广东省深圳市宝安中学2020-2021学年第一学期高二数学期中考试试卷(word版,无答案)

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广东省深圳市宝安中学-第一学期高二数学期中试题理

高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题、填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，第Ⅰ卷为1-14题，共70分，第Ⅱ卷为15-20题，共80分。

全卷共计150分。

考试时间为120分钟。

注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题纸上。

2、第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上。

3、考试结束，监考人员将答题纸收回。

第Ⅰ卷（本卷共计70 分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“若α=4π,则tan 1α=”的逆否命题是（）A ．若α≠4π,则tanα≠1B ．若α=4π,则tanα≠1C ．若tanα≠1,则α≠4πD ．若tanα≠1,则α=4π2．不等式 22x x xx -->的解集是（） A. (02)， B. (0)-∞， C. (2)+∞， D. (0)∞⋃+∞（-，0），3.若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（）A.1B.2C.3D.44．已知等差数列{}n a 中,26a =,前7项和784S =,则6a 等于（） A.18 B. 20 C.24 D. 325．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件6．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （） A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，2a ，则（）A. a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定8．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为 ( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8二、填空题：本大题共6小题．每小题5分，满分30分9．命题：“,xx R e x ∀∈≤”的否定是_________________________．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知cos cos 2b C c B b +=，则a b＝________．11. 若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．12. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =______________13. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 . 14. 已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 第Ⅱ卷（本卷共计80分）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．15. （本小题满分12分）已知锐角△ABC 的面积等于AB =3，AC =4.（1）求)2sin(A +π的值；（2）求)cos(B A -的值.16.（本小题满分12分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(2+∈+=N n a S n n ，求数列{a n }的前n 项和17．（本小题满分14分）已知0c >，设命题p ：函数xy c =为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数11()f x x x c=+>恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．18.（本小题满分14分）设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．19.（本小题满分14分）)已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．20．（本小题满分14分）已知等比数列{}n a 满足：24,a =公比2q =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且422333n n n S b a =-+（n N *∈）. （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项n a 和n b ；（2）设()n n n b c n N a *=∈，证明：12231 (2)n n c c c n c c c ++++<.宝安中学2014－2015学年第一学期期中考试高二数学参考答案一、选择题C A C A ， B C AD 二、填空题∃x ∈R ，e x>x , 2 , 43 , 4 , 4 ,212三、解答题15．解：（1）∵33sin 4321sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆A A AC AB S ABC ，------- 2分∴sin A =. --------------- 3分又△ABC 是锐角三角形，∴21sin 1cos 2=-=A A ， --------------- 4分 ∴21cos )2sin(==+A A π. --------------- 6分（2）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ ∴13214324322=⨯⨯⨯-+=BC --------------- 8分由正弦定理得13392sin sin =⋅=BC A AC B ，又B 为锐角，得1313sin 1cos 2=-=B B . --------------- 10分 ∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12== --------------- 12分 16．解：取n =1，则1)21(1211=⇒+=a a a --------------- 3 分又由 2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n --------- 5 分 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n Θ --------------- 9分2)12(531n n S n =-++++=∴ΛΛ ------------- 12分16．解由命题p 为真知，0<c <1， --------------- 2分由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52， --------------- 5分要使此式恒成立，需1c <2，即c >12， --------------- 8分若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. --------------- 12分综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1. --------------- 14分18解方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . --------------- 6分于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， --------------- 8分∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． --------------- 10分又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， --------------- 12分 ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. --------------- 14分方法二由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得[][]1(1)(1)21(1)(1)2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，------- 7分∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． ------- 10分又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. ------- 14分方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，------- 7分当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时， ------- 9分取得最小值4×32－2×12＝5， ------- 10分当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， ------- 12分取得最大值4×3－2×1＝10， ------- 13分 ∴ 5≤f (－2)≤10. ------- 14分 19．解：解 (1)依题意得|F 1F 2|＝2， --------------- 2分又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. --------------- 5分 ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. --------------- 6分(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°，∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°， --------------- 8分即y ＝－3(x ＋1)．解方程组221)143y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩并注意到x <0，y >0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335.--------------- 12分∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335. --------------- 14分20．(1) 解法一：由24,2a q ==得，2222.n n n a a -=⋅=------------------------------ 2分由上式结合422333n n n S b a =-+得42(21)33n n n S b =--，则当2n ≥时，1n n n b S S -=-114242(21)(21)3333n n n n b b --=---+-，----- 4分112420n n n n b b +-⇒--+=----------------------------- 5分1124(2)n n n n b b --⇒+=+，---------------------------------- 7分∵11142133b S b ==-⨯，∴12b =，--------------------------- 8分∴数列{2}nn b +是首项为124b +=，公比为4的等比数列，---------- 9分 ∴12444n n n n b -+=⨯=，∴42n nn b =-.-------------------------- 10分【解法二：由24,2a q ==得，2222.n n n a a -=⋅=----------------------------------------- 2分由上式结合422333n n n S b a =-+得42(21)33n n n S b =--，则当2n ≥时，1n n n b S S -=-114242(21)(21)3333n n n n b b --=---+-，------- 4分112420n n n n b b +-⇒--+=142(2)n n n b b n -⇒-=≥---------------- 5分⇒111(2)442n n n n nb b n ---=≥， --------------------6分 ∴2112311(1)1112214422212n n n n b b ---=+++=-L 1122n =-， ------------ 8分∵11142133b S b ==-⨯，∴12b =，---------------- 9分∴42n nn b =-.---------------------- 10分(2) 由n n n b c a =得42212n nn n nc -==-，------------ 11分 Q 1121211,(1,2,...,)12122(2)2k k k k k k c k n c ++--==<=----------- 13分或1112121,(1,2,...,)2122k k k k k k c k n c +++-=<==- ∴12231 (2)n n c c c nc c c ++++<-------------------- 14分。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（1163.（单选题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）.向量b⃗⃗ =（-1.2）.若μa⃗ + b⃗⃗与a⃗−b⃗⃗垂直.则μ=（）A.-1B.1C. 19D. −124.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等.E为SC的中点.则BE与SA所成角的余弦值为（）A. 13B. 12C. √33D. √325.（单选题.5分）如图所示.点F是抛物线y2=4x的焦点.点A.B分别在抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16的实线部分上运动.且AB总是平行于x轴.则△FAB的周长的取值范围是（）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10）6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ7.（单选题.5分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则3a+cb的最小值为（）A. √2B. √3C. 2√2D.38.（单选题.5分）直线y=- √3x与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)交于A、B两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C的离心率为（）A. √32B. √3 -1C. √3−12D.4-2 √39.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√14410.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√2.则cos（30°-2α）=___ ．314.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．15.（填空题.5分）体积为√3的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面6.AB=1.则球O的表面积为___ ．ABC.PA=2.∠ABC= 2π316.（填空题.5分）已知双曲线C的焦点为F1（0.2）.F2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C的离心率是___ ；若点Q是双曲线C的渐近线上一点.且F1Q⊥F2Q.则△QF1F2的面积为___ ．17.（问答题.10分）在① sinA=2sinC. ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC存在.求出△ABC的面积；若问题中的△ABC不存在.请说明理由．=bsinA .b=3．问题：是否存在△ABC.它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知asin A+C2S n−1=0(n∈N∗)．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．20.（问答题.12分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的离心率为 12 .点 (1，32) 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O 是坐标原点.过椭圆的右焦点F 的直线l 1交椭圆于P.Q 两点.求△OPQ 面积的最大值．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点（1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值22.（问答题.12分）已知抛物线C：y2=2px经过点M（2.2）.C在点M处的切线交x轴于点N.直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B.交l1于点E.若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列.试问：l2是否过定点？请说明理由．2020-2021学年广东省深圳高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）设a.b∈R.则“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【正确答案】：A【解析】：根据不等式的性质.结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】：解：若（a-b）a2＜0.则a≠0.∴a-b＜0.即a＜b成立.若a=0.b=1.满足a＜b.但（a-b）a2＜0不成立.即“（a-b）a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件.故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据不等式的关系是解决本题的关键．2.（单选题.5分）抛物线y=4x2的焦点坐标为（）A.（0.1）B.（0.-1））C.（0. 116.0）D.（116【正确答案】：C【解析】：根据题意.将抛物线的方程变形为标准方程.分析可得其焦点位置以及p的值.有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．y.【解答】：解：根据题意.抛物线的方程为y=4x2.则其标准方程为x2= 14.其焦点在y轴正半轴上.且p= 18则其焦点坐标为（0. 116 ）；故选：C ．【点评】：本题考查抛物线的标准方程.注意先将抛物线的方程变形为标准方程．3.（单选题.5分）已知向量 a ⃗ =（2.3）.向量 b ⃗⃗ =（-1.2）.若 μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直.则μ=（） A.-1 B.1 C. 19 D. −12【正确答案】：C【解析】：可先求出 μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) .根据 μa ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 垂直即可得出 (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=0 .进行数量积的坐标运算即可求出μ．【解答】：解： μa ⃗+b ⃗⃗=(2μ−1，3μ+2) . a ⃗−b ⃗⃗=(3，1) ； ∵ μa ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 垂直； ∴ (μa ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)=3(2μ−1)+3μ+2=0 ；解得 μ=19 ．故选：C ．【点评】：考查向量垂直的充要条件.向量加法、减法、数乘和数量积的坐标运算．4.（单选题.5分）正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长相等.E 为SC 的中点.则BE 与SA 所成角的余弦值为（） A. 13B. 12C. √33D. √32【正确答案】：C【解析】：建立空间直角坐标系.利用cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| .即可得出．【解答】：解：如图所示建立空间直角坐标系.不OA=1.则A （1.0.0）.S （0.0.1）.B （0.1.0）.C （0.-1.0）. E (−12，0，12) ．AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.0.1）. BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12，−1，12) ． ∴cos ＜AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞ = AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|= 12+0+12√2×√14+1+14= √33 ．∴BE 与SA 所成角的余弦值为 √33 ．故选：C ．【点评】：本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的角.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．5.（单选题.5分）如图所示.点F 是抛物线y 2=4x 的焦点.点A.B 分别在抛物线y 2=4x 及圆（x-1）2+y 2=16的实线部分上运动.且AB 总是平行于x 轴.则△FAB 的周长的取值范围是（）A.（2.6）B.（5.8）C.（8.12）D.（8.10）【正确答案】：D【解析】：由抛物线定义可得|AF|=x A +1.从而△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A +1+（x B -x A ）+4=5+x B .确定B 点横坐标的范围.即可得到结论．【解答】：解：抛物线的准线l：x=-1.焦点F（1.0）.由抛物线定义可得|AF|=x A+1.∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B-x A）+4=5+x B.由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=16可得交点的横坐标为3.∴x B∈（3.5）.∴5+x B∈（8.10）.故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义.考查抛物线与圆的位置关系.确定B点横坐标的范围是关键．6.（单选题.5分）已知α.β是两个不重合的平面.在下列条件中.可判断平面α.β平行的是（）A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || βB.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || αC.面α内不共线的三点到β的距离相等D.面α.β都垂直于平面γ【正确答案】：B【解析】：A中.没有m与n交于一点.不能判断α || β；B中.根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法.能判断α || β；C中.举例说明α || β不一定成立；D中.α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能平行或相交．【解答】：解：对于A.m.n是平面α内两条直线.且m || β.n || β.没有m与n交于一点.不能判断α || β；对于B.m.n是两条异面直线.m⊂α.n⊂β.且m || β.n || α.能判断α || β；因为m || β.所以在β内存在直线m1 || m.又m⊂α.所以m1|| α；又m.n是两条异面直线.所以直线m1与n是两条相交直线；又n || α.所以α || β；对于C.因为α内不共线的三点到β的距离相等.此三点在两平面相交时也可以找出.所以不能判断α || β；对于D.因为α.β都垂直于平面γ时.两平面α、β的位置关系可能是平行或相交.所以不能判断α || β．故选：B．【点评】：本题考查了判断面面平行的应用问题.也考查了推理论证能力与空间想象能力.是基础题．7.（单选题.5分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若c-a=2acosB.则 3a+cb的最小值为（） A. √2 B. √3 C. 2√2 D.3【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求出2A=B.再对结论进行化简.利用基本不等式求出即可．【解答】：解：c-a=2acosB.sinC-sinA=2sinAcosB.化简sinAcosB+cosAsinB-sinA=2sinAcosB.得sin （B-A ）=sin （A ）. 得2A=B.或者B=180°（舍弃）.由 3a+c b = 3sinA+sin3A 2sinAcosA = 6sinA−4sin 3A 2sinAcosA = 3−2sin 2A cosA = 1+2cos 2A cosA = 2cosA +1cosA. ①由A+B+C=3A+C=π.A∈（0. π3 ）.所以 ① ≥2 √2cosA •1cosA =2 √2 .当且仅当A= π4 .取等号. 故选：C ．【点评】：题考查三角形的解法.正弦定理以及余弦定理的应用.