高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试508

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普通高等学校招生国统一考试数学理试题国卷,含答案试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔全国卷，含答案〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1至2页，第二卷第3至第4页。

在考试完毕之后，必须将试卷和答题卡一并上交。

第一卷考前须知：全卷满分是150分，考试时间是是120分钟。

考生考前须知：1.在答题之前，考生在答题卡上必须用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号填写上清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

一、选择题〔1〕复数131i i-+=+ 〔A 〕2i + 〔B 〕2i - 〔C 〕12i + 〔D 〕12i -〔2〕集合{A =，{1,}B m =，A B A =，那么m =〔A 〕0〔B 〕0或者3 〔C 〕1〔D 〕1或者3 〔3〕椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，那么该椭圆的方程为〔A 〕2211612x y += 〔B 〕221128x y += 〔C 〕22184x y += 〔D 〕221124x y +=〔4〕正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，那么直线1AC 与平面BED 的间隔为〔A 〕2 〔B〔C〔D 〕1〔5〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，那么数列11{}n n a a +的前100项和为〔A 〕100101 〔B 〕99101 〔C 〕99100 〔D 〕101100〔6〕ABC ∆中，AB 边的高为CD ，假设CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，那么AD =〔A 〕1133a b - 〔B 〕2233a b - 〔C 〕3355a b - 〔D 〕4455a b - 〔7〕α为第二象限角，sin cos 3αα+=，那么cos2α= 〔A〕3- 〔B〕9- 〔C〕9 〔D〕3〔8〕1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，那么12cos F PF ∠=〔A 〕14 〔B 〕35 〔C 〕34 〔D 〕45〔9〕ln x π=，5log 2y =，12z e -=，那么〔A 〕x y z << 〔B 〕z x y << 〔C 〕z y x << 〔D 〕y z x << 〔10〕函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公一共点，那么c =〔A 〕2-或者2 〔B 〕9-或者3 〔C 〕1-或者1 〔D 〕3-或者1 〔11〕将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，那么不同的排列方法一共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，37AE BF==。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及含答案 (2)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、若z ⋅（：则复数z 对应的点在复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知直二面角l αβ--：直线a α⊂：直线b β⊂：且a 、b 与l 均不垂直：那么（）A ．a 与b 可以垂直：但不可以平行B ．a 与b 可以垂直：也可以平行C ．a 与b 不可以垂直：也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直：但可以平行3、已知a 、b 均为非零向量：命题p ：a b ⋅ ＞0：命题q ：a 与b的夹角为锐角：则p 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为.()A 、-2B 、-1C 、0D 、25、已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则OC AB⋅的值为()A 、15-B 、15C 、65-D 、656.已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为（）A ．6或5B ．-1或4C ．6或-1D ．4或57.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是（）A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）8.函数12cos 2-=x y 的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．π219.函数)4π(cos )4π(cos 22--+=x x y 是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数10.sin2·cos3·tg4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在11.直线y ＝ax ＋b 通过一、三、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝r2(r ＞0)的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12.数列{an}是等差数列的一个充要条件是()A ．Sn ＝an ＋bB ．Sn ＝an2＋bn ＋cC ．Sn ＝an2＋bn(a ≠0)D ．Sn ＝an2＋bn二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1、如果∆ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则B 一定等于______.2、已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为______.3、三个数2，x ，10成等差数列，则=x ______4、已知b kx x f +=)(，且1)1(=-f ，3)2(=-f ，则=k ______，=b ______三、大题：(满分70分)1、已知函数3()x x b f x x++=，{}n a 是等差数列，且2(1)a f =，3(2)a f =，4(3)a f =．（1）求{}n a 的前n 项和；（2）求()f x 的极值．2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR长度的最小值．5、设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直.(1)求a 的值;(2)若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21ln .().41ni i n N i =<∈-∑6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值.参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDADA 6-10题答案:CDBBA 11-12题答案:BD 二、填空题：1、︒60;2、3；3、6；4、-2,-1.三、大题：1、【解析】（1）由3()x x b f x x++=得211(1)21ba fb ++===+，3322(2)522b b a f ++===+，3433(3)1033b ba f ++===+，由于{}n a 为等差数列，∴2432a a a +=，即(2)(10)2(5)32b b b +++=+，解得6b =-，∴22624a b =+=-+=-，3655222b a =+=-+=，461010833b a =+=-+=，设数列{}n a 的公差为d ，则326d a a =-=，首项1210a a d =-=-，故数列{}n a 的通项公式为1(1)616n a a n d n =+-=-，∴数列{}n a 的前n 项和为21()(10616)31322n n n a a n n S n n +-+-===-；（2）法一（导数法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，332226262(3)()2x x f x x x x x ++'=+==，当330x +<，即33x <-()0f x '<，函数()f x 在3(,3)-∞上单调递减，当330x +>，即33x >-时，()0f x '>，函数()f x 在3(3,)-+∞上单调递增，故函数()f x 在33x =-极小值为533(3)31f -=+，无极大值．法二（基本不等式法）：33266()1(0)x x b x x f x x x x x x +++-===-+≠，当0x >时，26()1f x x x =-+为单调递增函数，故()f x 在(0,)+∞上无极值．当0x <时，则6x ->，∴22223663333()1()()1()()()13()()()1f x x x x x x x x x x x =-+=-++=-+++≥-+----- 532333131==+，当且仅当23()x x-=-，即33x =综上所述，函数()f x 在33x =533(3)31f -=+，无极大值．【评注】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和、函数单调性及应用，数列与函数进行结合考查，综合性较强，属于中档题．2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,0,10B C F t ，，，，1,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z =11010222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分121|cos ,|2n n <>==,所以29,3t t ==----10分所以()1,CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y a my x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.参考答案：解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f 由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a .(2)1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x =--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=---6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.----8分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立.----9分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根1102x m -=>，1112x m +=>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥.--------10分(3)由(2)知,当1>x 时,21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-，则221121214ln212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭，()()*21[ln 21ln 21]441k k k k N k +--<∈-11()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ --12分累加可得*211ln(21).().441ni i n n N i =+<∈-∑*21).41ni i n N i =<∈-∑6.解(1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2，由4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72，得4cos2A 2－cos2A ＝72，即2(1＋cosA)－(2cos2A －1)＝72，整理得4cos2A －4cosA ＋1＝0，即(2cosA －1)2＝0.∴cos A ＝12，又0°<A<180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc，即b2＋c2－a22bc ＝12，∴b2＋c2－bc ＝3，①又b ＋c ＝3，②∴b2＋c2＋2bc ＝9.③①－③整理得：bc ＝2.④＝1，＝2，＝2，＝1.。

