断方法。
3. 设计具有针对性的练习题，及时巩固所学知识，提高学生的应用能力。
4. 组织小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和经验，培养学生的合作意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活实例和数学案例，用于引导学生理解和应用充分条件和必要条件。
2. 设计课后练习题，包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的学习需求。
3. 准备教学PPT，用于辅助讲解和展示教学内容。
八、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现。
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二、命题真假的判断 活动与探究
如何判断一个命题的真假? 答:判断一个命题的真假时,首先要弄清楚命题的结构,即它的条件 和结论分别是什么,把它写成“若 p,则 q”的形式,然后联系其他相关的知 识,经过逻辑推理来判定.有下面三种方法. (1)举反例:通过构造反例否定一个命题的正确性,是判断一个命题 为假命题的常用方法. (2)特例法:判断命题真假时,可以构造符合条件的函数或数学模型, 往往能化抽象为具体,从而简便解题. (3)转化法:对于一些比较复杂、 抽象、 条件和结论之间关系不明朗、 难于从正面入手的问题,在解题时,从问题的反面入手,探求已知和未知 的关系,这时往往能化难为易,化隐为显,从而将问题解决,即“正难则反” 的解题策略.
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(1)如何理解命题的定义? 提示:一个语句是命题,必须具备两个特征: ①是陈述句,而祈使句、疑问句等一般都不是命题; ②可以判断真假,这个语句是对还是错是唯一确定的,如同元素与 集合的关系是明确的,不能模棱两可. (2)判断命题真假的依据是什么? 提示:判断一个命题真假的依据是利用客观事实或已学过的公理、 定理和定义等.
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例 1 下列语句是命题的有
.(填序号)
①垂直于同一平面的两个平面相互平行吗? ②作直线 a 平行于直线 b. ③在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 a=b,则 A=B. ④函数 y=x 和函数 y= ������ 2 是同一个函数. ⑤2x-4>1. ⑥ 3是无理数. 思路分析:判断一个语句是不是命题,就是看它是否符合“陈述句” 和“可以判断真假”这两个条件. 答案:③④⑥ 解析:①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③④是命题;⑤ 不是命题,x 的取值能否使不等式成立无法确定;⑥是命题. 方法技巧:判断一个语句是否构成命题,关键把握两点:一是陈述句, 二是能够判断真假.
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例 2 判断下列命题的真假: ①������������ + ������C = ������C; ②log2x2=2log2x; ③若 m>1,则方程 x2-2x+m=0 无实根; ④直线 x+y=0 的倾斜角是 ; ⑤若 α= 4 ,则 sin α= 2 ; ⑥若 x∈A,则 x∈(A∩B). 思路分析:运用数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断.
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对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其 真假.若能,就是命题;若不能,就不是命题. 还有一些语句,目前无法判断真假,但就事物的本质而论,这些语句 是可辨别真假的,尤其是科学上的一些猜想等,这类语句也叫做命题.
第一章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
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1.理解命题的概念及命题的构成. 学习目 标 重点难 点 2.会判断一个命题是真命题还是假命题. 3.能把命题转化为“若 p,则 q”的形式,并能判断其真假,掌握判断一个 命题真假的方法. 重点:命题的概念及结构. 难点:命题真假的判断.
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2.命题的构成 数学中,“若 p,则 q”是命题的常见形式,其中 p 叫做命题的条件,q 叫 做命题的结论.
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(1)把命题“全等三角形面积相等”写成“若 p,则 q”的形式 是 . 提示:若两个三角形是全等三角形,则这两个三角形的面积相等. (2)所有的命题都能写成“若 p,则 q”的形式吗? 提示:一般地,所有命题都由条件和结论两部分组成,所以所有命题 都可以写成“若 p,则 q”的形式.
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迁移与应用 判断下列语句是不是命题,并说明理由. ①10>5. ②函数 y=2x+1 在 R 上是增函数. 2 ③在数列{an}中,若������2 =a1a3,则数列{an}是等比数列吗? ④方程 x2-1=0 的根是 x=1. ⑤已知直线 l 和平面 α,则直线 l 与平面 α 要么相交要么平行. ⑥这是一棵大树. ⑦若 x=1,则 3x-1>0. 解:①是命题;②是命题;③是疑问句,不是命题;④是命题;⑤是命 题;⑥“大树”没有界定,不能判断真假,不是命题;⑦是命题.
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一、命题概念的理解 活动与探究
怎样判断一个语句是命题? 答:命题的语句形式一般是陈述句,带有感叹号、疑问号、没有主语 或者仅仅是一些语气助词的话都不是命题.判断一个语句是否为命题, 关键看其是否可以判断真假.
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1.命题的概念 (1)定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题. (2)分类:①真命题:判断为真的语句; ②假命题:判断为假的语句.
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