平狄克《微观经济学》(第7版)习题详解(第4章附录 需求理论——一种数学的处理方法)

平狄克《微观经济学》（第7版）

第4章附录需求理论——一种数学的处理方法

课后练习题详解

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1．下面的效用函数中哪些符合凸的无差异曲线，哪些并不符合？

（1）()25

=+

，；

U X Y X Y

（2）()()0.5

，；

=

U X Y XY

（3）()()

=，式中Min是X和Y两个数值中的最小值。

U X Y X Y

,Min,

答：（2）中效用函数符合凸的无差异曲线，（1）和（3）中的都不符合。

三者的无差异曲线分别如图4-1（1）、4-1（2）和4-1（3）所示。

图4-1（1）效用函数（1）的无差异曲线

图4-1（2）效用函数（2）的无差异曲线

图4-1（3） 效用函数（3）的无差异曲线

2．证明下面的两个效用函数导出的商品X 和Y 的需求函数是相同的。 （1）()()()log log U X Y X Y =+，； （2）()()0.5

U X Y XY =，。

证明：用X P 和X 分别表示商品X 的价格和数量，Y P 和Y 分别表示商品Y 的价格和数量，用I 表示收入。

（1）效用函数为：()()()log log U X Y X Y =+，。 预算约束方程为：X Y P X P Y I +=。 对应的拉格朗日函数为：

()()()()log log X Y L X Y X Y P X P Y I λλ=+-+-，，

就X Y ，和λ求()L X Y λ，，的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：

10100X Y X Y L

X P X L

Y P Y L

I P X P Y λλλ

∂=-=∂∂=-=∂∂=--=∂ 通过解上面三个方程，可以得到需求函数：

22X

Y

I X P I Y P =

=

（2）预算约束方程为：X Y P X P Y I +=。 效用函数为：()()0.5

U X Y XY =，。 对应的拉格朗日函数为：

()()()0.5

X Y L X Y XY P X P Y I λλ=--，，＋

就X Y ，和λ求()L X Y λ，，的微分，使偏导数等于零，即可得到效用最大化条件：

()()0.5

0.5

0.500.500X Y X Y L Y X P X L X Y P Y L

I P X P Y λλλ

∂=-=∂∂=-=∂∂=--=∂ 通过解上面三个方程，可以得到需求函数：

22X

Y

I X P I Y P =

=

所以，两个效用函数导出的是相同的需求函数。

3．假设效用函数由()Min X Y ，给出，如本章附录第1题（3）中的那样。那么将因为X 价格的变化而引起的X 需求的变化进行分解的斯拉茨基方程是什么呢？什么是收入效应？什么是替代效应？

答：斯拉茨基方程是：

()d d X X U U X P X P X X I *==∂|-∂∂

其中第1项是替代效应，第2项是收入效应。由于这一类型的效用函数，即完全互补型产品不存在作为价格变化的替代，所以替代效用为零。因此，此时的斯拉茨基方程改写为：()d d X X P X X I =-∂∂。

如图4-2所示，X 的价格下降，使得消费者的预算约束线围绕Y 轴向外旋转到2L ，作与原无差异曲线相切并与新预算线平行的补偿预算线3L 。因2L 、3L 与1U 相交于同一点，因此可知替代效应为0。替代效应则是由预算线从3L 移动到2L 决定的，即2L 与2U 的交点和3L 与1U 的交点之间所对应的X 需求量的增加。

图4-2

4．莎伦有如下的效用函数：

(

)U X Y ，

式中，X 是她对棒棒糖的需求量，1X P =美元，Y 是她对浓咖啡的需求量，3Y P =美元。 （1）推导莎伦对棒棒糖和浓咖啡的需求函数。

（2）假定其收入I 为100美元，莎伦会消费多少棒棒糖，多少浓咖啡？ （3）收入的边际效用为多少？ 解：（1）莎伦的效用最大化问题为：

(

)X Y

MaxU X Y ，，3100s t X Y +=.．

对应的拉格朗日函数为：()3100X Y λΦ=+-。 效用最大化的一阶必要条件为：

0.50.50X X

λ-∂Φ

=-=∂ ① 0.5Φ

0.530Y Y

λ-∂=-=∂ ② Φ

10030X Y λ

∂=--=∂ ③ 联立解得：

3412

I I X Y =

=， （2）假定其收入为100美元，即100I =。

33

10075441008.3

1212X I I Y =

=⨯===≈ 所以，莎伦会消费75个单位的棒棒糖，8.3个单位的浓咖啡。 （3）①②联立可得：0.50.5

11

26X Y λ=

=

，将相关数据代入可得收入的边际效用为0.058λ=。这一数据表明随着莎伦消费增加一美元，其效用增加0.058。

5．莫里斯的效用函数如下：

()22

20802U X Y X Y X Y =+--，

式中，X 为他对CD 的消费量，价格为1美元；Y 为录像带的消费量，租金价格为2美元。他计划在这两种形式的娱乐上花41美元。求最大化莫里斯效用的CD 与录像带租赁数量。

解：莫里斯的效用最大化问题为：

()2220802XY

MaxU X Y X Y X Y =+--，

241s t X Y +=.．

拉格朗日方程为：

()22Φ20802241X Y X Y X Y λ=+---+-