二次函数的三种形式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数,它有三种标准形式的表达式,分别
是一般型、完全型、标准型的表达式,它们可以应用于多学科,对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。
一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式,其中a,b,c为
实数,其中a不能等于0,这是一般型表达式的特点,这也是二次函数最基本的表达方式。
二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展,它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e,其中a、d不能同时为0,其他的参数都可以为0,但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式,它可以很好
地表示一个函数的形状,起到了很重要的作用。
三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式,它有一个标准的表
达式形式,即 y = a(x - h)^2 + k,参数a不能等于0,其中h为x
轴上的横坐标,k为y轴上的纵坐标。
标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值,这个特点使得它在实
际应用中非常有用。
总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍,它们各有优缺点,在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。
正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。
二次函数 2
二次函数知识回顾1、二次函数的三种形式(1)一般式:y=ax 2+bx +c (a ≠0,a 、b 、c 均为常数);(2)顶点式:y=a(x -h)2+k [a ≠0,对称轴为x=h,(h ,k )为顶点坐标];(3)交点式:y=a(x -x 1)(x -x 2) [a ≠0;(x 1,0)和(x 2,0)为抛物线与x 轴的两个交点]。
注:这种形式可以作为了解内容,重点是前两种。
2、二次函数的性质:(1)、二次函数的图象:总平行于y=ax 2的一条抛物线。
(2)、开口方向:a>0, 抛物线开口向上,并向上无限延伸。
a<0, 抛物线开口向下,并向下无限延伸; 开口大小由a 决定,a 大开口小,a 小开口大。
(3)、对称轴:x=ab 2- (4)、顶点坐标:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22。
(5)、抛物线与坐标轴的交点坐标:可总结为公式,也可按照与y 轴有交点x=0,与x 轴有交点y=0 ,然后 解方程即可。
(6)、增减性:以对称轴为界限,左右两部分增减性不相同,增减性可看右方箭头。
3、最值(1)a>0时,当4ab 4ac y 22-=-=最小时,a b x (2)a<0时,当4ab -4ac y 22=-=最大时,a b x 特别地当c=0时,抛物线过原点,反之也成立。
4.抛物线与x 轴的位置关系(1)Δ=b 2-4ac<0,抛物线与x 轴无交点。
(2)Δ=b 2-4ac=0,抛物线与x 轴只有一个交点,交点坐标为(ab 2-,0) (3)Δ=b 2-4ac>0,抛物线与x 轴有两个交点,交点坐标为(a ac b b 242-±-,0) 5、抛物线与x 轴两交点之间的距离若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个 根,故a c x x a b x x =⋅-=+2121, ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、抛物线与一次函数或反比例函数相交一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y b kx y 2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式:
1、一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数,且,
当已知抛物线上任意三点坐标时,通常设其函数表达式为一般式,然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解;
2、顶点式:)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数,且)(,当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时,通常先设函数的表达式为顶点式,然后将另一点的坐标带入,解关于a 的一元一次方程;
3、交点式(拓展):)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数,且,其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时,通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=,然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1:一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0);典型考题【典型例题】已知抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1,且过点(﹣3,0),(0,﹣3). (1)求抛物线的表达式.(2)已知点(m ,k )和点(n ,k )在此抛物线上,其中m ≠n ,请判断关于t 的方程t 2+mt +n =0是否有实数根,并说明理由.【答案】(1)y =x 2+2x ﹣3;(2)方程有两个不相等的实数根. 【解析】(1)抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =﹣1,且过点(﹣3,0),(0,3) 9a ﹣3b +c =0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a =1,b =2,c =﹣3 ∴抛物线y =x 2+2x ﹣3;(2)∵点(m ,k ),(n ,k )在此抛物线上, ∴(m ,k ),(n ,k )是关于直线x =﹣1的对称点, ∴+2m n=﹣1 即m =﹣n ﹣2 b 2﹣4ac =m 2﹣4n =(﹣n ﹣2)2﹣4n =n 2+4>0∴此方程有两个不相等的实数根.【变式训练】抛物线的图象如下,求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4把点(3,0)代入解析式,得:4a+4,即a=-1所以此函数的解析式为y=-(x-1)2+4故答案是y=-x2+2x+3.【能力提升】如图,在平面直角坐标系中,抛物线先向右平移2个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线. (1)求抛物线的解析式(化为一般式);(2)直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 (1)抛物线的顶点坐标为,把点先向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到的点的坐标为,抛物线的解析式为;(2)顶点坐标为,且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积,抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2:顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式:y =a (x -h )2+k (a ≠0),其中顶点坐标是(h ,k ).典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++. ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式; ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程.【答案】(1)()21122y x =--+;(2)(1,2),直线1x = 【解析】 (1)21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+(2)∵()21122y x =--+∴顶点坐标为(1,2),对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是(﹣1,2),且经过(1,﹣6),求这个二次函数的解析式. 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2. 