勾股定理计算作图
中考数学几何模型专题专题六—勾股定理
专题六勾股定理模型26 “勾股树”模型故事“勾股树”毕达哥拉斯树(如图), 也叫“勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的“枝千”就越茂密.模型展现基础模型勾股定理: 222a b c+=.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,,b c满足222a b c+=或222a c b+=或222b c a+=,那么这个三角形是直角三角形在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论作等边三角形作半圆作等腰直角三角形作正方形（毕达哥拉斯树的起始图形）怎么用?1. 找模型分别以直角三角形三边为边作相同图形2. 用模型根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题结论分析：结论: 123S S S +=以作等边三角形为例.证明: 如解图, 过点 D 作 DM AC ⊥ 于点 M ,ACD 是等边三角形, 12AM MC b ∴==, 在 Rt ADM 中, 3tan tan602DM AM DAC AM b ∠=⋅=⋅=, 2111332224S DM AC b b b ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 同理可得, 222333,44S a S c ==, ()222212333444S S a b a b ∴+=+=+, Rt ABC 满足 222a b c +=,()222123344S S a b c ∴+=+=.123.S S S ∴+=拓展延伸其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可, 同学们可以参考给出的证明过程, 自行完成.满分技法以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键.勾股数中常见图形面积公式:1 ;2S =⨯⨯三角形底高2 S =等边三角形边长； 21;2360n r S π=⨯半圆 2 S =正方形边长典例小试例 1 如图,和 AC 为直径的半圆的面积（与模型的作图方法一致）, 则123,S S S 和满足的关系式（求面积，可使用结论）为（ ）A . 123S S S +=B . 123S S S =+C . 123S S S >+D . 123S S S =⋅考什么？圆的面积计算，勾股定理思路点拨满足模型，选填项目中，可直接使用结论，高效解题。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
人教版勾股定理 PPT
B A
C D
勾股树
E
10
H
E
公知道DA 元道许C前和多P 应约 勾大中的载用3股约总高的0B勾0数公结低第0股组年元出差一大高载I 定，，前了．位约就在理古如勾可与2在提《0，巴3股以勾0公出周,0公欧给他比4术说股年“元髀,元几出们伦5，，定，勾前算．前里一还人用禹理大1三经13德个知就来是有禹0、》世0巨勾确世关在股年中纪著股定界的治四，．，《定两上人水、周古几理处有．的弦朝希何的水史实五数腊公 汉明原证位记践学”数元时了本明家，学2期勾》．世商记家，股中纪刘定的徽理东证．
则是“半文圆明A人，”B，，也C必的定面认积识关这系种图为形.
根据勾股定理， a2 + b2=c2，
C c
b B
aA
C
圆的面积公式c：
S=πr2
aA
,
b
得到半圆A，B，C的面积关系 B
为SA+SB=SC．
数形结合
13
从直角三角形的各边向外作正方形能否推广到从 各边向外作等边三角形（正n边形）吗？
C c aA b
后的土地时，也应规作用律出过的了勾证详股明为细定．大注理会释．会和徽证的明图．案．
11
在探索勾股定理的过程中，你有什么感悟和欣赏.