(全国II)普通高等学校招生全国统一考试试题(理科数学)

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A B 、互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ）211(0)x y ex +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ）{}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位（8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + （9）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试附答案501

高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。

高考模拟复习试卷试题模拟卷一．基础题组1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理2）双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（） A ．4B ．2 C ．12 D ．14【答案】A考点：双曲线的性质2.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（）A ．22126x y -=B ．22162x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -= 【答案】C 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程是b y x a =±，故可知3ba=又∵焦点坐标为（2,0），∴222c a b +=，解得,13a b ==. 考点：双曲线的几何性质.3.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理2）抛物线2=4x y 上的点到其焦点的最短距离为（） A.4 B.2 C.1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：由已知焦点为)1,0(，故抛物线上的点到焦点的距离为12)1(222++=-+=y y y x d11)1(2≥+=+y y ，当然也可作图，利用抛物线的定义考点：抛物线4.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理6）若双曲线22221x y a b-=的离心率为52，则其渐近线方程为（）.2A y x =±.4B y x =±1.2C y x =±1.4D x ±【答案】C考点：双曲线的性质．5.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理3）椭圆124322=+y x 的离心率为. 【答案】21【解析】试题分析：因为124322=+y x ，所以13422=+y x ，所以1,3,2===c b a 所以椭圆的离心率21=e . 考点：椭圆的性质.6.（北京市西城区高三一模考试理10）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点是抛物线28y x =的焦点，且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为____.【答案】2213y x -=【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点为(2,0)，所以2c =，又双曲线 C 的离心率为2，所以1,3a b ==，因此双曲线C 的方程为2213y x -=考点：双曲线方程7.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a =．【答案】255考点：1.抛物线的定义;2.双曲线的标准方程.8.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理18）已知点M 为椭圆的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．【答案】（Ⅰ）12e =;12(1,0),(1,0)F F -;（Ⅱ）过定点(4,0)-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c 即可；（Ⅱ）设出直线AB 的方程y kx m =+与椭圆方程联立，由斜率这积为14得到,k m 的关系式，可验证直线是否过定点.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2,3,1a b c ===．故离心率为12，焦点坐标为12(1,0),(1,0)F F -．（Ⅱ）由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，则所以()()22222412841424403434m kmk km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-．当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =-代入判别式大于零中，解得1122x -<<．当2m k =-时，直线AB 的方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意．故直线AB 过定点(4,0)-．考点：1.椭圆的几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.9.（北京市东城区高三5月综合练习（二）理19）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为3C 上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2||||2||AM AN OP ⋅=．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）证明见解析.所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．……………………………5分（Ⅱ）设直线AM的方程为：(2)y k x=+，则(0,2)N k．由22(2)44,y k xx y=+⎧⎨+=⎩，得2222(1+4)161640k x k x k++-=（*）．设(2,0)A-，11(,)M x y，则2-，1x是方程（*）的两个根，所以2122814kxk-=+．所以222284(,)1414k kMk k-++．22222228284||()()1414k k kAMk k-++=+++2222161641(14)k kk++==+．22||4421AN k k=+=+．2222241218(1)||||1414k k kAM ANk k+⋅++==++．设直线OP 的方程为：y kx =．由 2244,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22(14)40k x +-=．设00(,)P x y ，则202414x k =+，2202414k y k =+．所以22244||14k OP k +=+，222882||14k OP k +=+．所以2||||2||AM AN OP ⋅=． ……………13分考点：1.椭圆的标准方程;2.韦达定理.10.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）22k =±得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=，即2222(,)4141k M k k --++．设3(0,)N y ，则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++，∵M ，N 关于直线l 对称， ∴MN 的中点在直线l 上， ∴3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -．由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，∴222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得2k =±． ……………………14分考点：椭圆和抛物线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理.11.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理16）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。

2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)含答案解析

绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|x=3k+1,k∈Z}，B={x|x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A⋃B)=( )A. {x|x=3k,k∈Z}B. {x|x=3k−1,k∈Z}C. {x|x=3k−2,k∈Z}D. ⌀2.若复数(a+i)(1−ai)=2，a∈R，则a=( )A. −1B. 0C. 1D. 23.执行下面的程序框图，输出的B=( )A. 21B. 34C. 55D. 89第1页，共18页4.向量|a⃗|=|b⃗⃗|=1，|c⃗⃗|=√ 2，且a⃗⃗+b⃗⃗+c⃗⃗=0⃗⃗，则cos〈a⃗⃗−c⃗⃗，b⃗⃗−c⃗⃗〉=( )A. −15B. −25C. 25D. 455.已知等比数列{a n}中，a1=1，S n为{a n}前n项和，S5=5S3−4，则S4=( )A. 7B. 9C. 15D. 306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√ 5，其中一条渐近线与圆(x−2)2+(y−3)2=1交于A，B两点，则|AB|=( )A. 15B. √ 55C. 2√ 55D. 4√ 559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )A. 120B. 60C. 40D. 3010.已知f(x)为函数y=cos(2x+π6)向左平移π6个单位所得函数，则y=f(x)与y=12x−12的交点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，则△PBC的面积为( )A. 2√ 2B. 3√ 2C. 4√ 2D. 5√ 212.已知椭圆x29+y26=1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2=35，则|PO|=( )A. 25B. √ 302C. 35D. √ 352第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

