二项分布的可加性与泊松分布的例题

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泊松定理的典型例题

泊松定理的典型例题

泊松定理的典型例题泊松定理是概率论中的一项重要定理,用于近似计算二项分布的概率。

下面是一个典型的例题,我们将从多个角度进行分析和回答。

假设某个事件发生的概率是0.1,并且我们进行了100次独立的重复试验。

现在我们想要计算恰好发生10次的概率。

从概率的角度来看,我们可以使用二项分布来描述这个问题。

二项分布是一种离散概率分布,用于描述在一系列独立重复的伯努利试验中成功事件发生的次数。

在这个例题中,每次试验成功的概率为0.1,失败的概率为0.9。

我们可以使用二项分布的概率质量函数来计算恰好发生10次的概率。

从计算的角度来看,如果我们直接使用二项分布的概率质量函数进行计算,可能会涉及到大量的计算工作。

但是根据泊松定理,当试验次数很大,而每次试验成功的概率很小的时候,二项分布可以近似为泊松分布。

泊松分布是一种离散概率分布,用于描述在一段固定时间或空间内事件发生的次数。

泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。

在这个例题中,我们可以使用泊松定理来近似计算恰好发生10次的概率。

根据泊松分布的定义,λ的值等于试验次数乘以每次试验成功的概率。

因此,λ = 100 0.1 = 10。

我们可以使用泊松分布的概率质量函数来计算恰好发生10次的概率。

从实际应用的角度来看,泊松定理在很多领域都有广泛的应用。

例如,在排队论中,可以使用泊松过程来描述到达某个系统的请求的频率。

在信号处理中,泊松过程也被用于模拟随机事件的发生。

总结起来,泊松定理是概率论中的一项重要定理,用于近似计算二项分布的概率。

在计算恰好发生10次的概率时,我们可以使用二项分布的概率质量函数或者使用泊松定理来进行近似计算。

泊松定理在概率计算和实际应用中都有重要的作用。

二项分布泊松分布

二项分布泊松分布

小 结
二项分布 Poisson分布 p:总体率 µ=n p:总体中一定计量 n:样本例数 单位内发生某 X:某类事件发生数 事件的总均数 p= X/n:样本率 X或X :样本均数 X u P( X k ) n k (1 )nk k P e
( X X )
基本符号
四、二项分布的图形
图形特点:两个轴意义,对称、偏态、 与正态分布的关系
决定图形的两个参数:n,p
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数λp:
1 1 p x (n ) n n
样本率的总体标准差p:
1 1 p x n n
Sp p1 p n
正态近似法:当样本计数大于X(亦即λ )较大时,
Piosson分布近似正态分布,可用公式:
X a
X
( X a X , X a X )
样本均数与总体均数的比较
直接概率法:例7.15 正态近似法:统计量λ

X 0
0
例题:某溶液原来平均每毫升有细菌80个,现想 了解某低剂量辐射能的杀菌效果。研究者以此 剂量照射该溶液后取1毫升,培养得细菌40个。 请问该剂量的辐射能是否有效?
二项分布
Binomial distribution
主要内容
二项分布的概念
定义,概率,均数与标准差,图形
样本率的均数和标准差
二项分布的应用
一、二项分布定义
任意一次试验中,只有事件A发生和不发生两 种结果,发生的概率分别是: p和1- p
若在相同的条件下,进行n次独立重复试验, 用X表示这n次试验中事件A发生的次数,那么X 服从二项分布,记做 XB(n,p),也叫Bernolli 分布。

统计学:二项分布与泊松分布

统计学:二项分布与泊松分布

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4.二项分布的数字特征
① 这里的数字特征主要指总体均数、方差、 标准差等参数。
② 随机变量X的数学期望 E(X)=μ。 ③ 即指总体均数。μ=nπ
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随机变量X的方差及标准差
③ 随机变量X的方差 D(X)=σ2 ④ 随机变量X的标差为:
2 n(1)
医学本科生用
医学统计学
主讲 程 琮
泰山医学院预防医学教研室 zcheng@
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The teaching plan for medical students
MEDICAL STATISTICS
Professor Cheng Cong
Dept. of Preventive Medicine Taishan Medical College
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2. 则X的概率函数为:
P n(X )C n X X(1)n X
X=0,1,2,…,n
(7.1)
式中:0<π<1,C
X n
为组合数,公式(7.1)称随机变量X
服从参数为n,π的二项分布,则记为X~B(n,π)。
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情形一:治疗20例病人的疗效分析
(1)建立检验假设 H0:π=π0=0.80;H1: π> π0 =0.80 单侧α=0.05
(2)计算概率值 根据二项分布有:
P ( X 1 ) P ( 1 9 ) P ( 2 9 ) C 2 1 0 ( 0 . 8 0 9 ) 1 ( 0 . 2 9 0 ) 1 C 0 2 2 ( 0 . 8 0 0 ) 2 ( 0 . 2 0 0 ) 00