【解析】∵二次函数的图象的顶点是(﹣1,2),∴设抛物线顶点式解析式y=a (x+1)2+2,将(1,﹣6)代入得,a (1+1)2+2=﹣6, 解得a=﹣2,所以,这个二次函数的解析式为y=﹣2(x+1)2+2.【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,. (1)求此二次函数的关系式; (2)求此二次函数图象的顶点坐标;(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移 个单位,使得该图象的顶点在原点.【答案】(1)322--=x x y ;(2)(1,-4);(3)5【解析】(1)设c bx ax y ++=2,把点(03)A -,,(23)B -,,(10)C -,代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ;(2)∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为(1,-4); (3)∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位,使得该图象的顶点在原点.高中必备知识点3:交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式:y =a (x -x 1) (x -x 2) (a ≠0),其中x 1,x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中,二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点. (1)求 k 的取值范围;(2)当 k 取正整数时,请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式,并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标.【答案】(1)k <;(2)(﹣2,0)和(0,0).【解析】(1)∵图象与x轴有两个交点,∴方程有两个不相等的实数根,∴解得(2)∵k 为正整数,∴k=1.∴令y=0,得解得∴交点为(﹣2,0)和(0,0).【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3,-8),对称轴是直线x=-2,此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标;(2)求抛物线的解析式.【答案】(1)(-5,0),(1,0);(2)y=-x2-2x+.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2,且图象与x轴的两个交点的距离为6,∴点A、B到直线x=-2的距离为3,∴A为(-5,0),B为(1,0);(2)设y=a(x+5)(x-1).∵点(3,-8)在抛物线上,∴-8=a(3+5)(3-1),a=-,∴y=-x2-2x+.【能力提升】已知二次函数y=x2﹣4x+3.(1)求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点;(2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象,并写出当y<0时,x的取值范围.【答案】(1)二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)(3,0),抛物线的顶点坐标为(2,﹣1);(2)图见详解;当y<0时,1<x<3.【解析】(1)当y=0时,x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3,所以该二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)(3,0);因为y=x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=(x﹣2)2﹣1,所以抛物线的顶点坐标为(2,﹣1);(2)函数图象如图:由图象可知,当y<0时,1<x<3.专题验收测试题1.将抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2向左平移2个单位,向下平移3个单位后的新抛物线解析式为()A.y=﹣2(x﹣1)2+1 B.y=﹣2(x+3)2﹣5C.y=﹣2(x﹣1)2﹣5 D.y=﹣2(x+3)2+1【答案】B【解析】解:将抛物线y=﹣2(x+1)2﹣2向左平移2个单位,向下平移3个单位后的新抛物线解析式为:y=﹣2(x+3)2﹣5.故选:B.2.二次函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)【答案】A【解析】解:二次函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标为(1,3).故选:A.3.若二次函数y=(k+1)x2﹣2x+k的最高点在x轴上,则k的值为()A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y=(k+1)x2﹣2x+k的最高点在x轴上,∴△=b2﹣4ac=0,即8﹣4k(k+1)=0,解得:k1=1,k2=﹣2,当k=1时,k+1>0,此时图象有最低点,不合题意舍去,则k的值为:﹣2.故选:D.4.已知二次函数为常数,且),()A.若,则的增大而增大;B.若,则的增大而减小;C.若,则的增大而增大;D.若,则的增大而减小;【答案】C【解析】解:∵y=ax2+(a+2)x-1对称轴直线为,x=-=-.由a<0得,->0.∴->-1.又∵a<0∴抛物线开口向下.故当x<-时,y随x增大而增大.又∵x<-1时,则一定有x<-.∴若a<0,则x<-1,y随x的增大而增大.故选:C.5.二次函数y=3(x﹣1)2+2,下列说法正确的是()A.图象的开口向下B.图象的顶点坐标是(1,2)C.当x>1时,y随x的增大而减小D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)【答案】B【解析】解:A、因为a=3>0,所以开口向上,错误;B、顶点坐标是(1,2),正确;C、当x>1时,y随x增大而增大,错误;D、图象与y轴的交点坐标为(0,5),错误;故选:B.6.将抛物线y=x2﹣x+1先向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则所得抛物线的表达式为()A.y=x2+3x+6 B.y=x2+3x C.y=x2﹣5x+10 D.y=x2﹣5x+4【答案】A【解析】,当向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得.故选A.7.把抛物线y=ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的图象的解析式是y=x2+5x+6,则a﹣b+c的值为()A.2 B.3 C.5 D.12【答案】B【解析】y=x2+5x+6=(x+)2﹣.则其顶点坐标是(﹣,﹣),将其右左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到(﹣).故原抛物线的解析式是:y=(x+)2+=x2+x+3.所以a=b=1,c=3.所以a﹣b+c=1﹣1+3=3.故选B.8.已知二次函数y=﹣(x﹣k+2)(x+k)+m,其中k,m为常数.下列说法正确的是()A.若k≠1,m≠0,则二次函数y的最大值小于0B.若k<1,m>0,则二次函数y的最大值大于0C.若k=1,m≠0,则二次函数y的最大值小于0D.若k>1,m<0,则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y=﹣(x﹣k+2)(x+k)+m=﹣(x+1)2+(k﹣1)2+m,∴当x=﹣1时,函数最大值为y=(k﹣1)2+m,则当k<1,m>0时,则二次函数y的最大值大于0.故选:B.9.关于抛物线,下列说法错误..的是().A.开口向上B.与轴只有一个交点C.对称轴是直线D.当时,的增大而增大【答案】B【解析】解:A、,抛物线开口向上,所以A选项的说法正确;B、当时,即,此方程没有实数解,所以抛物线与x轴没有交点,所以B选项的说法错误;C、抛物线的对称轴为直线,所以C选项的说法正确;D、抛物线开口向上,抛物线的对称轴为直线,则当时,y随x的增大而增大,所以D选项的说法正确.故选:B.10.将抛物线y=﹣3x2+1向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=﹣3(x﹣2)2+4 B.y=﹣3(x﹣2)2﹣2C.y=﹣3(x+2)2+4 D.y=﹣3(x+2)2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y=﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为:y=﹣3(x+2)2+1;再向下平移3个单位为:y=﹣3(x+2)2+1﹣3,即y=﹣3(x+2)2﹣2.故选D.11.已知抛物线经过点,则该抛物线的解析式为__________.