普通高等学校招生国统一考试数学理试题卷,含答案试题_1_00001

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数学〔理工类〕本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第Ⅱ〔非选择题〕两局部，一共150分，考试用时120分钟。

第一卷1至3页，第二卷4至6页。

答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上，并在规定的指定正确位置粘贴考试用条形码。

答卷时，所有考生必须将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：·1、每一小题在选出答案以后，用铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷一共8小题，每一小题5分，一共40分参考公式：假如事件 A ，B 互斥，那么 ·假如事件 A ，B 互相HY ， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第一卷考前须知：本卷一共8小题，每一小题5分，一共40分.一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 〔1〕全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，那么集合 A ∩C u B=〔A 〕{}2,5 〔B 〕{}3,6 〔C 〕{}2,5,6 〔D 〕{}2,3,5,6,8〔2〕设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么目的函数6z x y =+的最大值为〔A 〕3〔B 〕4〔C 〕18〔D 〕40〔3〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出S 的值是〔A 〕10- 〔B 〕6〔C 〕14〔D 〕18〔4〕设x R ∈ ，那么“21x -< 〞是“220x x +-> 〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔5〕如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .假设2,4,3CM MD CN === ，那么线段NE 的长为〔A 〕83 〔B 〕3〔C 〕103 〔D 〕52〔6〕双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y = 的准线上，那么双曲线的方程为〔A 〕2212128x y -= 〔B 〕2212821x y -=〔C 〕22134x y -= 〔D 〕22143x y -=〔7〕定义在R 上的函数()21x mf x -=- 〔m 为实数〕为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，那么,,a b c 的大小关系为〔A 〕a b c << 〔B 〕a c b << 〔C 〕c a b << 〔D 〕c b a <<〔8〕函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，假设函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，那么b 的取值范围是〔A 〕7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ 〔B 〕7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭〔C 〕70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔D 〕7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷考前须知：1、用黑色墨水的钢笔或者签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷一共12小题，一共计110分.二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分. 〔9〕i 是虚数单位，假设复数()()12i a i -+ 是纯虚数，那么实数a 的值是 .〔10〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m 〕，那么该几何体的体积为 3m .〔11〕曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .〔12〕在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .〔13〕在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 那么a 的值是 .〔14〕在等腰梯形ABCD 中,//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC和DC上,1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==且则的最小值为 . 三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．15.〔本小题满分是13分〕函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. 〔本小题满分是13分〕为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加.现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名；乙协会的运发动5名，其中种子选手3名.从这8名运发动中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. 〔本小题满分是13分〕如图，在四棱柱1111ABCDA B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5ACAA AD CD,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD (II)求二面角11D AC B 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，假设直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. 〔本小题满分是13分〕数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. 〔本小题满分是14分〕椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为F -c （,0）,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b xy截得的线段的长为c ，(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，假设直线FP ，求直线OP 〔O 为原点〕的斜率的取值范围.20. 〔本小题满分是14分〕函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)假设关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21a x x n.绝密★启用前2021年普通高等招生全套统一考试〔卷〕数学〔理工类〕参考解答一、选择题：此题考察根本知识和根本运算。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)含部分答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试卷（全国甲卷）一、选择题1．若，则( )5i z =+i()z z +=A. B. C.10D.-210i2i2．已知集合，，则( ){1,2,3,4,5,9}A={}B A =()A A B = ðA. B. C. D.{1,4,9}{3,4,9}{1,2,3}{2,3,5}3．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为( )4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5z x y =-724．记等差数列的前n 项和，若，，则( )n S {}n a 510S S =51a =1a =7115．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率(0,4)(0,4)-(6,4)-为( )6．设函数在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的()f x =()y f x =(0,1)面积为( )7．函数在区间的大致图像为( )()2e e sin xx y x x -=-+-[ 2.8,2.8]-A. B.C. D.( )=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B.19．已知向量，，则( )(1,)x x =+a (,2)x =b A.是的必要条件 B.是的必要条件3x =-⊥a b 3x =-//a bC.是的充分条件D.是的充分条件0x =⊥a b 1x =-+//a b 10．设，为两个平面，m ，n 为两条直线，且.下述四个命题：αβm αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则或m n ⊥n α⊥n β⊥③若且，则//n α//n β//m n④若n 与，所成的角相等，则.αβm n ⊥其中所有真命题的编号是( )A.①③B.②④C.①②③D.①③④11．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则ABC △60B =︒294b ac =( )sin sin A C +=12．已知b 是a ，c 的等差中项，直线与圆交于A ，B 两点，则0ax by c ++=22410x y y ++-=A.1B.2C.4D.二、填空题13．的展开式中，各项系数中的最大值为_________.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，1r 2r ()212r r -，则圆台甲与乙的体积之比为_________.()213r r -15．已知_________.a >1log 4a -==16．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =p >+）12.247≈附：2K =（1）求的通项公式；{}n a（2）设，求数列的前n 项和.1(1)n n n b na -=-{}n b n T 19．如图，已知，//AB CD，，，//CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =点.（1）证明：平面BCF ；//EM （2）求二面角的正弦值.A EM B --20．已知函数.