二次函数综合——图形的存在性问题(讲义) 河南
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：1.坐标系中的点的平移点P(x,y)的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b个单位长度(x,y-b)2.图形的平移：从本质上讲就是图形上点的平移例1：如下图，线段AB平移得到线段AB',已知A(-2,2),B(-3,-1)B'(3,1)则:向右平移6个单位长度芳V1)向上平移2个单位长度例2•在平行四边形ABCD中，其中已知A(-1，0)，B(1，-2),C(3，1)，则D点坐标?向右2个单位长度(仁-2)C(31)向上3个单位长度向右2个单位长度(-1,0)D(?,?)向上3个单位长度二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、1122点A的坐标是三、对点法①若点A 与点B 相对，则点D 与点C 相对 ②若点A 与点D 相对，则点B 与点C 相对 ③若点A 与点C 相对，则点B 与点D 相对四、典型例题学习五、小试牛刀1. 抛物线中的平行四边形存在性问题(“三定一动”)•.•AB〃CD,AB=CD.•.边CD 可看成由边BA 向右、向上平移n 个单位长度得丿|什平移(爲"牛单位矗U I 兀4J 4RfV1,、|；RT 书乐-叩个单位中厂V”"\ £>1不2」2丿向计移(旳-忖个单位蟲/即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐⑶4,>+4)例4.如图,平面直角坐标系中，已知A(-l,0),B(l,-2),C(3,l)点D 是平面内一动点,若以点 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标是思路点拨：先求出A(-1,0)B(2,0)C(0,2)设点M(x,y)①点A与点B相对②点A与点C相对③点A与点M相对—1+2二x二0+0二2+y=—1+0二x=30+2二0+、二—1+x二x二0+y二0+7二例5.已知,抛物线y二-X2+x+2与X轴的交点为A、B,与y轴的交点为C,点M是平面内一点，判断有几个位置能使以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出相应的坐•••M(1，-2)或(-3,2)或(3,2)2.抛物线中的平行四边形存在性问题(“两定两动”)1例6•如图，平面直角坐标系中，y=—-x2+x与x轴相交于点B(4,0),点Q在抛物线的对称4轴上，点P在抛物线上,且以点0、B、Q、P为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.线上的动点，点Q是直线y二-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点变试题:2.如图，平面直角坐标中，y二X2-2x-3与X轴相交于点A(-1,O),点C的坐标是(2,-3),点P抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
二次函数中的存在性问题
⼆次函数中的存在性问题⼆次函数中的存在性问题存在性问题是指判断满⾜某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖⾯较⼴，综合性较强，题意构思⾮常精巧，解题⽅法灵活，对学⽣分析问题和解决问题的能⼒要求较⾼，是近⼏年来各地中考的“热点”。
这类题⽬解法的⼀般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出⽭盾，就做出“不存在”的判断。
以下⼏篇内容为⼏种典型的⼆次函数中出现的存在性问题，希望⼤家在以后的学习中如果遇到此类型时能够轻松解决。
⼀、特殊三⾓形的存在性问题（⼀）⼆次函数中的等腰三⾓形存在性问题如果△ABC是等腰三⾓形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（⼆）⼆次函数中的直⾓三⾓形存在性问题如果△ABC是直⾓三⾓形，那么存在①∠A为直⾓，②∠B为直⾓，③∠C为直⾓三种情况．因此，解直⾓三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（三）⼆次函数中的等腰直⾓三⾓形存在性问题在解决等腰直⾓三⾓形存在性问题时，往往要⽤到⼏何和代数相结合的⽅法，设出点的坐标后，利⽤等腰直⾓三⾓形的⼏何性质及函数关系式列⽅程求解，最常⽤到的有：①两直⾓边相等，直⾓边与斜边的⽐为1：√2；②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的⼀半。
③直⾓顶点处构造三垂直，得到全等三⾓形，利⽤对应边的等量关系求解。
二次函数综合问题(存在性)
（2）点 P 是线段 AB 上的一点，过点 P 作 PQ∥AC，交 BC 于点 Q，连接 CP.当△CPQ 的面积 最大时，求点 P 的坐标；
（3）若点 M 是抛物线上一点，且横坐标为3，点 N 是 y 轴上一点，在（2）的条件下，是否
存在这样的点 N，使得△MPN 是直角三角形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说 明理由.
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
0 (舍去)， m 2
3 2
E（ 3 2
， 1）…………………………………………12
分
解：⑴AD： y x 1
⑵过点 F 作 x 轴的垂线，交直线 AD 于点 M，易证△FGH≌△FGM
故 C△FGH C△FGM 设 F(m,m2 2m 3)
F m,1 2 m
2,
C 0， -2 ,
N m,2
5．
F N = 1 m ， CN=m
2
∴在 Rt△ CNF 中，CF=
△ FCN ∽△ FEM
CF
CN
EF EM ,
FN 2 CN 2
5 2m
5m
2 EF
5 3
3 EF= 2
m
m m EF=
225
2 -(
1 2
m
2 )= 2m 2
9m
2
2m2
9m
2
3m 2
m 1
二次函数存在性问题-32页PPT资料
为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
• （2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻
折，得到四边形POP’C， 那么是否存在点 P，使四边形POP’C为菱形？若存在，请求 出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 ．
二次函数
已A知B点C（D的1，边3B）C在在函x轴数上y=，Ekx 是（对k>角0）线的BD图的象中上点，，矩函形 数y= k （k>0）的图象又经过A，E两点，点E的横 坐标为x m.•
（1）求k的值； （2）求点C的横坐标（用m表示）； （3）当∠ABD=45°时，求m的值．
• 如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数 y＝ 4 2m (x＞0)的图象于点A、B，交x轴于点C．
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月 可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
• （3）每件商品的售价定为多少元时，每个 月的利润恰为2200元？根据以上结论，请 你直接写出售价在什么范围时，每个月的 利润不低于2200元？
• 平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原 点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
(1)写出A、B、C三点的坐标，并求抛物线的 解析式；
两个根，且抛物线的对称轴是直y 线x=1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式； A O D B
x
E C
(3)若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B
不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，
连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为
S，求S与m的函数关系式，并写出自变量
二次函数与几何综合运用——存在性问题教学设计.doc
二次函数在几何方面的应用——存在性问题一、教学目标：知识与技能：通过本节课的专题学习体会二次函数与几何的综合应用，培养学生综合运用知识的技能，提高学生分析问题解决问题的能力。
过程与方法：利用数形结合思想，把“数''与“形”结合起来，互相渗透.同时熟练运用分类讨论的思想、方程的思想等各种数学思想方法。
情感态度与价值观：鼓励学生要知难而上，敢于挑战，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点重点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题综合应用；利用各种数学思想方法解决问题。
难点：二次函数与三角形、四边形、存在性问题的分析和解决。
教学方法：自主探索、合作交流。
教学手段：运用多媒体教学三、教学过程：类型一特殊三角形的存在、探究问题【方法指导】1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长.在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x, ax2^-hx+c）；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-二，）；），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；2a（4）计算求解.根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式, 根据等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步;分三种情况讨论：①如二朋,c=~3,(2) 当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90° ；(3) 设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标(若所求的点在抛 物线上时，该点的坐标可以设为3 以斗靛+Q ；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为(・=，y)，利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解. 2a【范例解析】例1 (2013铜仁)如图，已知直线尸3/3分别交x 轴、火轴于/、月两点，抛物线y^x+bx^c经过从B 两点、,点。
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
2024年九年级数学中考专题复习——二次函数的存在性问题 课件
∵PC＝PD，∴PC 2=PD2
∴x2＋(3－y)2＝(x－1)2＋(y－4)2
P
即y＝－x＋4，
又∵点P(x，y)在抛物线上，
∴－x＋4＝－x2＋2x＋3，整理得，x2－3x＋1＝0，
归纳总结
二次函数中“等腰三角形存在性问题”的解题方法：
几何法： （1）设出动点的坐标； （2）利用“两圆一线”作出动点； （3）利用“勾股定理”求出线段长，由线段长求出动点 的坐标.
