混沌原理与应用

课程论文课程系统科学概论

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二Ｏ一五年月日

混沌理论与应用

摘要：本文首先介绍了混沌理论的产生与背景。接着由混沌理论的产生引出了理解混沌系统需要注意的几个基本概念，并就两个容易混淆的概念进行了区分。然后本文对混沌系统的几个基本特征进行了阐述，而且详细解释了每个具体特征含义。在结尾部分本文简要叙述了混沌理论的应用前景。

关键词：混沌理论；混沌系统；基本特征；应用

1混沌理论的产生与背景

混沌一词很早就出现在人类的历史中，在世界的几个较为发达的古代文明中基本上都用自己的方式对混沌进行过描述，混沌基本就等同于未知。同时这些文明有一个对混沌有一个共同的观点，那就是：宇宙起源于混沌[1]，这种观点可以说在某些方面与现代的理论不谋而合。虽然古人的这些观点大部分是基于自己的想象而且其含义也局限于哲学方面，但是可以说这是人类早期对混沌状态的一种探索。

在此后的上千年中，一代又一代的研究者们探索了无数未知的领域。以至于在混沌理论之前，没有人怀疑过精确预测的能力是可以实现的，一般认为只要收集够足够的信息就可以实现。十八世纪法国数学家拉普拉斯甚至宣称，如果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度，他就能预测宇宙在整个未来的状态。然而混沌现象的发现彻底打破了这一假设。混沌系统对初始条件的敏感性使得系统在其运动轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误差都会随着系统的演化而呈现指数形式的增长，迅速达到系统所在空间的大小，使得预测能力完全消失[2]。例如，著名的蝴蝶效应：上个世纪70年代，美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风[3]，可以说对天气的精准预测一直是人类未曾解决的问题。面对这样的问题，科学家们又用到了混沌这个词，看似又回到了起点，实际上今天的混沌理论与过去的说法已经有了天壤之别。

1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性[4]。1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果[5]。混沌也被认为是继量子力学和相对论之后，20世纪物理学界第三次重大革命，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。从此，混沌系统理论开始飞速发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。混沌理论正式诞生。

2混沌系统的基本概念

本文上一节简要叙述了混沌理论的产生与背景，这一节本文将针对混沌系统的基本概念做一个介绍。

混沌实际上目前并没有一个通用的严格的定义，混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果[4]。简单来说，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。具体而言，混沌现象发生在易变动的物体或系统，这个物体或者系统在其初始状态非常的单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却会产生无法预料的后果。

混沌系统虽然不可预测，但是却并不能完全等同于混乱无章，有些确定的系统也会处于混沌状态。很多人在这里会混淆确定性与可预测性，错误的将确定的系统等同为可以预测的系统[6]。在动力学系统中，确定性指的是系统在任意时刻被初始状态所决定。虽然我们可以根据物体的初始状态和运动规律推算出其在任意时刻的运动状态，但是，由于初始条件有可能不能完全被考虑到，所以很可能造成预测的失败或者完全无法被预测，就比如对天气系统的预测。一个系统即便是确定的，也有可能是不可预测的，两者并不矛盾。在现实中有许多非线性的系统，尽管系统是确定的，但是却对初始条件极为敏感，形成了一种看起来随机的不可预测的运动状态，这就是混沌状态。

3混沌系统的特征

在上一节本文描述了混沌的基本概念，这一节本文将对混沌系统的基本特征进行阐述。

通过对混沌系统的研究,人们认识到混沌的奇特之处在于它把“表现”的无序与内在的决定论机制巧妙地溶为一体。具体来讲,混沌系统有以下三个基本特征[7]:

（1）内在随机性

非平衡非线性混沌系统产生的类似无规的非周期行为,常叫做内在随机性，或称内禀随机性，意思是随机性完全是系统自身的属性,而与外在因素无关。可以从两个层面理解上述内容：其一，一个确定性系统，由于系统参数值的不同，其解的状态是不确定的；其二，在系统参数值已知的条件下，其解可能是随机的，即没有一个确定性值[8]。正如洛仑兹动力学方程体现的那样,混沌是从完全确定论的方程中出现的。洛仑兹方程是确定论方程，其中不含任何随机项,方程的系数、初始条件等都是确定的，然而确定的原因却引出来随机的结果。

内在随机性是相对于外在随机性而言的。在量子力学中，做热运动的粒子，由于其数量太大，只能用统计学的方法来寻求其规律。而单个粒子的随机性是由于观测仪器引起的。这样的随机性就看作是外在随机性，外在随机性可以通过统计学的方法把随机性去掉，揭示其内在的规律。然而混沌理论中发现的内在随机性与这样的外在随机性有本质的不同，它要求人们突破原来对随机性的认识。

（2）对初值的敏感性

系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性[5]。

例如，著名的“蝴蝶效应”理论，它的提出者洛伦茨提出一个简化的气象模型，这个模型简化到只剩3个必不可少的变量的非线性微分方程组，其中不含有任何外加随机因素，利用计算机计算天气的变化。用同一组初值输入计算机，重复计算，两次计算的差别仅在于一次采用的初值比另一次只少最后一位有效数字。在线性系统中这点微小差别也许不会影响计算结果，但是在混沌系统中随着计算进程不断前进，两次计算结果差别越来越大，最后导致两组数据完全不同。这表明个别结果对于初始条件的敏感依赖行为。因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。

（3）非规则的有序

自从熵的统计解释被引入生命与社会现象之后,有序与无序的讲法日渐频繁。根据常识有序和无序是一个相对的概念，二者互不包含。而非平衡非线性混沌既不是简单的无序，也不是通常意义下的有序，科学家建议将其称为“混沌序”[7]。

混沌现象表面是无序的。但混沌区的系统行为并非真正的混乱不堪，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态，确定性的非线性系统的控制参量按一定方向部断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。因此,混沌现象表面上是无序的，但这种无序不是绝对的无序，而是在无序中存在有序。当然，它的有序又不是通常意义上的有序。

而且混沌系统在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律[9]。

4混沌理论的应用

上一节本文讲的是混沌系统的基本特征，在这一节同时也是本文最后一节我们将探讨混沌理论的应用前景。

混沌理论是一门严谨的科学，它不是一个对最基本粒子的探索，而是关于流通变迁以及模型的形成和解体的探索[10]。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。

在过去20年中，混沌在工程系统中逐渐由被认为仅仅是一种有害的现象转变到被认为是具有实际应用价值的现象来加以探讨。近年来的大量研究工作表明，混沌与工程技术联系愈来愈密切，它在生物医药工程、动力学工程、化学反应工程、电子信息工程、计算机工程、应用数学和实验物理等领域中都有着广泛的应用前景。

混沌的具体的潜在应用可概括如下[11]：