()(1)ln(1)f x ax x x =-+-（1）若，求的极值；2a =-()f x （2）当时，，求a 的取值范围.0x ≥()0f x ≥21．设椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴.2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭MF x ⊥（1）求C 的方程；（2）过点的直线交C 于A ，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q .证(4,0)P 明：轴.AO y ⊥22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.cos 1ρρθ=+（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：（t 为参数），若C 与l 相交于A ，B 两点，且，求a .,x t y t a=⎧⎨=+⎩||2AB =23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足.3a b +≥（1）证明：；2222a b a b +>++-≥b b a226答案1．答案：A解析：因为，所以，故选A.5i z =+i()10i z z +=2．答案：D解析：因为，，所以，{1,2,3,4,5,9}A ={}{1,4,9,16,25,81}B A ==(){2,3,5}A A B = ð故选D.3．答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：，和，经检验都符合约束条件.代(0,1)-3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2⎛⎫⎪⎝⎭入目标函数可得：min z =4．答案：B解析：因为，所以，，又因为，所以公差510S S =718S S =80a =51a =d =187a a d =-=5．答案：C 解析：，故选C.12212F F c e a PF PF ===-6．答案：A解析：因为，所以，，563y x '=+3k =31y x =-11123S =⨯⨯=7．答案：B 解析：8．答案：B，故选=1α=πtan 1141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭B.9．答案：C解析：，则，解得：或-3，故选C.⊥a b (1)20x x x ++=0x =10．答案：A 解析：11．答案：C解析：因为，所以B =294ac =24sin sin sin 9A C B ==，即：，22294b a c ac ac =+-=22134a c ac +=22sin sin A C +=222(sin sin )sin sin 2sin sin A C A C A C+=++=sin A +12．答案：C解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以，直线恒过.当20a b c -+=0ax by c ++=(1,2)P -，，故选C.PC ⊥|1PC =||4AB =13．答案：5解析：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：、、、、55101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭46101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭37101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算可得：系数的最大值为.19101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭h h ===15．答案：64，所以，而，221315log log 4log 22a a a -=-=-()()22log 1log 60a a +-=1a >故，.2log 6a =64a =解析：记前三个球的号码分别为a 、b 、c ，则共有种可能.令36A 120=可得：，根据对称性：或6时，2||0.5236a b a b c a b cm n ++++-=≤-=-|2|3a b c +-≤1c =均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有2c =3c =56种可能，56120P ==17．答案：（1）没有的把握99%（2）有优化提升解析：（1），没有的把握；22150(70242630) 6.635965450100x ⨯-⨯=<⨯⨯⨯99%p >+18．答案：（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31n n T n =-+解析：（1）因为，所以，434n n S a =+11434n n S a ++=+两式相减可得：，即：，11433n n n a a a ++=-13n n a a +=-又因为，所以，11434S a =+14a =故数列是首项为4，公比为-3的等比数列，；{}n a 14(3)n n a -=⋅-（2）解法1：，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅所以，.()012141323333n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12334(1323)333n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减可得：，()12113241333343(24)3213n n nn n n T n n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭.(21)31n n T n =-+解法2：，所以，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅1143n n n T T n --=+⋅两边同时减去可得：，(21)3nn -11(21)3(23)3n n n n T n T n ----=--故为常数列，即：，.{}(21)3n n T n --(21)31n n T n --=(21)31n n T n =-+19．答案：（1）证明见解析解析：（1）由题意：，，//EF CM EF CM =而平面，平面ADO ，CF ÜADO EM Ú所以平面BCF ；//EM（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则，，，，OA DM ⊥OE DM⊥3OA =OE =AE =故.OA OE ⊥以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，(0,0,3)A E (0,1,0)M (0,2,3)B 3)AE =- (EM =，(0,1,3)MB =设平面AEM 的法向量为，(,,)n x y z =由可得：，00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩300z y -=+=⎪⎩令，则，1z =,1)3n =同理：取平面BEM 的法向量为，1)m =-则cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,m n 〈〉= 故二面角A EM B --20．答案：（1）极小值为，无极大值(0)0f =（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析：（1）当时，，.2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-1x >-时，，当时，，()2ln(1)f x x =+0>()0f x >10x -<<()0f x <所以在上递增，()f x (-)+∞故的极小值为，无极大值；()f x (0)0f =（2），()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()ln(1)f x a x =-+-令，则.()()g x f x =21()1(1)a a g x x x +'=--++因为当时，，且，，0x ≥()0f x ≥(0)0f =(0)0f '=所以，(0)120g a '=--≥a ≤当，在上递增，a ≤2211()02(1)2(1)2(1)x g x x x x '≥-=≥+++()g x [0,)+∞，()()(0)0g x f x g =≥=故在上递增，恒成立，即a 的取值范围为.()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦213y =（2）证明见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为，.F 23||2MF =因为，MF ⊥1MF =1||4a MF MF =+=解得：，，24a =2213b a =-=；213y =（2）解法1：设，，，()11,A x y ()22,B x y ,AP PB λ=则，即.12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212144x x y y λλ=+-⎧⎨=-⎩又由可得，()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-结合上式可得.25230x λλ-+=，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭222122335252Q y y y y y x x λλλ===-=--AQ y ⊥解法2：设，，()11,A x y (22,B x y =()1221214y x y y y -=-所以()()2222122112211221x y x y x y x y x y x y -+=-，()()()()22221221212121122144444433y y y y y y y y y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：，.122121x y x y y y +=+2112253x y y y =-，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21212112335252Q y y y y y x y y x ===--AQ y ⊥22．答案：（1）221y x =+（2）34a =解析：（1）因为，所以，cos 1ρρθ=+22(cos 1)ρρθ=+故C 的直角坐标方程为：，即：；222(1)x y x +=+221y x =+（2）将代入可得：，x t y t a=⎧⎨=+⎩221y x =+222(1)10t a ta +-+-=，解得.2||2AB t ===34a =23．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以；3a b +≥22222()a b a b a b +≥+>+222222222222()b b a a b b a a b a b +-≥-+-=+-+.22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥。