【答案】【解析】解:将A、O两点坐标代入解析式得:,解得:,∴该抛物线的解析式为:y=.12.二次函数y=(a-1)x2-x+a2-1 的图象经过原点,则a的值为______.【答案】-1【解析】解:∵二次函数y=(a-1)x2-x+a2-1 的图象经过原点,∴a2-1=0,∴a=±1,∵a-1≠0,∴a≠1,∴a的值为-1.故答案为:-1.13.将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位,然后向右平移2个单位,得到新的二次函数的顶点式为______.【答案】y=(x-2)2+1【解析】解:将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位,然后向右平移2个单位后,得到的抛物线的表达式为y=(x-2)2+1,故答案为:y=(x-2)2+1.14.将抛物线y=2x2平移,使顶点移动到点P(﹣3,1)的位置,那么平移后所得新抛物线的表达式是_____.【答案】y=2(x+3)2+1【解析】抛物线y=2x2平移,使顶点移到点P(﹣3,1)的位置,所得新抛物线的表达式为y=2(x+3)2+1.故答案为:y=2(x+3)2+115.在平面直角坐标系xOy 中,函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ,N (x2 , y2 ) 两点,若- 4< x1<-2,0< x2<2 ,则y1 ____ y2 . (用“ <”,“=”或“>”号连接)【答案】>【解析】解:抛物线y=x2的对称轴为y轴,而M(x1,y1)到y轴的距离比N(x2,y2)点到y轴的距离要远,所以y1>y2.故答案为:>.16.小颖从如图所示的二次函数的图象中,观察得出了下列信息:;;;;.你认为其中正确信息的个数有______.【答案】【解析】解:抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,即,抛物线与y轴交于正半轴,则,所以,故错误;如图所示,当时,,所以,故正确;对称轴,,则如图所示,当时,,,,故正确;如图所示,当时,,故错误;综上所述,正确的结论是:.故答案是:.17.已知二次函数y=﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为(m﹣2,0)和(2m+1,0).(1)若x<0时,y随x的增大而增大,求m的取值范围;(2)若y =1时,自变量x 有唯一的值,求二次函数的解析式. 【答案】(1)31=m (2)y =﹣x 2﹣4x ﹣3和y =﹣x 2﹣16x ﹣63. 【解析】解:(1)由题意可知,二次函数图象的对称轴为x =2213122m m m -++-=,∵a =﹣1<0,∴二次函数的图象开口向下, ∵x <0时,y 随x 的增大而增大,∴312m -≥0, 解得m ≥13,(2)由题意可知,二次函数的解析式为y =﹣(x ﹣312m -)2+1, ∵二次函数的图象经过点(m ﹣2,0), ∴0=﹣(m ﹣2﹣312m -)2+1, 解得m =﹣1和m =﹣5,∴二次函数的解析式为y =﹣x 2﹣4x ﹣3和y =﹣x 2﹣16x ﹣63. 18.设二次函数y 1=ax 2+bx +a ﹣5(a ,b 为常数,a ≠0),且2a +b =3. (1)若该二次函数的图象过点(﹣1,4),求该二次函数的表达式;(2)y 1的图象始终经过一个定点,若一次函数y 2=kx +b (k 为常数,k ≠0)的图象也经过这个定点,探究实数k ,a 满足的关系式;(3)已知点P (x 0,m )和Q (1,n )都在函数y 1的图象上,若x 0<1,且m >n ,求x 0的取值范围(用含a 的代数式表示).【答案】(1)y =3x 2﹣3x ﹣2;(2)k =2a ﹣5;(3)x 0<.【解析】解:(1)∵函数y 1=ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点(﹣1,4),且2a +b =3 ∴,∴,∴函数y 1的表达式为y =3x 2﹣3x ﹣2; (2)∵2a +b =3∴二次函数y1=ax2+bx+a﹣5=ax2+(3﹣2a)x+a﹣5,整理得,y1=[ax2+(3﹣2a)x+a﹣3]﹣2=(ax﹣a+3)(x﹣1)﹣2∴当x=1时,y1=﹣2,∴y1恒过点(1,﹣2)∴代入y2=kx+b得∴﹣2=k+3﹣2a得k=2a﹣5∴实数k,a满足的关系式:k=2a﹣5(3)∵y1=ax2+(3﹣2a)x+a﹣5∴对称轴为x=﹣,∵x0<1,且m>n∴当a>0时,对称轴x=﹣,解得,当a<0时,对称轴x=﹣,解得(不符合题意,故x0不存在)故x0的取值范围为:19.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A和点B(1)求该二次函数的解析式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标.【答案】(1) y=x2﹣4x﹣6;(2)对称轴为x=2;顶点坐标是(2,﹣10).【解析】(1)根据题意,得,解得,∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣4x﹣6.(2)又∵y=x2﹣4x﹣6=(x﹣2)2﹣10,∴函数图象的对称轴为x=2;顶点坐标是(2,﹣10).20.如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0),C为抛物线与y轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线上,且S△POC=2S△BOC,求点P的坐标.【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)点P的坐标为(2,5)或(﹣2,﹣3)【解析】(1)∵抛物线的对称轴为x=﹣1,A点的坐标为(﹣3,0),∴点B的坐标为(1,0).将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得:解得:b=2,c=﹣3,∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3.(2)∵将x=0代y=x2+2x﹣3入,得y=﹣3,∴点C的坐标为(0,﹣3).∴OC=3.∵点B的坐标为(1,0),∴OB=1.设点P的坐标为(a,a2+2a﹣3),则点P到OC的距离为|a|.∵S△POC=2S△BOC,∴12OC•|a|=12OC•OB,即12×3×|a|=2×12×3×1,解得a=±2.当a=2时,点P的坐标为(2,5);当a=﹣2时,点P的坐标为(﹣2,﹣3).∴点P的坐标为(2,5)或(﹣2,﹣3).21.已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a≠0).(1)直接写出该抛物线的对称轴.(2)试说明无论a为何值,该抛物线一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标.【答案】(1);(2)抛物线一定经过点.【解析】解:(1)该抛物线的对称轴为x=-;(2)可化为,当,即时,,抛物线一定经过点.22.如图,已知点A(-1,0),B(3,0),C(0,)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式;(2)在第一象限的抛物线上求一点P,使△PBC的面积为.【答案】(1);(2)点P的坐标为(1,2)或(2,).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将C(0,)代入,得-3a=,解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点,∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得,解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1,2)或(2,)。
二次函数--三种解析式
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 三: 二次函数 的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ 对称轴 顶点坐标:______ 顶点坐标 (-1,-2) -1 时 有最 有最___值是 值是___ 当x=___时,y有最 小 值是 -2 函数值y<0时,x的取值范围 -3<x<1 的取值范围_______ 函数值y<0时,x的取值范围_______ 或 函数值y>0时,x的取值范围x<-3或x>1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 函数值y=0时,x的取值范围 -3或1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 或 的增大而增大. 当x_______时,y随x的增大而增大 时 随 的增大而增大 >-1
2
(3)某抛物线 y = ax + bx + c 如图3 如图3示,求此 抛物线的解析式. 抛物线的解析式.