二项分布与泊松分布的应用

二项分布与泊松分布的应用

二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布,它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点,并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。

一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种,描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。

在每次试验中,事件发生的概率保持不变且相互独立。

二项分布的概率质量函数可以表示为:P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中,n表示试验的次数,k表示成功的次数,p表示每次试验成功的概率,C(n,k)表示组合数。

二项分布的应用非常广泛,例如在工业生产中,可以用来描述产品合格率;在医学实验中,可以用来描述药物疗效;在市场营销中,可以用来描述广告点击率等。

二、泊松分布泊松分布是描述单位时间(或单位面积、单位体积)内随机事件发生次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数可以表示为:P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中,λ表示单位时间(或单位面积、单位体积)内事件平均发生率,k表示事件发生的次数。

泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率,例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。

三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时,希望预测用户点击广告的概率。

可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率,通过统计多次广告曝光和点击的数据,估计用户点击广告的整体概率。

2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题,可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。

通过分析历史数据,可以预测未来某一时段交通流量的波动情况,从而采取相应的交通管理措施。

3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大,可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。

通过建立泊松分布模型,医院可以合理安排医护人员的工作时间,提高急诊服务的效率。

浅析二项分布与泊松分布之间的关系

浅析二项分布与泊松分布之间的关系

学年论文题目:浅析二项分布与泊松分布之间的关系学生:学号:院(系):理学院专业:信息与计算科学指导教师:安晓钢2013 年11月25日浅析二项分布与泊松分布之间的关系信息121班; 指导教师:安晓钢(陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021)摘 要:泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布,如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数等。

二项分布是n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布。

它们有着密切的关系。

泊松分布是二项分布的特例。

某现象的发生率很小,而样本例数n 很大时,则二项分布接近于泊松分布,即:如果试验次数n 很大,二项分布的概率p 很小,且乘积np =λ比较适中,则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。

事实上,二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物,是二项分布的特例。

通过分析二项分布和泊松分布之间的关系,使学生对概率分布理论的理解更为深刻,能够将学到的理论知识应用在实际生活中,从而提高自己的综合素质。

关 键 词:二项分布, 泊松分布, 近似The Application of Asignment PoblemABSTRACT: Poisson distribution is used to depict the distribution of rare events that a random variable frequency over a period of time, such as a telephone exchange in unit time received the call number. The two distribution is n independent / discrete probability distributions of number of successful non trials. They have a close relationship. Poisson distribution is two distribution case. The incidence of the phenomenon is very small, and the number of sample n is large, then the two distribution is close to the Poisson distribution, i.e.: if the test number n is large, the two probability distribution P is small, and the product of lambda = N P is moderate, the probability of the event can be used to force the Poisson distribution near. In fact, the two distribution can be seen as the counterpart of Poisson distribution in discrete time, are the two distribution case. Through the analysis of the relationship between two binomial distribution and Poisson distribution, enables the student to the theory of probability distribution for more profound understanding will be able to learn the application of theoretical knowledge in real life, so as to improve their comprehensive quality.KEY WORDS : Two distribution, Poisson distribution, Approximate1、问题重述:泊松分布刻画了稀有事件在一段时间内发生次数这一随机变量的分布,如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数,某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数,宇宙中单位体积内星球的个数,耕地上单位面积内杂草的数目等。

