医用物理学 第三章 血液的流动
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• 最早的流 体力学静 力学计算 公式
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公元前3世纪 中国四川都江堰
• (公元前 256~210年)
秦代，在公元 前256-前210 年间便修建 了都江堰
公元前3世纪 中国四川都江堰
• 鱼嘴——引水 • 宝瓶口——成都
平原灌水 • 飞沙堰
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流体力学近代发展史
• 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——伯努利方程 • 1775年 欧拉——欧拉运动微分方程
联立求解得： P1 - P2 = ρ银gΔh
Δh
2
1•
•
水流
P1 – P2 = ρ水gΔh
21 ••
水流
Δh
21
•
•
水流
P1 – P2 = ρ水gΔh
Δh
ρ银
P1 – P2 = ρ银gΔh
返回
二. 连续性方程（continuity equation）
数学表述 S11 = S2 2
证明：
ΔV1 =ΔV2 （不可压缩性）
返回
应用二：测速仪
例2：皮托管测水流速度 解：A点即流体流动的速度。
在B点流体的动能转变为压强能， 因此B管中液面上升，高于A管。
A、B两点同高，过A、B两点 选流线，则可得
PA
1 2
vA2
PB
Fra Baidu bibliotek
1 2
vB2
PB PA gh
vA 2gh
例3：皮托管测气体或液体流速
解：
PA
1 2
vA2
S
（3）物理意义：单位面积上所受到的力
A• B•
h
C•
重要结论：在连通的同种静止流体中 PA=PB PC -PB=ρgh
例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测 量液体。 求：p1-p2= ? （水的密度与水银相比可忽略不计）
解：
•1 2•
水流 h
Δh 3• • 4
P3 = P4 P3 = P1 P4 = P2+ρ银 gΔh
医用物理学
于国伟
李四光楼基础实验区320 医学物理教研室
第三章 血液的流动
流体力学是研究流体机械运动规律及其 应用的科学，是力学的一个重要分支。
一、流体：液体和气体统称流体 二、特征：各部分之间极易发生相对移动，
即流动性
流体力学古代发展史
• 公元前2280年 中国的大禹治水 • 公元前4世纪 古罗马供水系统 • 公元前3世纪 阿基米德定律 • 公元前3世纪 中国四川都江堰
2
三. 四种装置：小孔流速、皮托管、汾丘里流量计、虹吸管
S11Δt = S22 Δt S11 = S22
v
连续性方程物理表述： 同一流管流量守恒。
适用条件： （1）不可压缩流体 （3）同一流管
（2）定常流动
对作定常流动的实际流体或粘性流体
Sv 常数
例：请列出下面两种流管分布的连续性方程
1 •• 2
S11 = S22 ∵ S1>S2 ∴ 1< 2
•2 代入伯努利方程中，求解得：
v2 2 gh
装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔；敞口与小孔都与大气相通
此公式适用条件： （1）大容器：A=0 （2）两头都开口：PA= PB= PO （3）h是小孔到液面的距离
类似装置：
A •
A •
h
h
•B
•B
A •
h
•
A
B•
h
•B
同理，可得
vB 2 gh
例4：汾丘里（Venturi）流量计是一根粗细不均匀的管子做成 的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量 时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。 求：Q=?