C B
A
H
D C
E
A
P
I B
c
a
b
a bc
ac b
b
c
a
cb a
GQ
F
12
如放眼图未，来以，直华角罗庚三曾角设形想各：边向为太空直发径射向一外种作图半形，圆因，为
这种图形在几千年前就已经被人类所认识，如果外星人
c a2 b2 12 22 5
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
第17章勾股定理
勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c2。
直角边：a、b斜边：c运算结果：写成最简二次根式的形式1能开方的必须开方2根号里不含分母，分母里不含根号勾股定理的证明：等面积法赵爽外弦图邹元治内弦图总统证法一副三角板勾股定理的应用1设未知数x2用x表示三角形中相关边3根据题意列方程直角边与斜边未定分类讨论1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值为（）A．3B．25C．23D．25或23 x斜边x直角边美丽的勾股树1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B的面积分别为5、3，则最大正方形C的面积是（）A．15B．13C．11D．82．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2022B．2021C．2020D．13．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）A．16B．25C．144D．1694．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．两直角边的正多边形的面积和=斜边正多边形的面积5．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为．尺规画实数：1．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是（）A．2.2B．5C．1+2D．62．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间注意起点和方向3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1−5B．1−5C．−5D．﹣1+5注意起点和方向4.尺规作图：在数轴上分别作出表示17，20，−41的点先把被开方数拆成两个完全平方数之和17=1+1620=4+1641=16+25确定两直角边连接斜边以o为圆心，斜边为半径画弧等面积法：求斜边高ch=ab斜边高：h=ab÷c2．已知：如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，求△ABC 的面积．等腰直角三角形：�：�：�含30°角的直角三角形�：�：�方程的思想：设未知数，根据等量关系列方程1．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．3．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．1.如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．（1）图2中A、B两点表示的数分别为，；（2）请你参考以上方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a ＝．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．2．阅读下列材料并回答问题．画一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，则我们可以量得直角三角形的斜边长为5，并且发现32+42＝52，事实上，在任何个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中两直角边长分别为a，b斜边长为c，则a2+b2＝c2，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论完成下面的活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为1，3，那么这个直角三角形的斜边长为．（2）一个直角三角形的两条边分别为2，3，那么这个直角三角形的另一边长为．（3）如图，在数轴上画一个直角三角形OBC，∠OCB＝90°，且两条直角边OC和BC的长分别是2和1，设原点为O，以O为原点，斜边长OB为半径画圆交数轴于点A，则线段AC的长度是．勾股定理的证明：等面积法：整体求法=局部面积和1．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．D完全平方公式勾股定理：勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形-勾股定理1上海学
第 讲 勾股定理知识点睛1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边上分别为a, b ，斜边长为c ，那么222a b c +=。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的证明方法：法1（赵爽：内弦图）：甲的面积=（大正方形面积）-（4个直角三角形面积）．法2（赵爽：外弦图）：：四个直角三角形的面积和 +小正方形的面积 =大正方形的面积，222()ab a b c +-=，22222ab a ab b c +-+=，∴222a b c +=法3（美国第20任总统伽菲尔德的证法）：2111()()2222a b a b ab c ++=⨯+ 梯形面积=三个直角三角形的面积和22()2a b ab c +=+ 22222a ab b ab c ++=+∴222a b c +=法4（毕达哥拉斯的旋转证法）：若设AB=a ，BC=b ，DB=c ，则梯形A′B′BC 面积()()()21122S a b a b a b =++=+梯形ABBC ， 又"""2111222BCD A B D DBB S S S S ab c ab ∆∆∆=++=++""梯形A B BC ，所以()2211112222a b ab c ab +=++，则22222a b ab c ab ++=+，即222a b c +=。
甲c ccbababa cb acb acb aab ca bcb-ab-acc cc甲丙乙ab cabc法5（新娘图法）：用方格来验证勾股定理法6（欧几里得证法）：如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而所以 S AEML=b2，同理可证 S BLMD=a2．相加得S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．法7：如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=S ABDE+2S△ABC，另一方面S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC，相加得所以 c2=a2+b2．练习：用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：（1）赵君卿图(图2-27)； (2)项名达图(2-28)； (3)杨作枚图(图2-29)．CBA3、由勾股定理的基本关系式222a b c +=，还可得到一些变形关系式如：22c a b =+，222()()a c b c b c b =-=+-，22a c b =-，222()()b c a c a c a =-=+-，22b c a =-等。
勾股定理例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理;2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角;3理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=a+b2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形;图1中,所以;方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形;图2中,所以;方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3—1和3—2所示的两个形状相同的正方形;在3—1中,甲的面积=大正方形面积—4个直角三角形面积,在3—2中,乙和丙的面积和=大正方形面积—4个直角三角形面积,所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四：如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形;,所以;知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理,作出长为的线段;2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形;熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果a,b,c是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形;经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c；3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决;如：不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和;举一反三变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少答案∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因,∴的两个锐角互余∴在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中,则根据勾股定理有.∴又∵已知,∴.在中,根据勾股定理有,∴.变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单;解析：延长AD、BC交于E;∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;∴S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;1求A、C两点之间的距离;2确定目的地C在营地A的什么方向;思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解;解析：1过B点作BE米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９米＞２.５米．因此高度上有米的余量,所以卡车能通过厂门．二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3图3中,在Rt△ABC中同理∴图3中的路线长为图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．