答案：
作业布置 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A（8,4），与x轴交于点 B,且对称轴是直线x=3. （1）求该二次函数的解析式； （2）P是x轴的一个动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，过
点A作AC⊥x轴，垂足为点C，是否存在点P，使得以O、P、Q为
顶点的三角形与△AOC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不 存在，请说明理由.
∴综上可得P1(-5,0),P2(5,0)， P4(8,0)，
P5( ,0).
典例精析
例 如图,已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A，B两点，与y
轴交于点C，D为抛物线的顶点.连接CD,在对称轴右侧的抛物线上 是否存在一点P，使△PDC是等腰三角形？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
1）以点O为圆心，OA的长为半径画圆，交x轴 于P1，P2，此时有:P1O=OA,P2O=OA.
过点A作AB⊥x轴，垂足为B. 在Rt△ABO中，有：
P1
y
A
o
B P2 x
∴P1O=OA=P2O=5 ∴P1(-5,0),P2(5,0)
合作探究
问题2 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A(4, 3),点P是x轴 上一动点，当△AOP是等腰三角形时，求P点坐标.
二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤： （1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+- （2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++== （3）斜率公式：①2121y y k x x -=-；②tan k θ=（θ为直线与x 轴正方向的夹角）（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2 ②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一面积问题例1．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2.（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B .（1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.例2：如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A （1，0），B （0，2），抛物线y=21x 2+bx-2的图象过C 点． （1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？x CO yA B D1 1 图2变式练习：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB=4，点D （2，23）在抛物线上，直线l 是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；例3：将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点 B (–3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当△APE 的面积最大时，求点P 的坐标；y xCBOA变式练习：如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；能力提升：1.（2013菏泽）如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．题型二：构造直角三角形例2．（2010四川乐山）如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若tan ∠OAC=2． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC=90°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；变式练习： 1.函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ．（1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由；y D B MA COx3.（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点，求使∠PCB ＝90º的点P 的坐标．4.（2012广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1E5.（2013白银）如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标； （3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．6.（2013山西）如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2013济宁）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB 与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．8.（2013 绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。
二次函数存在性问题(菱形、平行四边形、矩形)
今天讲解二次函数背景下的四边形存在性问题．这里的四边形存在性问题，一般是以几种特殊的四边形为主，常考察的有平行四边形、菱形、 矩形、正方形．当然，三角形的存在性问题和四边形的存在性问题是一样， 如等腰三角形实际上和 菱形是一致的， 直角三角形和矩形是一样的， 等腰直角三角形和正方形是一致的．本文我们将重点讲解这类问题的求解逻辑以及注意事项，同时给大家理出一个比较通用的解题 模板．1如图，抛物线y = ax 2 + bx + 3 交x 轴于点A (−1, 0) 和点B (3, 0) ，与 y 轴交于点C ，连接BC ， 交对称轴于点D ．(1) 求抛物线的解析式；(2)点 P 是直线BC 上方的抛物线上点，连接PC ，PD ．求 △PCD 的面积的最大值以及此时 点P 的坐标；(3)将抛物线y = ax 2 + bx + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E ， 点F 是新抛物线的对称轴上的一点，点 G 是坐标平面内一点．当以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的 四边形是菱形时，直接写出点F 的坐标，并写出求解其中一个点F 的坐标的过程．前两小问就不详说了，直接上结论， 抛物线解析式为y = −x 2 + 2x + 3 ；点 P | , | ．( 3 15 )\2 4 )第 3 小问为菱形存在性问题， 以D 、E 、F 、 G 四点为顶点的四边形是菱形．四个点中， D ， E 是定点，F 是平移后新抛物线对称轴上的动点，由于点F 的横坐标是确定的，只有纵坐标在变化， 我们可以称其为“G 如果只需要点F 的坐标，那么没有必要求解平移后抛物线的解析式．根据平移的性质，将原抛物线 向右平移 1 个单位长度， 那么原抛物线的对称轴也向右平移 1 个单位长度， 因此新抛物线的对称轴 为x = 2 ，几 F (2, m ) ．但由于此时E 为量抛物线的交点，因此还是要把平移后的抛物线解析式求出 来，根据“左加右减”，平移后的抛物线解析式为y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立两抛物(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 线〈|ly = −x 2 + 4x ，解得E |\2 , 4 )| ．菱形的探究相对是比较简单的，对于这类探究性问题，一般都是先从确定的信息入手．菱形是 以D 、E 、F 、 G 为顶点， 其中DE 为定线段，那么存在的可能有DE 是一条边，也可能是一条对 对角线．前面提到，等腰三角形和菱形的分析是一致的，这里我们结合等腰三角形的存在性问题一 起分析．由于 G 是“自由点”，可以随机应变，因此讨论以D 、E 、F 为顶点的三角形是等腰三角 形．同样， 由于定线段DE 可能是等腰三角形的一条腰，也可能是底边．当DE 为一条腰时，第一种情形是点D 为顶点，即DE = DF ，也即半动点F 到D 的距离和E 到D 的距离相等，因此点F 在以点D 为圆心， DE 为半径的圆上，作出该圆，如图 1 所示，可知此时圆与新抛物线的对称轴有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象可以判断，此时两个点应该都是满足的．那么 再加上对应的“自由点” G ，就是以DE 为边菱形了．当DE 为一条腰时， 另一种情形是点E 为顶点， 即ED = EF ，也即半动点F 到E 的距离和D 到E 的距离相等，因此点F 在以点E 为圆心， ED 为半径的圆上，作出该圆，如图 2 所示，可知此时 圆与新抛物线的对称轴同样有两个交点F 1 ，F 2 ，结合图象， 此时的F 3 存在和DE 共线的风险，因此后续需要检验一下．