基本不等式的应用.考查计算能力．8.（单选题.5分）直线y=- √3x 与椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 交于A 、B 两点.以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点.则椭圆C 的离心率为（） A. √32B. √3 -1C.√3−12 D.4-2 √3 【正确答案】：B【解析】：以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形.求出矩形宽与长.利用椭圆的定义.即可求得椭圆C 的离心率．【解答】：解：由题意.以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点.也过左焦点.以这两个焦点A 、B 两点为顶点得一矩形．直线y=- √3 x的倾斜角为120°.所以矩形宽为c.长为√3 c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a.即c+ √3 c=2a．∴ e=ca =21+√3=√3−1故选：B．【点评】：本题重点考查圆与椭圆的综合.考查椭圆的几何性质.解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．9.（多选题.5分）已知双曲线的方程为：x29−y27=1 .则下列说法正确的是（）A.焦点为(±√2，0)B.渐近线方程为√7x±3y=0C.离心率e为43D.焦点到渐近线的距离为√144【正确答案】：BC【解析】：利用双曲线方程求出渐近线方程.离心率.焦点坐标.结合点到直线的距离判断选项的正误即可．【解答】：解：双曲线的方程为：x 29−y27=1 .可知a=3.b= √7 .c=4.所以双曲线的焦点坐标（±4.0）.所以A不正确；渐近线方程：√7x±3y=0 .所以B正确；离心率为：e= 43.所以C正确；焦点到渐近线的距离为：4√7√9+7= √7 .所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用.是基本知识的考查．10.（多选题.5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=cos(2x−π6)B. f(x)=sin(2x−π6)C. f(π3+x)=f(π3−x)D. f(π3+x)=−f(π3−x)【正确答案】：AD【解析】：根据图象可知32T=5π6−π12.求出周期.进而得到ω的值.然后利用最高点求出φ的值.然后根据解析式确定选项．【解答】：解：由题意得3T4=5π6−π12=3π4.所以T=π.故ω=2.所以f（x）=sin（2x+φ）.将(π12，1)代入得sin(2×π12+φ)=1 .所以π6+φ=π2+kπ，k∈Z .结合|φ|＜π2.可知k=0时. φ=π3为所求.故f（x）= sin(2x+π3)=cos[π2−(2x+π3)] = cos(2x−π6)．又因为f（π3）=sinπ=0.故（π3，0）是f（x）的对称中心．故选：AD．【点评】：本题考查三角函数的据图求式问题.以及正余弦型三角函数图象与性质.属于中档题．11.（多选题.5分）如图.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.P为A1D1的中点.Q为A1B1上任意一点.E、F为CD上两点.且EF的长为定值.则下面四个值中是定值的是（）A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成的角C.三棱锥P-QEF的体积D.△QEF的面积【正确答案】：ACD【解析】：由平面QEF也就是平面A1B1CD.可判断A；由线面角的定义可判断B；由棱锥的体积公式可判断C；由三角形的面积公式可判断D．【解答】：解：对于A.∵平面QEF也就是平面A1B1CD.既然P和平面QEF都是固定的.∴P到平面A1B1CD的距离是定值.∴点P到平面QEF的距离为定值.故A正确；对于B.∵Q是动点.E.F也是动点.推不出定值的结论.∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值.故B错误；对于C.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.∵点P到平面QEF的距离.∴P到平面QEF的距离也是定值.∴三棱锥的高也是定值.∴三棱锥P-QEF的体积是定值.故C正确；对于D.∵EF定长.Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长.即底和高都是定值.∴△QEF的面积是定值.故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识点是直线与平面所成的角.棱锥的体积及点到平面的距离.其中两线平行时.一条线的上的点到另一条直线的距离相等.线面平行时直线上到点到平面的距离相等.平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．12.（多选题.5分）如图.过点P（2.0）作两条直线x=2和l：x=my+2（m＞0）分别交抛物线y2=2x于A.B和C.D（其中A.C位于x轴上方）.直线AC.BD交于点Q．则下列说法正确的是（）A.C.D两点的纵坐标之积为-4B.点Q在定直线x=-2上C.|PC|最小值是2D.无论CD旋转到什么位置.始终有∠CQP=∠BQP【正确答案】：AB【解析】：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）.将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x.通过韦达定理.判断A；求出直线AC的方程.直线BD的方程.推出Q满足的方程.判断B；求出|PC|判断C；通过PA=PB.但QA≠QB.判断D．【解答】：解：设点C（x1.y1）.D（x2.y2）将直线l的方程x=my+2代入抛物线方程y2=2x得：y2-2my-4=0．则y1y2=-4．故A正确；由题得A（2.2）.B（2.-2）.直线AC的方程为y−2=2y1+2(x−2) .直线BD的方程为y+2=2y2−2(x−2) .消去y得x=2(y1y2−y1+y2)y1−y2+4.将y1y2=-4代入上式得x=-2.故点Q在直线x=-2上.故B正确；计算PA=2.OP=2.可知选项C错误；因为PA=PB.但QA≠QB.所以D错误．故选：AB．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用.直线与抛物线的位置关系的应用.是中档题．13.（填空题.5分）若sin(75°+α)=√23.则cos（30°-2α）=___ ．【正确答案】：[1]- 59【解析】：由题意利用诱导公式求得cos（15°-α）的值.再利用二倍角的余弦公式求得cos （30°-2α）的值．【解答】：解：∵ sin(75°+α)=√23=cos（15°-α）.则cos（30°-2α）=2cos2（15°-α）-1=2× 29 -1=- 59.故答案为：- 59．【点评】：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用.属于基础题．14.（填空题.5分）数列{a n}中.a1=2.a n+1=2a n.n∈N*．若其前k项和为126.则k=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由已知可得数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.然后结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】：解：∵a1=2.a n+1=2a n.∴数列{a n}是以2为首项.以2为公比的等比数列.S k=2(1−2k)1−2=126.故k=6．故答案为：6．【点评】：本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用.属于基础试题．15.（填空题.5分）体积为√36的三棱锥P-ABC的顶点都在球O的球面上.PA⊥平面ABC.PA=2.∠ABC= 2π3.AB=1.则球O的表面积为___ ．【正确答案】：[1]8π【解析】：利用体积公式推出AB•BC=1.再利用余弦定理求出AC的最小值.再求出外接球半径R的最小值.代入求出即可．【解答】：解：由三棱锥P-ABC的体积为√36.且PA=2.得到V= 13PA• 12BA•BCsin 2π3= √36.∴AB•BC=1.设三角形ABC的外接圆的半径为r.则2r= ACsin2π3.则由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos 2π3=AB2+BC2+AB•BC≥3AB•BC=3.当且仅当AB=BC=1成立.故AC的最小值为√3 .所以2r≥ √3√32=2.r的最小值为1.球的半径R= √1+r2的最小值为R= √1+1 = √2．则球O的表面积的最小值是4πR2=8π．故答案为：8π．【点评】：本题考查三棱锥外接球的表面积的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．16.（填空题.5分）已知双曲线C 的焦点为F 1（0.2）.F 2（0.-2）.实轴长为2.则双曲线C 的离心率是___ ；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点.且F 1Q⊥F 2Q.则△QF 1F 2的面积为___ ．【正确答案】：[1]2; [2]2 √3【解析】：由题意可得c.a 的值.进而求出双曲线的离心率.进而求出双曲线的方程.再求出渐近线的方程.设渐近线上的点的坐标Q.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得Q 的纵坐标.进而求出△QF 1F 2的面积．【解答】：解：由题意可得c=2.2a=2即a=1.所以双曲线的离心率e= ca =2. 所以b 2=c 2-a 2=4-1=3.所以双曲线的方程为：y 2- x 23 =1. 所以渐近线的方程为：y= x√3 .设Q （- √3 y.y ）为一条渐近线的点.由F 1Q⊥F 2Q 可得 F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- √3 y.y-2）（- √3 y.y+2）=0.可得3y 2+y 2-4=0.所以|y|=1. 所以S QF 1F 2 = 12|F 1F 2|•| √3 y|= 12•4• √3 =2 √3 . 故答案分别为：2.2 √3 ．【点评】：本题考查双曲线的性质及直线的垂直与数量积的关系.和面积的求法.属于中档题． 17.（问答题.10分）在 ① sinA=2sinC . ② a+c=6. ③ ac=15.这三个条件中任选一个.补充在下面问题的横线中.若问题中的△ABC 存在.求出△ABC 的面积；若问题中的△ABC 不存在.请说明理由．问题：是否存在△ABC .它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知 asin A+C 2=bsinA .b=3．【正确答案】：【解析】：由题设及正弦定理.三角函数恒等变换的应用化简已知等式.结合sinA≠0. cos B2≠0 .可得sin B2=12.可得B=60°.选择① ：利用正弦定理.余弦定理解得c.a的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择② ：利用余弦定理可求得ac=9.结合a+c=6.可得a.c的值.根据三角形的面积公式即可求解；选择③ ：利用余弦定理可求得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.可得△ABC不存在．【解答】：解：由题设及正弦定理得sinAsin A+C2=sinBsinA .因为sinA≠0.所以sin A+C2=sinB .由A+B+C=180°.可得sin A+C2=cos B2.故cos B2=2sin B2cos B2．因为cos B2≠0 .故sin B2=12.因此B=60°.选择① ：sinA=2sinC.即a=2c.根据余弦定理有. cosB=a 2+c2−b22ac= 12.代入b=3.解得c=√3 .a=2 √3 .所以面积S= acsinB2 = 3√32.选择② ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入a+c=6.解得ac=9.结合a+c=6.所以a=c=3.所以面积S= acsinB2=9√34.选择③ ：cosB=a 2+c2−b22ac= (a+c)2−2ac−92ac= 12.代入ac=15.解得a+c=3 √6 .结合ac=15.无解.所以△ABC不存在．【点评】：本题主要考查了正弦定理.三角函数恒等变换的应用.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．18.（问答题.12分）设数列{a n}的前项n和为S n.且满足a n−12S n−1=0(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数λ.使得数列{S n+（n+2n）λ}为等差数列？若存在.求出λ的值；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用等差数列的定义和（1）的结论.进一步进行证明．S n−1=0(n∈N∗) .【解答】：解：（1）当n=1时.有a n−12S1−1=0 .整理得：a1−12解得：a1=2S n−1=0(n∈N∗) .又由a n−12S n+1−1=0(n∈N∗) .可得a n+1−12a n+1−a n=0 .两式相减得12即有a n+1=2a n．故数列{a n}是以2为首项.2为公比的等比数列．a n=2n．（2）由（1）知q≠1.=2(2n−1)．所以S n=a1(1−q n)1−q令b n=S n+(n+2n)λ=(λ+2)2n+λn−2 .为使{b n}为等差数列.则b n是关于n的一次函数.所以λ=-2.此时b n=-2n-2.当n=1时.b1=-2×1-2=-4．当n≥2时.b n-b n-1=-2n-2-[-2（n-1）-2]=-2.所以{S n+(n+2n)λ}是以-4为首项.-2为公差的等差数列．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.数列的定义的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题型．19.（问答题.12分）如图所示.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.DB=BC.DB⊥AC.点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1 || 面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置.使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【正确答案】：【解析】：（1）在平面A1BD内找到和B1D1平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．（2）先利用条件BB1⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB1D.再证明MD⊥AC即可．（3）因为棱BB1上最特殊的点是中点.所以先看中点．取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.⇒BN⊥DC⇒面ABCD⊥面DCC1D1.⇒BN⊥面DCC1D1．而又可证得BN || OM.所以可得OM⊥平面CC1D1D⇒平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】：解：（1）证明：由直四棱柱.得BB1 || DD1且BB1=DD1.所以BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1 || BD．而BD⊂平面A1BD.B1D1⊄平面A1BD.所以B1D1 || 平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD.AC⊂面ABCD.所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC.且BD∩BB1=B.所以AC⊥面BB1D.而MD⊂面BB1D.所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时.平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N.D1C1的中点N1.连接NN1交DC1于O.连接OM．因为N是DC中点.BD=BC.所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线.而面ABCD⊥面DCC1D1.所以BN⊥面DCC1D1．又可证得.O是NN1的中点.所以BM || ON且BM=ON.即BMON是平行四边形.所以BN || OM.所以OM⊥平面CC1D1D.因为OM⊂面DMC1.所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．【点评】：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时.其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．20.（问答题.12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12.点(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）O是坐标原点.过椭圆的右焦点F的直线l1交椭圆于P.Q两点.求△OPQ面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）通过离心率以及椭圆经过的点.求出a.b然后求解椭圆方程．（2）设直线l1：x=my+1.代入方程化简得（3m2+4）y2+6my-9=0.利用韦达定理结合△OPQ 的面积为12|OF||y1−y2| .利用基本不等式转化求解最值即可．【解答】：解：（1）由e=ca =12得a=2c.所以b2=3c2.由点(1，32)在椭圆上得14c2+943c2=1解得c=1.b=√a2−c2=√3 .所求椭圆方程为 x 24+y 23=1 ．（2）F （0.1）.设直线l 1：x=my+1. 代入方程化简得（3m 2+4）y 2+6my-9=0. 由韦达定理得y 1+y 2= −6m 3m 2+4 .y 1y 2= −93m 2+4 .△OPQ 的面积为 12|OF ||y 1−y 2| .所以求ABC 的最大值即求|y 2-y 1|的最大值．（y 1-y 2）2=（y 1+y 2）2-4y 1y 2=36(4m 2+4)(3m 2+4)2. 令m 2+1=t≥1.上式可表示成 144t(3t+1)2=1449t+6+1t.y=9t+6+ 1t .t≥1时.函数是增函数.所以t=1时.y 取得最小值16.|y 2-y 1|的最大值的最大值为：3. △OPQ 的面积的最大值为 12|OF ||y 1−y 2| =3． S △OPQ =3．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的应用.考查转化思想以及计算能力.是中档题．21.（问答题.12分）在多面体ABCDPE 中.四边形ABCD 是直角梯形.AD || BC.AD⊥AB .平面PAD⊥平面ABCD.PE || CD.AB=BC=2.AD=4. PD =2√5 .∠PDA 的余弦值为 2√55. PE =12CD .F 为BE 中点.G 为PD 中点（1）求证：FG || 平面ABCD（2）求平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值【正确答案】：【解析】：（1）取EC 的中点H.连结FH.GH.证明FH || BC.FH || 平面ABCD.HG || CD.HG || 平面ABCD.然后证明平面FHG || 平面ABCD.推出FG || 平面ABCD ．（2）在△PAD 中.求出PA=2.说明PA⊥AD .以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.AP 为z 轴.建立空间直角坐标系．求出平面BCE 的一个法向量.利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面ADE 所成角的余弦值即可．【解答】：（1）证明：取EC 的中点H.连结FH.GH. ∵F 为BE 中点.∴FH || BC .∵FH⊄平面ABCD.BC⊂平面ABCD.∴FH || 平面ABCD. ∵G 为PD 中点.EP || CD.∴HG || CD .∵HG⊄平面ABCD. ∴HG || 平面ABCD.∵FH∩HG=H . ∴平面FHG || 平面ABCD.∵FG⊂平面FHG∴FG || 平面ABCD ．（2）解：在△PAD 中.PA 2=PD 2+AD 2-2PD•AD•cos∠PDA= 20+16−2×2√5×4×2√55=4 .∴PA=2.∴PA 2+AD 2=PD 2.∴PA⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD.∴PA⊥平面ABCD. 以AD 所在直线为X 轴.BA 所在直线为Y 轴.A 为原点建立空间直角坐标系．A （0.0.0）.B （0.-2.0）.C （2.-2.0）. D （4.0.0）.P （0.0.2）.设 E (x ，y ，z) ∵PE =12CD ∴EP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ (−x ，−y ，2−z)=12(2，2，0) .∴x=-1.y=-1.z=2.∴点E 的坐标为（-1.-1.2）.设平面ADE 的一个法向量： n 1⃗⃗⃗⃗⃗ =（（x.y.z ））. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4，0，0) AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−1，2) ∴ {4x 1=0−x 1−y 1+2z 1=0 令z 1=1 ∴y 1=2 . ∴ n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(0，2，1) .设平面BCE 的一个法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2，y 2，z 2) ∴n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， n 2⃗⃗⃗⃗⃗⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2，0，0) BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，1，2) .∴ {2x 2=0−x 2+y 2+2z 2=0 令z 2=1 ∴y 2=−2 .∴ n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2，1) . 设平面BCE 与平面ADE 所成角为θ∴ cosθ=−2×2+1×1√5√5=−35 .∴平面BCE 与平面ADE 所成角（锐角）的余弦值为 35 ．【点评】：本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法.直线与平面平行的判断定理的应用.考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力.是中档题．22.（问答题.12分）已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2.2）.C 在点M 处的切线交x 轴于点N.直线l 1经过点N 且垂直于x 轴．（Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my+b 交C 于点A 和B.交l 1于点E.若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.试问：l 2是否过定点？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求出p 的值.然后求出在第一象限的函数.结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元.转化为关于y 的一元二次方程.根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2.2）.得22=4p. 故p=1.c 的方程为y 2=2x …（2分） C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y= √2x .则′=√2x. 故C 在点M 处的切线斜率为 12 .切线的方程为y-2= 12 （x-2）. 令y=0得x=-2.所以点N 的坐标为（-2.0）. 故线段ON 的长为2 …（5分）（Ⅱ）l 2恒过定点（2.0）.理由如下：由题意可知l 1的方程为x=-2.因为l 2与l 1相交.故m≠0 由l 2：x=my+b.令x=-2.得y=- b+2m.故E （-2.-b+2m）设A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）由 {x =my +b y 2=2x 消去x 得：y 2-2my-2b=0则y 1+y 2=2m.y 1y 2=-2b …（7分）直线MA 的斜率为 y 1−2x 1−2 = y 1−2y 122−2= 2y1+2.同理直线MB 的斜率为 2y2+2. 直线ME 的斜率为2+b+2m4因为直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列.所以2y 1+2 + 2y 2+2 =2× 2+b+2m 4=1+b+22m. 即 2(y 1+y 2+4)2(y1+y 2)+y 1y 2+4=1+ 4−y 1y 22(y 1+y 2)+y 1y 2+4 =1+ b+22m .…（10分）整理得： b+22m−b+2=b+22m. 因为l 2不经过点N.所以b≠-2 所以2m-b+2=2m.即b=2故l 2的方程为x=my+2.即l 2恒过定点（2.0）…（12分）【点评】：本题主要考查直线和抛物线的位置关系.利用直线和抛物线方程.转化为一元二次方程.结合韦达定理.利用设而不求的思想是解决本题的关键．。