2
y y
y
-1 −2 -2
0
−1
3 图1
3
x
-1 − 1
1 0
1
x
-1
1
−1 0
1 -1
-1
1 −1
2
2
x
图2
图3
6、小结归纳 (1)待定系数法 (2)二次函数解析式的不同形式: 二次函数解析式的不同形式: ①一般式: y = ax2 + bx + c 一般式: ②顶点式: 顶点式: 顶点坐标(-h 顶点坐标(-h,k) (-
解:∵A(1,0),对称轴为 , ,对称轴为x=2 轴另一个交点C应为 ∴抛物线与x轴另一个交点 应为(3,0) 抛物线与 轴另一个交点 应为( , ) ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 设其解析式为 ∵B(0,-3) ( , ) ∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表白形式:①普遍式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶面坐标为[,]把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组,便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做②顶面式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h,顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共,当x=h时,y最值=k.偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.例:已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10),供y 的剖析式.解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代进上式,解得y=2(x-1)2+2. 注意:与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧,二次函数仄移后的顶面式中,h>0时,h越大,图像的对于称轴离y 轴越近,且正在x轴正目标上,没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.简直可分为底下几种情况:当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到;当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时,将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位,再进与移动k个单位,便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象;当h>0,k<0时,将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位,再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k>0时,将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位,再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h<0,k<0时,将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位,再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③接面式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线,即b2-4ac≥0] .已知扔物线与x轴即y=0有接面A(x1,0)战 B(x2,0),咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.由普遍式形成接面式的步调:二次函数∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).要害观念:a,b,c为常数,a≠0,且a决断函数的启心目标.a>0时,启心目标进与;a<0时,启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.a的千万于值越大启心便越小,a的千万于值越小启心便越大.能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式;能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用;能流利天使用二次函数办理本质问题.•二次函数阐明式的供法:便普遍式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而止,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.供二次函数的普遍式时,必须要有三个独力的定量条件,去修坐闭于a ,b ,c 的圆程,联坐供解,再把供出的a ,b ,c 的值反代回本函数剖析式,即可得到所供的二次函数剖析式.1.巧与接面式法:知识归纳:二次函数接面式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时,用接面式比较烦琐.①典型例题一:报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标,战第三个面,可供出函数的接面式.例:已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1 ,且通过面(2,8),供二次函数的剖析式.面拨:解设函数的剖析式为y=a(x+2)(x-1),∵过面(2,8),∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2,∴扔物线的剖析式为:y=2(x+2)(x-1),即y=2x2+2x-4.②典型例题二:报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴,可利用扔物线的对于称性供解.例:已知二次函数的顶面坐标为(3,-2),而且图象与x 轴二接面间的距离为4,供二次函数的剖析式.面拨:正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下,问题比较简单办理.由顶面坐标为(3,-2)的条件,易知其对于称轴为x=3,再利用扔物线的对于称性,可知图象与x轴二接面的坐标分别为(1,0)战(5,0).此时,可使用二次函数的接面式,得出函数剖析式.2.巧用顶面式:顶面式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴,或者不妨先供出扔物线顶面时,设顶面式解题格外简净,果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中,常战对于称轴,最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中,波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时,普遍用顶面式便当.①典型例题一:报告顶面坐标战另一个面的坐标,间接不妨解出函数顶面式.例:已知扔物线的顶面坐标为(-1,-2),且通过面(1,10),供此二次函数的剖析式.面拨:解∵顶面坐标为(-1,-2),故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0).把面(1,10)代进上式,得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1.②典型例题二:如果a>0,那么当时,y有最小值且y最小=;如果a<0,那么,当时,y有最大值,且y最大=. 报告最大值或者最小值,本质上也是报告了顶面坐标,共样也不妨供出顶面式.例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x 轴二接面间的距离为6,供那个二次函数的剖析式.面拨:析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶面坐标为(4,-3),对于称轴为直线x=4,扔物线启心进与.由于图象与x轴二接面间的距离为6,根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是(1,0)战(7,0). ∴扔物线的顶面为(4,-3)且过面(1,0).故可设函数剖析式为y=a(x-4)2-3.将(1,0)代进得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73.③典型例题三:报告对于称轴,相称于报告了顶面的横坐标,概括其余条件,也可解出.比圆:(1)已知二次函数的图象通过面A(3,-2)战B(1,0),且对于称轴是直线x=3.供那个二次函数的剖析式. (2)已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1,图象接y轴于面(0,2),且过面(-1,0),供那个二次函数的剖析式.(3)已知扔物线的对于称轴为直线x=2,且通过面(1,4)战面(5,0),供此扔物线的剖析式.(4)二次函数的图象的对于称轴x=-4,且过本面,它的顶面到x轴的距离为4,供此函数的剖析式.④典型例题四:利用函数的顶面式,解图像的仄移等问题非常便当.例:把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.面拨:解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的,∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数分析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。