高考卷,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试数学试题及答案（理）_99 年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分 . 满分 _0 分. 考试时间 _0 分钟 . 第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 _小题；第 1～ _题每题 4 分，第 _～ _题每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 1. 如图， I 是全集， M、P、S 是 I 的 3 个子集，则暗影部分所表示的会合是( ) (A)（M∩P）∩S (B)（M∩P）∪ S (C)（M∩P）∩(D) （M∩P）∪ 2. 已知映照：，此中，会合会合 B 中的元素都是 A 中元素在映照下的象，且对随意的在 B 中和它对应的元素是，则会合 B 中元素的个数是 ( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 3.若函数的反函数是，则等于( ) (A) a (B) (C) (D)4. 函数在区间上是增函数，且则函数在上( ) (A)是增函数(B)是减函数能够获得最大值 M (D)能够获得最小值5. 假如周期为的奇函数，则能够是 ( (B) (C) (D)6. 在极坐标系中，曲线对于 ( ) (A)直线轴对称(B)直线轴对称(C) ) (A) (C)点中心对称 (D)极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为的圆柱形器皿中，量得水面的高度为，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( ) (A) (B) (C) (D) 8.若则的值为()(A)1(B)－1 (C) 0 (D) 2 9.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为( ) (A) (B) (C) (D) _.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3 的正方形，EF∥A B，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为( ) (A) (B) 5 (C) 6 (D) _.若则( ) (A) (B) (C) (D)_. 假如圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么 R= ( ) (A) _ (B) _ (C) _ (D) 25 _.已知两点给出以下曲线方程：① ② ③ ④在曲线上存在点 P 知足 |MP|=|NP| 的全部曲线方程是( ) (A)①③(B)②④ (C)①②③ (D)②③④ _.某电脑用户计划使用不超出5_元的资本购置单价分别为 60 元、 70 元的单片软件和盒装磁盘，依据需要，软件起码买 3 片，磁盘起码买 2 盒，则不一样的选购方式共有 ( ) (A) 5 种 (B) 6 种 (C) 7 种 (D) 8 种第 II 卷（非选择题共 90 分）二．填空题：本大题共 4 小题；每题 4 分，共 _分，把答案填在题中横线上. _. 设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦长等于点到的距离，则椭圆的率心率是_____ _. 在一块并排 _垄的田地中，选择 2 垄分别栽种 A、B 两种作物，每种作物栽种一垄，为有益于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不一样的选垄方法共有 ___________种（用数字作答）_. 若正数、知足则的取值范围是______________ _. 、是两个不一样的平面，、是平面及以外的两条不一样直线，给出四个论断：①⊥ ②⊥ ③⊥ ④⊥ 以此中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题：________________________________三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . _. （本小题满分 _分）解不等式 _. （本小题满分 _分）设复数求函数的最大值以及对应的值 . _. （本小题满分 _分）如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面∥，且面与底面所成的角为Ⅰ. 求截面的面积；Ⅱ. 求异面直线与AC之间的距离；Ⅲ. 求三棱锥的体积 . _.（本小题满分_分）右图为一台冷轧机的表示图 . 冷轧机由若干对轧辊构成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐渐减薄后输出 . Ⅰ. 输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超出 . 问冷轧机起码需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率）Ⅱ.已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 _%的轧辊，全部轧辊周长均为 __若第对轧辊出缺点，每转动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为为了便于检修，请计算、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑消耗） . 轧锟序号 1 2 3 4 疵点间距（单位：）__ 23.（本小题满分_分）已知函数的图像是自原点出发的一条折线，当时，该图像是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义 .Ⅰ.求、和的表达式；Ⅱ. 求的表达式，并写出其定义域；Ⅲ. 证明：的图像与的图像没有横坐标大于 1 的交点 . 24. （本小题满分 _分）如图，给出定点和直线是直线上的动点，的角均分线交于点. 求点的轨迹方程，并议论方程表示的曲线种类与值的关系. _99年一般高等学校招生全国一致考试数学试题（理工农医类）参照解答一、选择题（此题考察基础知识和基础运算）.二、填空题（此题考察基本知识和基本运算）._._.__._.或三、解答题_.本小题主要考察对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考察分类讨论的思想 . ① ② ③解：原不等式等价于由①得由②得或，由③得由此得或当时得所求的解是；当时得所求的解是_. 本小题主要考察复数的基本观点、三角公式和不等式等基础知识，考察综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由得由得及故因为所以当且仅当时，即时，上式取等号.所以当时，函数获得最大值由得因为在内正切函数是递加函数，函数也取最大值_. 本小题主要考察空间线面关系、二面角和距离的观点，逻辑思想能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ.解：如图，连结 BD交 AC于 O，连接 EO 因为底面 ABCD是正方形，所以 DO⊥AC 又因为 ED⊥底面 AC，因为 EO⊥AC 所以∠ EOD是面 EAC与底面 AC所成二面角的平面角 . 所以故II.解：由题设是正四棱柱，得⊥底面 AC，⊥ AC，又⊥ 所以是异面直线与 AC间的公垂线 . 因为∥面 EAC，且面与面 EAC交线为 EO 所以∥ EO 又 O是 DB的中点，所以 E 是的中点， =2EO =2 所以异面直线与 AC间的距离为Ⅲ. 解法一：如图，连接因为 =DB= 所以是正方形，连接交于 P，交 EO于 Q 因为⊥，EO∥，所以⊥ EO 又 AC⊥EO，AC⊥ED 所以 AC⊥面，所以⊥ AC，所以⊥面 EAC. 所以是三棱锥的高 .由 DQ=PQ，得所以所以三棱锥的体积是解法二：连接，则因为AO⊥面，所以AO是三棱锥的高， AO 在正方形中， E、O分别是、 DB的中点（如右图），则∴所以三棱锥的体积是_.本小题主要考察等比数列、对数计算等基本知识，考察综合运用数学知识和方法解决实质问题的能力.Ⅰ.解：厚度为的带钢经过减薄率均为的对轧辊后厚度为为使输出带钢的厚度不超出，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应知足即因为对照上式两头取对数，得因为所以所以，起码需要安装不小于的整数对轧辊 .Ⅱ.解法一：第对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为宽度而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为宽度.因宽度相等，且无消耗，由体积相等得即由此得填表以下轧锟序号 1 2 3 4疵点间距（单位：）3_5 25_ _ __解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有所以同理填表以下轧锟序号1234疵点间距（单位：）3_5 25_ _ __ 23.本小题主要考察函数的基本观点、等比数列、数列极限的基础知识，考察概括、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意，又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由得又由，当时，函数的图像是斜率为的线段，故由，即得记由函数图像中第段线段的斜率为，故得又；所以由此知数列为等比数列，其首项为 1，公比为因得即Ⅱ. 解：当，从Ⅰ可知当时，当时，即当时，由Ⅰ可知为求函数的定义域，须对进行议论 . 当时，；当时，也趋势于无量大 .综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为 . Ⅲ. 证法一：第一证明当，时，恒有建立 . 用数学概括法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当时 , 在上 , 所以建立（ⅱ）假定时在上恒有建立 . 可得在上 , 所以也建立 . 由( ⅰ) 与( ⅱ) 知 , 对全部自然数在上都有建立 . 即时, 恒有. 其次，当, 仿上述证明 , 可知当时 , 恒有建立 . 故函数的图像与的图像没有横坐标大于 1 的交点 . 证法二 : 第一证明当 , 时 , 恒有建立 . 对随意的存在 , 使，此时有所以又所以，所以，即有建立 . 其次，当，仿上述证明，可知当时，恒有建立 . 故函数的图像与的图像没有横坐标大于 1 的交点 . 24. 本小题主要考察曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技术和综合运用数学知识解决问题的能力 . 解法一：依题意，记则直线 OA和 OB的方程分别为和设点，则有，由OC均分∠ AOB，知点 C到 OA、OB距离相等 . 依据点到直线的距离公式得①依题设，点 C在直线 AB上，故有由，得②将②式代入①式得整理得若，则；若，则，点 C的坐标为（ 0，0），知足上式 . 综上得点 C的轨迹方程为（ⅰ）当时，轨迹方程化为③ 此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当时，轨迹方程化为④ 所以，当时，方程④表示椭圆弧段；当时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是与轴的交点，过点 C作 CE⊥轴， E 是垂足 . （ⅰ）当 | BD | ≠0时，设点 C（，），则由 CE∥BD得因为∠ COA=∠COB=∠COD－∠ BOD=－∠ COA－∠ BOD，所以 2∠COA=－∠BOD所以因为所以整理得（ⅱ）当 | BD | = 0 时，∠ BOA= ，则点 C的坐标为（ 0，0），知足上式 . 综合（ⅰ），（ⅱ），得点 C的轨迹方程为以下同解法一 .高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学试题（文史类）高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试数学（全国Ⅰ·理科）（附答案，完整word 版）高考卷 , 一般高等学校招生全国一致考试, 理科数学（山东卷）（附答案，完整 word 版）高考卷 ,_, 一般高等学校招生全国一致考试数学（福建卷·理科）（附答案，完全 word 版）高考卷 ,_ 一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷．理）含详解。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷试题及答案