总结升华：在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．举一反三变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得提问：勾股定理∴ AC＝＝＝≈１０．７７cm勾股定理．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段;思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;作法：如图所示1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是、、、;总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定;一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可;举一反三变式在数轴上表示的点;解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．正确2．原命题：对顶角相等正确3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC 的形状;思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ a-32+b-42+c-52=0;∵ a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;∴ a=3,b=4,c=5;∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2;由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;答案：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理变式2已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m＞n,判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.变式3如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB;请问FE与DE是否垂直请说明;答案答：DE⊥EF;证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2;连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2;∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE;经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积;思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积;解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：3x2+4x2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程组求解;举一反三变式1等边三角形的边长为2,求它的面积;答案如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D则：BD＝BC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合∵AB＝AC＝BC＝2等边三角形各边都相等∴BD＝1在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝＝BC·AD＝S△ABC注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a;变式2直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积;答案设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：由1得：x+y＝7,x+y2＝49,x2+2xy+y2＝49 33－2,得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6cm2变式3若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n;思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解;解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：n+12+n+22＝n+32化简得：n2＝4∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边;变式4以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝c－ac+a来判断;例如：对于选择D,∵82≠40+39×40－39,∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形;同理可以判断其它选项; 答案：A变式5四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;解：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m;假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度;2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程;因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校;解析：作AB⊥MN,垂足为B;在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴ AB＝AP＝80; 在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半∵点 A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响;如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100m,由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60;同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD＝100m,BD＝60m,∴CD＝120m;拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s;答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒;总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理;举一反三变式1如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”;他们仅仅少走了__________步路假设2步为1m,却踩伤了花草;解析：他们原来走的路为3+4＝7m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路;答案4变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形;1直接写出单位正三角形的高与面积;2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线;答案1单位正三角形的高为,面积是;2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积;3过A作AK⊥BC于点K如图所示,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFDASA．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13;总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识;通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解;二方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值;思路点拨：由,再找出、的关系即可求出和的值;解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,则,由勾股定理,得;因为,所以,,,;总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半;举一反三：变式如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长;解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF;因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以; 所以;设,则;在Rt△ECF中,,即,解得;即EF的长为5cm;。
勾股定理的作图及典型计算(课件)八年级数学下册(人教版)
B. 5
C. 7
D. 9
2.如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均
为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交网格线于点D，则CD的长为
( D)
1
A.
2
1
B.
3
C. 3
D.2- 3
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-4,3),以点B(-1，0)为圆心，
三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ 3; 将位置
②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3， 此时AP3=3+ 3;
.......按此规律继续旋转，直至得到点P2050为止，则AP2050等于( C )
A.2049+683 3
B.2050+683 3
C.2051+683 3
AD=4, AB=8，则DE的长为_______.
5
7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三
角形的长分别为 2， 3， 17.
解:如图所示，△ABC为所求.
8.在数轴上作出表示 5， 10的点.
解:如图所示，点C表示 5，点D表示 10.
9.如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点 ′ 处，
是斜边长.