二项分布专题练习 -。泊松分布专题练习

二项分布专题练习 -。泊松分布专题练习

二项分布专题练习 -。

泊松分布专题练习介绍本文档旨在提供关于泊松分布的专题练,以帮助读者更好地理解和应用泊松分布概念。

泊松分布是离散概率分布之一,常用于描述单位时间或单位空间内事件发生的数量。

通过解答以下题目,读者将能够增强对泊松分布的认识并提升应用能力。

题目一某餐厅的平均每小时接到5个外卖订单,假设订单的到达是独立的且服从泊松分布。

请回答以下问题:1.如果我们想要知道在一个小时内恰好有3个订单,我们应该使用泊松分布的哪个参数?2.计算在一个小时内接到至少2个订单的概率。

题目二某仓库的平均每天收到15个货物交付请求,假设请求是独立的且服从泊松分布。

请回答以下问题:1.如果我们想要知道在一天内恰好有17个请求,我们应该使用泊松分布的哪个参数?2.计算在一天内收到不超过12个请求的概率。

题目三某保险公司每个月接到平均10起索赔请求,假设请求是独立的且服从泊松分布。

请回答以下问题:1.如果我们想要知道在一个月内恰好有8起索赔请求,我们应该使用泊松分布的哪个参数?2.计算在一个月内补偿不超过6起索赔的概率。

题目四某网站每分钟平均接收到2次用户提交的bug报告,假设报告的到达是独立的且服从泊松分布。

请回答以下问题:1.如果我们想要知道在一小时内恰好有5次bug报告,我们应该使用泊松分布的哪个参数?2.计算在一小时内至少接收到3次bug报告的概率。

答案提示1.泊松分布的参数λ表示单位时间(或单位空间)内事件的平均发生率。

2.对于泊松分布而言,概率可以通过使用累积概率函数或者计算相应的概率质量函数值来求解。

希望以上练习能够帮助您加深对___分布的理解。

祝您顺利掌握泊松分布的应用!。

概率论三大分布例题

概率论三大分布例题

概率论三大分布例题概率论中,三大分布是指二项分布、泊松分布和正态分布。

这三种分布在实际应用中非常常见,下面我们来看看它们的例题。

1. 二项分布例题某工厂生产的产品中有 5% 是次品。

现在从这个工厂中随机抽取20 个产品,求其中恰好有 2 个次品的概率。

解:由于每个产品的质量独立,且每个产品有 5% 的概率是次品,因此该问题可以用二项分布来描述。

设 p 为每个产品是次品的概率,则有:P(恰好有 2 个次品) = C(20,2) * (0.05)^2 * (0.95)^18 其中,C(20,2) 表示从 20 个产品中选择 2 个的组合数。

计算可得:P(恰好有 2 个次品) ≈ 0.285因此,从这个工厂中随机抽取 20 个产品,恰好有 2 个次品的概率约为 0.285。

2. 泊松分布例题某地区每天平均发生 3 起交通事故,求该地区某天发生 5 起交通事故的概率。

解:由于交通事故的发生属于独立事件,且在单位时间内发生的次数符合泊松分布,因此该问题可以用泊松分布来描述。

设λ为每天发生交通事故的平均次数,则有:P(某天发生 5 起交通事故) = (e^-3 * 3^5) / 5!其中,e 表示自然对数的底数。

计算可得:P(某天发生 5 起交通事故) ≈ 0.1008因此,该地区某天发生 5 起交通事故的概率约为 0.1008。

3. 正态分布例题某次考试的总分数满分为 100 分,平均分数为 70 分,标准差为 10 分。

求得分在 60 分以上的考生所占的比例。

解:由于考试总分数满分为 100 分,平均分数为 70 分,标准差为 10 分,因此考试成绩近似服从正态分布。

设 X 为考试成绩,则有:P(X > 60) = P(Z > (60-70)/10) (其中 Z 表示标准正态分布)根据标准正态分布表可得:P(Z > -1) = 0.8413因此,得分在 60 分以上的考生所占的比例约为 0.8413。

二项分布和Poisson分布及其应用

二项分布和Poisson分布及其应用

X ~ B n,
不太n靠近0或1 X ~ N n , n 1
n和n(1-)
均大于5
X n
~
N
,
1
n
p
~
N
,
1
n
p
1
n
p S p
p 1 p
n
Abraham de Moivre (1667-1754)
A药治疗90例缺血性贫血患者效果
差值(D) 11 18
D ~ N , 2 15
V(X) 2
E X E(X )2
n (1 ) n (1 )
二项分布和两点分布的分布特征
二项分布和两点分布及其分布特征描述指标
分布形式
表示 )
1
二项分布 X~B(n, )
n
n 1
正态近似(德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
, 1
2(n
x 1), 2
2x
pU
2
2 1F1
2, 2 ,1
, 1
2
nx
,2 2
x 1
例题
例10.4 某医院肿瘤科收治某种罕见肿瘤患者 40例,1年内死亡5例。试估计该病年病死率。
p 5 100% 12.5% 40
点估计:该病年病死率为12.5%
区间估计:n=40<50,根据n=40, x=5, 1-=0.95
反映随机变量的平均取值大小,又称数学期
望,即均数
是以相应概率作为“权重”的加权平均
E(X)
n
k P(k) k0 n
k Cnk k (1 )nk k0
n
二项分布中发生次数的方差
度量随机变量偏离(背离)数学期望(即均数) 程度的指标

统计学教案习题07二项分布与Poisson分布及其应用

统计学教案习题07二项分布与Poisson分布及其应用

第七章 二项分布与Poisson 分布及其应用一、教学大纲要求(一)掌握内容 1.二项分布 (1)分布参数;(2)各项统计指标(均数、标准差等)的计算方法; (3)二项分布的分布特征,近似分布及其应用条件。