娴熟地求出二次函数的分析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的分析式有三种基本形式:1、一般式: y=ax 2 +bx+c (a≠0)。
2、极点式: y=a(x - h) 2 +k (a ≠0) ,此中点 (h,k) 为极点,对称轴为 x=h 。
3、交点式: y=a(x - x 1 )(x - x 2) (a ≠ 0) ,此中 x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的分析式一般用待定系数法,但要依据不一样条件,设出适合的分析式: 1、若给出抛物线上随意三点,往常可设一般式。
2、若给出抛物线的极点坐标或对称轴或最值,往常可设极点式。
3、若给出抛物线与 x 轴的交点或对称轴或与 x 轴的交点距离,往常可设交点式。
研究问题,典例指津:例 1、已知二次函数的图象经过点( 1, 5), (0, 4) 和 (1,1) .求这个二次函数的分析式.剖析:因为题目给出的是抛物线上随意三点,可设一般式 y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0) 。
解:设这个二次函数的分析式为y=ax 2 +bx+c (a ≠ 0)a b c5a 2 依题意得: c4解这个方程组得:b 3 a bc 1c4∴这个二次函数的分析式为 y=2x 2 +3x - 4。
例 2、已知抛物线 y ax 2 bx c 的极点坐标为 (4, 1) ,与 y 轴交于点 (0,3) ,求这条抛物线的分析式。
分 析 : 此 题 给 出 抛 物 线 y ax 2 bx c 的 顶 点 坐 标 为 (4, 1) ,最好抛开题目给出的y ax 2bx c ,从头设极点式y=a(x - h) 2 +k (a ≠ 0) ,此中点 (h,k) 为极点。
解:依题意,设这个二次函数的分析式为 y=a(x -4) 2 - 1 (a ≠ 0)又抛物线与 y 轴交于点 (0,3) 。
二次函数三种表达形式
函数三种表达形式与a,b,c,∆符号【知识要点】一.图形a ,b ,c ,∆的符号的确定,它们之间的关系:1. 0>a ⇔ 开口向上 0<a ⇔ 开口向下2. 02=-a b ⇔ 对称轴为y 轴 02<-ab ⇔ 对称轴在y 轴左侧 02>-ab⇔ 对称轴在y 轴右侧(左同右异) 3. 0=c ⇔ 经过原点 0>c ⇔ 与y 轴正半轴相交 3.0<c ⇔ 与y 轴负半轴相交 4. 0=∆ ⇔ 与x 轴只有一个交点(顶点在x 轴上) 0>∆ ⇔ 与x 轴有两个交点0<∆ ⇔ 与x 轴无交点二.二次函数解析式的三种形式:(1)一般式:2y ax bx c =++(a,b,c 为常数,a ≠0);已知抛物线上任意三点或三组x,y 的对应值时,通常设函数解析式为 一般式2y ax bx c =++,然后列三元一次方程组求解a,b,c 。
(2)顶点式:k h x a y +-=2)( (a,h,k 为常数,a ≠0)已知抛物线顶点坐标 或对称轴,函数最值等及第三点时,设二次函数k h x a y +-=2)(,求解。
(3)两根式(或截距式):12()()y a x x x x =--(a, 12,x x 为常数,a ≠0)其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
【例题讲解】例1.1 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是 (1)a 0,b 0,c 0(填“>”或“<”) (2)点(bc ac ,)在直角坐标系中的第 象限. (3)二次函数,满足ac b 42- 0.(4)一次函数c ax y +=的图象不经过第 象限.2. 二次函数c bxax y ++=2的图象,如图(1)所示,则系数b ax y +=的图象只可能是图( )x例2.二次函数的图象如下图所示,则在下列不等式中,成立的个数是( ) ①abc<0 ②a+b+c<0 ③a+c>b ④a<2c b- A .1 B .2 C .3 D .4例3.(1)若0,0,0<><c b a ,则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为( )(2).二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 的图象,如图,下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例4.不论x 为何实数,二次函数22y ax x c =-+的值恒为负的条件( ) A .0,1a ac >> B .0,1a ac >< C .0,1a ac << D .0,1a ac <>例5 .如图,抛物线2812y mx mx n =++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),在第二象限内抛物线上的一点C ,使△OCA ∽△OBC ,且:3:1AC BC =,若直线AC 交y 轴于P 。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达形式:①一般式:y=a*2+b*+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
②顶点式:y=a(*-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线*=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a*2的图像一样,当*=h时,y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。
解:设y=a(*-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(*-1)2+2。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在*轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况:当h>0时,y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向右平行移动h个单位得到;当h<0时,y=a(*-h)2的图象可由抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时,将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(*-h)2+k的图象;当h>0,k<0时,将抛物线y=a*2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象;当h<0,k>0时,将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象;当h<0,k<0时,将抛物线y=a*2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(*-h)2+k的图象。
③交点式:y=a(*-*1)(*-*2) (a≠0) [仅限于与*轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .抛物线与*轴即y=0有交点A〔*1,0〕和 B〔*2,0〕,我们可设y=a(*-*1)(*-*2),然后把第三点代入*、y中便可求出a。
九年级上数学专题复习一:待定系数法求二次函数表达式(含答案)