【精品】2020年广东省深圳市宝安中学高二上学期期中数学试卷和解析文科

2018学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}2．（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．（5分）在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．85．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．247．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．8．（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A．4 B．C．D．29．（5分）在△ABC中，sin2A﹣sin2C+sin2B=sinA•sinB，则角C为（）A．60°B．45°C．120° D．30°10．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．（5分）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为．12．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于．13．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．三．解答题：（共计80分）15．（12分）设函数，（ω＞0），x∈（﹣∞，+∞），且以为最小正周期．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sinαtanα的值．16．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．17．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和．19．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．20．（14分）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．；（1）用b和k表示△AOB的面积S△AOB（2）若△AOB的面积S=|OA|+|OB|+3．△AOB①用b表示k，并确定b的取值范围；②求△AOB面积的最小值．2018学年广东省深圳市宝安中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选：A．2．（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：m2﹣4＞0，解得：m∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C．3．（5分）在△ABC中，若=，则B的值为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由正弦定理得：=，即=，∵=，∴sinB=cosB，即tanB=1，则B=45°．故选：B．4．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．8【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，且a1＞0，解得，∴a5==1．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．6．（5分）设{a n}为等差数列，公差d=﹣2，s n为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a1﹣2（11﹣1）=0，解得a1=20．故选：B．7．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C． D．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D．8．（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A．4 B．C．D．2【解答】解：∵a+2b=6∴a+2b≥2，∴2，∴，∴2ab≤9，∴ab≤即矩形的面积的最大值是，故选：B．9．（5分）在△ABC中，sin2A﹣sin2C+sin2B=sinA•sinB，则角C为（）A．60°B．45°C．120° D．30°【解答】解：利用正弦定理==化简已知的等式得：a2﹣c2+b2=ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，即0＜C＜180°，则角C为60°．故选：A．10．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．B．C．5 D．6【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴=1∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5当且仅当=时取等号∴3x+4y≥5即3x+4y的最小值是5故选：C．二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．（5分）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为{x|2≤x≤3} ．【解答】解：不等式x2﹣5x+6≤0，因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，可化为：或，解得：2≤x≤3，则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．故答案为：{x|2≤x≤3}．12．（5分）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2．【解答】解：∵△ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，∴absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4，则AB=c=2，故答案为：213．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．三．解答题：（共计80分）15．（12分）设函数，（ω＞0），x∈（﹣∞，+∞），且以为最小正周期．（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sinαtanα的值．【解答】解：（1）由题设可知f（0）=3sin（）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）∵f（x）的最小正周期，∴ω==4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴f（x）=3sin（4x+）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（3）由f（+）=3sin（α++）=3cosα=，…（9分）∴cosα=，sin2α=，∴sinαtanα===…（12分）16．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC17．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．18．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==n．故数列{a n}的通项公式为a n=n．（2）由（1）知，b n=2n+n．记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=（21+22+…+2n）+（1+2+…+n）==．故数列{b n}的前n项和为．19．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），在△CDE中，由正弦定理得，则sinα=，即sin∠CED=．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，而∠AEB=，∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，在Rt△EAB中，cos∠AEB=，故BE=．20．（14分）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B．；（1）用b和k表示△AOB的面积S△AOB=|OA|+|OB|+3．（2）若△AOB的面积S△AOB①用b表示k，并确定b的取值范围；②求△AOB面积的最小值．【解答】解：（1）令x=0，得y=b+2（b＞﹣2）；令y=0，得．点，∴…（5分）（2）①由题意得，解得，结合b＞﹣2，解得b＞0．故k=，b＞0…（10分）②由①得S====b++7=7+2，△AOB当且仅当b=，即b=时取等号，故△AOB面积的最小值为7+2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年广东省深圳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．过点，的直线的倾斜角为（）(2,0)A (B -A ．B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】D【分析】求出直线AB 的斜率，再根据倾斜角的范围结合特殊角的三角函数值求解即得.【详解】经过，(20)A ，(B -AB k ==设该直线的倾斜角为，则，αtan α=0180α︒≤<︒所以.150α=︒故选：D 2．已知，，若，则实数的值为（）()2,1,3a =-()1,2,1b =-()a a bλ⊥-λA ．B ．C ．D ．22-143-145【答案】D 【分析】由，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解.()()a ab a a b λλ⊥-⇔⋅-= 【详解】解：因为，，()2,1,3a =-()1,2,1b =-所以，()2,12,3a b λλλλ-=-+--因为，()a ab λ⊥- 所以，即，解得，()0a a b λ⋅-= ()()()2212330λλλ--++-+-=2λ=故选：D.3．已知两平行直线与，则实数的值是（）1:0l x y -=2:220l x y b -+=bA ．B ．4C ．D ．±4±【答案】D 【分析】由题知，再根据平行线间的距离公式计算即可.2:02b l x y -+=【详解】解：将直线整理得，2:220l x y b -+=2:02b l x y -+=所以平行线间的距离公式得直线与1:0l x y -=2:02b l x y -+=解得4b =±故选：D4．四面体中，，，，点在线段上，且，为中OABC OA a = OB b = OC c = M OC 2OM MC =N BA 点，则为（）MNA ．B ．121232a b c -+ 211322a b c-++C ．D ．112223a b c +- 221332a b c ++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，.()2111232223MNMO ON OC OA OB a b c=+=-++=+-故选：C.5．经过点（1，-1）且一个方向向量为（2，-3）的直线L 的方程是（）A ．B ．3210x y +-=32+10x y +=C ．D ．23+10x y +=230x y --=【答案】A【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，结合点斜式即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，又因为直线过点（1，-1），由()2,3-32-点斜式可得直线的方程为.3210x y +-=故选：A.6．已知，，，若､､三个三向量共面，则实数等于()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=a b c λ（）A ．B ．C ．D ．725292112-【答案】D【分析】根据向量共面，设，由空间向量的坐标线性运算和向量相等，列出方程组，解+b y x c a = 之可求得答案.【详解】解：因为，，三个向量共面，所以设，即()2,3,2a =-()4,2,1b =-()10,3,c λ=+b y x c a = ，()()()2,3,24,2,1+10,3,x y λ-=-所以，解得，24+1032+32+x y x y x y λ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩3412112x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩故选：D.7．已知直线：与圆交于，两点，为坐标原点，且，则实l 0x y m -+=224x y +=AB O 0OA OB ⋅=数为（）m A ．2B ．C ．D ．2±±【答案】C【分析】由题意，，故圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式即得=90AOB ∠(0,0)ld 解【详解】由题意，，由于圆半径为，=90AOB ∠ 2r =则圆心到直线的距离(0,0)l d 得，=2m 2m =±故选：C8．在正方体中，在正方形中有一动点P ，满足，则直线与1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD ⊥PB 平面所成角中最大角的正切值为（）11DD C CA ．1BCD 【答案】D【解析】根据题意,可知是平面内,以为直径的半圆上一点.由即为直线与平P 11DD C C 1DD BPC ∠PB 面所成的角可知当取得最小值时,与平面所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,11DD C C PC PB 11DD C C 与半圆的交点为P,此时取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得,进而求得.PC PC tan BPC ∠【详解】正方体中,正方形内的点P 满足1111ABCD A B C D -11DD C C 1PD PD⊥可知是平面内,以为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:P 11DD C C 1DD当直线与平面所成最大角时,点位于圆心E 与C 点连线上PB 11DD C C P 此时取得最小值.PC 则即为直线与平面所成的角BPC ∠PB 11DD C C设正方体的边长为2,则,1PC EC EP =-=2BC =所以tan BC BPC PC ∠===故选:D【点睛】本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、多选题9．（多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（）A ．B ．430x y -=430x y +=C ．D ．10x y -+=10x y +-=【答案】BD【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为430x y +=，代入点求出的值即可得到直线方程．x y a +=(3,4)-a 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为，43y x=-430x y +=②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为，a x y a +=又直线过点，代入得，即，(3,4)-34a -+=1a =直线方程为：，化为一般式为，∴1x y +=10x y +-=综上所求，直线的方程为或.430x y +=10x y +-=故选：BD.10．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】ABD【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案．【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误；对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确；对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误，故选：ABD ．11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则（）A BD C --A ．⊥B ．是等边三角形AC BDACD C ．AB 与平面BCD 所成的角为60°D ．AB 与CD 所成的角为90°【答案】AB【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，进而得到线线垂直；B 选项，设出正方形边长为a ，由直二面角的条件得到，由勾股定理得到，从=90AOC ∠︒AC a =而得到，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD C 选项，证明线面垂直，得到AB 与平面BCD 所成角为，求出其度数即可；ABO ∠D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直角的夹角.【详解】取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为，，AB AD =BC DC =所以，,OC BD OA BD ⊥⊥因为，平面OAC ，OC OA O ⋂=,OC OA ⊂所以BD ⊥平面AOC ，因为平面AOC ，AC ⊂所以BD ⊥AC ，A 正确；不妨设正方形边长为a ，则CD =AD =a ，则，AO CO ==因为二面角为直二面角，，A BD C --,OC BD OA BD ⊥⊥所以即为二面角的平面角，且，AOC ∠A BD C --=90AOC ∠︒由勾股定理得：，AC a ==故，是等边三角形，B 正确；CD AD AC ==ACD 由AB 选项可知：，，，平面BCD ，AO OC ⊥AO BD ⊥OC BD O = ,OC BD ⊂所以AO ⊥平面BCD ，故AB 与平面BCD 所成角为，且，ABO ∠45ABO ∠=︒故AB 与平面BCD 所成的角为45°，C 错误；以O 为坐标原点，OA ，OD ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设，AB a =则，,0,0,0,,0,,,0A B C D ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则，0,,0,0,0=,,0AB ⎛⎫⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，,0=,CD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则21,,0,02AB CD a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故AB 与CD 所成的角不为90°，D 错误.