根据坐标可以知道，x E =，通常像这类圆心可能为两个点中点的，一般都要留个心眼， 检验一下．此时再加上对应的“自由点” G ，也是以DE 为边菱形．当DE 为底边时，则F 为顶点， 即FD = FE ，即 F 到线段DE 的两端点的距离相等，可知此时F 在线段DE 的垂直平分线上，作出线段DE 的垂直平分线，如图 3 所示，可知此时有一个交点F 5 ．加 上对应的“自由点” G ，此时便是以DE 为对角线的菱形．对于等腰三角形和菱形的存在性问题，如上图情形，我们称其为“两圆一线”法．由于这类题一般不需要书写完整过程，因此在解题过程中，把准备工作做好， 即对应的点坐标， 解析式等先求出来， 动点坐标假设好， 再把定线段DE ，半定线段DF 、EF 长度表示出来． 根据上 述分析，结合“两圆一线”分别使得三条线段两两相等建立方程，即DE = DF ，DE = EF ，DF = EF ， 求解出动点坐标即可．(实际解题过程中， 一般使用线段平方的形式．此外， 只需关注下方解析中公 式计算部分即可，文字叙述部分可忽略)此题还是比较友善的，只需求出F 坐标．如果需要求解点G 的坐标，则还要加一个步骤．这里 以DEG 1F 1 为例，若要求 G 1 坐标，一般有两种比较常用的思路．一是利用菱形的对边平行且相等，即F 1G 1 可以看成是DE 平移得来的， 那么点D → F 1 的平移变化也即点E → G 1 的平移变化． 二是利用菱形的对角线相互平分，因此EF 1 的中点也即DG 1 的中点，利用中点坐标求解出 G 1 坐标．这两种处理 在平行四边形存在性问题中也是有力手段．(|y = −x 2 + 2x + 3 ( 3 15 ) 149 ( 149 )由题， y = −x 2 + 2x + 3 向右平移 1 个单位得到新抛物线y = − (x −1)2+ 2(x −1) + 3 = −x 2 + 4x ，联立〈|ly = −x 2 + 4x ，解得 E |\2 , 4 )| ， 新抛物线的对称轴为x = 2 ，设 F (2, m ) ，由于 D (1, 2) ，则DE 2 =，EF 2 = + m −2= m 2 − m +，DF 2 = 1+ (m − 2)2= m 2 − 4m + 5 ，①当DE 、DF 为一组邻边时，则 DE 2 = DF 2 ，即 = m 2 − 4m + 5 ，37 ( ) ( )②当ED 、EF 为一组邻边时，则 ED 2 = EF 2 ，即 = m 2 − m + ，16 8 16 11 ( 11)③当EF 为对角线时，则FD = FE ，即 m 2 − m + = m 2 − 4m + 5 ， 2 16解得m = ，此时 F 的坐标为|2, | ；( ) ( ) ( 149 )( 11) 当F |2, |时， y F + y D = 2y E ，x D + x F = 2x E ，即 E 为D 、F 中点， 不合题意， 舍去； 15 229 \ 2 )综上， F 点的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| 或(2, 2) 或|\2, 56 )| ． 56 \ 56 )解得m = 2 或m = ，此时F 的坐标为(2, 2) 或|2, | ，2 \ 2 )解得m = 2 土 4 ，此时 F 的坐标为||\2, 2 + 4 )|| 或||\2, 2 − 4 )|| ；53 15 2291 ．已知二次函数y = ax2 + bx − 2(a 丰 0)与x 轴交于A ( −, 0) ，B (4, 0) ，与 y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 连接AC ，BC ，点 P 是直线BC 下方抛物线上一点，过 P 作PD ∥AC 交直线BC 于点D ，PE ∥x 轴交直线BC 于点， E ，求△PDE 面积的最大值及此时点， P 的坐标；(3) 在(2)的条件下， 将原抛物线沿x 轴向左平移3个单位得到新抛物线，点 M 是新抛物线对称轴上一点， 点 N 是平面直角坐标系内一点， 当以点M 、 N 、P 、B 为顶点的四边形为菱形 时，请直接写出所有符合条件的N 点的坐标；并任选其中一个N 点，写出求解过程．立〈y= − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得D 7 , 11 ．1-1如图 1，抛物线y = ax 2 + bx + 4 交x 轴于A (−2, 0) ，B (4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接 AC ， BC ．(1) 求抛物线的解析式；(2) P 是拋物线上位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ ∥y 轴交BC 于点Q ， 过点P 作PE ⊥ BC 于点E ，过点 E 作EF ⊥ y 轴于点F ，求出2PQ + EF 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图 2，将抛物线y = ax 2 + bx + 4 沿着射线CB 的方向平移，使得新抛物线y ，过点(3,1) ， 点D 为原抛物线y 与新抛物线y ，的交点，若点 G 为原抛物线的对称轴上一动点，点H 为新抛物线y ， 上一动点，直接写出所有使得以 A ，D ， G ，H 为顶点的四边形为平行四边形的点H 的坐标，并 把求其中一个点H 的坐标的过程写出来．抛物线解析式为y = − x 2 + x + 4 ；点 P | , | ．相当于是沿着射线BC 方向平移，故舍去， 因此可得平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ．联2 2 ( 1 13 y = − x 2 + x +4 \2 8 )这类平行四边的探究也并不难， 同样先从确定的信息入手．平行四边形是以A ，D ，G ，H 为 顶点，其中AD 是定线段， G 是半动点，H 在新的抛物线上．和菱形的讨论一样，我们要考虑AD 是 一条边的情形， 也要考虑AD 是对角线的情形．当 AD 是一条边时， 实际上此时也右两种情形，一是是平行四边形为ADHG ，也即AH ，DG 为 对角线；另一种则是平行四边形为ADGH ，也即 AG ，DH 为对角线．当然，不管是那种情形，由 于 AD 是一条边，根据平行四边形对边平行且相等的性质， GH 这条边可以看作是将AD 平移后得到1 (8 28 )2 \3 9 )第 3 小问中， 抛物线沿着射线CB 方向平移， 由于后续的点在新抛物线上， 因此还是要求出平移 后抛物线的解析式．这类沿着射线平移的，一般采用正交分解的形式平移，由点 C (0, 4) ，B (4, 0) 可 知，沿着射线 CB 平移，即向右平移t 个单位，则向下也平移t 个单位，因此假设平移后新抛物线的 解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4 − t ，因为平移后经过点(3,1) ，代入可解得t = − 1 或t = 3 ，当 t = − 1 ， 1 13的，由于半动点 G 在原抛物线对称轴x = 1 上，那么点 G 有可能是点 A 平移后得到的， 此时点H 就 是点D 平移后得到的，如图 1 所示；同理，当点 G 是点D 平移后得到的，那么此时点H 就是点A 平 移后得到的，如图 2 所示．设点 G (1, m )，根据平移的性质，结合点坐标的变化规律，当 A → G 时， 即(−2, 0) —(1, m ) ，则有D|2 , 8 )| —H | 2 , 8 + m )| ，由于点H 在新抛物线上， 且横坐标已知了，代入新抛物线即可 11 1 (13 213 13 13 (13 13 此外， 除了用平移性质得到H 点的坐标外，此时 AH 是一条对角线，也利用对角线相互平分， 则 A 、 H 的 中 点 和 D 、 G 的 中 点 是 同 一 个 ， 利 用 中 点 坐 标 则 有 x A + x H = x D + x G ，故 13 13 13 (13 13 x H = x D + x G − x A = 2 ，将x = 2 代入新抛物线解析式，可求得H 点纵坐标y = − 8 ，故H | 2 , − 8 )|．当 AG 是一条对角线时， 则有x A + x G = x D + x H ，故 x H = x A + x G − x D = − ，代入新抛物线解析 277 ( 9 277式，可求得此时H 的纵坐标为 − ，故H |− , − | ．8 2 8 ) 当 AD 是一条对角线时，则有x A + x D = x H + x G ，故 x H = x A + x D − x G = ，代入新抛物线解析式， 37 ( 1 37 可求得此时H 的纵坐标为 − ，故 H | , − | ．8 2 8 )同样地，在解题过程中， 把准备工作做好，即对应的点坐标，解析式等先求出来，动点坐标假设好， 将点坐标表示列出来(通常都是横坐标)，选定一个定点，如这里我们选定 x A ，将其与剩下 三点横坐标x D 、x G 、x H 两两组合，建立中点坐标关系式， 即x A + x D = x H + x G ，x A + x G = x D + x H 以 及x A + x H = x D + x G ，求解出点H 横坐标，再代入解析式中求出点H 纵坐标即可．求得纵坐标 8 + m = − 2 | 2 )| + 4 2 − 2 = − 8 ，此时H | 2 , − 8 )| ． ( 7 11 (13 1113 (13 13)由题， 设平移后的抛物线解析式为y = − (x − t )2+ (x − t ) + 4− t ，因为平移后经过点(3,1)，代入可解得t = − 1 (舍) 或t = 3 ，2 2联立〈y = − 2 x 2 + 4x − 2 ，解得 D 7 , 11 ， y = − x 2 + x + 4 \2 8 )则x A =−2 ，x D = ，x G = 1，设 H 点横坐标为x H ，①当AH 为一条对角线时，x A + x H = x D + x G ，则 x H = ，代入可求得此时H | , − | ； 9 ( 9 277 )1 (1 37 )综上， H 的坐标为| , − |或|− , − |或| , − | ．