1.如图，点A表示的实数是（ D ）
A. 3
B. 5
C.- 3
D.- 5
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对
角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ C ）
A.2
B. 5 − 1
C. 10 − 1
17.1.3利用勾股定理作图、计算3
问题2
2.若直角三角形的三边为6、8、x， 则x的长为 （ D） A.6 C.10 B.8 D.以上答案均不对
例1：已知等边三角形的边长为6,求它 的高和面积. A
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B D C
练习：1、 等边三角形的边长为12，
则它的高为______
例2：在Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=5,BC=3. A 求Rt△ABC斜边上的高．
A
1m B D
2m
C
解：在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC AB2 BC 2 12 22 5
想一想：
练习：小丁的妈妈买了一部34英 寸（86厘米）的电视机。小丁量 50 了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有70厘米长和50厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了。你能解释 这是为什么吗？
课堂练习
• 1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则 BC= ，S△ABC= 。 • 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则 ∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度， BC= ，S△ABC= 。 • 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= 2 3 ， CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ， • BD= ，AD= ,S△ABC= 。 • 4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25， A AC=17， 求S△ABC。
D
C 练习：2.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘 米，那么斜边上的高是（ ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
B
例3：已知：在Rt△ABC中， ∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60 °， C 3 CD= ， 求线段AB的长。
八年级下册数学人教版习题课件第十七章 勾股定理作图与计算
第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理
第3课时 勾股定理作图与计算
1．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一 步进行练习：如图，首先画出数轴，设原点为点O，在数轴上距原点2个单位 长度的位置找一个点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心， OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在( C )
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．如图所示，在正方形ODBC中，OC＝1，OA＝OB，
死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 石看纹理山看脉，人看志气树看材。
心则随点朗 C的月坐高则标，为数志_与_轴_秋__霜上__洁__点。． A表示的数是_－____2___．
以点O为圆心，OB长为半径作弧，与数轴右侧的交点记为点P，则点P表示的实数在( ) 雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 则点C的坐标为_________． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8). 第3课时 勾股定理作图与计算
14．图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案 是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的， 其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1. 细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
(
1
)2＋1＝2，S1＝
1 2
；(
2
)2＋1＝3，S2＝
2 2
；
(
3
)2＋1＝4，S3＝
3 2
；….
解：AE的长是78
桐山万里丹山路，雄风清于老风声 才自清明志自高。 桐山万里丹山路，雄风清于老风声 心随朗月高，志与秋霜洁。 让自己的内心藏着一条巨龙，既是一种苦刑，也是一种乐趣。 学做任何事得按部就班，急不得。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 雄心志四海，万里望风尘。 丈夫志气薄，儿女安得知? 死犹未肯输心去，贫亦其能奈我何! 顶天立地奇男子，要把乾坤扭转来。 困，你是人类艺术的源泉，你将伟大的灵感赐予诗人。 志不真则心不热，心不热则功不贤。 志高山峰矮，路从脚下伸。 心随朗月高，志与秋霜洁。 强行者有志。 人无志向，和迷途的盲人一样。 雄鹰必须比鸟飞得高，因为它的猎物就是鸟。 石看纹理山看脉，人看志气树看材。 贫穷是一切艺术职业的母亲。 人无志向，和迷途的盲人一样。 经典励志短句(二) 志，气之帅也。 褴褛衣内可藏志。 谁不向前看，谁就会面临许多困难。 无钱之人脚杆硬，有钱之人骨头酥。
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。
14.2.3 勾股定理的应用(网格作图与计算问题)(华东师大版)(共21张PPT)
的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D
处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，C该建在距点A多少km处，才能使它 到两所学校的距离相等?
以
AE
B
致
用
D
C
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
P 123
八年级（上）
华东师大版第14章 勾股定理
温故知新
你能灵活地
运用直角三
B
角形的性质
解决问题吗？
c
a
∠A+∠B=90°
A
b
C
a2 b2 c2
（Ⅰ）直角三角形的两锐角互余；
（Ⅱ）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
探究发现
问题1：如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请
在给定网格中按下列要求画出图形：
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ是等腰三角形的运动时间。
C
C
Q
Q
B
PA
B
PA
备用图
一个人一天也不能没有理想，凭侥幸、 怕吃苦、没有真才实学，再好的理想也 不能实现不了。
学以致用
例 2 如图大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,求 a b2 的值。
c
a
b
a2 b2 c2 13 4 1 ab 13 1 12
2
数学活动室
1.在一棵树的10米高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走 到离树20米的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，如 果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高?
