常用逻辑用语复习课
常用逻辑用语复习教案
２－１第一章常用逻辑用语小结与复习(教案)【知识归类】1．命题:能够判断真假的陈述句．2．四种命题的构成:原命题:若p则q;逆命题:若q则p;否命题:若p⌝则q⌝.⌝;逆否命题: 若q⌝则p一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：原命题为真,它的逆命题真假不一定. 原命题为真,它的否命题真假不一定．原命题为真,它的逆否命题真命题. 逆命题为真，它的否命题真命题．原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是同真同假.逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.3. 充分条件与必要条件:⇒:p是q充分条件；q是p必要条件；p q⇔是的充分必要条件，简称充要条件.:p q p q４. 逻辑联接词：“且”、“或”、“非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示，意义为:或：两个简单命题至少一个成立；且:两个简单命题都成立;非:对一个命题的否定.按要求写出下面命题构成的各复合命题,并注明复合命题的“真”与“假”.p:矩形有外接圆; :q矩形有内切圆.或矩形有外接圆或内切圆(真)p q:且矩形有外接圆且有内切圆（假)p q:非p：矩形没有外接圆（假）5．全称量词与全称命题:常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.(1) p 与p ⌝的真假相异,因此，欲证p 为真，可证p ⌝为假,即将p ⌝作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么p ⌝必为假,从而p 为真.（2) “,p q 若则”与“q p ⌝⌝若则”等价.欲证“,p q 若则”为真,可由假设“q ⌝”来证明“p ⌝”,即将“q ⌝”作为条件进行推理,导致与已知条件p 矛盾.（3）由“,p q 若则”的真假表可知,“,p q 若则”为假，当且仅当p 真q 假,所以我们假设“p 真q 假”，即从条件p 和q ⌝出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“,p q 若则”是真命题．后两条的逻辑基础,可以概括成一句话：“否定结论,推出矛盾”.【题型归类】题型一:四种命题之间的关系例1 命题“20(b a b +=∈2若a 、Ｒ)，则a=b=0”的逆否命题是( D )．(A ） ≠≠若 a b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(B) ≠若 a=b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(C ） 0≠≠若 a 且b 0∈(a,b R),则20b +≠2a(Ｄ) 0≠≠若 a 或b 0∈(a,b Ｒ)，则20b +≠2a【审题要津】命题结论中的a=b=0如何否定是关键．解： a=b=0是a=0且b=0,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:0≠≠若 a 或b 0∈(a,b R)，则20b +≠2a ,故应选D【方法总结】一个命题结论当条件,条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题.题型二:充分、必要条件题型例2 “,,αβγ 成等差数列”是“等式αγβsin(+)=sin2成立”的 （ A ).(A ）充分而不必要条件 （Ｂ)必要而不充分条件（C)充要条件 （Ｄ）既不充分有不必要的条件【审题要津】,,αβγ 成等差数列,说明2αγβ+= ,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.解: 由,,αβγ 成等差数列，所以2αγβ+= ，所以αγβsin(+)=sin2成立,充分;反之,由αγβsin(+)=sin2成立,不见得有,,αβγ 成等差数列,故应选A.【方法总结】p q ⇒:p 是q 充分条件; q 是p 必要条件,否则:p 是q 的不充分条件; q 是p 不必要条件.变式练习：“1a =”是“,21a x x x+≥对任意的正数”的 ( A ）．(A)充分而不必要条件 （Ｂ)必要而不充分条件（C ）充要条件 (Ｄ)既不充分有不必要的条件例3 221:212;:210(0)3x p q x x m m --≤-≤-+-≤>已知，若p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件,求实数m 的取值范围.【审题要津】命题p ,q 可以化的更简,由p ⌝和q ⌝的关系可以得到p 与q 的关系，利用集合的理论方法将问题解决.解: 由22210x x m -+-≤得:11,(0)m x m m -≤≤+>，{}:11,0q A x x m x m m ∴⌝=>+<->或.{}112210,:2103x x p B x x x -≤-≤-≤≤∴⌝=<->由-2得或. 由p ⌝是q ⌝的必要但不充分条件知:p 是q 的充分但不必要条件,即B A⊆于是：012110m m m >⎧⎪-≥-≤⎨⎪+≤⎩解得0<m 3为所求．【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法,体现了集合的应用,能把各种关系清楚地描绘出来.题型三:复合命题真假的判断例4 已知2:10p x mx ++=方程有两个不等的负实数根；q ：方程24x +()4210m x -+=无实根, p q p q 若或为真，且为假，求m 的取值范围.【审题要津】把两个方程化简，然后根据p q p q 或及且列不等式组，方可求m的取值范围.解:240,:2;0m p m m ⎧∆=->>⎨>⎩解得 ()()22:16216164301 3.q m m m m ∆=--=-+<<<解得 p q p q 或及且，p q p q ∴为真，为假或为假，为真，2,2,3121 3.13m m m m m m m >≤⎧⎧≥<≤⎨⎨<<≤≥⎩⎩即或解得或或 【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、p q p q 或及且两类复合命题的真假判断.变式练习:设有两个命题， p ：不等式1x x a ++>的解集为R ， q ：函数()f x =()73xa --在R 上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则a 的取值范围是12a ≤<.题型四:全称命题、特称命题例5 设,A B 为两个集合,下列四个命题:(1),A B x A x B ⊆⇔∀∈∉有 (２) A B A B ⊄⇔=∅(３） A B B A ⊄⇔⊄ (4) A B x A x B ⊄⇔∃∈∉使得其中真命题的序号为(4).【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题．解: {}{}{}1231241112A B A B A B A B ==⊄∈∈=若，，，，，，满足，但且，，,所以(1)，(2）是假命题; {}{}1241A B A B B A ==⊄⊆若，，，，满足但，所以(3)是假命题,只有（4)为真命题．【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.变式练习:下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).(A) ()n 90sin ααα︒-=有一个使si(B ） sin 2x x π=存在实数，使（C ） (),sin 180sin ααα︒-=对一切(Ｄ） sin15sin 60cos 45cos60sin 45︒︒︒︒︒=-题型五:综合应用例６ 已知关于x 的实系数二次方程20x ax b ++=有两个实数根,αβ.证明: 2α< 且2244b βα<<+<是且b 的充要条件.【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论,从题目的叙述中可以看出，2α<且2β<是条件,244b α<+<且b 是结论,由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与x轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。