故选：AB 12．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线()40x y x +=<<4P O 224x y +=A B 与，轴分别交于点，，则（）AB x y M N A ．点恒在以线段为直径的圆上B ．四边形面积的最小值为4O AB PAOBC ．的最小值为D ．的最小值为4ABOM ON+【答案】BCD【分析】对于A ，由动点及圆的性质即可判断；对于B ，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求PO PO解；对于C ，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后A B OP AB 数形结合即可得解；对于D ，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本AB M N 44OM ON a b +=+不等式即可求解．【详解】对于A ，在四边形中，不一定是直角，故A 错误；PAOB AOB ∠对于B ，连接，由题易知，所以四边形的面积PO Rt Rt PAO PBO ≌PAOB，又的最小值为点到直线的距离，即，1222S PA OA PA =⨯⋅==PO O 4x y +=所以四边形面积的最小值为，B 正确；PAOB 4=设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，(),P a b OP ()()0x x a y y b -+-=O 224x y +=得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则4ax by +=AB 4ax by +=P 4x y +=4a b +=，代入直线的方程，得，即，令，则4b a =-AB ()440a x y y -+-=()440a x y y -+-=x y =，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最440y -=1x =1y =AB ()1,1C OC =AB小值为，C 正确；=在中，分别令，得到点，，所以，因为点4a by +=0y =0x =4,0M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭44OM ON a b +=+在直线上，所以且，，则(),P a b ()40x y x +=<<44a b +=04a <<04b <<，当且仅当时等号成立，所以()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2a b ==的最小值为4，D 正确．OM ON+故选：BCD.【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论：（1）过圆上一点的切线方程为()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y ；()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，C ()()()2220x a y b r r -+-=>()00,P x y C A ，则切点弦所在直线的方程为．B AB ()()()()200x a x a y b y b r --+--=三、填空题13．已知点，，则以线段为直径的圆的方程是___________.()3,2A -()5,4B -AB 【答案】()()221125x y ++-=【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，再用两点间距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】因点，，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，()3,2A -()5,4B -AB ()1,1C -()1,1C -圆的半径，5=所以以线段为直径的圆的方程是：.AB ()()221125x y ++-=故答案为：()()221125x y ++-=14．为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点P ABCD PA ⊥ABCD 3AB =4=AD 1PA =到的距离为__．P BD【答案】/135 2.6【分析】方法一：过作，交于，连结，则可得是点到的距离，然后A AE BD ⊥BD E PE PE P BD 求解即可，方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】方法一矩形中，，，，ABCD 3AB =4=AD 5BD ∴==过作，交于，连结，A AE BD ⊥BD E PE平面，平面，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD ，PA BD ∴⊥又，，AE BD ⊥PA AE A = 平面， BD ∴⊥PAE ∵平面，PE ⊂PAE ，即是点到的距离，PE BD ∴⊥PE P BD ，，1122AB AD BD AE ⨯⨯=⨯⨯ 125AB AD AE BD ⨯∴==，135PE ∴===点到的距离为．∴P BD 135方法二∵平面，平面，PA ⊥ABCD ,AB AD ⊂ABCD ∴，,PA AB PA AD ⊥⊥∵AB AD⊥∴三线两两垂直，PA AB AD 、、∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，A ,,AB AD AP ,,x y z，()()()001300040P B D ∴，，，，，，，，，()301BP ∴=-，，()340BD =- ，，，∴cos ,BP BD BP BD BP BD⋅===点到的距离为∴PBD 135d ==故答案为：13515．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直xOy 224x y +=224440x y x y ++-+=l 线的方程为________.l 【答案】20x y -+=【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.l 【详解】若圆和圆关于直线对称，224x y +=224440x y x y ++-+=l 则直线为两个圆心的中垂线，l 的圆心为，224x y +=1(0,0)O 的圆心为.224440x y x y ++-+=2(2,2)O -，中点为121O O k =-(1,1)-可得直线为，整理得：.l 11y x -=+20x y -+=故答案为：.20x y -+=16．正四面体中，、分别为边、的中点，则异面直线、所成角的余弦ABCD M N BC AB DM CN 值为 _____．【答案】16【分析】根据点分别为棱、的中点，根据向量的运算得出，,M N BC AB ()1=22DM a b c+-，然后可设正四面体的棱长为2，从而进行数量积的运算可求得，并且根12CN a b=- 12DM CN ⋅=-，然后便可求出的值，从而可得出异面直线与所成cos ,DM CNDM CN 角的余弦值.【详解】为棱的中点，设， M BC ,,AB a AC b AD c === .()()()()111=+=+=2222DM DB DC AB AD AC AD a b c⎡⎤∴--+-⎣⎦ 又为棱的中点,N AB .∴1122CN CA AN AC AB a b=+=-+=-又的两两夹角都为，并设,,,a b c60︒===2a b c ∴()221111112224422DM CN a b c a b a a b b a c b c⎛⎫⋅=+-⋅-=-⋅--⋅+⋅ ⎪⎝⎭ .11121222=---+=-,1cos ,==6DM CN DM CN DM CN⋅∴-⋅异面直线与所成角的余弦值为.∴DM CN 16故答案为:.16四、解答题17．已知的三个顶点，，，求：ABC (4,6)A -(4,0)B -(1,4)C -(1)边上的高所在直线的方程；AC BD (2)的垂直平分线所在直线的方程．BC EF 【答案】(1)；240x y -+=(2).6810x y +-=【分析】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程；ACk BD BD k (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程．BCk EFk BC 【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．2AC k =-∴BD 12BD k =又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．BD (4,0)B -BD 240x y -+=（2），．又线段的中点为，43BCk = 34EF k ∴=-BC 5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所在直线的方程为，EF ∴35242y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭整理得所求的直线方程为：．6810x y +-=18．如图，在长方体中，，，E 是CD 中点.1111ABCD A B CD -2AB =11BC CC ==（1）和所成角的大小；1BC 1D E（2）证明：.11B E AD ⊥【答案】（1）；（2）证明见解析；3π【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角的大小；（2）首先求出，，利用空间向量法证明即可；1B E1AD 【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，()1,2,0B ()10,2,1C ()10,0,1D ()0,1,0E ，，所以，，设和所成的角为，则()11,2,1B ()1,0,0A ()11,0,1BC =-()10,1,1D E =-1BC 1D Eθ，因为，所以，即和所成的角为；11111cos 2BC D E BC D Eθ⋅⋅=== 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎣⎦3πθ=1BC 1D E 3π（2）由（1）可得，，所以，()11,1,1B E =---()11,0,1AD =-()()()()111101110B E AD ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=所以11B E AD ⊥19．已知圆过点，，且圆心在直线上．C ()0,1A ()2,1B C 10x y +-=(1)求圆的标准方程；C (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程．l ()2,2C l 【答案】(1)；()2212x y -+=(2)或.2x =3420x y +=-【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，C 1x =C 10x y +-=根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程；C （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设2x =的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线l ()22y k x -=-距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上，C ()0,1A ()2,1B C 1x =又圆心在直线上，令可得，C 10x y +-=1x =0y =所以圆的圆心为,C ()1,0=所以圆的标准方程为.C ()2212x y -+=（2）当l 斜率不存在时，l 的方程为，2x =易知此时被圆C 截得的弦长为2，符合题意，所以；2x =当l 斜率存在时，设l 的方程为，2(2)220y k x kx y k -=-⇒-+-=则．d =又直线l 被圆C 所截得的弦长为2，所以，则，2==1d =，解得，1=34k =所以直线l 的方程为．()32234204y x x y -=-⇒-+=综上：l 的方程为或.2x =3420x y +=-20．如图，正三棱柱的所有棱长都为2．111ABC A B C -(1)求点'到平面的距离．B 11A BC (2)求平面与平面夹角的余弦值．1AA B 11A BC【答案】【分析】（1）取的中点，的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面BC D 11B C E D的一个法向量和，结合距离公式，即可求解；11A BC n =1(0,2,0)BB =（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，结合平面的1AAB m =11A BC 一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.n =【详解】（1）解：如图所示，取的中点，的中点，连接与，BC D 11B C E AD DE 因为三棱柱为正三棱柱，可得且平面平面，111ABC A B C -AD BC ⊥ABC ⊥11BCC B 所以平面，AD ⊥11BCC B 由矩形中，因为分别为的中点，可得11BCC B ,D E 11,BC B C DE BC ⊥以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，D ,,DB DE DA x y z 因为正三棱柱的所有棱长都为，可得，111ABC A B C -2AD =则，111(1,0,0),(0,(1,2,0),(1,2,0)B A B C -所以，111(2,2,0),(1,(0,2,0)BC BA BB =-=-=设平面的法向量为，则，11A BC (,,)n x y z =1120220n BA x y n BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，所以，x =1yz ==-1)n =-则到平面的距离为.1B 11ABC d （2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得，1(1,0,0),(0,AB A 可得，1(1,0,(0,2,0)AB AA ==设平面的法向量为，则，1AA B (,,)m a bc =1020m AB a m BC b ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩取，所以，a =0,1b c ==m =又由平面的一个法向量为，11ABC 1)n =-可得，cos ,m n m n m n ⋅===即平面与平面11A BC 1AA B21．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，，O 为AC 的中点．AB BC ==4PA PB PC AC ====(1)证明：PO ⊥平面ABC ．(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M ﹣PA ﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据平面几何知识可证得，，再由线面垂直的判定可得证；PO OB ⊥OP AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，运用面面角、线面角的向量求解方法可求得答案.【详解】（1）以为，为的中点，所以，且.4AP CP AC ===O AC OP AC ⊥OP =OB因为，所以为等腰直角三角形，且.AB BC AC=ABC 1,22OB AC OB AC ⊥==由得.222OP OB PB +=PO OB ⊥由,平面,平面,得平面.,,OP OB OP AC OB AC O ⊥⊥⋂=OB ⊂ABC AC ⊂ABC PO ⊥ABC （2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，O OBx Oxyz由题意得，.()()()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,O B A C P-(0,2,AP ∴=取平面的一个法向量为.设，则.设平面PAC ()2,0,0OB = ()(),2,002M a a a -<≤(),4,0AM a a =- 的法向量为.PAM (),,n x y z =由，得可取，所以0,0⋅=⋅=AP n AMn ()20,40,y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩))4,n a a=--cos ,OB n =又，解得（舍去）或，cos ,OB=4a =-43a =所以，又，43n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(0,2,PC =- 设与平面所成角为，则.PC PAM θsin cos PC θ= 所以与平面PC PAM 22．已知圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上，且与直线相切．3480x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）直线与圆C 交于A ，B 两点．:2l y kx =+①求k 的取值范围；②证明：直线OA 与直线OB 的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.()2211x y -+=3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C 过原点，所以半径r =a ，(),0(0)C a a >又圆C 与直线相切，所以圆心C 到直线的距离（负值舍去），3480x y +-=|38|15a d a a -==⇒=所以圆 C 的标准方程为：.()2211x y -+=（2）（ⅰ）将直线l 代入圆的方程可得：，因为有两个交点，()()2214240kx k x ++-+=所以，即k 的取值范围是.()()2234216104k k k ∆=--+>⇒<-3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（ⅱ）设，由根与系数的关系：，()()1122,,,A x y B x y 12212242141k x x k x x k -⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩所以.()1212121212122222OA OBx x y y kx kx k k kx x x x x x ++++=+=+=+2242212141k k k k --⋅+=+=+即直线OA ,OB 斜率之和为定值.。