( 1 13 ③当AD 为一条对角线时，x A + x D = x H + x G ，则x H = ，代入可求得此时H | , − | ；(13 13) ( 9 277 ) (1 37 )2 \2 8 )\ 2 8 ) \ 2 8 ) \2 8 )②当AG 为一条对角线时，x A + x G = x D + x H ，则x H = − ，代入可求得此时H |− , − | ；2 \ 2 8 ) 2 \ 2 8 )故平移后抛物线的解析式为y = − x 2 + 4x − ，1 131．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2 + bx+ 3(a 0) 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，且点A的坐标为( 3, 0) ，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB= 3OA．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；(3) 如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点C，平移后点A的对应点为点A，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y的对称轴上一点，在新抛物线y上存在一点M，使以点M，Q，A，N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．2．如图，抛物线y= x2 + bx+ c与x轴相交于点A(−1, 0) 和点B，交y轴于点C，tan 三ACO= ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1 ，P点为一象限内抛物线上的一个动点，点D是BC中点，连接PD，BD，PB．求△BDP面积的最大值以及此时P点坐标；，M为新抛物线对称轴上(3) 如图2，将抛物线向左平移 1 个单位长度，得到新的抛物线y1一点，N为直线AC上一动点，在(2) 的条件下，是否存在点M，使得以点P、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．| 4 21如图，已知抛物线y = ax 2 + bx − 4 与x 轴交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且点A 的坐标 为(−2, 0) ，直线BC 的解析式为y = x − 4 ．(1) 求抛物线的解析式；(2)如图 1，过点 A 作 AD ∥BC 交抛物线于点D (异于点 A )， P 是直线BC 下方抛物线上一 点，过点P 作PQ ∥y 轴， 交AD 于点Q ，过点 Q 作QR ⊥ BC 于点R ，连接PR ．求△PQR 面积的最 大值及此时点P 的坐标；(3) 如图 2，点 C 关于x 轴的对称点为点C ，将抛物线沿射线 C A 的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y ，新抛物线y 与原抛物线交于点M ，原抛物线的对称轴上有一动点 N ，平面直 角坐标系内是否存在一点K ，使得以 D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写 出点K 的坐标；若不存在， 请说明理由．抛物线解析式为y = x 2 − x − 4 ；S △PQR 的最大值为 9，点P (4, −6) ．第 3 小问中，抛物线沿着射线C A 方向平移， 由于点M 为两抛物线交点， 因此需求出平移后抛 物线的解析式．根据A (−2, 0) ，C (0, 4) ，可知Rt △AOC 中AO : OC : AC = 1: 2 : ，因此将抛物线沿着射线C A 方向平移2个单位长度，则相当于向下平移 4 个单位长度，向左平移 2 个单位长度，因此平移后的抛物线为y = 1 (x + 2)2− 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ，联立〈y = x 2 − x −10，解4 2 4 2y = x 2 − x − 4( 1得M (6, −4) ．又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ．2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4因为以D ，M ，N ，K 为顶点的四边形是矩形，此时定线段是DM ，半动点为N ，自由点为K ．和 前面讨论菱形、平行四边形时的流程基本大同小异，定线段DM 可能是矩形的边，也可能是矩形的 对角线，因此要分两种情形讨论．矩形的存在性问题和直角三角形的存在性问题是一致的，如本题 中，探究以D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形． 同样地，先以直角三角形为例，那么D ，M ，1 3 4 2在实际解题中设 K (x , y ) 即可)， 利用中点关系〈 M K D N ，则〈 K，整理得N 均有可能为直角顶点．当M 为直角顶点时，过M 作DM 垂线与对称轴交点即为点N 所在位置，如图 1 所示．对于N 点 坐标的求解，一方面，由于MN ⊥ DM ，则 k MN . k DM = − 1，结合点M 坐标，由此可求得直线MN 解 析式，将其与对称轴方程联立即可求得点N 坐标．另一方面，可以构造如图所示的K 型相似，即构DH MH1 腰直角三角形， 或者四边形中的正方形， 那么可以构造此类的K 型全等求解．在此直角三角形的基础上，加上自由点K ，就变成矩形问题了．对于矩形问题，同样可以求出点N 坐标后，利用平移关系或者对角线的中点关系，求相应的点K 的坐标．当然，如果是探究矩形 的存在性问题，也可以直接利用中点关系求得点K 的坐标．由点N (3, n )，设K (x K , y K ) (熟练后，(x + x = x + x (6 + x = 10 + 3 l y M + y K = y D + y N l−4 + y K = 6 + n 〈，再由对角线相等，即MK = DN ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y =，( 36 )同样适用．当D 为直角顶点时，三角形如图2 所示．同样， 加上自由点K ，就变成矩形问题了． 这里我们5 2 2 ( 44 )l y M + y N = y D + y K |y K = − \ 5 )对于直角三角形或矩形问题， 如上图情形，我们可以称其为“两线一圆”．若只求点N 坐标，一 般利用斜率关系，求出解析式后进一步求解．如果是矩形问题要求自由点的坐标，可以用对角线平 分且相等， 建立方程求解．当然， 先求点N ，利用点N 作为台阶进一步求解也是没问题的， 大家选 用自己顺手的方法即可．造 △MN 1G ∽△DMH ，利用 = ，可求出长度，进而得到点 N 坐标．更特殊地，如果是等以垂线方式求解．由于k DM = 2 ，则 k DN = − 5 ，故此时DN : y = − 5 x + 10 ，令x = 3 ，可解得N |\3, 5 )| ， 由中点可知，〈(x M + x N = x D + x K ，可解得〈(|x K = − 16 ，此时 K −1,− 6 ．l 5当N 为直角顶点时，则有NM ⊥ ND ，因此点N 在以DM 为直径的圆上．此种情形若只是求点N 坐标，策略比较多， 一方面，可以利用斜率， 由k ND . k NM= − 1求出点N 坐标；另一方面，可以利用线段长度求解，设DM 中点为为R ，则此时圆心为R ，因此NR = RD = DM ，由此也可求得点N 坐 标， 此外， 还可以利用勾股定理ND 2 + NM 2 = DM 2 ．当加入自由点K ，变成矩形问题后，除了先求 出点N 坐标， 利用平移或中点求解点K 坐标外，也可以利用前面的对角线平分且相等来求解． 故此时K |7, | ．