常用逻辑用语(高三一轮复习)
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解析 若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直 角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯 形”的既不充分也不必要条件．
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3．(2022·天津南开一模)设a∈R，则“a>3”是“a2>4”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由a2>4，解得a<－2或a>2，∴由“a>3”可推出“a2>4”，而由“a2>4”推不出 “a>3”，∴“a>3”是“a2>4”的充分不必要条件．
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解析 (1)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”． (2)因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所 以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”．
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考向2 含量词命题的真假判断 例4 (多选)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正 确的是( AB ) A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉B C．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B
A．－1<x<－12
B．x>0
C．－1<x<0
D．x<0
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高中数学 复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教
复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题D ．为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.3．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[题组训练]1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．[考点精要]1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2．全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”．[典例] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] (1)已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)C (2)A [类题通法]1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 2．判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题为假．(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．[题组训练]1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 由题意p 与q 均为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03．已知p ：点M (2,3)在直线ax －y ＋1＝0上，q ：方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋a ＝0表示圆，p ∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围．解：当p 是真命题时，2a －3＋1＝0，即a ＝1， 所以当p 是假命题时，a ≠1；当q 是真命题时，1＋1－4a >0，即a <12，所以当q 是假命题时，a ≥12.又p ∨q 是假命题，所以p ，q 均为假命题， 所以a ≥12且a ≠1，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.2．命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角αm β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.5．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－1≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5.7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件．解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1}10．已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2⇒0＜a ≤3，∴a 的取值X 围为(0,3]．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数m 的取值X 围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1， 故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。
高考数学专题复习《常用逻辑用语》PPT课件
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成
容易判断充要条件为止.
对点训练1(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
B.存在偶函数的图像关于y轴对称
C.存在偶函数的图像不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称
答案 C
解析 “偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对
称”,根据全称命题进行否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定
结论.所以原命题否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.
“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选 C.
(2)若 p 成立,则 a=4 -2 =
x
1
-4, + ∞
x
2
1
2 - 2
1
− 4,所以
1
a≥-4,即
a 的取值范围为
;若 q 成立,则 x+a-2>1 对∀x>0 恒成立,所以 a>3-x 对∀x>0 恒
成立,则 a≥3.即 a 的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋
4
1
4
1
4
∴- ≤m< ,或- <m≤ ,∴- ≤m≤ .
