数学分析课本-习题及答案第二十一章

第十一章 重积分

§1 二重积分的概念

1.把重积分

⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=n

j (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.

2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.

3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.

4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.

性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且

()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D D

g f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得

()D ,f f D

∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且

210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.

性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且

⎰0D f =⎰⎰+2

1D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:

(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D

>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有

⎰'

=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。 .

7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得

()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰D

dxdy y ,x g .

8.应用中值定理估计积分

⎰⎰

≤-++10y x 22y

cos x cos 100dxdy 的值

§2 二重积分的计算

1.计算下列二重积分:

(1)()⎰⎰-D

dxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;

(2)⎰⎰D

2

dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+D

dxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)

⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且

⎰D f =⎰⎰⋅1122

b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰D

dxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:

(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:

(2)D 由不等式2

22a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;

(3)D=(){}1,≤+y x y x .

4.在下列积分中改变累次积分的顺序:

(1) ()⎰

⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)

()⎰⎰1

0x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .

5.计算下列二重积分:

(1)⎰⎰D

2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x

,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }

x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰D

dxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.

6.写出积分()⎰⎰d

dxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:

(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;

(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;

(3)D=(){}

0x ,y y x y ,x 22≥≤+.

7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D

22dxdy y x sin ,其中D=(){

222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+D

dxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()

⎰⎰+'D

22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.

8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:

(1) ()⎰⎰--2

0x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;

(2) ()dxdy y ,x f D

⎰⎰,其中D=(){

a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.

(3)

()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.

9.求由下列曲面所围立体V 的体积:

(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;

(2) v 由z=2

2y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222

+=和2Z=9y 4x 2

2+所围的立体.

11.试作适当变换,计算下列积分:

(1)()()⎰⎰-+D

dxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;