2021-2022学年广东省深圳市宝安区沙井中学高二(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年广东省深圳市宝安区沙井中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．过点P（﹣2，1）且倾斜角为90°的直线方程为（）A．y＝1B．x＝﹣2C．y＝﹣2D．x＝12．已知＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），则等于（）A．（2，﹣4，2）B．（﹣2，4，﹣2）C．（﹣2，0，﹣2）D．（2，1，﹣3）3．直线3x+y+m＝0（m∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°4．过点（1，0）且与直线x﹣2y＝0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x+y﹣2＝0 5．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一点到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．77．若两异面直线l1与l2的方向向量分别是＝（1，0，﹣1），＝（0，﹣1，1），则直线l1与l2的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣6y﹣16＝0B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝09．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，DB1⊥面A1BC1，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（）A．B．5C．2D．10二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得02：11．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥12．已知圆C：x2+y2﹣kx+2y+k2﹣k+1＝0，下列说法正确的是（）A．k的取值范围是k＞0B．若k＝4，则该圆圆心为（2，﹣1），半径为4C．若k＝4，过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，则该直线方程为12x﹣5y﹣16＝0D．若k＝4，m＞0，n＞0，直线mx﹣ny﹣1＝0恒过C的圆心，则+≥8恒成立三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知m∈R，则直线mx+y﹣2m+1＝0恒过定点．（写出该点坐标）14．已知两条平行直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+C＝0间的距离为3，则C的值为．15．若向量＝（1，λ，1），＝（2，﹣1，﹣2），且与的夹角余弦为，则λ等于．16．已知P是直线l：x+2y+6＝0上一动点，过点P作圆C：x2+y2+2x﹣3＝0的两条切线，切点分别为A、B．则四边形PACB面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝4，设＝，＝，＝；（1）试用、、表示；（2）求MN的长度；18．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．19．（1）已知圆C的方程为x2+y2＝4，求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；（2）点（﹣5，﹣4）作一直线l，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD．（1）求异面直线PB与CM所成角的大小；（2）求点M到平面PAC的距离．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AP，PD⊥平面ABCD，AP＝BC＝AB ＝2AD．（1）证明：PB⊥AC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．（1）求圆C关于直线y＝x对称的圆的方程；（2）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．过点P（﹣2，1）且倾斜角为90°的直线方程为（）A．y＝1B．x＝﹣2C．y＝﹣2D．x＝1【分析】根据题意，要求直线的倾斜角为90°，分析可得该直线与x轴垂直，又由直线过点（﹣2，1），由直线的点斜式方程即可得答案．解：根据题意，要求直线的倾斜角为90°，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在，又由直线过点P（﹣2，1）．则其方程为x＝﹣2；故选：B．2．已知＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），则等于（）A．（2，﹣4，2）B．（﹣2，4，﹣2）C．（﹣2，0，﹣2）D．（2，1，﹣3）【分析】根据空间向量的线性运算，求出向量的坐标即可．解：∵＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），∴＝+﹣＝（﹣1﹣1，2﹣（﹣2），﹣1﹣1）＝（﹣2，4，﹣2）．故选：B．3．直线3x+y+m＝0（m∈R）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】直线的斜率为﹣，所以倾斜角为120度．解：因为直线的斜率为﹣，所以设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ＝﹣，所以θ＝120°．故选：C．4．过点（1，0）且与直线x﹣2y＝0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1＝0B．x﹣2y+1＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x+y﹣2＝0【分析】知道一点坐标和斜率即可求直线方程．互相垂直的两条直线的斜率相乘得﹣1．由题可以算出斜率．解：由题可知直线x﹣2y＝0的斜率k＝，∴要求直线的斜率k＝﹣2．由点斜式方程可得：y﹣0＝﹣2（x﹣1），化简得2x+y﹣2＝0．故选：D．5．如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先把Ax+By+C＝0化为y＝﹣x﹣，再由AB＜0，BC＜0得到﹣＞0，﹣＞0，数形结合即可获取答案解：∵直线Ax+By+C＝0可化为y＝﹣x﹣，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴﹣＞0，﹣＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．6．圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一点到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，加上半径得答案．解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心坐标C（3，4），半径为1，则圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一点到原点的距离的最大值为|OC|+1＝．故选：C．7．若两异面直线l1与l2的方向向量分别是＝（1，0，﹣1），＝（0，﹣1，1），则直线l1与l2的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】运用向量的夹角公式，结合向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，计算可得所求异面直线所成角．解：＝（1，0，﹣1），＝（0，﹣1，1），可得•＝1×0+0×（﹣1）+（﹣1）×1＝﹣1，||＝，||＝，则cos＜，＞＝＝＝﹣，由0°≤＜，＞≤180°，可得＜，＞＝120°，可得直线l1与l2的夹角为60°，故选：B．8．已知圆C经过两点A（0，2），B（4，6），且圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣6y﹣16＝0B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝0【分析】设出圆心，利用两点间距离公式求出a的值，从而得到圆心和半径，求出圆的标准方程，化为一般方程，即可得到答案．解：因为圆心C在直线l：2x﹣y﹣3＝0上，设圆心C（a，2a﹣3），又圆C经过两点A（0，2），B（4，6），所以|CA|＝|CB|，故，解得a＝3，所以圆心C（3，3），半径r＝|CA|＝，则圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10，化为一般方程为x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0．故选：C．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，DB1⊥面A1BC1，则EF与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出EF与平面A1BC1所成角的正弦值．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BC的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，2），F（1，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），C1（0，2，2），＝（﹣1，1，﹣2），＝（0，﹣2，2），＝（﹣2，0，2），设平面A1BC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，1），设EF与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴EF与平面A1BC1所成角的正弦值为．故选：A．10．若直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（）A．B．5C．2D．10【分析】本题考查的是直线与圆性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的圆心，则不难求出（a，b）表示的点在平面直线直角坐标系中的位置，分析表达式（a﹣2）2+（b﹣2）2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．解：∵直线l：ax+by+1＝0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的周长∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1＝0的圆心即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1＝0上则2a+b﹣1＝0则（a﹣2）2+（b﹣2）2表示点（2，2）至直线2a+b﹣1＝0点的距离的平方则其最小值d2＝＝5故选：B．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得02：11．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（）A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．是平面ABCD的一个法向量D．∥【分析】由•＝0得出⊥，判断A正确；由•＝0得出⊥，判断B正确；由⊥且⊥得出是平面ABCD的一个法向量，判断C正确；由是平面ABCD的法向量得出⊥，判断D错误．解：对于A，•＝2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确；对于B，•＝（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确；对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误．故选：ABC．12．已知圆C：x2+y2﹣kx+2y+k2﹣k+1＝0，下列说法正确的是（）A．k的取值范围是k＞0B．若k＝4，则该圆圆心为（2，﹣1），半径为4C．若k＝4，过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，则该直线方程为12x﹣5y﹣16＝0D．若k＝4，m＞0，n＞0，直线mx﹣ny﹣1＝0恒过C的圆心，则+≥8恒成立【分析】将方程整理成标准方程，由圆的方程可得参数的范围，由k的值可得圆心的坐标及半径，设直线的方程，求出圆心在直线的距离，由弦长公式可得参数的值，可得直线的方程，由均值不等式可得不等式的范围．解：圆C：x2+y2﹣kx+2y+k2﹣k+1＝0，标准方程为：（x﹣）2+（y+1）2＝k，因为方程是圆的方程，则可得k＞0，所以A正确；当k＝4时，圆心坐标为（2，﹣1），半径为2，所以B不正确；当k＝4时，设过M的方程为：y﹣4＝t（x﹣3），即tx﹣y﹣3t+4＝0，圆的半径r＝2，所以可得圆心到直线的距离d＝＝1，而圆心到直线的距离d＝＝，由题意可得1＝，解得：t＝，所以直线l的方程为：12x﹣5y﹣16＝0；所以C正确；k＝4时，圆心的坐标为（2，﹣1），由题意可得2m+n＝1，m＞0，n＞0，+＝（+）（2m+n）＝1+4++≥5+2＝9，当且仅当＝，即n＝2m时取等号所以D正确；故选：ACD．三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知m∈R，则直线mx+y﹣2m+1＝0恒过定点（2，﹣1）．（写出该点坐标）【分析】将直线方程改写为（x﹣2）m+y+1＝0的形式，由恒等关系的方程组，求解可得．解：将直线方程改写为：（x﹣2）m+y+1＝0，令x﹣2＝0，得y+1＝0所以x＝2，y＝﹣1，所以直线过定点（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．14．已知两条平行直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+C＝0间的距离为3，则C的值为﹣9或21．【分析】由题意利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．解：两条平行直线l1：3x﹣4y+6＝0与l2：3x﹣4y+C＝0间的距离为＝3，则C＝﹣9或21，故答案为：﹣9或21．15．若向量＝（1，λ，1），＝（2，﹣1，﹣2），且与的夹角余弦为，则λ等于﹣．【分析】利用向量夹角余弦公式直接求解．解：向量＝（1，λ，1），＝（2，﹣1，﹣2），且与的夹角余弦为，∴cos＜＞＝＝＝，解得λ＝﹣．故答案为：﹣．16．已知P是直线l：x+2y+6＝0上一动点，过点P作圆C：x2+y2+2x﹣3＝0的两条切线，切点分别为A、B．则四边形PACB面积的最小值为2．【分析】根据题意，作出草图，求出四边形PACB面积的表达式，分析可得，当|PC|最小时，切线PA的长度最小，同时四边形PACB面积的最小，由点到直线的距离公式分析|PC|的最小值，求出|PA|的最小值，计算即可得答案．解：根据题意，圆C：x2+y2+2x﹣3＝0即（x+1）2+y2＝4，其圆心为（﹣1，0），半径r ＝2，如图：S四边形PACB＝2S△APC＝2×（×|AP|×|AC|）＝2|AP|，当切线PA的长度最小时，四边形PACB面积的最小，而|PA|＝＝，当|PC|最小时，切线PA的长度最小，|PC|的最小值为圆心C到直线l：x+2y+6＝0的距离，且最小距离d＝＝，则|PA|的最小值为＝1，故四边形PACB面积的最小值为2，故答案为：2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝4，设＝，＝，＝；（1）试用、、表示；（2）求MN的长度；【分析】（1）＝＝﹣﹣+＝﹣（+）﹣+（），由此能求出结果．（2）由＝﹣++．AD＝AA1＝AB＝1，∠A1AB＝∠DAB＝∠DAA1＝60°，由此能求出MN的长度．解：（1）＝＝﹣﹣+＝﹣（+）﹣+（）＝﹣（）﹣+（）＝﹣++．（2）∵＝﹣++，∴＝（﹣）2＝++﹣﹣+＝＝．∴MN的长度为||＝．18．已知点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上．（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】（Ⅰ）把点（2，﹣3）代入圆的方程，求得m的值，可得圆心坐标及半径长．（Ⅱ）先求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式，求得结果．解：（Ⅰ）∵点（2，﹣3）在圆C：x2+y2﹣8x+6y+m＝0上，∴22+（﹣3）2﹣16﹣18+m ＝0，解得m＝21．∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝4，∴圆心C坐标为（4，﹣3），半径r＝2．（Ⅱ）．依题意，直线l的方程为，即4x+3y+1＝0．则圆心到直线l的距离为，∴．19．（1）已知圆C的方程为x2+y2＝4，求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；（2）点（﹣5，﹣4）作一直线l，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．【分析】（1）分切线的斜率存在和不存在两个情况讨论，由圆心到直线的距离等于半径可得参数的值，进而求出切线的方程；（2）设直线l的截距式方程，将点的坐标代入及面积的值代入求出参数的值，进而求出直线l的方程．解：（1）当直线l的斜率不存在时，则直线的方程为x＝2，由题意显然相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1＝0，圆心C到直线l的距离d＝，由题意可得2＝，解得：k＝﹣，所以直线l的方程为：y＝﹣（x﹣2）+1，即3x+4y﹣10＝0，所以直线l的方程为：x＝2或3x+4y﹣10＝0；（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：+＝1，则由题意，当ab＝10时，整理可得2a2+5a﹣10＝0，解得：或这时直线方程为+＝﹣1或+＝1，当ab＝﹣10时，整理可得得2a2+5a+10＝0，此时方程无解，综上所述直线的方程为+＝﹣1或+＝1．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD．（1）求异面直线PB与CM所成角的大小；（2）求点M到平面PAC的距离．【分析】（1）建立空间坐标系，根据BM⊥PD判断M的位置，利用向量夹角公式计算异面直线所成的角；（2）作DN⊥AC，证明DN⊥平面PAC，则点M到平面PAC的距离等于DN．解：（1）以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：则B（2，0，0），P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），∴＝（2，0，﹣4），＝（0，4，﹣4），＝（﹣2，0，0），设＝λ＝（0，4λ，﹣4λ），则＝＝（﹣2，4λ，4﹣4λ），∵BM⊥PD，∴＝0，即16λ+16λ﹣16＝0，∴λ＝，∴M（0，2，2），∴＝（﹣2，﹣2，2），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴异面直线PB与CM所成角为arccos．（2）在矩形ABCD内，过D作DN⊥AC，垂足为N，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DN，又DN⊥AC，PA∩AC＝A，∴DN⊥平面PAC，又AD＝4，CD＝2，AD⊥CD，∴AC＝＝2，DN＝＝，∴D到平面PAC的距离为DN＝，由（1）可知M是PD的中点，∴M到平面PAC的距离为DN＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AP，PD⊥平面ABCD，AP＝BC＝AB ＝2AD．（1）证明：PB⊥AC；（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．【分析】（1）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，进而AB⊥平面PAD，AB⊥AD，作直线DM∥AB，建立空间直角坐标系证明＝0，从而证明结论．（2）由（1）可得两平面的一个法向量，从而用向量法求得平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．【解答】证明：（1），设AD＝2，则由已知得，AB＝，AP＝BC＝4，∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵AB⊥AP，AP∩PD＝p，∴AB⊥平面PAD，∵AD⊂面PAD，∴AB⊥AD，，过点D作DM∥AB交BC于点M，可得PD⊥DM，PD⊥AD，在Rt△ADP中易求得PD＝，以点D为坐标原点，以DA，DM，DP所在直线分别作为坐标轴建立如图所示的坐标系，则P（0，0，），B（2，，0），A（2，0，0）C（﹣2，2，0），所以＝（2，，﹣），＝（﹣4，2，0），∴＝＝0，∴PB⊥AC；（2）由（1）知，＝（﹣2，0，）设平面ABP的一个法向量，∴，所以，令z＝，则x＝3，y＝0所以平面ABP的一个法向量，由（1）知＝（4，0，0），＝（2，﹣2，2）设平面PBC的一个法向量＝（a，b，c）所以，所以，令b＝，则c＝，所以平面PBC的一个法向量＝（0，，），cos＜，＞＝＝，所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．故答案为：（1）PB⊥AC成立．（2）．22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．（1）求圆C关于直线y＝x对称的圆的方程；（2）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．【分析】（1）圆关于直线的对称，只需圆心关于直线对称即可，求出圆心的对称点，进而求出圆的方程；（2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离d，进而求出弦长|PD|的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，写成直线的方程．解：（1）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．则圆C关于直线y＝x对称的圆的方程，只需要圆心关于y＝x对称，可得（x﹣4）2+（y﹣3）2＝4．（2）B在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：x＝my+1，则圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长|PQ|＝2，所以S△CPQ＝|PQ|•d＝，当d2＝2时S最大，即d＝，即＝，解得m＝或m＝1，S△CPQ的最大值为2，所以直线l的方程为：x＝y+1或x＝y+1．。

广东省深圳市宝安中学高二数学上学期期中测试试题文新人教A版

数学（文科）一．选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分） 1．已知0a，0b ,则不等式b xa ->>1的解是（）. A 11x a b -<< B 11x a b <<-C 10x b -<<,或1x a >D 1x b <-，或1x a>2．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若a =b =45B =︒，则角A=（）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°4．已知数列}{n a 是等比数列，则下列数列：①}{2n a ； ②}{1-+n n a a ； ③}{lg n a ； ④|}{|n a 中仍成等比数列的个数为（）A 1B 2C 3D 4 5．不等式21≥-xx 的解集为（）A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6.若等差数列{}n a 满足2d =-,n S 是数列前n 的和,若1011S S =则1a 为 ( )A 18B 20C 22D 24 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01508. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项9.等差数列}{n a 前n 项和为n S ,公差0<d ，若存在正整数)1(>m m 使m m S a =，则当m n >时n S 与n a 的大小关系为（）A n n a S >B n n a S <C n n a S =D 不能确定10 ．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（）A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p 二．填空题：（每小题5分，共计20分）11．若等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a = .12．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