解：过A、B两点选流线如图，
则有 h
S AvA SBvB
• A
SA
•B SB
PA
1 2
vA2
PB
1 2
ghD
PA PD P0 v A 0
•D
hD
ghA
1 2
vD 2
ghD
vD 2g(hA hD ) 2ghAD
• C
•• AB
（2）PB=? 对A点与B点列伯努利方程
PA
1 2
vA2
ghA
PB
1 2
vB2
ghB
hA hB PA P0
•D
hD
vB vD
vA vB
vA vD vA 0
截面积小的地方流速大
2•
1•
3•
4•
S11 = S22+ S33+ S44
返回
三 . 伯努利方程（Bernoulli equation）
理想流体定常流动的基本规律，要求细流管，短时
伯努利
（D.Bernoulli，1700－1782） 瑞士科学家
在1738年出版的名著《流体 动力学》中，建立了流体位 势能、压强势能和动能之间 的能量转换关系──伯努利方 程。
实际流体：有粘性、可压缩 理想流体：绝对不可压缩、完全无粘性
（突出流动性，粘性和可压缩性处于极次要地位）
2. 定常流动（steady flow）
拉格朗日法：质元 欧拉法：速度场
v=v（x，y，z，t）
定常流动 流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的， 并且不随时间变化
v=v（x，y，z）
3. 流线（stream line）
(
1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1 )
等式两边同除 △V 利用 m 有
V
P1
P2
1 2
v2 2
g h2
1 2
v12
g h1
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
由于 S、1 s的2 任意性，可得到伯努利方程
P 1 v2 gh 常数
2
其中： P — 压强能密度
SA SB
（2）两船并行前进，不能靠得太近，否则容易相互碰撞
S内
S外
S
外v外
S内v内
S外 S内
v外 v内
P外
1 2
v外2
P内
1 2
v内2
v外 v内 P外 P内
小结
一. 概念：理想流体、定常流动、流线、流管 流量、静压强
二. 两个公式： S =常数
P 1 v2 gh 常数
返回
应用四：虹吸管
• C
• •B A
例：
用如图所示的虹吸管将容器中 的水吸出。如果管内液体作定 常流动，求 (1)虹吸管内液体的流速 (2)B点的压强 (3)C点的压强
•D
hD
•
解：
C
(1) 过A、B、C、D 4点选流线
则对A和D两点的方程为
• •B A
PA
1 2
vA2
ghA
PD
1 2
vD2
关于流体的几个思考题
？ 1.水管流出的水流越来越细； 2.两艘船相离很近同向前进，容易发生相撞； 3.火车进站不可靠太近，否则容易发生危险； 4.水往低处流。
第一节 理想流体的定常流动
一. 概念 二. 连续性方程 三 . 伯努利方程 四. 伯努利方程的应用
一 . 概念
1. 理想流体（ideal fluid）
曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质 点的速度方向相同
定常流动时流线的特点：
（1）与流体质点的运动轨迹相同 （2）形状不随时间的推移而改变 （3）任何两条流线都不可能相交 （4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方,流速大
飞
流
直
A
下
三
千
B
尺 ，
C
疑
是
银
河
落
九
天
。
4. 流管（stream tube）
PA
1 2
v A2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
P 1 v 2 常量
2
v 大的地方P小；v 小的地方P大, 结合连续性方程得出：
S大的地方 v 小 ，P大；S小的地方 v大，P小
返回
四 .伯努利方程的应用
应用一：小孔流速问题 应用二：测速仪 应用三：流量计 应用四：虹吸管 应用五：喷雾器
证明： 功能原理：外力作功+非保守内力作功=机械能增量
A F1v1t F2v2t p1S1v1t p2S1v1t p1V p2V
机械能增量：
E (E3 E 2) (E1 E 2)
E3 E1
(
1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1 )
根据功能原理：A=ΔE
(P1 P2 )V
解题时应注意以下几点：
（1）选一流线，取流线上2点（有必要时选3点）建立方程 （2）常与连续性方程联合使用 （3）与大气接触处的压强为 PO （4）单位：帕斯卡 （Pa）。
单位换算：
1mmHg = 133.3Pa ，1atm = 760mmHg =1.013105 Pa
如果液体在水平管中做定常流动
由流线围成的管状区域
定常流动时流管的特点：
（1）形状不随时间的改变而改变 （2）流管内外无物质交换
5. 流量
（1）定义：Q= S • （2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）
（3）物理意义：单位时间内流过流管截面S的 流体的体积。
6. 静压强
液体静止时各点的压强 （1）定义： P F （2）单位：帕斯卡 （Pa）
PB
P0
1 2
v
2 B
P0
1 2
v
2 D
•
（3）PC=?
