5知识讲解_正弦函数的图象与性质_基础

举一反三：
【变式
1】已知
x
2
,
3 2
，解不等式
sin
x
3
．
2
【解析】画出函数
y=sin
x，
x
2
,
3 2
的图象，画出函数
y
3
的图象，如下图，两函数的
2
图象交于
A、B
两点，其中
A
3
,
3 2
，
B
4 3
,
3 2
，故满足
sin
x
3
的 x 的取值范围是
2
3
,
4 3
．
例 3．（1）方程 lg x sin x 的解的个数为（ ）
类型五：函数奇偶性的判断 例 6．判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) 1 sin x cos x 1 sin x cos x
（2） f (x) 2sin x 1 ；
【思路点拨】判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，再判断 f (x) 与 f (x) 的关系．
（1）当 x 时，1 sin x cos x 2 ，分母有意义； 2
y 2 1,1 ，
y 1
y y
2 1
1,
即
y y
2 1
1,
5
y 3 或y 1 解得 2
y 1
y 3． 2
函数的值域为
3 2
,
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数 是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
利用三角函数线作出正弦函数在[0,2 ] 内的图象，再通过平移得到 y sin x 的图象．
3．五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到 正弦曲线在一个周期内的图象．
在 确 定 正 弦 函 数 y sin x 在 [0,2 ] 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若 0 x ，则 2x 与 3 sin x 的大小关系为（ ） 2
A． 2x 3sin x
B． 2x 3sin x
C． 2x 3sin x
D．与 x 的取值有关
【思路点拨】（1 ）作出 y lg x, y sin x 的函数图象，观察图象交点个数．（2 ）作出 y 2x 与
2
6
6
∴函数的定义域为
x
2k
6
x
2k
5 6
,
k
Z
．
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时， 要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
例 5．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x；
（2） y sin x 2 ． sin x 1
2
当
=2kπ-
，k∈Z 时，
f (x) =-cosx，
f
(x) 都是偶函数.
2
所以②和③都是正确的.无论 为何值都不能使 f (x) 恒等于零.所以 f (x) 不能既是奇函数又是偶函
数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①， +kπ(k∈Z)；或者④， +kπ(k∈Z)．
2
2
7
正弦函数的图象与性质 【学习目标】 1.借助单位圆，理解正弦线的概念及意义； 2.了解作正弦函数图象的三种方法，会用“五点法”作出正弦函数的图象；
3.理解正弦函数在区间[0,2 ] 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)．
【要点梳理】 要点一：单位圆中的正弦线
设任意角 的顶点在原点 O，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆 O 相交于点 P（x,y），过 P 作 PM 垂直 x 轴于 M，则线段 MP 叫作 的正弦线.
（1） y 1 时 x 的集合； 2
（2） 1 y
3
时 x 的集合．
2
2
【思路点拨】用“五点法”作出 y=sin x 的简图． 【解析】
（1）过
0,
1 2
点作
x
轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于
6
,
1 2
、
5 6
,
1 2
两点，在[0，2π]区间内， y
1
对称轴： 要点诠释：
x k k∈Z 2
（1）正弦函数的值域为1,1 ，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实
数，那么正弦函数的值域就可能不是1,1 ，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求
④对任意的 ， f (x) 都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当 =_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当 =2kπ，k∈Z 时， f (x) =sinx 是奇函数.
当 =2(k+1)π，k∈Z 时 f (x) sin x 仍是奇函数.
当
=2kπ+
，k∈Z 时，
f (x) =cosx，
y 3sin x 的函数图象，利用数形结合可得．
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1） 作出 y lg x 与 y sin x 的图象，当 x 5 时， y lg 5 1， y sin 5 1，
2
2
2
当 x 9 时， y lg 9 1， y lg x 与 y sin x 再无交点．如下图所示，由图知有三个交点，∴方程
【答案】（1）[1，5]（2）
3 2
,
【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函 数的值域为[1，5]．
（2）方法一：由 y sin x 2 ，得 sin x y 2
sin x 1
y 1
又sin x 1,1 ，
f (x) 是否等于 f (x) 或 f (x) ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式 1】关于 x 的函数 f (x) =sin(x+ )有以下命题：
①对任意的 ， f (x) 都是非奇非偶函数；
6
②不存在 ，使 f (x) 既是奇函数，又是偶函数；
③存在 ，使 f (x) 是奇函数；
【思路点拨】取[0, 2
]
上五个关键的点（0，2）、（
，1）、
( , 2)
、 (3
, 3)
、（2
，2）．
2
2
【解析】 找出五点，列表如下：
x
0
3
2
2
2
u sin x
0
1
0
－1
0
y=2－u
2
1
2
3
2
描点作图（如下图）．
2
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接
当 x 时，1 sin x cos x 0 ，分母无意义，可见函数的定义域不关于原点对称． 2
f (x) 为非奇非偶函数．
（2）由
2sin
x－1＞0，即
sin
x
1 2
，得函数定义域为
2k
6
,
2k
5 6
（k∈Z），此定义域在
x
轴上表示的区间不关于原点对称． ∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数． 【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证
2
2
有三个解．
4
（2）作图（如下图），观察函数
y1
2x ，
y2
3sin
x
在
0,
2
内的图象可知
2x
与 3sin
x 的大小关
系与 x 的取值有关．
类型三：正弦函数的定义域与值域
例 4．求函数 y lg(2sin x 1) 的定义域
【解析】依题意得 2sin x－1＞0，即 sin x 1 ，∴ 2k x 2k 5 （k∈Z），
(0,0),
(
,1),
(
,0),
(
3
,1),
(2
,0)
2
2
要点诠释：
熟记正弦函数图象起关键作用的五点．
要点三：正弦曲线
（1）定义：正弦函数 y sin x(x R) 的图象叫做正弦曲线．
（2）图象
要点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．
1
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如 x 0, 2 ，方程 lg x sin x 根的个数．
时
x
的集合为
x
x
5
．当
x∈R
时，若
y
1
，则 x 的集合为
2
6
6
2
x
6
2k
x
5 6
2k
,
k
Z
．
（2）过
0,
1 2
、
0,
3 2 两点分别作 x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与
正弦曲线交于
7 6
,
1 2
，
11 6
,
1 2
点和
3
,
3 2
，
起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
举一反三：
【变式 1】用“五点法”作出函数 y=－sin x（0≤x≤2π）的简图：