202X 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和卷子指定位置上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本卷子上无效。

3．考试结束后，将本卷子和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，完成翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.假设3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.假设()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点〔–2，0〕且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．假设g 〔x 〕存在2个零点，则a的取值范围是 A ．[–1，0〕B ．[0，+∞〕C ．[–1，+∞〕D ．[1，+∞〕10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的地域记为Ⅰ，黑色局部记为Ⅱ，其余局部记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .假设OMN △为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A 33B 23C 32D 3 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

普通高等学校招生国统一考试数学理试题卷,含答案_1

2021年普通高等招生全国统一考试数学(理)(卷)本套试卷一共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生必须将答案答在答题卡上.在试卷上答题无效.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.第一局部(选择题一共40分)一、选择题一共8小题。

每一小题5分.一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合胜目要求的一项.1.集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜那么A∩B=( )A．〔﹣∞，﹣1〕 B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.〔3，＋∝〕2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.那么此点到坐标原点的间隔大于2的概率是〔〕A. B. C. D.3.设a，b∈R.“a=O〞是‘复数a+bi是纯虚数〞的〔〕4.执行如下图的程序框图，输出的S值为〔〕A. 2B .4D. 165.如图. ∠ACB=90º。

CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.那么( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²·EB=CD ²中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三梭锥的三视图如下图，该三梭锥的外表积是〔〕A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如下图.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。

m值为〔〕第二局部(非选择题一共110分)二.填空题一共6小题。

每一小题5分。

一共30分.(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为10.﹛﹜等差数列=，=，那么=△ABC中，假设α=2，b+c=7,=-，那么b==4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。

普通高等学校招生国统一考试数学试题理卷,含答案试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学试题理〔卷〕本套试卷一共5页，150分。

考试时长120分钟。

所有考生必须将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

第一局部〔选择题一共40分〕一、选择题一共8小题，每一小题5分，一共40分。

在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项。

〔1〕集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，那么A B=〔A〕{0，1} 〔B〕{–1，0，1}〔C〕{–2，0，1，2} 〔D〕{–1，0，1，2}〔2〕在复平面内，复数11i的一共轭复数对应的点位于〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限〔3〕执行如下图的程序框图，输出的s值为〔A〕12〔B〕56〔C 〕76〔D 〕712〔4〕“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为〔A 〕32f 〔B 〕322f 〔C 〕1252f〔D 〕1272f〔5〕某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3〔D 〕4〔6〕设a ，b 均为单位向量，那么“33-=+a b a b 〞是“a ⊥b 〞的〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔7〕在平面直角坐标系中，记d 为点P 〔cos θ，sin θ〕到直线20x my --=的间隔，当θ，m 变化时，d 的最大值为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4〔8〕设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤那么〔A 〕对任意实数a ，(2,1)A ∈〔B 〕对任意实数a ，〔2，1〕A ∉〔C 〕当且仅当a <0时，〔2，1〕A ∉ 〔D 〕当且仅当32a ≤时，〔2，1〕A ∉ 第二局部〔非选择题一共110分〕二、填空题一共6小题，每一小题5分，一共30分。