C
对C点与D点列伯努利方程
••
PC
1 2
vC 2
ghC
PD
1 2
vD 2
ghD
AB
vC vD PD P0
•D
hD
PC P0 g (hC hD ) P0 ghC D
真空可实现虹吸现象么？
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应用五：喷雾器 真 空 可 实 现 么 ？
1 v 2— 动能密度 gh — 重力势能密度
2
P1
1 2
v12
g h1
P2
1 2
v2 2
g h2
数学表述： P 1 v2 gh 常数
2
物理表述： 同一细流管，能量密度之和守恒
适用条件：理想流体，定常流动，同一流线 （细流管）
对于条件的解释：对同一细流管而言，v、h、P 均指流管横截面上的平均值，且在很短时间△t 内，在v△t一段位移上将上述各值看作是常量。 若横截面积很小趋于零，则细流管变成流线
前进
公元前2280年 中国的大禹治水
• 4000多年前的 “大 禹治水”的故事—— 顺水之性，治水须引 导和疏通。说明我国 古代已有大规模的治 河工程
• 但没有史书记载，属 于传说故事
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公元前4世纪 古罗马供水系统
• 从高山上引雪 水供应城市， 上面是渠道， 已毁坏，但遗 迹仍然保存。
返回
公元前3世纪 阿基米德定律
喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强， 其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。
应用六：两个日常现象
（1）水流随位置的下降而变细
•A h
•B
PA
1 2
vA2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA PB P0
1 2
vA2
ghA
1 2
vB 2
ghB
hA hB vA vB
SAA = SBB
vB2
PA PB gh
求解：
vA SB
2gh
S
2 A
SB2
vB SA
2gh
S
2 A
SB2
Q SAvA SBvB SASB
2gh
S
2 A
S
B
2
汾丘里（Venturi）流量计装置的特点：
一支截面积变化的管子水平放置，在截面积不等的两处接出压 强计。
类似装置：
h
•
•
A
B
A •
B•
h
ghA
PB
1 2
vB2
ghB
A、B两点近似为同高点；vA= 0
PA
PB
1 2
vB2
(1)
PA PB g h (2)
为液体密度
为气体密度
由（1）、（2）得
v 2 gh
装置的特点： 有两个开口，一个迎着液（气）流，另一个
和液（气）流方向平行；两个开口分别与压强计 联接。
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应用三：流量计
应用一：小孔流速问题
例1：一个很大的开口容器，开口面积为S1 ，器壁上距水面h处 开有一小孔，截面积为S2。 （S1>>S2，两个数量级以上）求： 小孔处液体的流速2=?
1
解：选流线如图，对1,2两点的方程为
•
P1
1 2
v1 2
g h1P2
1 2
v22
gh2
根据题意，有：
P1= P0 1= 0 ； P2 = P0 h2 = 0 h1= h
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公元前3世纪 中国四川都江堰
• (公元前 256~210年)
秦代，在公元 前256-前210 年间便修建 了都江堰
公元前3世纪 中国四川都江堰
• 鱼嘴——引水 • 宝瓶口——成都
平原灌水 • 飞沙堰
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流体力学近代发展史
• 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——伯努利方程 • 1775年 欧拉——欧拉运动微分方程
联立求解得： P1 - P2 = ρ银gΔh
Δh
2
1•
•
水流
P1 – P2 = ρ水gΔh
21 ••
水流
Δh
21
•
•
水流
P1 – P2 = ρ水gΔh
Δh
ρ银
P1 – P2 = ρ银gΔh
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二. 连续性方程（continuity equation）
数学表述 S11 = S2 2
证明：
ΔV1 =ΔV2 （不可压缩性）
返回
应用二：测速仪
例2：皮托管测水流速度 解：A点即流体流动的速度。
在B点流体的动能转变为压强能， 因此B管中液面上升，高于A管。
A、B两点同高，过A、B两点 选流线，则可得
PA
1 2
vA2
PB
Fra Baidu bibliotek
1 2
vB2
PB PA gh
vA 2gh
例3：皮托管测气体或液体流速
解：
PA
1 2
vA2
S
（3）物理意义：单位面积上所受到的力
A• B•
h
C•
重要结论：在连通的同种静止流体中 PA=PB PC -PB=ρgh
例: 水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测 量液体。 求：p1-p2= ? （水的密度与水银相比可忽略不计）
解：
•1 2•
水流 h
Δh 3• • 4
P3 = P4 P3 = P1 P4 = P2+ρ银 gΔh
医用物理学
于国伟
李四光楼基础实验区320 医学物理教研室
第三章 血液的流动
流体力学是研究流体机械运动规律及其 应用的科学，是力学的一个重要分支。
一、流体：液体和气体统称流体 二、特征：各部分之间极易发生相对移动，
即流动性
流体力学古代发展史
• 公元前2280年 中国的大禹治水 • 公元前4世纪 古罗马供水系统 • 公元前3世纪 阿基米德定律 • 公元前3世纪 中国四川都江堰
2
三. 四种装置：小孔流速、皮托管、汾丘里流量计、虹吸管
S11Δt = S22 Δt S11 = S22
v
连续性方程物理表述： 同一流管流量守恒。
适用条件： （1）不可压缩流体 （3）同一流管
（2）定常流动
对作定常流动的实际流体或粘性流体
Sv 常数
例：请列出下面两种流管分布的连续性方程
1 •• 2
S11 = S22 ∵ S1>S2 ∴ 1< 2
•2 代入伯努利方程中，求解得：
v2 2 gh
装置的特点： 大敞口容器下方开一小孔；敞口与小孔都与大气相通
此公式适用条件： （1）大容器：A=0 （2）两头都开口：PA= PB= PO （3）h是小孔到液面的距离
类似装置：
A •
A •
h
h
•B
•B
A •
h
•
A
B•
h
•B
同理，可得
vB 2 gh
例4：汾丘里（Venturi）流量计是一根粗细不均匀的管子做成 的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量 时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。 求：Q=?