2020年11月深圳市高级中学高二第一学期期中考试数学试题参考答案

深圳高级中学(集团)2020-2021学年第一学期期中考试高二数学审题人：命题人：一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设,则“”是“”的( A )条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 2.抛物线24y x =的焦点坐标为( C )A.(1,0)B.(0,1)C.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭3.已知向量,向量,若与a b -垂直,则μ=( C )A.1-B.1C.19 D.12- 4.正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长相等,E 为SC 的中点,则BE 与SA 所成角的余弦值为( C )A.13B.12C.3 D.3 5.如图所示,点F 是抛物线24y x =的焦点,点A ,B 分别在抛物线24y x =及圆22(1)16x y -+=的实线部分上运动,且AB 总是平行于x 轴,则FAB △的周长的取值范围是 DA.(2,6)B.(5,8)C.(8,12)D.(8,10)6.是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面平行的是 ( B ) A.是平面内两条直线,且.B.是两条异面直线,,且.C.内不共线的三点到的距离相等.D.都垂直于平面.7.在ABC ∆中,内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，,若2cos c a a B -=,则3a cb+的最小值为(C ) A.2B.3C.22D.38.直线与椭圆：()222210x y a b a b+=>>交于A 、B 两点,以线段为直径的圆恰好经过椭2()0a b a -<a b <)3,2(=a )2,1(-=b b a +μβα,βα,n m ,αββ//,//n m n m ,βα⊂⊂n m ,αβ//,//n m αββα,γ3y x =-C AB圆的右焦点,则椭圆的离心率为( B )A.B. C. D. 目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.已知双曲线的方程为：22197x y -=,则下列说法正确的是( BC ) A.焦点为()2,0± B.渐近线方程为730x y ±= C.离心率e 为43D.焦点到渐近线的距离为144 10.已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则( AD ) A.()cos(2)6f x x π=-B.()sin(2)6f x x π=- C.()()33f x f x ππ+=- D.()()33f x f x ππ+=--11.如图,在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11A D 的中点,Q 为11A B 上任意一点,E 、F 为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中是定值的是( ACD )A.点P 到平面QEF 的距离B.直线PQ 与平面PEF 所成的角C.三棱锥P QEF -的体积D.△QEF 的面积12.如图,过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B 和,C D (其中,A C 位于x 轴上方),直线,AC BD 交于点Q .则下列说法正确的是(ABC )A.,C D 两点的纵坐标之积为4-B.点Q 在定直线2x =-上C.||PC 最小值是2D.无论CD 旋转到什么位置,始终有CQP BQP ∠=∠ 【详解】设点()()1122,,,C x y D x y ,C 3231-312-423-将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=.则124y y =-.故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -, 直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+,直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--, 消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+,将124y y =-代入上式得2x =-,故点Q 在直线2x =-上,故B 正确；计算2,2PA OP ==可知选项C 错误；因为PA PB =,但QA QB ≠,所以D 错误. 故选：AB.二.填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若()sin 753α︒+=,则()cos 302α︒-= .59-14.数列{}n a 中,12a =,12n n a a +=,*n N ∈.若其前k 项和为126,则k =______.6 15.的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,2PA =,23ABC π∠=,1AB =,则球O 的表面积为________.8π16.已知双曲线C 的焦点为1(0,2)F ,2(0,2)F -,实轴长为2,则双曲线C 的离心率是________；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点,且12FQ F Q ⊥,则12QF F △的面积为________.2；三.解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(10分)在①sin 2sin A C =,②6a c +=,③15ac =,这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线中,若问题中的△ABC 存在,求出△ABC 的面积；若问题中的△ABC 不存在,请说明理由.问题：是否存在△ABC ,它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知sinsin 2A Ca b A +=,3b =, .解：(1)由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=. 因为sin A ≠0,所以sinsin 2A CB +=. 由180A BC ︒++=,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222B B B =.因为cos 02B ≠,故1sin 22B =,因此B =60°.………...………………5分选择①：sin 2sin A C =即a=2c, 根据余弦定理有,cos B =a 2+c 2−b 22ac=12...................................8分代入b=3, 解得c=√3, a=2√3, 所以面积S=ac sin B 2=3√32..............................................10分选择②: cos B =a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−2ac−92ac=12,代入a+c=6,解得ac=9, 结合a+c=6, 所以a=c=3........8分所以面积S=ac sin B2=9√34.....................10分选择③： cos B =a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−2ac−92ac=12,代入ac=15, 解得a+c=3√6,..................................8分结合ac=15,无解,所以△ABC 不存在..........................10分18.设数列的前项和为,且满足. (1)求数列的通项公式；(2)是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由。

深圳宝安区育才学校数学高二上期中经典测试卷(培优专题)

一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s >< D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：13004]在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 3．(0分)[ID ：13001]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?4．(0分)[ID ：12994]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +5．(0分)[ID ：12985]某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a=+中的2b=-，气象部门预测下个月的平均气温为6C︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）A．58件B．40件C．38件D．46件6．(0分)[ID：12978]从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件A与C互斥B．事件B与C互斥C．任何两个事件均互斥D．任何两个事件均不互斥7．(0分)[ID：12973]从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ．A．12B．13C．23D．18．(0分)[ID：12968]下面的算法语句运行后，输出的值是（）A．42B．43C．44D．459．(0分)[ID：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A ．20B ．25C ．30D ．3510．(0分)[ID ：12950]下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．(0分)[ID ：12938]某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③12．(0分)[ID ：13024]已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（） A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦13．(0分)[ID ：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（） A ．23B ．13C ．1 2D ．5614．(0分)[ID ：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．715．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a、b、c、d大小关系为_____________.17．(0分)[ID：13101]变量X与Y相对应的5组数据和变量U与V相对应的5组数据统计如表：X1011.311.812.513U1011.311.812.513 Y12345V54321用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是___．18．(0分)[ID：13093]执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．19．(0分)[ID：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝________.20．(0分)[ID：13064]根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，则输出的数是________．21．(0分)[ID：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A，S分别为0,1，则输出的S=____________．22．(0分)[ID：13059]如左下图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_________。

2020-2021深圳宝安区育才学校高中必修一数学上期中试题(含答案)

a
1, 3,
1
3
因为
f
x在0,
上单调递增，所以
a
3,
1 3
因此选 B.
【点睛】
本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.
7．D
解析：D 【解析】
由 x2 2x 8 >0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令 t= x2 2x 8 ，则 y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= x2 2x 8 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= x2 2x 8 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数 f(x)=ln( x2 2x 8 )的单调递增区间是(4,+∞)，
故选 D.
点睛：形如 y f g x 的函数为 y g x , y f x 的复合函数， y g x 为内层函
数, y f x 为外层函数.
A．
B．
C．
D．
3．已知函数 f x ln 1 x ，则不等式 f x f 13x 0 的解集为（）
1 x
A．
1 2
,
B．
1 3
,
1 2
C．
1 4
,
2 3
D．
1 2
,
2 3
4．已知 a log0.6 0.5 ， b ln 0.5， c 0.60.5 ，则（）
A． a c b
则 f x 在[3, 0] 上的解析式为______．
18．某班有 36 名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知
参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26，15，13，同时参加数学和物理小组的有 6
人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．

2020-2021深圳市宝安中学高二数学上期末第一次模拟试题(含答案)

2020-2021深圳市宝安中学高二数学上期末第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．执行如图的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于( )A ．3B ．5C ．7D ．152．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A ．116B ．18C ．38D ．3164．执行如图所示的程序框图，若输入8x =，则输出的y 值为（）A ．3B ．52C ．12D ．34-5．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020216．如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（） A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度8．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元9．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．14B ．13C ．17D ．41310．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3211．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以,OA OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．21π-B ．122π- C ．2πD ．1π12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD-的内部的概率为______．15．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________16．在[0,1]上随机取两个实数,a b ，则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________． 17．已知集合{1,U =2，3，⋯，}n ，集合A 、B 是集合U 的子集，若A B ⊆，则称“集合A 紧跟集合B ”，那么任取集合U 的两个子集A 、B ，“集合A 紧跟集合B ”的概率为______．18．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为．19．执行下面的程序框图，如果输入的0.02t =，则输出的n =_______________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．为了鼓励市民节约用电，某市实行“阶梯式”电价，将每户居民的月用电量分为二档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度的部分按0.8元/度收费.某小区共有居民1000户，为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年7月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）试估计该小区今年7月份用电量用不超过260元的户数；（3）估计7月份该市居民用户的平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.22．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）23．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm ），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，[29,31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm 的为优质树苗.(1)求图中a 的值；(2)已知所抽取的这120株树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计优质树苗20非优质树苗 60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；(3)通过用分层抽样方法从B 试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.附：参考公式与参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++()20P K k ≥ 0.010 0.005 0.001 0k6.6357.87910.82824．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示.（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收人薪资高于8000元的城市的概率；（2）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元的概率.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星读书之星总计男女 10 55 总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为1A ，2A ，3A ，乙协会编号为4A ，丙协会编号分别为5A ，6A ，若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序，可得1t =-，不满足条件0t >，0t =，满足条件()()250t t +-<，不满足条件0t >，1t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，3t =，满足条件()()250t t +-<，满足条件0t >，7t =，不满足条件()()250t t +-<，退出循环，输出t 的值为7. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．C解析：C 【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.3．B解析：B 【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()221822a a =，故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=，满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．C解析：C 【解析】【分析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果. 【详解】由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L ， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q，111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 本题选择C 选项. 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．6．C解析：C 【解析】根据平均数的概念，其平均数为52x +，方差为2258⨯，故选C.7．A解析：A 【解析】【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误．【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．8．A解析：A 【解析】【分析】由已知求得 x ， y ，进一步求得$ a，得到线性回归方程，取16x =求得y 值即可．【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=， 5.97.88.18.49.858y ++++==．又 0.78b=$，∴$ 80.78100.2a y bx --⨯===$．∴$ 0.780.2y x =+．取16x =，得$ 0.78160.212.68y ⨯+==万元，故选A ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEFABCS P S =V V ，即可得解. 【详解】由题意易知120ADB ∠=o ，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABC S FD P S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭V V .故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．D解析：D 【解析】【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论. 【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭，因为112>-，所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.11．A解析：A【解析】试题分析：设扇形OAB半径为，此点取自阴影部分的概率是112π-，故选B.考点：几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型，综合性较强，属于较难题型.本题的总体思路较为简单：所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比．但是，本题的难点在于如何求阴影部分的面积，经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积，再加上多扣一次的近似“椭圆”面积．求这类图形面积应注意切割分解，“多还少补”. 12．A解析：A【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P-=＝．故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】设实数x∈19经过第一次循环得到x=2x+1n=2经过第二循环得到x=2(2x+1)+1n=3经过第三次循环得到x=22(2x+1)+1+1n=4此时输出x输出的值为8x+7令8x+7⩾55解析：38设实数x ∈[1,9]，经过第一次循环得到x =2x +1，n =2，经过第二循环得到x =2(2x +1)+1，n =3，经过第三次循环得到x =2[2(2x +1)+1]+1，n =4此时输出x ，输出的值为8x +7，令8x +7⩾55，得x ⩾6，由几何概型得到输出的x 不小于55的概率为963918P -==-. 故答案为38. 14．【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概解析：9π【解析】【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即2R =，即R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为343π⨯=，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率8P ==，【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．15．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为1725443x+⨯=，即可解得.【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为1725443x+⨯=，解得18x=.【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.16．【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图所示在上随机取两个实数则满足不等式的概率为故答案为【点睛】本题主解析：4π【解析】【分析】画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，结合图形利用几何概型的概率公式可求得对应的概率.【详解】根据题意，画出不等式组2201011aba b≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，如图所示，在[]0,1上随机取两个实数,a b，则,a b满足不等式221a b+≤的概率为2211414Pππ⨯==，故答案为4π.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有个然后求出任取集合U 的两个子集AB 的个数m 及时AB 的所有个数n 根据可求结果【详解】解：集合23的子集有个集合AB 是集合U 的子集任取集合U 的两个子集AB 的所有个解析：3()4n 【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有2n 个，然后求出任取集合U 的两个子集A 、B 的个数m ，及A B ⊆时A 、B 的所有个数n ，根据nP m=可求结果. 【详解】解：Q 集合{1,U =2，3，⋯，}n 的子集有2n 个，Q 集合A 、B 是集合U 的子集，∴任取集合U 的两个子集A 、B 的所有个数共有22n n ⨯个，A B ⊆Q ，①若A =∅，则B 有2n 个，②若A 为单元数集，则B 的个数为112n nC -⨯个， ⋯同理可得，若{1,A =2，3}n ⋯，则B =n 只要1个即012n n C =⨯，则A 、B 的所有个数为112202222(12)3n n n n n nn n n C C C --+⨯+⨯+⋯+⨯=+=个，集合A 紧跟集合B ”的概率为33()224n nn nP ==⨯．故答案为3()4n【点睛】本题考查古典概率公式的简单应用，解题的关键是基本事件个数的确定．18．151020【解析】试题分析：抽取比例为45900=120∴300×120=15200×120=10400×120=20抽取人数依次为151020考点：分层抽样解析：15,10,20 【解析】试题分析：抽取比例为，抽取人数依次为15，10，20考点：分层抽样19．【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值模拟程序运行过程分析循环变量值的变化规律即可求解答案详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：满足条件；第二次循环：满解析：【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序运行过程，分析循环变量值的变化规律，即可求解答案．详解：执行如图所示的程序框图：第一次循环：11,,124S m n===，满足条件；第二次循环：11,,248S m n===，满足条件；第三次循环：11,,3816S m n===，满足条件；第四次循环：11,,41632S m n===，满足条件；第五次循环：11,,53264S m n===，满足条件；第六次循环：11,,664128S m n===，不满足条件，推出循环，此时输出6n=；点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的运行与结果出的输出问题，解题是应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的计算结果，同时注意判断框的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24解析：【解析】【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．(1)0.002a =；(2)900；(3)152.5（元）. 【解析】分析：（1）由频率分布直方图面积之和为1列过程能求出a 的值；（2）当用电量为400度时，用电费用为260元，此100户居民中用电费用超过260元的户数为10户，此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户，从而该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到估计7月份该市居民用户的平均用电费用.详解：（1）()0.0010.0030.0041001a +++⨯=，解0.002a =.（2）当用电量为400度时，用电费用为2000.52000.8100160260⨯+⨯=+=（元），所以此100户居民中用电费用超过260元的户数为0.000110010010⨯⨯=（户），所以此100户居民中用电费用不超过260元的户数为90户，所以该小区1000户居民中用电费用不超过260元的户数为900户. （3）该市居民平均用电费用为()1500.32000.70.5⨯+⨯⨯ ()500.41500.22500.10.8152.5+⨯+⨯+⨯⨯=（元）.点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率. 22．（1）35，（2）随机变量X 的分布列：()3E X =（3）10μμ> 【解析】【分析】(1)由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法，能求出B 班的学生人数(2)由题意可知X 的可能取值为：1,0,1- ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和期望(3)利用数学期望的性质能得出10μμ> 【详解】（1）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B 班的学生有7名，根据分层抽样方法可得：B 班的学生人数估计为7653513⨯= (2)X 的可能取值为：1,0,1-()1221677P X =-==⨯，()4206721P X ===⨯， ()()()13111021P X P X P X ==-=--==则随机变量X 的分布列：101721213EX =-⨯+⨯+⨯=(3) 10μμ> 【点睛】本题考查的是离散型随机变量得分布列及期望，在解题的时候关键是要把概率求正确. 23．(1)0.025；(2)没有，理由见解析；(3)35. 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可（2）由题意完善列联表，计算2K ，比较临界值即可得出结论（3）根据分层抽样抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为1a 、2a ，记3株非优质树苗为1b 、2b 、3b ，列出基本事件，利用古典概型求解即可. 【详解】(1)根据频率直方图数据，有2(22a a ⨯⨯++0.1020.20)1⨯+=，解得：0.025a =. (2)根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120(0.1020.0252)30⨯⨯+⨯= 列联表如下：可得；22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.310.8287=<< 所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与,A B 两个试验区有关系注：也可由22120(10302060)70503090K ⨯-⨯=⨯⨯⨯7210.28610.8287=≈<得出结论 (3)由(2)知：B 试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株记2株优质树苗为1a 、2a ，记3株非优质树苗为1b 、2b 、3b 则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b∴优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为63105=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，独立性检验，古典概型，属于中档题. 24．（1）715（2）25【解析】【分析】（1）记事件A 为该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市，利用古典概型可得概率()P A ；（2）记2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ，利用古典概型可得概率()P B . 【详解】（1）设该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市为事件A ， 15座城市中月平均收入薪资高于8000元的有7个，所以7()15P A =. （2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8000元的有3个，记为1A ，2A ，3A ；月平均期望薪资低于8000元的有3个，记为1B ，2B ，3B ，选取两座城市所有的可能为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B 23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共15种，设2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ，。