专题复习一 待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式:①一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a ≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x 1)(x-x 2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1.一抛物线和抛物线y=-2x 2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的函数表达式为(B ).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象顶点为点A(-2,-2),且过点B(0,2),则y 关于x 的函数表达式为(D ).A.y=x 2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2(第2题) (第3题) (第4题) (第8题)3.如图所示为抛物线的图象,根据图象可知,抛物线的函数表达式可能为(A ). A.y=-x 2+x+2 B.y=-21x 2-21x+2 C.y=-21x 2-21x+1 D.y=x 2-x-2 4.如图所示,二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B(0,-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-x8的图象交于点A(m ,4),则这个二次函数的表达式为(A ).A.y=x 2-x-2B.y=x 2-x+2C.y=x 2+x-2D.y=x 2+x+2 5.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c= -2 .6.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3),则二次函数的表达式为 y=x 2-4x+3 .7.老师给出一个函数,四位同学各指出了这个函数的一个性质:①函数的图象不经过第三象限;②函数的图象经过第一象限;③当x <2时,y 随x 的增大而减小;④当x <2时,y >0. 已知这四位同学的叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数: y=(x-2)2(不唯一) . 8.如图所示,将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°,得到△A1OB1,若点A 的坐标为(2,1),过点A ,O ,A1的抛物线的函数表达式为 y=65x 2-67x . 9.根据下列条件求二次函数的表达式.(1)二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点的横坐标是-21,23,与y 轴交点的纵坐标是-5,求这个二次函数的表达式.(2)二次函数图象的顶点在x 轴上,且图象过点(2,-2),(-1,-8),求此函数的表达式.【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a (x+21)(x-23).把点(0,-5)代入,得a ×21×(-23)=-5,解得a=320.∴抛物线的函数表达式为y=320(x+21)(x-23)=320x 2-320x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a (x-k )2.把点(2,-2),(-1,-8)代入,得()()⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-812222k a k a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=592k a ,或⎩⎨⎧=-=12k a .∴抛物线的函数表达式为y=-92(x-5)2或y=-2(x-1)2.(第10题)10.在平面直角坐标系中,抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A(0,-2),B(3,4). (1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B 关于原点的对称点为C ,点D 是抛物线对称轴上一动点,且点D 的纵坐标为t ,记抛物线在A ,B 两点之间的部分为图象G(包含A ,B 两点).若直线CD 与图象G 有公共点,结合函数图象,求点D 纵坐标t 的取值范围.【答案】(1)把点A(0,-2),B(3,4)代入抛物线y=2x 2+mx+n ,得⎩⎨⎧=++-=43182n m n ,解得⎩⎨⎧-=-=24n m .∴抛物线的函数表达式为y=2x 2-4x-2,对称轴为直线x=1.(第10题答图)(2)如答图所示,作出抛物线在A ,B 两点之间的图象G.由题意得C(-3,-4),二次函数y=2x 2-4x-2的最小值为-4,由函数图象得出点D 纵坐标的最小值为-4.设直线BC 的表达式为y=kx+b ,将点B ,C 的坐标代入得⎩⎨⎧-=+-=+4343b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==034b k .∴直线BC 的表达式y=34x.当x=1时,y=34,∴t 的取值范围是-4≤t ≤34.11.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴为直线x=2,则这条抛物线的顶点坐标为(B ).A.(2,3)B.(2,1)C.(-2,1)D.(2,-1)12.若一次函数y=x+m 2与y=2x+4的图象交于x 轴上同一点,则m 的值为(D ). A.2 B.±2 C.2 D.±213.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点,且在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小,则所求二次函数的表达式为(D ). A.y=-x 2+2x-5 B.y=ax 2-2ax+a-3(a >0) C.y=-2x 2-4x-5 D.y=ax 2-2ax+a-3(a <0)14.如图所示,已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),该图象与x 轴的另一个交点为点C ,则AC 长为 3 .(第14题) (第16题)15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x 轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为 y=21x 2+2x 或y=-61x 2+32x . 16.如图所示,直线y=x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,AB ⊥BC ,且点C 在x 轴上.若抛物线y=ax 2+bx+c 以点C 为顶点,且经过点B ,则这条抛物线的函数表达式为 y=21x 2-2x+2 .(第17题)17.如图所示,Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴上,OA=2,AB=1,将Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ,抛物线y=-65x 2+bx+c 经过B ,D 两点. (1)求二次函数的表达式.(2)连结BD ,点P 是抛物线上一点,直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分,求点P 的坐标.【答案】(1)∵Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt △COD ,∴CD=AB=1,OC=OA=2.则点B(2,1),D(-1,2),代入y=-65x 2+bx+c ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=++-26512310c b c b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==31021c b .∴二次函数的表达式为y=-65x 2+21x+310.(第17题答图) (2)如答图所示,∵OA=2,AB=1,∴B(2,1).∵直线OP 把△BOD 的周长分成相等的两部分,且OB=OD ,∴DQ=BQ ,即点Q 为BD 的中点,D(-1,2).∴点Q 坐标为(21,23).设直线OP 的表达式为y=kx ,将点Q 坐标代入,得21k=23,解得k=3.∴直线OP 的表达式为y=3x.由⎪⎩⎪⎨⎧++-==310216532x x y xy 得⎩⎨⎧==3111y x ,⎩⎨⎧-=-=12422y x .∴点P 的坐标为(1,3)或(-4,-12).