八年级数学下册教学课件《利用勾股定理作图》
2.如图，等边三角形的边长是6. 求：
（1）高AD的长；
（2）这个三角形的面积.
解：（1）Aபைடு நூலகம்⊥BC于D，则BD=CD=3.在Rt△ABD中，由勾 股定理AD2=AB2－BD2=62－32=27，故AD=3 3 .
（2）这个三角形的面积为S= 1 BC·AD= 1 ×6×3 3 = 9 3 .
2
2
随堂练习
3.在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，
请在给定网格中以A出发分别画出长度为 2 ， 5 ，8 的线
段AB.
A
A
A
B
B
B
AB= 2
AB= 5
AB= 8
拓展延伸
若△ABC三边的长分别为 2 ，2 5 ， 26 ，请利用图中的 正方形网格 （ 每个小正方形的边长均为1 ） 画出相应的
△ABC，并求出它的面积.
A
S△ABC=5×2-12×1×1-
1×2×42
1×1×5=3. 2
B
C
课堂小结
1.你能说说勾股定理求线段长 的基本思路吗？
2.如何在数轴上表示无理数？
3.本节课你学到哪些数学思想 方法？
课后作业
1.从教材习题中选取；
八年级数学下册
情境导入
神奇的勾股树！点击打开几何画板
这个图是怎样绘 制出来的呢？
探索新知
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条 直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你 能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证： △ABC≌△A′B′C′.
练习
17.1勾股定理
感悟新知
6-1. 古诗赞美荷花“竹色溪下绿， 荷 花镜里香”. 平静的湖面上，一朵 荷花亭亭玉立，露出水面10 cm， 忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入 水面，仔细观察，发现荷花偏离 原地40 cm(如图).请问：水深多少？
知3－练
感悟新知
知3－练
解：设水深CB＝x cm，则AC＝(x＋10) cm， 即CD＝(x＋10) cm. 在Rt△BCD中，由勾股定理得x2＋402＝(x＋10)2， 解得x＝75. 答：水深75 cm.
会改变； 2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； 3. 利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形→写出图形面
积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论. 通过拼图，利用求面积来验证，这种方法以数形转换为指导思 想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据而达 到目的.
感悟新知
感悟新知
2. 在数轴上作出表示 n 的点
知4－讲
如图17.1-6，构造两条直角边长都是1 的直角三角
形，利用勾股定理得到斜边的长为 2 ，再用圆规截取
的方法画出 2在数轴上的对应点；
感悟新知
知4－讲
构造两直角边长分别为 2 ，1 的直角三角形，利用 勾股定理得到斜边的长为 3 ，再用圆规截取的方法画出
知3－讲
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边；
(2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
(3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)求解几何体表面上的最短路程问题；
(5) 构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生
活中的实际问题.
感悟新知
特别提醒
知3－讲
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
勾股定理及证明
cba HG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA勾股定理及证明【知识回顾】知识点1：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c +=说明：勾股定理说明了三角形的三边关系，这个定理的前提条件是：三角形必须是直角三角形。
其结论是：两直角边的平方的和等于斜边的平方。
由于2222c a b a =+>所以c a >。
同理可证c b >，即直角三角形的斜边长于每一条直角边。
知识点2：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法， 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为 222()2S a b a ab b =+=++ 所以 222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得222a b c +=【典型例题】【知识点一】利用勾股定理求三角形的边长问题。
例1、已知直角三角形中两直角边512a b ==，。
求斜边c 的长度。
例2、已知如图Rt △ABC 中，AB=12，AC+BC=18，求AC 与BC 的长。
（方程的思想）例3、已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边。
【变式练习】1、已知直角三角形的两边长分别为13和12，求第三边。
【知识点二】 利用勾股定理解决折叠问题例4、如图，把一张长为8cm 、宽6cm 的矩形纸片沿EF 折叠，使B 点恰好落在D 处，求ED 长度。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
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3.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边
长为 10 的线段?
