等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题

1、等比数列的定义：()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q

推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：

（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =

或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个。 （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q

S q

q

--==

-- 11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的n ，都有1

1(0){}n n n n n n

a a qa q q a a a ++==≠⇔或

为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：

（1）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（2）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅

等差和等比数列比较：

经典例题透析

类型一：等比数列的通项公式

例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .

思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和

q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .

总结升华：

①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；

②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

举一反三：

【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

类型二：等比数列的前n 项和公式

例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.

因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.

由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)

111a q a q a q q q q

---+=---，

整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，

由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，

因q 3

≠1，故3

1

2

q =-，所以q =。

举一反三：

【变式1】求等比数列11

1,,,

39

的前6项和。

【答案】

364

243

；

∵11a =，1

3

q =，6n =

∴66

6111331364112324313

S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=

⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】121

1219

或

； ∵32

2273a a =⇒=，31(1)1

13313

a q q q q -=

⇒==-或，则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913

S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－.

【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。 【答案】1

2

q =

或2，6n =； ∵211n n a a a a -⋅=⋅，∴1128n a a =

解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩，得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或12

64n a a =⎧⎨=⎩

①将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得1

2q =，

由11n n a a q -=，解得6n =；

②将1264n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q

S q -=-，得2q =，

由11n n a a q -=，解得6n =。 ∴1

2

q =

或2，6n =。 类型三：等比数列的性质

例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：

∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==

举一反三：