此法借助的是矩形的对角线平分且相等的性质，该处理对于DM 是对角线的情形 \ 5 ) GM N G式和长度关系式子，即〈 M K D N 且MK 2 = DN 2 ，〈 M N D K 且MN 2 = DK 2 以及(x M + x D = x N + x K 4 2 4 2|l 4 2(x M + x K = x D + x N (6 + x = 10 + 3 (x = 7由MK 2 = DN 2 ，代入即有1+ (y + 4)2= 49 + (16 − y )2，解得 y = 36，故此时K 7,36；由MN 2 = DK 2 ，代入即有9 + (y +14)2 = 121+ (y − 6)2，解得 y = − 6 ，故此时K −1,− 6 ；(x M + x D = x N + x K (6 + 10 = 3 + x (x = 13 同样地，在解题过程中， 把准备工作做好，即对应的点坐标安排到位，动点坐标假设好，选定 一个定点， 如这里我们选定M ，将其与剩下三点横坐标D 、 N 、K 两两组合， 建立中点坐标关系 (x + x = x + x (x + x = x + xl y M + y K = y D + y N l y M + y N = y D + y K〈 且MD 2 = NK 2，利用方程组求解出对应的点K 的坐标． l y M + y D = y N + y K附：坐标平面内点A (x 1 , y 1 ) ，B (x 2 , y 2 ) ，其中x 1 丰 x 2 ，则过A 、B 两点的直线的斜率k =由题， 将抛物线沿着射线 C ,A 方向平移2个单位长度， 即将其向下平移 4 个单位长度， 向左平移 2 个单位长度， 因此平移后的抛物线为y =1(x + 2)2 − 3 (x + 2) − 4 − 4 = 1 x 2 − 1 x −10 ， 联立〈y = x 2− x −10，解得M (6, −4) ，y = x 2 − x − 4( 1又 BC : y = 1 x − 4 ，可知 AD : y = 1 x + 1，联立〈 y = 2 x + 1，解得D (10, 6) ，2 2 |y = 1 x 2 − 3x − 4由M (6, −4) ，D (10, 6) ，设 N (3, n ) ，K (x , y ) ，①当MK 为一条对角线时，〈，即〈 ，整理得〈 ， l y M + y K = y D + y N l −4 + y = 6 + n l n = y −105 \ 5 )②当MN 为一条对角线时，〈(x M + x N = x D + x K，即〈(6 + 3 = 10 + x，整理得〈(x = − 1l y M + y N = y D + y K l −4 + n = 6 + y l n = 10 + y5 \ 5 )③当MD 为一条对角线时，〈 ，即〈 ，整理得〈l y M + y D = y N + y K l−4 + 6 = n + y l n = 2 − y由MD 2 = NK 2 ，代入即有116 = 100 + (2 − 2y )2，解得y =− 1 或y = 3 ，故此时K (13, −1) 或(13,3) ； ( 36 ) ( 6 )综上， 点K 的坐标为|7, |或|−1,− |或(13, −1) 或(13,3) ．\ 5 ) \ 5 ) y 1 − y 2． x 1 − x 21．如图1，二次函数y= ax2 + bx+ c(a丰0)与x轴交于点A(−2, 0) 、点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3) ，tan 三CBO= ．(1) 求二次函数解析式；(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+ BE的最大值及此时点P的坐标；(3) 在(2) 的条件下，当PD+ BE取最大值时，连接PC，将△PCD绕原点O顺时针旋转90。
二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题
学习好资料欢迎下载二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与几何综合类存在性问题二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．探究一二次函数与三角形的结合例 1 [2013 ·重庆 ]如图 41－ 1，对称轴为直线x＝－ 1 的抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠ 0)与 x 轴的交点为 A、 B 两点，其中点 A 的坐标为 (－ 3， 0)．(1)求点 B 的坐标；(2)已知 a＝ 1， C 为抛物线与 y 轴的交点．①若点 P 在抛物线上，且S△ POC＝ 4S△ BOC，求点 P 的坐标；②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD⊥ x 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值． (1) 抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点 B 的坐标，根据二次函数的对称性，能求出 B点的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？由 a＝ 1，A(－ 3， 0)， B(1， 0)三个条件试一试；(3) 根据 S△ POC＝ 4S△ BOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值；(4)如何用待定系数法求出直线 AC 的解析式？(5)D 点的坐标怎么用 x 来表示？(6)QD 怎样用含x 的代数式来表示？(7)QD 与 x 的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？以二次函数、三角形为背景的有关点存在性问题是以二次函数的图象和解析式为背景，判断三角形满足某些关于点的条件时，是否存在的问题，这类问题有关于点的对称点、线段、三角形等类型之分．这类试题集代数、几何知识于一体，数形结合，灵活多变．解： (1)由题意知：点 A 与点 B 关于直线 x＝－ 1 对称， A(－3，0)，∴B(1，0)．(2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)(3)代入 y＝x2＋2x＋c 中得 c＝－ 3，∴该抛物线解析式为 y＝x2＋2x－3.∵ S113POC＝4S3BOC＝2·OB·OC＝2×1×3＝2，∴S BOC＝4×2＝△△△6.1又 S△POC＝2·OC·|x p|＝6，∴|x p|＝4，∴ x p＝±4.当 x p＝4 时， y p＝42＋2×4－3＝21；2当 x p＝－ 4 时， y p＝(－4) ＋ 2× (－4)－3＝5.②∵ A(－3，0)，C(0，－ 3)，则直线 AC 的解析式为 y＝－ x－ 3.2设点 Q 为(a，－ a－3)，点 D 为 (a，a ＋ 2a－3)，∴QD＝y Q－y D＝－ a－ 3－ (a2＋ 2a－3)＝－ a2－3a.当 a＝－－3＝－3时， QD 有最大值，其最大值为：2×（－ 1）23239－－2－3× －2＝4.探究二二次函数与四边形的结合例 2[2013 ·枣庄 ]如图 41－ 2，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋ bx＋ c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点， B 点的坐标为 (3，0)，与 y 轴交于 C(0，－ 3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2) 连接 PO、 PC，并将△ POC 沿 y 轴对折，得到四边形POP′ C，那么是否存在点P，使得四边形POP ′ C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．(1)图中已知抛物线上几个点？将 B、 C 的坐标代入求抛物线的解析式；(2)画出四边形 POP′ C，若四边形 POP′C 为菱形，那么 P 点必在 OC 的垂直平分线上，由此能求出P 点坐标吗？(3) 由于△ ABC 的面积为定值，求四边形ABPC 的最大面积，即求△BPC 的最大面积．求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差．解： (1)将 B、C 两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，9＋3b＋c＝0，b＝－ 2，得解得c＝－ 3，c＝－ 3.∴这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.(2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形 POP′C 为菱形．连接 PP′交 CO 于点 E.∵四边形 POP′C 为菱形，3∴PC＝PO，PE⊥CO，∴ OE＝EC＝2，∴ P 点的纵坐标为－3，即 x2－ 2x－ 3＝－3，解得x1＝222＋ 10＝2－ 10P(2＋ 10， x22(不合题意，舍去 )．∴存在点2，23－2)，使得四边形POP′C 为菱形．(3)过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q，交OB 于点F ，设P(x，x2－2x－3)．由x2－2x－3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵ B 点的坐标为 (3，0)，C 点的坐标为 (0，－3)，∴直线 BC 的解析式为： y＝x－3，∴ Q 点的坐标为 (x，x－ 3)，∴AB＝ 4， CO＝3，BO＝3，PQ＝－ x2+3x.∴ S 四边形 ABPC ＝S △ABC ＋S △BPQ ＋S △CPQ ＝1AB ·CO ＋1PQ ·2 2 BF ＋1PQ ·FO ＝ 1AB ·CO ＋1PQ ·(BF ＋FO)＝ 1AB · CO2222 ＋ 1PQ · BO ＝1×4× 3＋1(－ x 2＋3x)×3＝－ 3x 2＋9x ＋ 6＝22222－3 x －3275 32＋.∴当 x ＝ 时，四边形 ABPC282的面积最大．此时 P 点的坐标为3，－ 1524 ，75四边形 ABPC 的最大面积为.探究三 二次函数与相似三角形的结合例 3[2013 ·凉山 ]如图 41－ 3，抛物线y ＝ax2－ 2ax ＋ c( a ≠ 0)交 x 轴于 A 、B 两点， A 点坐标为(3 ， 0)，与 y 轴交于点 C(0， 4)，以 OC 、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G.(1) 求抛物线的解析式；(2) 抛物线的对称轴 l 在边 OA(不包括 O 、 A 两点 )上平行移动，分别交x 轴于点 E ，交CD 于点 F ，交 AC 于点 M ，交抛物线于点 P ，若点 M 的横坐标为 m ，请用含 m 的代数式表示 PM的长；(3) 在 (2)的条件下， 连接C 、 F 为顶点的三角形和△PC ，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以 P 、AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△ PCM 的形状；若不存在，请说明理由．