多元正态分布

f (x1, x2, , xp )
n
i1
1
2
exp(
1 2
xi2
)
(2 ) p
2 exp( 1 2
p i 1
xi2 )
2
xi i 1,2, , p
其中的
u (u1,u2 , ,u p )
均值为 E(u) (Eu1, Eu2 , , Eup ) 0
3
协方差矩阵为
u12 u1u2
ij.k 1, , p
ij.k 1, , p ii.k 1, , p jj.k 1, , p
它度量了在值 xk1, , xp给定的条件下，xi 与 xj （ i, j k ）相关性的强弱。
14
例 设X~N6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相
关系数 (x1, x2, x3, x4 / x5, x6)
7
三、一般的正态和标准正态的关系
设 x Au ，其中 A 是一个 p 阶
非退化矩阵，u (u1,u2, ,up ) 服从 p 维标准正态分布，
则
x Au
服从p维正态分布，且均值向量为
E(x) (Ex1, Ex2 , , Exp ) (1, 2 , , p )
8
协方差为
Var(x) E(x )(x )
μ2 ).
为x2 给定的条件下 x1数学期望。
Σ11.2 Σ11 Σ12Σ221Σ21是x2的条件下x1的条件协条件协方差。
13
偏相关系数
矩阵Σ11.2称为条件协方差矩阵，它的元素用 ij.k1, , p 表示,是当 x2 给定的条件下. xi 与 xj （ i, j k ）的偏相关系 数，定义为
矩阵。
x x1 k x2 p k
μ μ1 k μ2 p k
Σ Σ11 Σ12 k Σ21 Σ22 p k
则
x1 ~ Nk (1, 11)
x2 ~ N pk (2 , 22 )
且 Cov(x1, x2 ) 12
11
性质2 设 x1, x2, , xn , xi ~ N p (i ,i ) ，i 1,2, , n相互独立， 且，则对任意 n 个常数 k1, , kn ，有
Var(u)
E(uu)
E
u2u1
u22
u pu1 u pu2
u1u p
u2u
p
u
2 p
1
1
I 1
4
二、一般的多元正态分布
设随机向量 x (x1, x2 , , xp ) ,若其的密度函数为
f (x1, x2,L , xp )
(2 ) p 2 Σ 1 2 exp[ 1 (x - μ)Σ-1(x - μ)]
3.107 1.851
3.860
5.213
1
2.939
19.5325.132
27.363
4.069
4.525
2.939
1
0.360 0.324 0.476
1
0.245 0.265 0.540 0.534
1
0.376
0.252
0.676
0.441
0.440
1
16
求x6给定的条件下，x1，… x5的偏协方差矩阵
7.033
2.168 4.981
3.540 2.874 30.530
1.681 1.276 4.638 3.107
(xp p)2
称 x (x1, x2 , , xp ) 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。
6
特例：二元正态分布
P=2
f
x1, x2
2
1 (
11
22
(1
2 12
))1
2
exp
2(1
1
2 12
)
x1
1
11
2
x2
2
22
2
12
x1
1
11
x2
2
2
22
复习一元正态分布
• 一元正态分布的密度函数 • 一元正态分布的性质 • 一元正态分布的数字特征
– 均值、方差 – 偏度、峰度
• 一元正态分布的计算和查表
1
§1 多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设随机向量 u (u1,u2, ,up ) 独立同分布于 N(0,1)
则 u (u1,u2, ,up ) 密度函数为
7.033
2.168 4.981
3.540 2.874 30.530
1.681 1.276 4.638 3.107
1.276 1.161 5.864 1.851 3.860
5.213
2.939
19.532
4.069
4.525
27.363
15
1
0.366 1
0.242 0.233
E
(
x2
(x1 1)2 2 )(x1
2
)
(x1 1)(x2 2 ) (x2 2 )2
L L
M
M
(xp
)( x1
1)
(xp p )(x2 2 ) L
( x1 ( x2
1 )( x p 2 )(xp
p) p)
M
(xp p)2
AA
9
Var(x) AVar(u) A AA
J(u x) A 1 AA 1 2
f
(x1, x2,
, xp )
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(2
) p
2
exp[ 1 (x 2
) 1 ( x
)] |
J
|
(2 ) p 2 1 2 exp[ 1 (x )1(x )]
2
10
性质1 设 x ~ N p (,)，则 x 的任何子向量也服从多元正
态分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子
n
kixi
~
n
N p ( i ,
n
ki2
i
).
i 1
i1 i1
12
性质3 将 x, , 作如下的分块：
Σ
Σ11 Σ21
Σ12 k Σ22 k p
μ
μ1 μ2
p
k
k
x
x1 x2
p
k
k
则给定 x2时x1 的条件分布为 Nk (12,112 ) ，其中
μ12
μ1
Σ Σ1 12 22
(x2
1.276 1.161 5.864 1.851 3.860
5.213
2.939
19.532
4.069
4.525
27.363
17
7.033 2.168 3.540 1.681 1.276
4.981 2.874 1.276 1.161
11.2
11 1221221
30.530 4.638 5.864
2 xi
5
其中 x (x1, x2 , , xp ) 的均值为E(x) (1, 2 , , p )
协方差为
(x1 1)2
(x1 1)(x2 2 )
E (x2 2 )(x1 2 )
(x2 2 )2
(xp
)( x1
1 )
(xp p )(x2 2 )
(x1 1)(xp p ) (x2 2 )(xp p )