高等数学竞赛辅导综合题

高等数学综合练习题
1、设0>a ，}{n x 满足：
,00>x ,2,1,0),(211 =+=
+n x a x x n
n n
证明：}{n x 收敛，并求。

n n x ∞
→lim
分析：用数列通项表示的这种类型题目，往往要用单调有界必有极限这个定理来解决，因此先要用不等式技术证明}{n x 单调且有界。

证明: （1） 证明：易见，),,2,1,0(,0 =>n x n 则
a x x n
x a
n
n =≥+1，
从而有： 02)(212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x a x x a
x x x ，
故}{n x 单调减少，且有下界。

所以}{n x 收敛。

（2）设l x n n =∞
→lim ， 在)(211n
n n x a
x x +=
+两边同时取极限得 1lim +∞
→=n n x l ),(21)(lim 21l
a l x a x n
n n +=+=∞
→
解之得a l =，即a x n n =
∞
→lim 。

2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且3
1
0)(1 lim e x x f x x
x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.
分析：这种类型的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。

再根据分式极限为常数而分母极限为零，得到分子极限为零。

另外求一点的导数往往要用定义。

解 由31
0])(1[lim e x
x f x x
x =+
+→得
3]
)
(1ln[lim
=++→x
x x f x x ，
因为分母极限为零，从而分子极限为零，即
0])
(1ln[lim 0
=+
+→x
x f x x ， 可以得到0)
(lim
=→x
x f x ， 同样，我们有
)0(0)(lim 0
f x f x ==→，
由导数的定义得
00
)
0()(lim
)0('0
=--=→x f x f f x 。

因为)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，由泰勒公式得
)0)((0)0("2
1
)(22→+=
x x x f x f ） 两边取极限得
2])
(0)0("21[lim 220=+→x
x f x ， 故4)0("=f 。

3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：
),[,+∞∈∀a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。

证明：
x
x f )
(在),[+∞a 有界。

证明： 由条件知，),[+∞∈∀a x ，有
|||)()(|a x K a f x f -≤-，
则
|)(||||)(||)()(||)(|a f a x K a f a f x f x f +-≤+-≤，
从而
a a f K x a f x a x K x a f x a x K x x f |)(||
)(||||)(|||||)(+≤+-=+-≤， 故
x
x f )
(在),[+∞a 有界。

4、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=0
,;0
,)(2x c bx ax x e x f x 且f
(0)存在, 试确定常数a , b , c .
分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。

解：由条件可知函数)(x f 在0=x 处连续, 故1)0(==f c 。

由条件可知)(x f '在0=x 处连续,且⎩⎨⎧>+<='0 ,2,
0 ,)(x b ax x e x f x , 故1)0(='=f b 。

因此⎩⎨⎧≥+<=',0 ,12;
0 ,)(x ax x e x f x 从而⎩⎨⎧><=''0 ,2,0 ,)(x a x e x f x ，故1)0(2=''=f a ，则
2
1
=a 。

5、设当1->x 时, 可微函数)(x f 满足条件0d )(1
1)()( 0 =+-
+'⎰x
t t f x x f x f ，且1)0(=f ，试证: 当0≥x 时, 有1)(≤≤-x f e x 成立.
分析：这是一个积分微分方程，可以通过两边求导变成一个微分方程，然后求解。

证明: 设由题设知1)0(-='f , 则所给方程可变形为
⎰=-++'+x
t t f x f x x f x 0
0d )()()1()()1(.
两端对x 求导并整理得
0)()2()()1(='++''+x f x x f x ，
这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得
x
C x f x
+='-1e )(.
由1)0(-='f 得1-=c , 01e )(<+-='-x
x f x
, 可见)(x f 单减.
而1)0(=f , 所以当0≥x 时,1)(≤x f 。

对01e )(<+-='-t
t f t
在],0[x 上进行积分得 x x t x
t
e t e t t e
f x f --=-≥+-=⎰⎰0
-0d 1d 1)0()(.
6、计算三重积分
⎰⎰⎰
++=
V
dxdydz c
z b y a x I )(22
2222。

其中V 是椭球体122
2222≤++c
z b y a x 。

分析：计算二重积分和三重积分是数学竞赛和考研的基本内容，这种题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的关键是要确定出每个积分的限，确定积分的限一定要根据所给积分的图形区域，因此正确画出图形或者是想象出图形是解决问题的关键。

解： 由于
dxdydz c z dxdydz b y dxdydz a x I V
V
V
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
++=2
2
2
2
2
2
， 其中
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
-=D
a
a V
dydz dx a x dxdydz a
x 2
2
22
， 这里D 表示椭球面
22
22221a
x c z b y -≤+
或
1)
1()
1(222
2222
2≤-+
-a
x c z a
x b y 。

它的面积为
)1()1)(1(22
2222a
x bc a x c a x b -=--ππ。

于是 abc dx a
x x a bc
dxdydz a
x a
a
V
ππ154)1(2
22
222
=-=⎰
⎰⎰⎰
-。

同理可得 abc dxdydz b y V
π154
2
2=⎰⎰⎰
，
abc dxdydz c
z V
π154
2
2=⎰⎰⎰。

所以 abc abc I ππ5
4
)154(3==。

7、讨论积分dx x
x x
x q
p ⎰
∞
++π
cos 的敛散性。

分析：积分敛散性的讨论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，其中Cauchy 收敛准则起作很大的作用。

解：首先注意到
()
2)1()1(q
p q p q p x
x x q x p x x x +-+-='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+。

若1),max(>q p ，则当x 充分大时，0<'
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
+q p x x x ，从而当x 充分大时，函数q
p x
x x
+是递减的，且这时 +∞
→x lim
q
p x x x
+0=。

又因
⎰A
xdx π
cos A sin =1≤（对任何π>A ）
，故dx x x x
x q
p ⎰∞
++π
cos 收敛。

若1),max(≤q p ，则恒有0≥'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+q
p x x x ，故函数q p x x x +在π≥x 上是递增的。

于是，∀正整数n ，有
dx x x x x n n q
p ⎰
+
+4
22cos πππ。