(1) 将 ____________代入 y ＝ ax2－ 2ax ＋ c ，求出抛物线的解析式；(2) 根据 ________的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式；(3) 根据抛物线和直线 AC 的解析式如何表示出点P 、点 M 的坐标和 PM 的长？ (4) 由于∠ PFC 和∠ AEM 都是直角， F 和 E 对应，则若以 P 、 C 、F 为顶点的三角形和 △AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽ ________，②△ PFC ∽ ________．此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．解： (1)∵ C(0， 4)， A(3， 0)在抛物线 y ＝ ax 2－ 2ax ＋ c (a ≠ 0)上， ∴ c ＝ 4，a ＝－ 4，解得39a － 6a ＋ c ＝ 0， c ＝ 4.∴所求抛物线的解析式为y ＝－4283x＋ x ＋ 4.3(2) 设直线 AC 的解析式为 y ＝ kx ＋ b (k ≠ 0)， ∵ A(3， 0)，C(0， 4)在直线 AC 上，∴3k ＋ b ＝ 0，解得 k ＝－4， 3b ＝ 4，b ＝ 4.∴直线 AC 的解析式为 y ＝－ 43x ＋ 4，∴ M m ，－ 43m ＋4 ，P m ，－ 43m 2＋83m ＋4 .∵点 P 在 M 的上方，∴PM ＝－ 428 43m ＋3m ＋4－ －3m ＋4＝－ 43m 2＋83m ＋4＋43m －4＝－ 43m 2＋4m.PF(3)①若△ PFC ∽△ AEM ，此时△ PCM 是直角三角形且∠ PCM ＝ 90°.则AE CF PF AE＝ME ，即CF ＝ME .又∵△ AEM ∽△ AOC ，∴ AO AE ＝ME CO ，即 ME AE ＝AOCO ，PF AO 3∴＝＝ .CF CO 4∵ PF ＝ PE － EF ＝－ 43m 2＋ 83 m ＋ 4－ 4＝－ 43m 2＋ 83m ， CF ＝ OE ＝ m ，∴428－ 3m＋3m323m＝4.∵m ≠ 0，∴ m ＝16.②若△ PFC ∽△ MEA ，此时△ PCM 是等腰三角形且 PC ＝CM .PF FC PF ME 则ME ＝EA ，即 FC ＝ EA .AO AE 3 OC 4PF OC 4 由①得 CO ＝ME ＝4，∴ OA ＝ 3，∴FC ＝OA ＝3.4 2 8同理， PF ＝－ 3m ＋ 3m ， CF ＝ OE ＝ m ，－43m 2＋83m 4 ∴m ＝3.∵m ≠ 0，∴ m ＝1.综上可得，存在这样的点 P 使以 P 、C 、F 为顶点的三角形与△ AEM 相似，23 此时 m 的值为 16或 1，△ PCM 为直角三角形或等腰三角形．探究四二次函数与圆的结合例 4 [2013 ·巴中 ]如图 41－ 4，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ， A 点坐标为 (4，0)， B点坐标为 (－ 1，0)，以 AB 的中点 P 为圆心， AB 为直径作⊙ P 与 y 轴的正半轴交于点C.(1) 求经过 A 、 B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式； (2)设 M 为 (1)中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；(3) 试说明直线 MC 与⊙ P 的位置关系，并证明你的结论．(1) 已知抛物线上的哪两个点？设经过A 、B 、C三点的抛物线解析式是y ＝ a(x － 4)(x ＋ 1)，如何求出 C 点坐标？(2) 怎么求出顶点 M 的坐标？(3) 若直线 MC 与⊙ P 相切，如何去求证？用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．解： (1)∵A(4，0)，B(－1，0)，∴AB ＝5，半径是 PC ＝ PB ＝ PA ＝52，53∴OP ＝2－1＝2，在△ CPO 中，由勾股定理得： OC ＝ CP 2 －OP 2＝ 2，∴ C (0， 2)．设经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线的解析式是 y ＝ a(x － 4) ·(x ＋ 1)， 把 C(0， 2)代入得： 2＝a(0－4)(0＋ 1)，1∴a ＝－ 2，∴y ＝－ 11232(x － 4)(x ＋1)＝－ 2x ＋ 2x ＋2，故经过 A 、 B 、 C 三点的抛物线所对应的函数解析式是 y ＝－ 1 2 32x ＋2x ＋2.1 2 3 1 x － 3 225 ，∴ M 3 25(2) ∵ ＝－ 2x ＋ ＋ ＝－ ＋， 8 . 2 2 82 y 2x 2设直线 MC 对应的函数解析式是 y ＝ kx ＋ b ，325 25 38 ＝ k ＋b ，把 C(0，2)，M2， 8代入，得2 b ＝ 2，33解得 k ＝4， b ＝2，∴ y ＝4x ＋ 2. (3)MC 与⊙ P 的位置关系是相切．证明：设直线 MC 交 x 轴于 D ，当 ＝ 时， ＝38，OD＝8，∴D － 8，0.y 00 4x ＋ 2，∴ x ＝－ 33 322 8 2 100 400在△ COD 中，由勾股定理得 CD ＝2 ＋ 3 ＝ 9 ＝ 36.又 PC 2＝ 5 225＝225， PD 2＝ 2 ＝ 5＋8－ 1＝ 625，2 4 36 23 36222∴CD ＋PC ＝PD ，∴∠ PCD ＝90°，∴ PC ⊥ DC.。
二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河南中考
二次函数直角三角形存在性问题解题技巧2019年河
南中考
该问题还可以引生为等腰和直角共存的问题，但是无论什么样的情况，我们都需要先掌握基本的等腰三角形及直角三角形存在性问题的解法。
解这两类存在性问题，一般分三个步骤，一是寻找分类标准，而是列方程，三是解方程并验根。
（突出利用两点间距离公式的思路）。
探究等腰三角形的存在性问题时需将情况考虑全面，题目中未指定哪条边是腰或底边时，需分类讨论哪两条边是腰的情况.当有两个点是定点，一个是动点时，即"两定一动"型，有两种解决方法：①"两圆一线"法；②分类讨论法.
对于直角三角形的存在性问题，应充分利用图形的几何关系，需要常常和相似三角形，锐角三角形函数提供的三角比解决，但无论是哪种方法，分类标准是共通的，而分类时寻找确定的直角顶点往往需要用到圆周角的知识。
一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或者三角比列方程，有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便。
初三中考数学 二次函数与几何综合类存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
第39课时 二次函数与几何综合类 存在性问题
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合 在一起考查，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数 ”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给 定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现 的问题，解决这类问题的一般思路是先假设结论存在，然后 在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设； 若推出合理，则可肯定假设．
第39课时┃ 二次函数与几何综合类存在性问题
探究二 二次函数与四边形的结合 例 2 [2013·枣庄] 如图 39－2，在平面直角坐标系中，二次函 数 y＝x2＋bx＋C 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 的坐标为(3， 0)，与 y 轴交于点 C(0，－3)，点 P 是直线 BC 下方抛物线上的动 点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)连接 PO，PC，并将△POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C， 那么是否存在点 P，使得四边形 POP′C 为菱形？若存在，求出此 时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求 出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．
(3)抛物线 y＝－16x2＋56x＋4 的对称轴是直线 x＝52. 要使△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，有两种情况： ①当点 B 为直角顶点时，如图①所示．
二次函数解析几何--存在性问题
二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。
二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一 面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。