解：过A、B两点选流线如图，
则有 h
S AvA SBvB
• A
SA
•B SB
PA
1 2
vA2
PB
1 2
ghD
PA PD P0 v A 0
•D
hD
ghA
1 2
vD 2
ghD
vD 2g(hA hD ) 2ghAD
• C
•• AB
（2）PB=? 对A点与B点列伯努利方程
PA
1 2
vA2
ghA
PB
1 2
vB2
ghB
hA hB PA P0
•D
hD
vB vD
vA vB
vA vD vA 0
截面积小的地方流速大
2•
1•
3•
4•
S11 = S22+ S33+ S44
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三 . 伯努利方程（Bernoulli equation）
理想流体定常流动的基本规律，要求细流管，短时
伯努利
（D.Bernoulli，1700－1782） 瑞士科学家
在1738年出版的名著《流体 动力学》中，建立了流体位 势能、压强势能和动能之间 的能量转换关系──伯努利方 程。
实际流体：有粘性、可压缩 理想流体：绝对不可压缩、完全无粘性
（突出流动性，粘性和可压缩性处于极次要地位）
2. 定常流动（steady flow）
拉格朗日法：质元 欧拉法：速度场
v=v（x，y，z，t）
定常流动 流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的， 并且不随时间变化
v=v（x，y，z）
3. 流线（stream line）
(
1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1 )
等式两边同除 △V 利用 m 有
V
P1
P2
1 2
v2 2
g h2
1 2
v12
g h1
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v22
gh2
由于 S、1 s的2 任意性，可得到伯努利方程
P 1 v2 gh 常数
2
其中： P — 压强能密度
SA SB
（2）两船并行前进，不能靠得太近，否则容易相互碰撞
S内
S外
S
外v外
S内v内
S外 S内
v外 v内
P外
1 2
v外2
P内
1 2
v内2
v外 v内 P外 P内
小结
一. 概念：理想流体、定常流动、流线、流管 流量、静压强
二. 两个公式： S =常数
P 1 v2 gh 常数
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应用四：虹吸管
• C
• •B A
例：
用如图所示的虹吸管将容器中 的水吸出。如果管内液体作定 常流动，求 (1)虹吸管内液体的流速 (2)B点的压强 (3)C点的压强
•D
hD
•
解：
C
(1) 过A、B、C、D 4点选流线
则对A和D两点的方程为
• •B A
PA
1 2
vA2
ghA
PD
1 2
vD2
关于流体的几个思考题
？ 1.水管流出的水流越来越细； 2.两艘船相离很近同向前进，容易发生相撞； 3.火车进站不可靠太近，否则容易发生危险； 4.水往低处流。
第一节 理想流体的定常流动
一. 概念 二. 连续性方程 三 . 伯努利方程 四. 伯努利方程的应用
一 . 概念
1. 理想流体（ideal fluid）
曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质 点的速度方向相同
定常流动时流线的特点：
（1）与流体质点的运动轨迹相同 （2）形状不随时间的推移而改变 （3）任何两条流线都不可能相交 （4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方,流速大
飞
流
直
A
下
三
千
B
尺 ，
C
疑
是
银
河
落
九
天
。
4. 流管（stream tube）
PA
1 2
v A2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA
1 2
v A 2
PB
1 2
vB 2
P 1 v 2 常量
2
v 大的地方P小；v 小的地方P大, 结合连续性方程得出：
S大的地方 v 小 ，P大；S小的地方 v大，P小
返回
四 .伯努利方程的应用
应用一：小孔流速问题 应用二：测速仪 应用三：流量计 应用四：虹吸管 应用五：喷雾器
证明： 功能原理：外力作功+非保守内力作功=机械能增量