2
3
2
3
2
3
解题心得解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并
由此列出关于参数的不等式(组)求解.要注意区间端点值的检验,不等式是
《集合与常用逻辑用语》复习课件
第一章 集合与常用逻辑用语
全称量词命题与存在量词命题 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：能被 3 整除的数，也能被 4 整除； (3)p：有些实数的绝对值是正数； (4)p：某些平行四边形是矩形．
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”， 因此，﹁p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为存在一个能被 3 整 除的数，不能被 4 整除，是真命题． (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此，﹁p：所 有实数的绝对值都不是正数，是假命题． (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，﹁p： 每一个平行四边形都不是矩形，是假命题．
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)因为 M＝{x|－4≤x<5}， 所以∁UM＝{x|x<－4 或 x≥5}， 又 B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R， 所以bb－＋37<≥－5，4，解得－2≤b<－1. 所以实数 b 的取值范围是{b|－2≤b<－1}．
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第一章 集合与常用逻辑用语
当 m＝0 时，与 m≠0 相矛盾，当 m＝3 时，此时集合 A＝{0，
3，2}，符合题意．
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第一章 集合与常用逻辑用语
集合的基本关系 已知集合 A＝{x|x＜－1 或 x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1， a＜1}，若 B⊆A，则实数 a 的取值范围为________． 【解析】 因为 a＜1，所以 2a＜a＋1，所以 B≠∅. 画数轴如图所示．
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第一章 集合与常用逻辑用语
常用逻辑用语复习教案
常用逻辑用语复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固常用的逻辑用语，包括概念、判断和推理。
2. 提高学生对逻辑用语的理解和应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学内容：1. 概念的定义和分类。
2. 判断的类型和结构。
3. 推理的形式和有效性。
4. 逻辑符号的表示方法。
5. 逻辑推理的运用实例。
三、教学方法：1. 采用讲解法，讲解概念、判断和推理的定义和特点。
2. 使用示例法，通过具体的例子的分析和解答，帮助学生理解和掌握逻辑用语的应用。
3. 采用练习法，通过课堂练习和作业的完成，巩固学生对逻辑用语的掌握。
四、教学步骤：1. 导入：通过一个有趣的逻辑谜题，引起学生对逻辑用语的兴趣和好奇心。
2. 讲解概念：讲解概念的定义和分类，并通过示例进行解释和展示。
3. 讲解判断：讲解判断的类型和结构，并通过示例进行解释和展示。
4. 讲解推理：讲解推理的形式和有效性，并通过示例进行解释和展示。
5. 练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生进行练习和巩固所学的逻辑用语。
五、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极性和参与程度，包括提问和回答问题的情况。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对逻辑用语的理解和应用能力。
3. 作业完成情况：评估学生完成作业的质量，包括逻辑用语的正确使用和推理的合理性。
4. 学生自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和需要改进的地方。
六、教学资源：1. 教学PPT：制作逻辑用语的复习PPT，包括概念、判断和推理的定义和示例。
2. 练习题库：准备一些逻辑用语的练习题，包括选择题、填空题和解答题。
3. 参考书籍：提供一些关于逻辑学的基础书籍，供学生进一步学习和参考。
七、教学安排：1. 第1-2课时：回顾和巩固概念的定义和分类。
2. 第3-4课时：讲解判断的类型和结构。
3. 第5-6课时：讲解推理的形式和有效性。
4. 第7-8课时：讲解逻辑符号的表示方法。
常用逻辑用语章末复习提升课件PPT
跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个
不相等的实根，则实数k的取值范围是( B )
A.(0，12)
B.(12，1)
C.(1,2)
D.(2，＋∞)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示， 当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1， 当直线 g(x)＝kx 过 A 点时斜率为12， 故 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，
故由上式可以知道ac＋bd≤1，
这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数.