2.Poisson 分布 (1)分布参数;(2)各项统计指标(均数、标准差等)的计算方法; (3)Poisson 分布的分布特征,近似分布及其应用条件。

(二)熟悉内容 1.二项分布(1)样本率的分布; (2)总体率的区间估计; (3)样本率与总体率的比较; (4)两样本率的比较。

2.Poisson 分布(1)总体均数的区间估计; (2)样本均数与总体均数的比较; (3)两个样本均数的比较。

(三)了解内容二项分布及Poisson 分布的前提条件及其概率密度函数的应用。

二、教学内容精要(一)基本概念1.概率分布二项分布(binomial distribution )和Poisson 分布是统计学中很重要的两种分布。

二项分布:若一个随机变量X ,它的可能取值是0,1,…,n ,且相应的取值概率为kn knk k X P --==)1()()(ππ (7-1)则称此随机变量X 服从以n 、π为参数的二项分布,记为X ~B (n ,π)。

Poisson 分布:若离散型随机变量X 的取值为0,1,…,n ,且相应的取值概率为μμ-==ek k X P k!)((μ>0) (7-2)则称随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布(Poisson Distribution ),记为X ~P (μ)。

2.两种分布成立的条件(1)二项分布成立的条件:①每次试验只能是互斥的两个结果之一;②每次试验的条件不变;③各次试验独立。

(2)Poisson 分布成立的条件:①平稳性:X 的取值与观察单位的位置无关,只与观察单位的大小有关;②独立增量性:在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关;③普通性:在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

06 第六章 二项分布与泊松分布及其应用2013

06 第六章 二项分布与泊松分布及其应用2013
出现几人治疗有效的概率最大?(设有效概率p,无 效概率为q)。
判断条件是否服从二项分布;根据二项分布的定义计 算结果。
n重Bernoulli试验中恰好发生X个阳性的概率为?
Pn ( X ) C (1 )
X n X 0 3 0
n X 3 0
11
P3 (0) C 0.70 (1 0.70)
39
( 二)
性质
1. 所有概率函数值(无穷多个)之和等于1, 即 X
X! e
X 0
x X 0


1
2.分布函数
F ( X ) P( X x)

X
X!
e

(X=0,1,2,…x)
40
3.累积概率
P( x1 X x2 ) e (0≤x <x ) 1 2 X ! X x
该系数也可用杨辉三角来表示,见下图。国外参考
书习惯称之为巴斯噶三角。当试验次数n较小时,可 直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出 来,应用十分方便。
7
杨辉三角 模式图
8
杨辉三角的意义:

①杨辉三角中每行有几个数字,表示展开式有 几项。当试验次数为n 时,有n+1项。 ②杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项 的系数大小。 ③杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有 规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、 第二项均为数字1,以后每下一行的首项及末 项均为1,中间各项为上一行相邻两项数字之 和。
常率与一般新生儿相同;
H1:π<π0 =0.01,即该地新生儿染色体异
常率低于一般新生儿; 单侧α=0.05
25
方法一:直接计算概率法

SAS 二项分布和泊松分布

SAS 二项分布和泊松分布

例2
某地新生儿先天性心脏病的发病概率为8‰,那么
该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率有 多大?至多有4人患先天性心脏病的概率有多大? 至少有5人患先天性心脏病的概率有多大?
程序: DATA exam7; m=120*0.008; p21= POISSON(m,4)- POISSON(m,3);/*恰好有4 人*/ p22=POISSON(m,4); /*至多4人*/ p23=1-POISSON(m,4); /*至少5人*/ PROC PRINT; RUN;


二项分布图形
0.4 0.3 p(x) 0.2 0.1 0.0 4 8 12 16 0 2 4 0 2 4 6 4 8 12 16 N= 20 =0.5 N= 5 =0.3 N= 10 =0.3 N= 30 =0.3
图 2 .1 二项分布示意图
二项分布特点


二项分布图的形态取决于与n,高峰在=n处。 当接近0.5时,图形是对称的;离0.5愈远, 对称性愈差,但随着n的增大,分布趋于对称。 当n→∞时,只要不太靠近0或1, 二项分布近 似于正态分布。
实验三 常用概率分布
目的要求:
1.了解SAS中的probbnml(二项分布)函数、
poisson函数和pdf函数的用法;
2.掌握二项分布、poisson分布概率函数式的计算
方法。
理论回顾
二项分布的应用条件:

观察结果是二分类变量,如阳性与阴性、治愈与 未愈、生存与死亡等;
每个观察对象发生阳性结果的概率固定为,发 生阴性结果的概率为1-; 各个观察对象的结果是相互独立的。
程序:
DATA exam6;
n=150;prob=0.13;
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