深圳宝安区精华学校数学高二上期中经典测试(含答案)

一、选择题1．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（） A ．115B ．112C ．111D ．142．(0分)[ID ：12994]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +3．(0分)[ID ：12993]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．34．(0分)[ID ：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．(0分)[ID：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A．25B．1225C．1625D．456．(0分)[ID：12960]我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．357．(0分)[ID：12957]A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．158．(0分)[ID：12952]运行该程序框图，若输出的x的值为16，则判断框中不可能填（）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >9．(0分)[ID ：12937]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn10．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>12．(0分)[ID ：12930]某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+，其中ˆ 2.4b=，a y bx =-，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2013．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID ：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A ．518B ．13C ．718D ．4915．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（）A ．0B ．2C ．4D ．14二、填空题16．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .17．(0分)[ID ：13107]连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．18．(0分)[ID ：13095]在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．19．(0分)[ID ：13071]三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.20．(0分)[ID ：13070]课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．21．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.22．(0分)[ID ：13050]为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.23．(0分)[ID ：13042]如图程序框图的输出结果是_________.24．(0分)[ID ：13032]从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________25．(0分)[ID ：13086]执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为________．三、解答题26．(0分)[ID：13203]近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.27．(0分)[ID：13181]随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份x20142015201620172018时间代号t12345储蓄存款y（千亿56789元）=+；（1）求y关于t的回归方程y bt a（2）试预测该地区在建国一百周年时的的储蓄存款，并求y关于x的回归方程.附：()()()1122211nniii ii i nniii i tty y t y nt yb tttnt====---==--∑∑∑∑，a y bt =-.28．(0分)[ID ：13171]现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．29．(0分)[ID ：13168]随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：组别一二三四五满意度评分 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10] 频数 5 10 a 32 16 频率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a ，b ，c 的值； (2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？ 30．(0分)[ID ：13134][2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值；（2）若输出的所有i x都相等，试求输入的初始值0x．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．B4．D5．C6．B7．D8．D9．C10．A11．A12．C13．D14．C15．B二、填空题16．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案17．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题18．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d面积为由解得满足的区域为图形中的红色直19．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中20．3【解析】分析：根据分层抽样的方法各组抽取数按比例分配详解：根据分层抽样的方法乙组中应抽取的城市数为点睛：本题考查分层抽样概念并会根据比例关系确定各组抽取数21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不22．64【解析】结合频率分布直方图可得平均分为：即这些学生的平均分为64分点睛：利用频率分布直方图求众数中位数和平均数时应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形23．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆24．20【解析】试题分析：根据频率分布直方图得视力在09以上的频率为（100+075+025）×02=04∴该班学生中能报A专业的人数为50×04=20考点：频率分布直方图25．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概率为111p. 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题. 2．A解析：A【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．3．B解析：B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞，执行第二次循环得到43s i ==，，不满足4i ＞，，执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，，经过第四次循环得到05s i ==，，满足判断框的条件执行“是”输出0S =．故选B ． 4．D解析：D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ．【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．6．B解析：B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值.【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠；23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．D解析：D【解析】【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数，所求概率为41205=，故选D ．【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用． 8．D解析：D【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==,第二次，2,k 3x ==，第三次，4,k 4x ==，第四次，16,k 5x ==，第五次，4,k 6x ==，第六次，16,k 7x ==，第七次，4,k 8x ==，第八次，16,k 9x ==，观察可知，若判断框中为5k ≥．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足；若判断框中为4k >．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足；若判断框中为9k ≥．，则第八次结束，输出x 的值为16，满足；若判断框中为7k >．，则第七次结束，输出x 的值为4，不满足；故选D.9．C解析：C【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4m n π=．故选C ． 10．A解析：A【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++，所以判断框中应该填i>6?. 考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.11．A解析：A【解析】【分析】由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150b b b n++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．【详解】利用特殊法解决．假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =，这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =，这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =， ⋯这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =，即这2名学生中得分至少为(1150)k k 分的人数k b 分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和，即12112k k b b b b a a -++⋯++=+，从而121502222215015022b b b n ++⋯++++⋯+⨯===． 12150222221502150150150b b b ++⋯++++⋯+⨯===．对照选项，只有（A ）正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．12．C解析：C【解析】由题意4,7, 2.4,7 2.44 2.6,9,ˆˆˆˆˆˆ 2.49 2.619x y ba y bx x y bx a ===∴=-=-⨯=-∴==+=⨯-=,故选C.13．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.14．C解析：C【解析】【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比.【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3，其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==，故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C .【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．二、填空题16．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案解析：1515π- 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即2π，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积302π-。

广东省深圳市宝安区2020-2021学年第一学期高二文科数学期末调研试题

广东省深圳市宝安区2020-2021学年第一学期高二文科数学期末调研试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．“,x y R ∀∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>”D ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的充分不必要条件 2．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（） A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等3．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ΔABC 中，已知3C π∠=，BC a =，AC b =，且,a b 是方程213400x x -+=的两根，则AB 的长度为（） A ．2B ．4C ．6D ．75．在R 上定义运算()•1a b a b =+，若存在[]1,2x ∈使不等式()()•4m x m x -+<成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2,2-B ．()1,2-C ．()3,2-D ．()1,26．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是（） A ．9 B ．8 C ．4D ．27．A ，B ，C 是ABC 的内角，其中23B π=，则sin sin A C +的取值范围( )A ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．函数f(x)＝e x cosx 的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A ． B ．0 C ．D ．19．已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏二、填空题11．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．12．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得75BCD ∠=，45BDC ∠=，CD =C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB =______米.13．已知数列{}n a 的通项公式为()1,27,n n n n a n n ⎧⎪+=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前15项和为15S 的值为___．14．过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AB|=10，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于______．三、解答题15．已知实数x ，y 满足1050550x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，记点(),x y 所对应的平面区域为D ．()1在平面直角坐标系xOy 中画出区域(D 用阴影部分标出)，并求区域D 的面积S ；()2试判断点34,5⎛⎫ ⎪⎝⎭是否在区域D 内，并说明理由．16．已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围； (2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； (3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值．17．△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.18．已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n T 求证：2n T <．()3若()4n T n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．19．已知函数()323611f x ax x ax =+--，()23612g x x x =++和直线m ：9y kx =+，且()'10f -=．()1求a 的值；()2是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>()21A ，．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若P Q ，是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.参考答案1．B 【分析】由逆否命题的真假可判断A ，，判断点(),x y 在函数()1y f x =+图象上时，是否有(),x y -在函数()1y f x =-的图象上可判断B ，由特称命题的否定判断C ，解不等式11a<可知两条件的关系. 【详解】对于A ，判断命题“,x y R ∀∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-”是否为真命题，可以通过判断其逆否命题：“,x y R ∀∈，若1x =或1y =-，则0x y +=”为假命题，知原命题为假命题；对于B ，在同一坐标系中，若点(),x y 在函数()1y f x =+图象上，则有(),x y -在函数()1y f x =-的图象上，所以函数()1y f x =+与()1y f x =-的图象关于y 轴对称正确；对于C ，由于特称命题的否定为全称命题，所以命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++≥”，所以C 不正确；对于D ，由11a <，可得0a <或1a >，所以“11a<”是“1a >”的必要不充分条件，所以D 不正确. 故选B. 【点睛】本题属于一道综合题，涉及到图象的对称性及互为逆否关系的命题的真假判断，特称命题的否定及命题的充分性和必要性的判断，属于中档题. 2．D 【解析】由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =焦点都在圆223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y x =，由于实轴长度不同故离心率ce a=不同．故本题答案选D ， 3．A 【解析】【分析】由韦达定理可得a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，得a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可得．【详解】∵a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根，∴a 4+a 12＝﹣3，a 4•a 12＝1，∴a 4和a 12均为负值，由等比数列的性质可知a 8为负值，且a 82＝a 4•a 12＝1，∴a 8＝﹣1，故“a 4，a 12是方程x 2+3x+1＝0的两根”是“a 8＝±1”的充分不必要条件. 故选A ．【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题． 4．D 【分析】由方程的解求出,a b 的值，根据余弦定理即可求出AB 的长度．【详解】a b ，是方程 213400x x -+=的两根， 5a ∴=，8b =，或8a =，5b =，由余弦定理222212cos 2564285492AB c a b ab C ==+-=+-⨯⨯⨯=，则7AB =，故选D ．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 5．C 【分析】先将原式进行化简，然后参变分离，转化为求最值，最后变换成关于m 的不等式求解即可. 【详解】令()()()()22[()1]m x m x m x x m m x g x m x -⋅+=-+⋅+=-++=因为[1,2],()4x g x ∃∈< 即224m m x x +<-+也就是22max (4)m m x x +<-+在[]1,2x ∈时，2x =，24x x -+取最大值为6 所以26m m +< 解得32m -<< 故选C 【点睛】本题考查了不等式的解法，转化思想非常重要，是解题的关键，属于中档题. 6．A 【分析】将圆心代入直线方程可得1b c +=，再采用基本不等式中“1”的妙用进行常数代换，即可求解【详解】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c 4. 当且仅当4c b＝bc 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23， c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.故选：A 【点睛】本题考查基本不等式中求和的最值，其中将常数代换是解题关键，属于基础题 7．B 【分析】利用两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理，将sin sin A C +化为sin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性即可得结果．【详解】因为23B π=所以sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭11sin sin sin 22A A A A A =+-=+ sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，.sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故选B ．【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理及其三角函数的单调性，属于中档题．形如sin()y A x ωϕ=+，[],x m n ∈的函数求值域，分两步：（1）[],x m n ∈求出t x ωϕ=+的范围；（2）由t x ωϕ=+的范围结合正弦函数的单调性求出sin t ，从而可求出函数的值域. 8．A 【解析】【分析】求函数导数，代入x=0得到切线斜率，进而得倾斜角. 【详解】由f′(x)＝e x(cosx －sinx)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k ＝f′(0)＝1，故倾斜角为4π，选A. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题. 9．D 【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径r ，消去r ，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心M 的轨迹，进一步求出其方程. 【详解】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切. 所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆. 则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D 【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题. 10．B 【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选B ．11．6【解析】设等差数列{a n },首项a 1,公差为3,则S 5=5a 1+5×42×3=60,解得a 1=6,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6,故填6.12．1003【分析】BCD 中，由三角形内角和定理求出60CBD ∠=，利用正弦定理求得BC 的值，在直角ABC 中求出AB 的值．【详解】因为75BCD ∠=，45BDC ∠=，所以60CBD ∠=，在BCD 中，根据正弦定理可知sin sin CD BCCBD BDC=∠∠，即sin60sin45BC =，解得BC = 在直角ABC 中，tan30AB BC=，10033AB ∴==，所以塔高100(3AB =米)．故答案为1003. 【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，以及直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 13．12717. 【解析】分析：()15111...5311 (71335)1517S ⎛⎫=++++---+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭,利用裂项相消法即可得结果详解：因为数列{}n a 的通项公式为()1,27,n n n n a n n ⎧⎪+=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，所以()15111...5311 (71335)1517S ⎛⎫=++++---+++⎪⨯⨯⨯⎝⎭()571111111...7233515172-+⎛⎫=⨯-+-++-+⨯ ⎪⎝⎭112781271721721717⨯⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭，故答案为12717. 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 14．4 【解析】【分析】过A,P,B 分别作准线的垂线，垂足分别为C,F,D ，由PF 为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出PF ，P 到y 轴的距离PH =PF −1为所求．【详解】抛物线y 2=4x 焦点E(1,0)，准线方程为x =−1，由于AB 的中点为P ，过A,P,B 分别作准线的垂线，垂足分别为C,F,D,PF 交纵轴于点H ，如图所示：由抛物线的定义可知AC=AE,BD=BE，则由PF为直角梯形的中位线知，PF=AC+BD2=AE+EB2=AB2=5，∴PH=PF−FH=5−1=4，故答案为4．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 15．(1)画图见解析；6S=．(2) 点34,5⎛⎫⎪⎝⎭在区域D内，理由见解析.【分析】分析：（1）画出三个不等式表示的平面区域，取其公共部分即为所求．（2）将点3 4,5⎛⎫ ⎪⎝⎭代入三个不等式中判断不等式是否同时成立，从而可得结论．详解：（1）画出不等式组表示的区域（如图阴影部分所示）．由1050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，故点()2,3A ．结合图形可得区域D 的面积()163162ACD BCDS SS=-=⨯⨯-=．（2）点34,5⎛⎫ ⎪⎝⎭在区域D 内．理由如下：因为3224105532450553455205⎧-+=>⎪⎪⎪+-=-<⎨⎪⎪+⋅-=>⎪⎩，所以三个不等式同时成立，所以点34,5⎛⎫ ⎪⎝⎭在区域D 内．点睛：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出图形后，面积关系可结合平面知识探求．判断点是否在不等式组表示的平面区域内，可根据点的坐标是否满足不等式组即可得到结论． 16．(1) (,2][2,)-∞-+∞；(2) 2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --； (3) 1,2a b ==；【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++- ()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-，则413b b-≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1) 1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥； (2) 1b a =-时，()21f x x ax a =++- ()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，，当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，； (3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2ax =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增， [)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-，则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．【点睛】本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．17．(1)2sin sin 3B C =(2) 3+. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC 的周长为3+试题解析：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18．（1）12n a n =；（2）证明见解析；（3）29λ≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得，当时，，得数列递推关系式，因式分解可得1(1)(3)n n++，根据等差数列定义得数列通项公式1(2)n n+（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：1(1)(3)n n++，因此，从而利用裂项相消法求和得，即证得（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以试题解析：（1）时，是以为首项，为公差的等差数列…4分（2），，即 (9)分（3）由得，当且仅当时，有最大值，………………………………14分考点：等差数列定义，叠加法求通项，裂项相消法求和【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.19．(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0【分析】（1）计算f′(x)，进而由f′(－1)＝0可得解；x＋6x0＋12)，由导数得切线斜率，进（2）直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,32而得切线方程，带入(0,9) 得x0＝±1，再分别计算当f′(x)＝0或f′(x)＝12时的切线，进而找到公切线.【详解】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0.即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在．∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，x＋6x0＋12)，设切点为(x0,32x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(32将点(0,9)代入，得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0.即有x＝－1或x＝2，当x ＝－1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝－18；当x ＝2时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝9. ∴公切线是y ＝9.又令f′(x)＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， ∴x＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －11；当x ＝1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －10， ∴公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y ＝9，此时k ＝0. 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．20．(Ⅰ) 22182x y +=；（Ⅱ）1.2 【分析】（I ）由离心率可得,a c 关系，再将点A 坐标代入，可得,a b 间关系，又222a b c =+，解方程可得22,a b 的值；（II ）由PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，可判断直线,PA AQ 的斜率互为相反数，由两直线都过A 点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去x 或y 的值，可得一元二次方程，又A 点满足条件，可求得,P Q 点的坐标，用k 表示．再由斜率公式可得直线PQ 的斜率为定值．【详解】(Ⅰ) 因为椭圆C且过点()2,1A , 所以22411a b +=,2c a =. 因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =,所以椭圆C 的方程为22182x y +=.(Ⅱ)法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-, 直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y , (),Q Q Q x y ,由()2212,{1,82y k x x y -=-+=消去y , 得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根,则2216164214P k k x k --=+, 所以2288214P k k x k--=+. 同理2288214Q k k x k +-=+.所以21614P Qk x x k -=-+. 又()28414P Q P Q k y y k x x k-=+-=-+. 所以直线PQ 的斜率为12-==-P Q PQ P Qy y k x x . 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-.因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =-, 即121211022y y x x --+=--, ① 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上,所以2211182x y +=，② 2222182x y +=. ③由②得()()22114410x y -+-=, 得()111112241y x x y -+=--+, ④ 同理由③得()222212241y x x y -+=--+, ⑤ 由①④⑤得()()12122204141x x y y +++=++, 化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+.②-③得22221212082x x y y --+=,得()12121212142y y x x x x y y -+=-=-+. 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值.法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ，则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PA y k x -=-, 直线QA 的斜率2212QA y k x -=-.因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称.所以PA QA k k =-, 即12121122y y x x --=---, 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=. (*)由22,{1,82y kx b x y =++=消去y 得()222418480k x kbx b +++-=, (**)则2121222848,4141kb b x x x x k k -+=-=++,代入(*)得()()2222488124404141k b kb b k b k k -----+=++,整理得()()21210k b k -+-=, 所以12k =或12b k =-.若12b k =-, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. 若12k =时, 合题意.所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12.。