解析答案
跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点， 求证：AD<12BC(如图所示). 证明 假设 AD≥12BC. ①若 AD＝12BC，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半， 那么这条边所对的角为直角”知∠BAC＝90°，与题设矛盾.所以 AD≠21BC.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
数学：第一章《常用逻辑用语复习》课件(新人教A版选修2-1)
集合法与转化法
我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1）A B且B B且B B且B B且B A，则A是B的
充分非必要条件
2）若A 3）若A 4）A
A，则A是B的
必要非充分条件
A，则A是B的
既不充分也不必要条件
A，则A是B的
充分且必要条件
3、从集合与集合的关系看充分条件、必要 条件
一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ
若q则p 互 否
否命题
若﹁p则﹁q
互逆
原命题为真，则其逆否命题一定为 真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为 真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
结论：
(1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。
常用逻辑用语 复习
知识网络
四种命题
用常 语用 逻 辑
命题及其关 系 简单的逻辑联结 词
充分条件与必要条件
或
且 非或 全称量词与存在 量词
并集
交集 补集 全称量词 存在量词 运算
量词
含有一个量词的否定
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假 的语句称为假命题． 命题的形式：“若P, 则q”
例11．写出下列命题的否定
（1）对任意的正数x， x
常用逻辑用语复习教案
常用逻辑用语复习教案一、教学目标1. 理解并掌握常用的逻辑用语，如概念、判断、推理等。
2. 能够运用逻辑用语分析问题，提高思维能力。
3. 培养学生的逻辑思维和判断能力。
二、教学内容1. 概念：明确概念的含义、种类及其运用。
2. 判断：掌握判断的种类、结构和逻辑特征。
3. 推理：了解推理的定义、分类和应用。
4. 常见的逻辑错误：识别并纠正常见的逻辑错误。
5. 练习题：进行逻辑用语的练习，巩固所学知识。
三、教学方法1. 讲解法：讲解概念、判断、推理等逻辑用语的基本概念和运用。
2. 案例分析法：通过具体案例分析，让学生理解和运用逻辑用语。
3. 练习法：进行逻辑用语的练习，巩固所学知识。
四、教学准备1. 教案、教材或相关资料。
2. 投影仪或白板。
3. 练习题及答案。
五、教学过程1. 导入：通过一个简单的逻辑问题，引起学生对逻辑用语的兴趣。
2. 讲解：讲解概念、判断、推理等逻辑用语的基本概念和运用。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生理解和运用逻辑用语。
4. 练习：让学生进行逻辑用语的练习，巩固所学知识。
5. 总结：回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
6. 布置作业：布置相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况和提问回答情况。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习的情况，包括答案的正确性和解题思路的清晰性。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括逻辑思维的运用和团队合作的能力。
七、教学拓展1. 逻辑游戏：组织学生进行逻辑游戏，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
2. 案例研究：选择一些实际案例，让学生运用逻辑用语进行分析，培养他们的实际应用能力。
八、教学反馈1. 学生反馈：收集学生对课堂内容和教学方法的反馈，了解他们的学习情况和需求。
2. 自我反思：教师对教学过程进行自我反思，评估教学效果，找出改进的方向。
九、教学资源1. 教材：选择适合学生水平的教材，提供丰富多样的学习材料。
2025年高考数学一轮复习课件第一章集合与常用逻辑用语、不等式-1.2常用逻辑用语
记作_______且_______
充要
是的充分必要条件（简称______条
件）
是的既不充分也不必要条件
⇔
记作_______
⇏
⇏
记作_______且_______
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2.全称量词与存在量词
全称量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用
故选C.
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（2）（2022年浙江卷）设 ∈ ，则“sin = 1”是“cos = 0”的(
A.充分不必要条件
√
)
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
π
2
π
2
解：（方法一）{ sin = 1} = { = + 2π ， ∈ } ⫋ {| = + π ，
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.2 常用逻辑用语
课程标准
必备知识
自主评价
核心考点
课外阅读
课时作业
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件
的关系.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件
的关系.
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件
A.充分不必要条件
√
C.充要条件
)
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：若: 2 − 3 < 1为真命题，则1 < < 2.若: − 3 < 0为真命题，则
0 < < 3.因为 1,2 ⫋ 0,3 ,所以是的充分不必要条件.故选A.