二次函数图象上点的存在性问题
联合函数y＝x2 可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P（3，9）
M
练习：(2009—2010 昌平二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4a经 过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关 于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点， 且∠DBP=45°，求点P的坐标．
例1已知抛物线 y＝x2－2x－3 的的顶点为 D，点 P、 Q 是抛 物线上的动点，若△DPQ 是等边三角形，求△DPQ的面积。
解：根据 y＝x2－2x－3可得D（1，-4），因为△QPD是等边三
角形，所以直线DQ的斜率为 ，因为D（1，-4），
所以l DQ: y＝ x-4-
,与二次函数y＝x2－2x－3联立起来解方 程，可得xQ=1+
∵P点在抛物线上，
∴P (
)
全等、相似与角度
板块二：二次函数与多个角
技巧和方法： 在抛物线上找点，满足两角和(差)关系。
例1二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C 点，在二次函数的图 象上是否存在点 P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你 求出 P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
例3 (2010 苏州)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B。 已知 A、 B 两点的坐标分别为(3， 0)、 (0， 4)。 ⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， PA2＋PB2＋PM2＞28 是否总成立？ 请说明理由
解：(1) （1）设y=a(x-3)2，把B（0，4）代入，得a= （2）∵m，n为正整数∴ (m-3)2 应该是9的整数，∴m是3的倍数， 又∵m>3，∴m=6，9，12...， 当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6， ∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6， 当m≥9时，MB>6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的 正整数，∴点M坐标只有一种可能（6，4）； （3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
九级数学第13讲二次函数中的存在问题目讲义
第十三讲 二次函数中的存在性问题（讲义）一、知识点睛解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤： ①____________．研究确定图形，先画图解决其中一种情形． ②____________.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解．③____________.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．二、精讲精练1. 如图，已知点P 是二次函数y =-x 2+3x 图象在y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y =-2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点. 若以AB 为直角边的△P AB 与△OAB 相似，请求出所有符合条件的点P 的坐标．yxO O x y y x O O xyB AyxOOxyAB2. 抛物线()21134y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．点P 在抛物线上，直线PQ //BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求直线BQ 的函数解析式；（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上（点D 不与点Q 重合），另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．C O y BAxxABy O C QP EDCO y B Ax3. 如图，矩形OBCD 的边OD 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴负半轴上，且OD ＝10，OB ＝8．将矩形的边BC 绕点B 逆时针旋转，使点C 恰好与x 轴上的点A 重合．（1）若抛物线c bx x y ++-=231经过A 、B 两点，则该抛物线的解析式为______________________；（2）若点M 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，作MN ⊥x 轴于点N ．是否存在点M ，使△AMN 与△ACD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．yxADCBOyxADCBO4. 已知抛物线2=23y x x --经过A 、B 、C 三点，点P （1，k ）在直线BC ：y=x -3上，若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．B OP xyCA B OP xyCA5. 抛物线2212-+=x x y 与y 轴交于点C ，与直线y =x 交于A (-2，-2)、B (2，2)两点．如图，线段MN 在直线AB 上移动，且2MN =，若点M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ．以P 、M 、Q 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出m 的值；若不能，请说明理由．ACyxOB N M B O xyCA三、回顾与思考____________________________________________________________________________________________________________。
九年级二次函数综合——图形的存在性问题(讲义及答案)
1 / 11九年级二次函数综合——图形的存在性问题（讲义）➢ 知识点睛1. 二次函数的学习框架⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一般式表达式顶点式交点式抛物线图象轴对称图形二次函数增减性性质对称性最值已知坐标计算表达式——待定系数法计算已知表达式计算坐标——联立表达式、坐标代入表达式函数与几何综合——从关键点坐标出发，横平竖直的线 2. 二次函数与方程、不等式的综合——数形结合 3. 二次函数与几何综合（1）函数与几何综合问题处理的两个原则①坐标系中处理问题的原则——作横平竖直的线，坐标和线段长互转 ②函数与几何综合问题的处理原则——从关键点坐标出发 （2）二次函数与几何综合问题的处理思路①已知表达式，设点坐标，转线段长，借助几何特征列方程 ②几何特征比较明显，设线段长、表达点坐标、代入表达式注：实际解决问题的时候，往往①②结合使用4. 存在性问题的处理框架（1）研究背景图形（2）根据不变特征，确定分类标准（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得以P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2/ 113 / 112. 已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示．（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为____________________； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．32x备用图3.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，-3)．（1）求这个二次函数的解析式．（2）若点P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4/ 114.如图，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．备用图5/ 115.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标．（3）已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．6/ 117/ 118 / 116. 如图，直线132y x =-与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，抛物线214y x bx c =++过B ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为点A ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D （与点A 不重合），使得S △DBC =S △ABC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和点Q ，交直线CB 于点M 和点N ，在矩形平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．