(第18题)18.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点. (1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D ,求△BCD 的面积. (3)若直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ,C)部分有两个交点,求b 的取值范围.【答案】(1)由题意⎩⎨⎧=++=+-22246224b a b a ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==121b a .∴抛物线的函数表达式为y=21x 2-x+2.(2)如答图所示,∵y=21x 2-x+2=21(x-1)2+23.∴顶点D 的坐标为(1,23),对称轴为直线x=1.设直线BC 的函数表达式为y=kx+b.将B (-2,6),C (2,2)代入,得⎩⎨⎧=+=+-2262b k b k ,解得⎩⎨⎧=-=41b k .∴直线BC 的函数表达式为y=-x+4,∴对称轴与BC 的交点H(1,3).∴S △BDC=S△BDH+S △DHC =21×23×3+21×23×1=3. (3)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=221212x x y b x y 消去y 得x 2-x+4-2b=0,当Δ=0时,直线与抛物线相切,1-4(4-2b)=0,解得b=815.当直线y=-21x+b 经过点C 时,b=3,当直线y=-21x+b 经过点B 时,b=5.∵直线y=-21x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ,C)部分有两个交点,∴815<b ≤3.(第19题)19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数表达式为(A ).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120.【广州】已知抛物线y1=-x 2+mx+n ,直线y 2=kx+b ,y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),点A 与y 1的顶点B 的距离是4. (1)求y 1的函数表达式.(2)若y 2随着x 的增大而增大,且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点,求y 2的函数表达式. 【答案】(1)∵抛物线y1=-x 2+mx+n ,直线y 2=kx+b ,y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),点A与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,9).∴-()12-⨯m=-1,()()14142-⨯--⨯m n =1或9,解得m=-2,n=0或8.∴y1=-x 2-2x 或y1=-x 2-2x+8.(2)①当y1=-x 2-2x 时,抛物线与x 轴的交点是(0,0)和(-2,0).∵y 1的对称轴与y 2交于点A(-1,5),∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-2,0).把(-1,5),(-2,0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-025b k b k ,解得⎩⎨⎧==105b k .∴y 2=5x+10.②当y1=-x 2-2x+8时,令-x 2-2x+8=0,解得x=-4或2.∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A(-1,5),∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(-4,0).把(-1,5),(-4,0)代入得⎩⎨⎧=+-=+-045b k b k ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==32035b k .∴y 2=35x+320.综上可得y 2=5x+10或y 2=35x+320.21.如图所示,直线y=-21x+2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点B ,C 和点A(-1,0). (1)求B ,C 两点的坐标. (2)求该二次函数的表达式.(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ,则在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由. (4)点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当点E 运动到什么位置时,四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标.(第21题) 图1 图2(第21题答图)【答案】(1)令x=0,可得y=2;令y=0,可得x=4,∴B,C 两点的坐标分别为B (4,0),C (0,2).(2)设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ,将点A ,B ,C 的坐标代入表达式得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-204160c c b a c b a ,解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=22321c b a .∴该二次函数的表达式为y=-21x 2+23x+2.(3)存在.∵y=-21x 2+23x+2=-21(x-23)2+825,∴抛物线的对称轴是直线x=23.∴OD=23.∵C (0,2),∴OC=2.在Rt △OCD 中,由勾股定理得CD=25.∵△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形,∴CP 1=DP 2=DP 3=CD.如答图1所示,作CH ⊥对称轴直线x=23于点H ,∴HP 1=HD=2,∴DP 1=4.∴P 1(23,4),P 2(23,25),P 3(23,-25). (4)如答图2所示,过点C 作CM ⊥EF 于点M ,设E (a ,-21a+2),F (a ,-21a 2+23a+2),∴EF=-21a 2+23a+2-(-21a+2)=-21a 2+2a (0≤a ≤4).∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =21BD·OC+21EF·CM+21EF·BN=25+21a (-21a 2+2a )+21(4-a )(-21a 2+2a )=-a 2+4a+25=-(a-2)2+213,∴当a=2时,四边形CDBF 的面积最大,最大面积为213,此时点E 坐标为(2,1).。
2.6 二次函数
变式训练
典例分析
[例 2] (2011 年高考天津卷)对实数 a 和 b,定义运算“⊗”:a⊗b=
a,a-b≤1, 设函数 f(x)=(x2-2)⊗(x-x2), x∈R.若函数 y=f(x)-c 的 b,a-b>1.
3 如图, 要使 y=f(x)-c 与 x 轴恰有两个公共点, 则-1<c<-4或 c≤-2, 应选 B.
[答案] B
反思归纳
变式训练
1、若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于x=1
对称,则b= 6
.
2.(2010·四川卷)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线 x=1对称的充要条件是( ) A.m=-2 B .m =2 C.m=-1 D .m =1 3.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调 函数,则实数a的取值范围是 A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 ( A )
典例分析
【例4-1】 设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①c=0时,f(x)是奇函数; ②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根; ③f(x)的图象关于(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多有两个实根.
其中正确的命题是(
A.①④ B.①③
).
C.①②③
D.②④
典例分析
2 ( x 1 ) , x 0, F ( x) 2 ( x 1 ) , x 0.