10= 1 9= 12 32
10
A
4. 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在
格点上，求AB边上的高.
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵
Q S△ABC
2 2 1 1 2 1 11 1 1 2 3 ，
学习目标 1. 会运用勾股定理确定数轴上表示无理数的点及解决
网格问题.（重点） 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理
解决相应问题.（难点）
探究1: 利用勾股定理计算，证明
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． (HL ) 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
在数轴上作出表示无 理数的点
在网格背景中表示长 度为无理数的线段
则点C即为表示 13的点。
l
B
∴点C即为表示 13 的点
在数轴上画出表示无理数的点
的方法：
1、凑数
0
1
2
A•3 C 4
2、构造 在数轴上画出合适Rt△ 3、画弧 在数轴上找到对应点
17
15
练习2
17
15
17= 1 16= 12 42
17
∴点C即为表示 17的点
lB
1
15= ？2 ？2 151=5=16-1？=2 -4？ 2-212
BC
AB2 (2x)2
2BD 1 6 2
3
6 3
9
3
探究2: 利用勾股定理作图（在数轴上表示无理数）
问题2：你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
思考：你能画出 2 长的线段吗？
“数”
21
2= 12 12
2 -1
0 112 2
3
数形结合思想
“数”
21
1 “形”
∴点C即为表示 15的点
B
?
4
1
15
17 4
4
15
4
0 A•1
2
17
0 1 A•1
2
3 4C 5
3C 4
15
5
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅美丽的 “海螺型”图案
由此可知,利用勾股定理,可以作 出长为
2, 3, 5, , n
的线段.
1 1 1 1
111 1
1
13 14
12 11
例1：证明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等” (HL )
已知：如图，在Rt△A′B′C′和Rt△A′B′C′中，∠C=
∠C ′=90°，AB=A′B′，AC=A′C ′．
A
A′
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，根据勾股定理，得
BC= AB2 -AC2 ，
B′C′= A′B′2 -A′C′2 ．
C
B C′ B′
∵ AB=A′B′ AC=A′C′
∴ BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）．
练习1
A
变已式知：:如图,等边△ABC的边长是 6 . 已知，(1如)求图高，A等D的边长△;ABC的高AD是
2x
6
?
33
例2.你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 分析： 构造长度为 13的线段
“数”
13= 4 9= 22 32
“形”
例2.你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
2、作直线 l ⊥OA,在 l 上取一点B，使AB=2;
3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，
10
1
1
15
9
16
81
17
1
7
18
12
61
19
1
3 45 1
n
1
学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的
2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段
CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，
交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（ B ）
(2()1求)求S△边AB长C ;. (2)求S△ABC .
B 3x D
C
解设解123(解、、、：题2B)：(D在列结利解∴1=∴策A()在Rx方合用决DS1∴∵∴∠t略=)△∵R则△A程∵问 勾 原AtADA△A：BAD△DAA是△DCABB求BBB题 股 问=A是A===BD=△AB12BB99中2出BC△2背 定 题CD00AxBC是-=中°°BC是AB线景 理6C等B•D，，的等CA2段，直边的D=BB高边DD长三高构接==三612角12122造计角6BB形CCR算形3==3t312或△23=A建3B9(2立33)∴相，S△等AB关C= 系Bx122DBBx2CD(3•3AA3D3D),22
2
2
2
2
D
又 Q∵
S△ABC
1 2
AB CD,
1 2
AB CD
3, 2
∵Q AB 12 22 5，
CD 3 3 5 . 55
归纳 此类网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格求 面积，再用面积法求高.
课堂小结
用勾股定理解决几何问题
利用勾股定理计算，证明
利用勾股定理作图
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是
格点，则线段AB的长度为（A ）
A.5
B.6
C.7
D.25
A B
计算网格中不在同一网格线上两点间 的距离的方法： 1、放 把这条线放到合适Rt△中 2、看 看Rt△两直角边长 3、算 利用勾股定理算出斜边长