常用逻辑用语复习课

要点三 数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数 学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思 维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的 观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得 到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要 条件的判定上.
4.命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋ －a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数 a 的取值范围. 解 当 p 为真命题时，ax2＋2x＋1>0 恒成立， ∴aΔ><00，，即a4>－04，a<0，解得aa>>01，，∴a>1.
Байду номын сангаас
(1)当
p
为真，且
q
0＜a＜1， 为假时，12≤a＜1或1＜a≤52，即
a∈[12，
1).
(2)当
p
为假，且
q
a≥1， 为真时，0＜a＜12或a＞52，即
a∈52，＋∞.
综上，a 的取值范围为[12，1)∪52，＋∞.
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0<a<1}，B＝{a|q(a)}＝{a|0<a<12或 a>52}， ∴p 和 q 有且只有一个为真⇔a∈A∪B 且 a∉A∩B， 故 a 的取值范围为[12，1)∪52，＋∞.
2.设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q： 实数 x 满足xx22－＋x2－x－6≤8>00，. (1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围； (2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 (1)由 x2－4ax＋3a2<0 得(x－3a)(x－a)<0. 又 a>0，所以 a<x<3a， 当 a＝1 时，1<x<3， 即 p 为真命题时，实数 x 的取值范围是(1，3). 由xx22－＋x2－x－6≤8>00，，解得－x<2－≤4x或≤x3>，2. 即 2<x≤3. 所以 q 为真时，实数 x 的取值范围是(2，3]. 若 p 且 q 为真，则12<<xx<≤33，⇔2<x<3， 所以实数 x 的取值范围是(2，3).
1.判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B； (3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|. 解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则 它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真. (2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它 为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它 为假命题，故原命题为假.
5.设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m，2m＋ 1)(m>0) 上 不 是 单 调 函 数 的 充 要 条 件 是 ________.
解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图像如图所示，可得02<mm＋<11>，1， 故 0<m<1 即为 f(x)在区间(m，2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件.故填 0<m<1.
(2)非 p 是非 q 的充分不必要条件， 即非 p⇒非 q 且非 q⇒/ 非 p. 设 A＝{x|x≤a 或 x≥3a}，B＝{x|x≤2 或 x>3}， 则 A B. 所以 0<a≤2 且 3a>3，即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1，2].
要点二 分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一， 分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行 分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有 字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论 时要做到不重复、不遗漏.
3.已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调 递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p 或q为真，p且q为假，求a的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和 q 有且只有一个为真.p 为真时，0 ＜a＜1；∵y＝x2＋(2a－3)x＋1 与 x 轴有两个不同交点，∴Δ＝ (2a－3)2－4＞0，得 a＜12或 a＞52，即 q 为真时，0<a＜12或 a＞52.
答案 0<m<1
常用逻辑用语复习课
网络构建
要点一 转化与化归思想
将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对 象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的 问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模 式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑 语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化.
当 q 为真命题时，g(x)＝x－2x＋ －22＋a＝1＋ax－ ＋22在(2，＋∞)上是增 函数， ∴a＋2<0，即 a<－2. ∵p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题， ∴p 与 q 一真一假， 当 p 真 q 假时，有aa＞ ≥1－，2，∴a＞1， 当 p 假 q 真时，有aa≤ ＜1－，2，∴a＜－2， ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).