普通高等学校招生国统一考试数学理试题卷, 试题

2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕〔理科〕本试题包括选择题，填空题和解答题三局部，一共6页，时间是120分钟，满分是150分.一.选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，贼每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项复合题目要求的. 1.()211i i z -=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z =〔〕 A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.设A,B 是两个集合，那么〞AB A =〞是“A B ⊆〞的〔〕3.执行如图1所示的程序框图，假如输入3n =，那么输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.49,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么3z x y =-的最小值为〔〕A.-7B.-1 C()ln(1)ln(1)f x x x =+--，那么()f x 是〔〕A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，那么a =〔〕 A.3 B.3- C.6 D-6 7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，那么落入阴影局部〔曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线〕的点的个数的估计值为〔〕A.2386B.2718C.3413D.47728.点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.假设点P 的坐标为〔2,0〕，那么PA PB PC ++的最大值为〔〕A.6B.7 C()2f x isn x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，假设对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，那么ϕ=〔〕 A.512π B.3π C.4π D.6π10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为〔材料利用率=新工件的体积原工件的体积〕〔〕 A.89π B.169πC.34(21)π-D.312(21)π-二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.11.20(1)x dx ⎰-= . 12.在一次马拉松比赛中，35名运发动的成绩〔单位：分钟〕的茎叶图如图4所示.假设将运发动按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，那么其中成绩在区间[139,151]上的运发动人数是 .13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，假设C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，那么C 的离心率为 .n S 为等比数列{}n a 的前项和，假设11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，那么n a = .15.32,(),x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，假设存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，那么的取值范围是 .三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：〔1〕0180MEN NOM ∠+∠=；〔2〕FE FN FM FO •=•〔Ⅱ〕直线5:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB •的值.〔Ⅲ〕设0,0a b >>，且11a b a b +=+. 〔1〕2a b +≥；〔2〕22a a +<与22b b +<不可能同时成立.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角?(1)证明：2B A π-=〔2〕求sin sin A C +的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖.〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上.〔1〕假设P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；〔2〕假设PQ//平面11ABB A ，二面角P-QD-A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.20.抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公一共弦的长为6〔1〕求2C 的方程；〔2〕过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向〔ⅰ〕假设||||AC BD =，求直线l 的斜率〔ⅱ〕设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形21.0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：〔1〕数列{()}n f x 是等比数列〔2〕假设211a e ≥-*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2024年高考全国甲卷理科数学真题试卷及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. l.设5z i =+,则()i z z +=( ) A.10iB.2iC.10D.2-2.集合1,2,3,4,9{}5,A =,{|}B x A =,则()A C A B =( ) A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( )A.12B.0C.52-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =( ) A.2-B.73C.1D.25.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.135B.137C.2D.36.设函数22sin ()1x e xf x x+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.16B.13C.12D.237.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为( )A. B.C. D.8. 已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 1B. 1C.2D. 19.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则( ) A.3x =-是a b ⊥的必要条件 B.3x =-是//a b 的必要条件 C.0x =是a b ⊥的充分条件D.1x =-+是//a b 的充分条件 10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ=下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥ ③若//n α且//n β,则//m n④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥. 其中所有真命题的编号是( ) A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2960,4B b ac ︒==,则sin sin A C +=( ) A.32B.12.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( ) A.1B.2C.4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______． 14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比=V V 甲乙____________. 15.已知1a >且8115log log 42a a -=-,则a =_______. 16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为_______. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下(1)填写如下列联表能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++18.(12分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+ (1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和n T 19.(12分)如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====FB =M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ; (2)求二面角F BM E --的正弦值.20.(12分)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴. (1)求C 的方程.(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴. 21.(12分)已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+- (1)若2a =-,求()f x 的极值.(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1.ρρθ=+ (1)写出C 的直角坐标方程.(2)设直线,:(x t l t y t a =⎧⎨=+⎩为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分) 已知实数,a b 满足 3.a b + (1)证明:2222a b a b +>+(2)证明:2222 6.a b b a -+-∣∣∣∣2024年全国甲卷理科数学参考答案使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. l.设5z i =+,则()i z z +=( ) A.10i B.2iC.10D.2-【答案】A【解析】因为5z i =+,所以()(55)10i z z i i i i +=-++=,故选A. 2.集合1,2,3,4,9{}5,A =,{|}B x A =,则()A C A B =( ) A.{1,4,9} B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}【答案】D【解析】因为1,2,3,4,9{}5,A =,{|}{1,4,9,16,25,81}B x A ==所以{}()2,3,5A C A B =,故选D.3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为( )A.12B.0C.52-D.72-【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图由5z x y =-可得1155y x z =- 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-则该直线截距取最大值时,z 有最小值此时直线1155y x z =-过点A 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭ 则min 375122z =-⨯=-. 故选D.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =( ) A.2- B.73C.1D.2【答案】B【解析】因为510S S =,所以788,0S S a ==,又因为51a =,所以公差1817,733d a a d =-=-=,故选B.5.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A.135B.137C.2D.3【答案】C【解析】1221||82||||106F F c e a PF PF ====--,故选C. 6.设函数22sin ()1x e xf x x+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+即该切线方程为13y x -=,即31y x令0x =,则1y =,令0y =,则13x故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.7.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故可排除D. 故选:B.8. 已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A. 1B. 1C.D. 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,tan 1⇒α=所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭故选:B.9.