7.如图，已知直线113y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式．（2）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．9/ 1110 / 11【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为2142y x x =+-； （2）S 关于m 的函数关系式为S =-m 2-4m （-4＜m ＜0）；S 的最大值为4；（3）点Q 的坐标为Q 1(-4，4)，Q 2(2-+，2-，Q 3(2--2+)，Q 4(4，-4)．2. （1）213222y x x =--+；（2）△ABC 为直角三角形，理由略；（3）点P 的坐标为P 1(32-，2+)，P 2(32-，2)，P 3(32-，0)．3. （1）二次函数的解析式为y =x 2-2x -3；（2）①PM =-t 2+3t （0＜t ＜3），当t =32时，PM 取得最大值，为94；②点P 的坐标为P 1(2，-3)，P 2(3，2-． 4. （1）抛物线的解析式为224233y x x =+-； （2）PH； （3）M 点坐标为M 1(，2-+，M 2，2--，M 3(1，-2)，M 4(35-，65-)．5. （1）抛物线的解析式为224233y x x =-++；对称轴为直线x =1；（2）点D 的坐标为(1，74)； （3）△CEF 面积的最大值为4948；此时点E 的坐标为(74，5524)；11 / 11 （4）点M 的坐标为M 1(4，103-)，M 2(-2，103-)，M 3(2，2)． 6. （1）抛物线的解析式为2134y x x =--； （2）点D 的坐标为(8，5)；（3）点M 的坐标为M 1(2，-2)，M 2(2+2)，M 3(2-2)．7. （1）抛物线的解析式为2732y x x =-+；（2）菱形的周长为8或．。
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求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为 2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x 轴方向平移，与 y 轴平
行的一组对边交抛物线于点 P 和点 Q，交直线 CB 于点 M 和点 N，在矩形平移
过程中，当以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标．
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二次函数综合——图形的存在性问题
知识点睛
1. 二次函数的学习框架
一般式
表达式
顶点式
交点式
抛物线 图象 轴对称图形
二次函数
增减性
性质最对值称性
已知坐标计算表达式——待定系数法
计算
已知表达式计算坐标——联立表达式、坐标代入表达式
函数与几何综合——从关键点坐标出发，横平竖直的线
②几何特征比较明显，设线段长、表达点坐标、代入表达式
注：实际解决问题的时候，往往①②结合使用
4. 存在性问题的处理框架
（1）研究背景图形
（2）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ据不变特征，确定分类标准
（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解
（4）结果验证
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精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0) 三点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的 面积为 S．求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位 置能够使得以 P，Q，B，O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的 点 Q 的坐标．
2. 二次函数与方程、不等式的综合——数形结合
3. 二次函数与几何综合
（1）函数与几何综合问题处理的两个原则
①坐标系中处理问题的原则——作横平竖直的线，坐标和线段长互转
②函数与几何综合问题的处理原则——从关键点坐标出发
（2）二次函数与几何综合问题的处理思路
①已知表达式，设点坐标，转线段长，借助几何特征列方程
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5. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A(-1， 0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴． （2）点 D 为抛物线对称轴上一点，连接 CD，BD，若∠DCB=∠CBD，求点 D 的坐标． （3）已知 F(1，1)，若 E(x，y)是抛物线上一个动点（其中 1＜x＜2），连接 CE， CF，EF，求△CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标． （4）若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 B，C， M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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6. 如图，直线 y 1 x 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B，C，抛物线 y 1 x2 bx c 过
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B，C 两点，且与 x 轴的另一个交点为点 A，连接 AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合），使得 S△DBC=S△ABC？若存在，
7. 如图，已知直线 y 1 x 1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将△AOB 绕点 O 3
顺时针旋转 90°后得到△COD． （1）点 M 在 CD 上，且 CM=OM，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C，M，求抛物 线的解析式． （2）如果点 E 在 y 轴上，且位于点 C 的下方，点 F 在直线 AC 上，那么在 （1）中的抛物线上是否存在点 P，使得以 C，E，F，P 为顶点的四边形是菱 形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．
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4. 如图，抛物线 y=ax2+bx-2（a≠0）与 x 轴交于 A(-3，0)，B(1，0)两点，与 y 轴 交于点 C，直线 y=-x 与该抛物线交于 E，F 两点． （1）求抛物线的解析式． （2）P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动点，作 PH⊥EF 于点 H，求 PH 的 最大值． （3）以点 C 为圆心，1 为半径作圆，⊙C 上是否存在点 M，使得△BCM 是 以 CM 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出 M 点坐标；若不存在，说 明理由．
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2. 已知抛物线 y 1 x2 3 x 的图象如图所示． 22
（1）将该抛物线向上平移 2 个单位，分别交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，则平移后的解析式为____________________； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）在抛物线对称轴上是否存在一点 P，使得以 A，C，P 为顶点的三角形 是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
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3. 如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y 轴相交于点 C(0，-3)． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点 P 是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x 轴于点 H，与 线段 BC 交于点 M，连接 PC． ①求线段 PM 的最大值； ②当△PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标．
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