常用逻辑用语复习课教案
常用逻辑用语复习课教案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-选修1—1第一章常用逻辑用语复习课绿春县第一中学白霞一、目标认知二、考试大纲要求：1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：四种命题间关系的真假判定，充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
二、教学的基本流程：12知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题的形式：“若P, 则q”也可写成“如果P,那么q”的形式也可写成“只要P,就有q”的形式通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论. 记做:四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.注意：三种命题中最难写的是否命题。
要严格区分命题的否定与否命题之间的差别．原语句是都是>至少有一个至多有一个x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个x∈A使p(x)假2. 四种命题的关系命题真假性判断（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。
但其逆命题、否命题不一定为真。
（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。
但其原命题、逆否命题不一定为真。
结论：p q(1)原命题与逆否命题同真假。
常用逻辑用语阶段复习课ppt
掌握分析推理的方法，通过逐步推理得出结论 。
3论Leabharlann 充分性熟悉如何评价论证的充分性，能够判断和反驳 错误的推理和论证。
02
复习内容
逻辑用语的基本概念
常用逻辑用语
复习常用逻辑用语，如“如果...那么...”、“只有...才...”、“如果...那么...否 则...”、“当且仅当...则...”等。
逻辑基本规律
回顾逻辑基本规律，如同一律、矛盾律、排中律等。
逻辑用语在推理中的应用
推理形式
掌握各种推理形式，如图形推理、演绎推理、归纳推理等。
推理规则
理解并掌握各种推理规则，如大前提、小前提、结论等。
逻辑用语在论证中的应用
论证结构
识别并分析各种论证结构，如因果关系论证、比较论证等。
论证评价
掌握评价论证的标准，如是否符合逻辑、是否符合事实等。
04
练习题
选择题
以下哪个不是逻辑用语中的概念？ 对于“如果A，则B”这个命题，以下哪个是正确的？
已知A和B两个命题，它们的逻辑关系是什么？ 对于“只有A，才B”这个命题，以下哪个是正确的？
填空题
请填写以下逻辑公式的名称：P且Q。 请填写以下逻辑公式的名称：非P。
请填写以下逻辑公式的名称：P或Q。 请填写以下逻辑公式的名称：P蕴含Q。
合B，因此题干中的说法是正确的。
答案：错 答案：对
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03
复习指导
理解基本概念是重点
理解和掌握逻辑用语的基本概念，如命题、推理、逻辑连接 词等，是正确使用逻辑用语的基础。
学生在复习过程中，应该注重对基本概念的深入理解，包括 定义、含义、分类、作用等方面。
常用逻辑用语复习 ppt课件
当 m ______________时，此命题为真命题。
基 础
答案：
2
x0 R, x0
mx0 1 0
练
m [-2，2]
习
归纳 感悟
1
1. 明确这个命题是全称命题还是特称命题； 1 2. 找到量词及相应结论； 2 3. 把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否 定结论，即得其否定。3
全称命题 特称命题
含有一个量词命题的否定
回顾一 命题及其关系
1.命题， 真命题，假命题
命题：用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句.
知
真命题
假命题
识
判断为真的语句.
判断为假的语句.
回 顾
2.标准的数学式命题:”若p,则q.”
3.四种命题:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
4.四种命题间的关系:
练习 2 充分条件与必要条件的判断
B 例题： 在数列{an} 中，“ an 2an1(n 2, 3, 4,) ”是“{an} 是公比为2的等比数列”的（ ）
基
A. 充分不必要条件
础 练
B. 必要不充分条件
习
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
练习 2 充分条件与必要条件的判断
例题：
基 础 练 习
存在量词 ——“存在一个”、“至少有一个”等，用“ ”表示。
知
识
命题类型
全称命题
回
形式
x M , p(x)
顾
否定
x0 M , p(x0 )
特称命题
x0 M , p(x0 )
否定 方法
x M , p(x)
Tips
人教A版选修2-1高中数学《第一章常用逻辑用语复习课》ppt课件
【自主解答】(1)选C.由题意p与q均为假命题，故p∧q为假. (2)若p为真命题，则-2-a<1<a,解得a>1. 若q为真命题，则-2-a<2<a,解得a>2. 依题意得p与q一真一假，若p真q假，则 若p假q真，则
a 1 ， a 2， ， a 1 即1<a≤2. a 2，
即x2+mx+1>0恒成立有Δ=m2-4<0,所以-2<m<2.
所以当r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2 ,
同时m≤-2或m≥2,即m≤-2. 当r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2 且-2<m<2,即综上,实数m的取值范围是m≤-2或2≤m<2. 2 ≤m<2.
【强化训练】 1.命题“若A⊆B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四 个命题中,真命题的个数是( A.0 B.2 C.3 D.4 )
q是p的“必要不充分条件”; ②若“p⇔q”,则p是q的“充要条件”,同时q是p的“充要条件”; ③若p q,则p是q的“既不充分也不必要条件”,同时q是p的
“既不充分也不必要条件”.