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则( ) A.3x =-是a b ⊥的必要条件 B.3x =-是//a b 的必要条件 C.0x =是a b ⊥的充分条件D.1x =-+是//a b 的充分条件【答案】C【解析】对A,当a b ⊥时,则0a b ⋅=所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误; 对C,当0x =时,()()1,0,0,2a b ==,故0a b ⋅= 所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B,当//a b 时,则22(1)x x +=,解得1x =±即必要性不成立,故B 错误;对D,当1x =-,不满足22(1)x x +=,所以//a b 不成立,即充分性不立,故D 错误. 故选:C.10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ=下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β ②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥ ③若//n α且//n β,则//m n④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥. 其中所有真命题的编号是( ) A.①③ B.②④C.①②③D.①③④【答案】A对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β 当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确; 对①,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故①错误;对①,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β 因为s ⊂平面α,m αβ=,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故①正确;对①,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故①错误; 综上只有①①正确故选:A.11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2960,4B b ac ︒==,则sin sin A C +=( )A.32B.【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +== 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin 2A C +=. 故选:C.12.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为( )A.1B.2C.4D.【答案】C因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c 得20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩ 故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()22:25C x y ++=设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB 最小1,PC AC r ===,此时24AB AP ====.故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______．【答案】5由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r = 所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为:5.14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比=V V 甲乙____________.【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲)12h r r ==-乙所以((21211313S S h r r V h V h S S h +-====++甲甲甲乙乙乙.故答案为15.已知1a >且8115log log 42a a -=-,则a =_______. 【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >所以622log 6log 2a ==,故6264a == 故答案为:64.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为_______. 【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤ 故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤ 故323a b c a b +-≤≤++若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5 ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4故有16种当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++= 故所求概率为56712015=. 故答案为:715三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下(1)填写如下列联表:能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【小问1详解】根据题意可得列联表:可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯因为3.841 4.6875 6.635<<所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150= 用频率估计概率可得0.64p =又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p = 则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了. 18.(12分)记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+ (1)求{}n a 的通项公式; 【小问1详解】当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =．当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=- 而140a =≠,故0n a ≠,故13nn a a -=- ①数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅所以123n n T b b b b =++++0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-(21)31n n T n ∴=-⋅+.(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和n T 19.(12分)如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====FB =M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE (2)求二面角F BM E --的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD = 四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDECD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE 【小问2详解】如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD = 结合（1）BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM = 所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD = 四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E ,()()3,1,0,3,0,3BM BF =-=-()2,3BE =-,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =得113,1y z ==,即()3,3,1m =则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==- 即()3,3,1n =-,1111cos ,1313m n m n m n ⋅===⋅⋅,则43sin ,13m n = 故二面角F BM E --.20.(12分) 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴. (1)求C 的方程(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线 MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故b =故椭圆方程为22143x y +=. 【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-= 故()()422Δ102443464120k k k =-+->,故1122k -<< 又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++ 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故22223325252Q y y y x x --==-- 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=-- ()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.21.(12分)已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若2a =-,求()f x 的极值(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.【答案】（1）极小值为0,无极大值.（2）12a ≤- 【小问1详解】当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++- 故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++ 因为12ln(1),11y x y x =+=-++在()1,∞-+上为增函数故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++ 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x +=-+->+ 则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+ 当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数故()()00s x s >=,即()0f x '>所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=. 当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s < 即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍. 当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍综上,12a ≤-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1.ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程(2)设直线,:(x t l t y t a=⎧⎨=+⎩为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值. 【答案】（1）221y x =+（2）34a = 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+,将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+. 法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4故直线的参数方程可设为22x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,则)()212121,21s s a s s a +=--=-且()()22Δ818116160a a a =---=->,故<1a12AB s s ∴=-=2==,解得34a =. 法2:联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +-+-= ()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-则AB ==2= 解得34a = 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知实数,a b 满足 3.a b +(1)证明:2222a b a b +>+(2)证明:2222 6.a b b a -+-∣∣∣∣【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥ 当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b +≥+>+【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。