A F1v1t F2v2t p1S1v1t p2S1v1t p1V p2V
机械能增量：
E (E3 E 2) (E1 E 2)
E3 E1
(
1 2
mv22
mgh2
)
(
1 2
mv12
mgh1 )
根据功能原理：A=ΔE
(P1 P2 )V
解题时应注意以下几点：
（1）选一流线，取流线上2点（有必要时选3点）建立方程 （2）常与连续性方程联合使用 （3）与大气接触处的压强为 PO （4）单位：帕斯卡 （Pa）。
单位换算：
1mmHg = 133.3Pa ，1atm = 760mmHg =1.013105 Pa
如果液体在水平管中做定常流动
由流线围成的管状区域
定常流动时流管的特点：
（1）形状不随时间的改变而改变 （2）流管内外无物质交换
5. 流量
（1）定义：Q= S • （2）单位 ：米3/秒 （m3s-1）
（3）物理意义：单位时间内流过流管截面S的 流体的体积。
6. 静压强
液体静止时各点的压强 （1）定义： P F （2）单位：帕斯卡 （Pa）
PB
P0
1 2
v
2 B
P0
1 2
v
2 D
•
（3）PC=?
C
对C点与D点列伯努利方程
••
PC
1 2
vC 2
ghC
PD
1 2
vD 2
ghD
AB
vC vD PD P0
•D
hD
PC P0 g (hC hD ) P0 ghC D
真空可实现虹吸现象么？
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应用五：喷雾器 真 空 可 实 现 么 ？
1 v 2— 动能密度 gh — 重力势能密度
2
P1
1 2
v12
g h1
P2
1 2
v2 2
g h2
数学表述： P 1 v2 gh 常数
2
物理表述： 同一细流管，能量密度之和守恒
适用条件：理想流体，定常流动，同一流线 （细流管）
对于条件的解释：对同一细流管而言，v、h、P 均指流管横截面上的平均值，且在很短时间△t 内，在v△t一段位移上将上述各值看作是常量。 若横截面积很小趋于零，则细流管变成流线
前进
公元前2280年 中国的大禹治水
• 4000多年前的 “大 禹治水”的故事—— 顺水之性，治水须引 导和疏通。说明我国 古代已有大规模的治 河工程
• 但没有史书记载，属 于传说故事
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公元前4世纪 古罗马供水系统
• 从高山上引雪 水供应城市， 上面是渠道， 已毁坏，但遗 迹仍然保存。
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公元前3世纪 阿基米德定律
喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强， 其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。
应用六：两个日常现象
（1）水流随位置的下降而变细
•A h
•B
PA
1 2
vA2
ghA
PB
1 2
vB 2
ghB
PA PB P0
1 2
vA2
ghA
1 2
vB 2
ghB
hA hB vA vB
SAA = SBB
vB2
PA PB gh
求解：
vA SB
2gh
S
2 A
SB2
vB SA
2gh
S
2 A
SB2
Q SAvA SBvB SASB
2gh
S
2 A
S
B
2
汾丘里（Venturi）流量计装置的特点：
一支截面积变化的管子水平放置，在截面积不等的两处接出压 强计。
类似装置：
h
•
•
A
B
A •
B•
h
ghA
PB
1 2
vB2
ghB
A、B两点近似为同高点；vA= 0
PA
PB
1 2
vB2
(1)
PA PB g h (2)
为液体密度
为气体密度
由（1）、（2）得
v 2 gh
装置的特点： 有两个开口，一个迎着液（气）流，另一个
和液（气）流方向平行；两个开口分别与压强计 联接。
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应用三：流量计
应用一：小孔流速问题
例1：一个很大的开口容器，开口面积为S1 ，器壁上距水面h处 开有一小孔，截面积为S2。 （S1>>S2，两个数量级以上）求： 小孔处液体的流速2=?
1
解：选流线如图，对1,2两点的方程为
•
P1
1 2
v1 2
g h1P2
1 2
v22
gh2
根据题意，有：
P1= P0 1= 0 ； P2 = P0 h2 = 0 h1= h