(2)等价命题法 利用互为逆否的两个命题间的等价关系判断. (3)用集合法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则: ①若A=B,则p是q的充要条件; ②若A ③若B B,则p是q的充分不必要条件; A,则p是q的必要不充分条件;
【解析】选B.原命题为假命题,而逆命题“若A=B,则A⊆B”是 真命题,所以在四种命题中真命题有两个.
2.(2013·北京高考)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标 原点”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
《常用逻辑用语》复习课
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数学-选修2-1
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合 M 中的每 一个 x 验证 p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一 个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可． (3)要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合 M 中能找 到一个 x0 使 p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题．
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链 接 高 考. 专 题 突 破
章末复习提升课(一)
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——————[ 总揽全局] ————————
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数学-选修2-1
命题的关系及其真假的判定
(2014· 银川高二检测)将下列命题改写成“若 p， 则 q” 的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假． (1)垂直于同一平面的两条直线平行； (2)当 mn＜0 时，方程 mx2－x＋n＝0 有实数根； (3)能被 6 整除的数既能被 2 整除，又能被 3 整除．
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数学-选修2-1
(2)将命题写成“若 p，则 q”的形式为：若 mn＜0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下： 逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 mn＜0.(假) 否命题：若 mn≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根．(假) 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 mn≥0.(真)
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当 q 为真命题时，g(x)＝x－2x＋ －22＋a＝1＋ax－ ＋22在(2，＋∞)上是增 函数， ∴a＋2<0，即 a<－2. ∵p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题， ∴p 与 q 一真一假， 当 p 真 q 假时，有aa＞ ≥1－，2，∴a＞1， 当 p 假 q 真时，有aa≤ ＜1－，2，∴a＜－2， ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).
5.设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m，2m＋ 1)(m>0) 上 不 是 单 调 函 数 的 充 要 条 件 是 ________.
解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图像如图所示，可得02<mm＋<11>，1， 故 0<m<1 即为 f(x)在区间(m，2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件.故填 0<m<1.
4.命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋ －a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求实数 a 的取值范围. 解 当 p 为真命题时，ax2＋2x＋1>0 恒成立， ∴aΔ><00，，即a4>－04，a<0，解得aa>>01，，∴a>1.
1.判断下列命题的真假. (1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B； (3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|. 解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则 它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真. (2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它 为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它 为假命题，故原命题为假.
(1)当
p
为1或1＜a≤52，即
a∈[12，
1).
(2)当
p
为假，且
q
a≥1， 为真时，0＜a＜12或a＞52，即
a∈52，＋∞.
综上，a 的取值范围为[12，1)∪52，＋∞.
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0<a<1}，B＝{a|q(a)}＝{a|0<a<12或 a>52}， ∴p 和 q 有且只有一个为真⇔a∈A∪B 且 a∉A∩B， 故 a 的取值范围为[12，1)∪52，＋∞.
常用逻辑用语复习课
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要点一 转化与化归思想
将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对 象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的 问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模 式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑 语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化.
3.已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调 递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p 或q为真，p且q为假，求a的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和 q 有且只有一个为真.p 为真时，0 ＜a＜1；∵y＝x2＋(2a－3)x＋1 与 x 轴有两个不同交点，∴Δ＝ (2a－3)2－4＞0，得 a＜12或 a＞52，即 q 为真时，0<a＜12或 a＞52.
要点三 数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数 学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思 维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的 观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得 到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要 条件的判定上.
答案 0<m<1
(2)非 p 是非 q 的充分不必要条件， 即非 p⇒非 q 且非 q⇒/ 非 p. 设 A＝{x|x≤a 或 x≥3a}，B＝{x|x≤2 或 x>3}， 则 A B. 所以 0<a≤2 且 3a>3，即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1，2].
要点二 分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一， 分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行 分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有 字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论 时要做到不重复、不遗漏.
2.设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q： 实数 x 满足xx22－＋x2－x－6≤8>00，. (1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围； (2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 (1)由 x2－4ax＋3a2<0 得(x－3a)(x－a)<0. 又 a>0，所以 a<x<3a， 当 a＝1 时，1<x<3， 即 p 为真命题时，实数 x 的取值范围是(1，3). 由xx22－＋x2－x－6≤8>00，，解得－x<2－≤4x或≤x3>，2. 即 2<x≤3. 所以 q 为真时，实数 x 的取值范围是(2，3]. 若 p 且 q 为真，则12<<xx<≤33，⇔2<x<3， 所以实数 x 的取值范围是(2，3).