广东省深圳市宝安区宝安中学2020_2021学年高二上学期期末复习数学试卷(二)

宝安中学高二年级2020-2021学年上学期期末复习试卷(二)一､选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 各项均大于1,*,n N ∈“31n n a a +=”是“数列{}n lga 成等比数列"的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件 2.若点P 为抛物线24y x =上的动点,F 为该抛物线的焦点,则|PF|的最小值为()A.2B.1 1.8C 1.16D 3.已知向量(1,2),(2,1),(,1),AB BD BC t t R ==-=∈,若//,,AD CD 则实数t 的值为()A.8B.6C.4 4.3D 4.在空间中,a ､b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列判断正确的是()A.若a//b,a//α,则b//αB.若a ⊥β,α⊥β,则a//αC.若a ⊥b,a ⊥α,b ⊥β,则α⊥βD.若a//α,α⊥β,则a ⊥β 5.已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F,且点F 到双曲线渐近线的距离等于1,则双曲线的方程为22.13y A x -= 22.13x B y -= 22.15y C x -= 22.15x D y -= 6.已知函数ln ,0,(),0.x x f x kx x >⎧=⎨≤⎩,若0,x R ∃∈使得00()()f x f x -=成立,则实数k 的取值范围是() A.(-∞,1] 1.(,]B e -∞ C.[-1,+∞) 1.[,)D e-+∞ 7.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足2589a a a =，则3334353637log log log log log a a a a a ++++的值为()7.3A 8.3B C.3 10.3D8.在菱形ABCD 中,,||3A AB π==将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置,二面角P-BD-C 的大小为2,3π则三棱锥P-BCD 的外接球的表面积为().A .B C.72π D.112π二､多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.设a,b,c 为正实数,且a>b,则()11.A a b a b ->- 11.B a b b a ->- C.ln(a-b)>0 22.(1)(1)D a c b c +>+10.在△ABC 中,||2,||1,2,AB AC AB AC AP ==+=则().0A PB PC ⋅>.0B PB PC += 11.22C PB AB AC =- 3.4D AP BP +=-11.已知函数()()() 0,0,0f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4,其图象的一个最高点为1(,2),3A下列结论正确的是()A.ω=πB.3πϕ=C.将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的1,2纵坐标不变,得到h(x)图象;再将h(x)图象向右平移16个单位长度,得到函数2()6y sin x ππ=+的图象D.y=f(x)的图象关于x=1对称12.在三棱柱111ABC A B C -中,E ､F ､G 分别为线段AB ､111,A B AA 的中点,下列说法正确的是()A.平面1//AC F 平面1B CEB.直线FG//平面1B CEC.直线CG 与BF 异面D.直线CF 与平面CGE 相交二､填空题(每题4分,满分20分)13.已知点A(1,0),(2,3),B C(-2,-m),向量,AC AB 的夹角为5,6π则实数m=____. 14.已知向量(1,),(21,3)(0,0),m a n b a b ==->>若,m n ⊥则12a b +的最小值为____. 15.是双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点,AB 是右支上过2F 的一条弦,234AF AB =且121||||||,2AF AF AB =+则C 的离心率为____. 18年四面体P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,PA=1,△ABC ､△PBC ､△PAC ､△PAB 均为直角三角形,若该四面体最大棱长等于3,则该(1)四面体外接球的表面积为_____;(2)该四面体体积的最大值为____.(第一空2分,第二空3分)四､解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程成演算步骤.17.命题p:∀x ∈R,2240,x ax ++>命题q:0[1,1],x ∃∈-使得2x+a-1>0成立.(1)若P ∨q 为真,P ∧q 为假,求实数a 的取值范围.(2)已知r:a>k,若r 是q 的充分不必要条件,求实数k 的取值范围.18.在sin()sin ,2B C a A C b ++=①2221cos cos sin sin cos A B C B C +=++②两个条件中任选一个,补充到下面问题中,并解答.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知_______________.(1)求A;(2)已知函数1()cos(4),[0,],24f x x A xπ=-∈求f(x)的最小值.19.已知正项数列{}n a的前n项和为2*111,1,,n n n nS a S S a n++=+=∈N.(1)求{}n a的通项公式;(2)若数列{}n b满足:123132222n n nna b a b a b a b+++++=-,求数列221{}|log|n na b+⋅的前n项和.nT.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,∠ADP=90°, PD=AD,二面角P-AD-B为60°,E 为PD的中点.(1)证明:CE⊥平面PAD.(2)求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分)如图,已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C,60,COB︒∠=点P是弧AC上的动点,点D是下半圆弧的中点,现以AB为折线,将下半圆所在的平面折成直二面角,连接PO､PD.(1)当AB//平面PCD时,求PC的长;(2)当三棱锥P-COD体积最大时,求二面角D-PC-O的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΩ+=>>)5焦距为2.(1)求Ω的标准方程;(2)过Ω的右焦点F作相互垂直的两条直线12,l l(均不垂直于x轴),1l交Ω于A,B两点,2l交Ω于C,D两点.设线段AB,CD的中点分别为M,N,证明:直线MN过定点.。

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宝安中学2020-2021学年第一学期期中考试
高二数学
第I 卷(选择题共60分)
一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡的相应位置上.
1.不等式:
2104x x ->-的解集为() A.(-2,1) B.(2,+∞) C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
2.已知向量(1,2),(2,),)(7,1a b m c =-==,若//,a b 则b c ⋅=()
A.8
B.10
C.15
D.18
3.等差数列{}n a 中,前三项依次为151,,,16x x x
+则101a =() 1.503A 2.133B C.24 2.83
D 4.在等比数列{a n }中,481. 3.S S ==则20S 的值等于()
A.31
B.81
C.16
D.121
5.已知1122(2,),1,232n n n n S a a n n N a a S -=+≥∈==>的最小n 是()
A.10
B.11
C.12
D.13 6.△ABC 中,如果a,b,c 成等差数列,o 330,,2
ABC B S ∠==那么b=()
.A .1B C .2D 7.已知点M(a,b),(ab≠0)是圆222:C x y r +=内一点,直线l 是以M 为中点的弦所在的直线,直线m 的方程是2ax by r +=那么()
A.l//m 且m 与圆C 相切
B.l ⊥m 且m 与圆C 相切
C.l//m 且m 与圆C 相离
D.l ⊥m 且m 与圆C 相离
8.已知角A 为△ABC 中一个内角,如果适当排列sinA,cosA,tanA 的顺序,可使它们成为一个等比数列,那么角A 的大小属于区间()
.(0,)4A π .(,)42B ππ 3.(,)24C ππ 3.(,)4
D ππ 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡的相应位置上)
9.已知函数f(x)=|sinx|·|cosx|,下列说法正确的是()
A.f(x)的图像关于直线2x π
=对称 B.f(x)的周期为2
π
C.(π,0)是f(x)的一个对称中心
D.f(x)在区间[,]42ππ
上单调递增 10.△ABC 中,10,4a b ==,解△ABC 的结果有两个,则∠A 可取下列那些值()
.6A π
.4B π
.3C π 5.12
D π 11.不等式2260,()x ax a -+≤∈Z 的解集中恰有三个正整数解,则a 的可能取值为()
A.6
B.7
C.8
D.9
12.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的结合产物,曲线C:22322()16x y x y +=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是()
A.曲线C 经过5个整点(即横､纵坐标均为整数的点)
B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2
C.曲线C 围成区域的面积大于4π
D.方程22322()16(0)x y x y xy +=>表示的曲线C 在第一象限和第三象限第II 卷(非选择题共90分)
三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.答案填写在答题卡的相应位置上)
13.设变量x,y 满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩
,则z=3x-2y 的最大值为_____.
14.已知Rt △ABC,两直角边AB=1,AC=2,D 是△ABC 内一点,且∠DAB=60°,设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈,则λμ
=____. 15.正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 为11,AA BB 的中点,直线1A C 与平面EDCF 所成角的正弦值为____.
16.在△ABC 中,若tan (),22,2A B a b a b c a b
--=≠=+则3a b +___ 四､解答题(本大题共6小题,共计70分,请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知向量(2cos ,2cos ),(2cos 3sin ),4444
x
x x x m n ==设ˆ().f x m n =⋅
(I)若f(α)=2,求cos()3πα+的值;
(II)△ABC 中,角A,B,C 对边分别是a,b,c,且满足(2a-b)cosC=ccosB.求f(A)的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为*11,2,32,.n n n S a S S n +==+∈N
(I)证明:数列{1}n S +为等比数列;
(II)求数列{}n a 的通项公式;
(III)若33()log (),22
n n n a a b =⨯求数列{}n b 的前n 项和.n T
19.(本小题满分12分)
已知函数1,0()2,0x x x f x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
(I)若1()()12f x f x +->,求x 的取值范围;
(II)若21,()2
x f x x b ∀∈≥-+R 恒成立,求b 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD 为菱形,PA ⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是BC,PC 的中点.
(I)证明:AE ⊥PD;
(II)若H 为PD 上的动点,EH 与平面PAD 6求二面角E-AF-C 的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知圆C 的圆心在射线2x+y=0,(x≥0)上,截x,y 轴的弦的长度分别为
(I)求圆C 的方程；
(II)是否存在斜率k=1的直线l,使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线l 的方程,若不存在说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足*22(),n n S a n N =-∈数列{}n b 为等差数列,且满足2183,b a b a ==. (I)求数列{},{}n n a b 的通项公式;
(II)令11(1)n n n c a +=--，关于k 的不等式*4097()1100,k c k k N ≥≤≤∈的解集为M,求出所有()k k a b k M +∈的和S.。