知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法

lim
n
2 13 1n 12 13 1n 1 2 n!
lim
n 1!n 1! lim n 1 1 2 n n 2n 2 2 n !
所以，当 n 时 xn 的极限存在. 例6.3(难度系数0.4) 证明：当 x 0 时， f x sin
n
令 lim an a ，对方程 an 1 (an
n
1 2
1 1 1 ) 两边取极限得 a (a ) ，解得 a 1 . 2 a an
1 1 1 1 1 1 ak 1 ak 2 (ak ) (ak 1 ) (1 )(ak ak 1 ) 0 ，即 an an 1 . 2 ak 2 ak 1 2 ak ak 1
故数列 an 单调递减.所以由单调有界准则可知， lim an 存在.
但 sin
2 sin 2k 1 ， sin 3 2 2k 2 2k 2
1 ，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系
2 2
3 sin 2k 2
可得 f x sin
2 的极限不存在. x
例6.4(难度系数0.4) 证明： lim
x 0
arctan
1 2 arctan x
1 x
1 x
不存在.
解析：由 lim arctan
x 0

1 x

2
， lim arctan
x 0


2
，可知需要通过讨论左右极限来证
明.
1 arctan x 2 证明： lim ， lim ，左右极限 2 x 0 1 4 x 0 1 4 2 arctan 2 2 arctan 2 x 2 x 2 arctan 1 x
1

不相等，故 lim
x 0
ex 2e
1 x
不存在.
例6.6(难度系数0.6) 证明 lim n n 1.
n
解析: 利用二项式定理及数列极限的定义来证明，注意定义中 N 的选择要保证不等式 恒成立即可. 证明：令 n n 1 hn ，则
n (1 hn ) n 1 nhn n(n 1) 2ຫໍສະໝຸດ Baidun(n 1) 2 n hn hn 1 hn (n 2) . 2! 2
1 1 5 a1 2 ， a2 (a1 ) ，则 a1 a2 . 2 a1 4
1 2
1 1 ) an 1 .即数列有下界. an an
假设 an an 1 ，下面对n用数学归纳法证明.上面已经证实n=1时成立. 设n=k时结论成立，即 ak ak 1 ，则当n=k+1时：
2 的极限不存在. x
解析：利用反证法，假设极限存在，通过函数极限与子列极限的关系，找到两个趋
于不同值的子列，再利用极限的唯一性得到矛盾.
证明：不妨设 lim sin
x 0

2 2 的极限存在 ，取两个趋于0的子列 ， x 2k
2 ， k . 2k / 2
n 1 hn
2 ， n
例6.7(难度系数0.4)
lim an 存在，
n
设 a1 2, an 1 (an
1 2
1 ),(n 1, 2,3,) ，证明: an
并求出其极限 a . 解析：由数学归纳法来证明数列 an 单调和有界，然后由单调有界准则可知 极限必存在.最后通过解方程可求解其极限.此方法在知识点10将有详细介绍， 这里仅举一例. 证明： 首先易见 an 0 且 an 1 (an
即当 n 2 时， n 1
n(n 1) 2 2 2 hn ，于是得 hn . .也就是 n n 1 2 n n
4 ,当 n N 时，便有 2
n
故对于任意的 0, 取 N max 2, 所以 lim n n 1.
n
arctan x arctan x 0. ，即 lim x x x

x X 时，恒有
例6.2(难度系数0.2) 设 xn 1 2 1 2 1 2 ，证明：当 n 时 xn 的极限存在. 2 3 n 解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个 因子.利用阶乘将数列通项化简，然后再直接求解.
22 132 1 n 2 1 1 1 1 证明： lim xn lim 1 2 1 2 1 2 lim n n 22 32 n 2 2 3 n n
1 1 1
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法 精选习题 作者：邹群
例6.1(难度系数0.2) 证明： lim
arctan x 0. x
x
解析：利用函数极限的定义进行证明，即设 找X.
arctan x 2 ，只要 x 证明：对于任意的 0 ，因为 ，取 X ，则当 2 2 x x