[听课记录] (1)∃x∈R,f(x)<bg(x)⇒∃x∈R,x2-bx+b<0 ⇒(-b)2-4b>0⇒b<0或b>4. (2)F(x)=x2-mx+1-m2,
二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式求法解题技巧
求二次函数的解析式及二次函数的应用
二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式:y=a(xh)2+k(a,h,k是常数,a≠0)
(3)交点式:y=a(xx1)(xx2)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。
如果没有交点,则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路:
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念,在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数,通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中,a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示:标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍,包括定义和特点,并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中,函数表达式会经过整理化简,常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质,例如a决定了函数的开口方向,b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况,c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k,其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性,方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外,二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2),其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标,直接构造出二次函数的表达式,方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之,本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式:标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用,读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点,进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写:1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先,在引言部分,我们将简要概述本文的主题和目的,为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1.二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.二次函数的顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac存在下列关系:(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立.(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.(3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以x 1+x2=,x1x2=,即=-(x1+x2),=x1x2.所以,y=ax2+bx+c=a( )= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:3.二次函数的交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.。
二次函数的几个公式
二次函数的几个公式
二次函数是一种常见的二次多项式函数,其一般形式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c为常数,且a≠0。
二次函数的图形轨迹通常为开口向上或
开口向下的抛物线形状。
二次函数的解的情况有三种:当Δ>0时,方程有两个实数根,解的
形式为x₁=(-b+√Δ)/2a,x₂=(-b-√Δ)/2a;当Δ=0时,方程有两个相
等的实数根,解的形式为x₁=x₂=-b/2a;当Δ<0时,方程无实数根,解的
形式为x₁=(-b+√,Δ,i)/2a,x₂=(-b-√,Δ,i)/2a,其中i为虚数单位。
二次函数与坐标轴的交点称为零点,解方程y=0即可求得。
以上是二次函数的几个公式的介绍,其中包括了二次函数的一般形式、顶点坐标、根的判别式、解的情况、开口方向、对称轴、平移变换公式、
导函数和增减性等内容。
对于理解和应用二次函数有很大的帮助。
二次函数解析式的三种形式
函数内容的学习一直是很多学生的重难点,甚至一些学生与理想的学校失之交臂,就是因为函数内容没学好,无法取得中考数学高分。
初中数学要学到函数一般有三种:一次函数(包含正比函数)、反比例函数、二次函数。
其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一,一直受到中考数学命题老师的青睐。
任何与函数有关的数学问题,都需要先求出函数解析式,再结合函数的图象与性质进行解决。
因此,一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。
今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式,在初中数学教材里,二次函数的解析式一般有以下三种基本形式:1、一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式:y=a(x-m)2+k(a≠0),其中顶点坐标为(m,k),对称轴为直线x=m。
3、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
那么这三种形式有什么区别呢?在解决实际问题过程中,该如何选择呢?求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法,即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式,一定要根据不同条件,设出恰当的解析式,具体如下:1、若给出抛物线上任意三点,通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式y=a(x -m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离,通常可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是,用交点式来求二次函数的解析式,前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
求解二次函数解析式,典型例题分析1:已知一个二次函数图象经过(-1,-3)、(2,12)和(1,1)三点,那么这个函数的解析式是_______。
第四讲 二次函数的图像、性质与表达形式
1 2 x ,y=-2x2的图象,通过这些函数图象与函数y=x2的图 2
象之间的关系,推导出函数y=ax2与y=x2的图象之间所存在的关系. 先画出函数y=x2,y=2x2的图象. 先列表: x … 0 1 -3 -2 -1 x2 2x2 … … 9 18 4 8 1 2 0 0 1 2
2 4 8
3 9 18
(A)0个
(a≠0)
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11); (3)函数图象与x轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与y轴交于(0,-2).
二、 二次函数y=ax2+bx+c的图像、性质
问题1 函数y=ax2与y=x2的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出y=2x2,y=
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2014年陈经纶中学高一讲义
高中数学学习必备的初中知识技能 第四讲 二次函数的图像和性质
(B)1个 (C)2个 (D)无法确定 1 (2)函数y=-2(x+1)2+2的顶点坐标是 ( ) (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a . (2)二次函数y=-x2+2 3x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
O 图4-1
y
x
y=2(x+1)2 y=2(x+1)2 +1 y=2x2
第四讲
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-1
O
x
2014年陈经纶中学高一讲义
高中数学学习必备的初中知识技能 第四讲 二次函数的图像和性质
新人教版九年级数学上册二次函数解析式的三种形式
2. (选做)已知:抛物线在x轴上所截线段为 长度为4,顶点坐标为(2,4),求这个 函数的关系式.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
下列这三题只给出图象,看看谁先做出(只要求列式):
(1)的图象如图1示,求此函数解析式. (2)二次函数的图象如图2示 ,求此函数解析式. (3)某抛物线如图3示,求此抛物线的解析式.
ya2xbxc
y
ya2 xbxc
y
ya2 xbxc
y
1 0
-1 2
3x
3
-2 图1
11
-1 1
1 0
x
2 1 0 11 2 x
例4.图象经过A(1,0)、B(0,-3),且 对称轴是直线x=2 ,求这个二次函数的关系 式
解:∵A(1,0),对称轴为x=2
∴抛物线与x轴另一个交点C应为(3,0) ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵B(0,-3)
∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1
∴y= -(x-1)(x-3)= -x2+4x-3
新人教版九年级数学上册二次函数解析式的三 种形式
二次函数的三种解析式
1.一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 2.顶点式 y=a(x-h)2+k
其中点(h, k)为顶点,对称轴为x=h。
3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1 , x2 是抛物线与x轴的交点的横坐标。
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
例3、已知抛物线与x轴交于点 A (-1,0),B(2,0)并经过点 M(0,1),求抛物线的解析式。
解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2)
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式:1、一般式:y=ax²+bx+c(a≠0,a 、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
2、顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。
3、交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2为常数)。
扩展资料:一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;2、当a与b异号时(即ab抛物线与x轴交点个数:1、Δ= b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式:1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
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二次函数的三形式种
bx c
2
其中a是二次项系数,ax 是二次项
2
b是一次项系数,bx是一次项 c是常数项 b b 4ac b 对称轴为x=- , 顶点坐标为( , ) 2a 2a 4a
2
a、b、c与二次 函数图象的关 系
a决定了抛物线的开口方向 a>0开口向上 a<0开口向下 b与a共同决定了抛物线的对称轴( )
(左同右异)
c是抛物线与y轴交点的纵坐标
x=-
b , 2a
顶点式:
y=a(x-h) k
2
其中对称轴为x=h,定点坐标为(h,k)
双根式:
y=a(x-x1 )(x-x2 )其中(x1,0), (x2 ,0)是二次函数图象 与x轴的两个交点坐标
三种形式的相互转化
一般式
配方法 化简
顶点式
双根式
三种形式的优 缺点
一般式:优点:a、b、c一目了然,y轴交点坐标 缺点:不容易看出顶点坐标及对称轴 顶点式:优点:很容易看出顶点坐标及对称轴 缺点:不容易看出a、b、c的符号和大小 双根式:优点:很容易看到图象与坐标轴的交点 缺点:当图象不与坐标轴相交时,此形式不 能用
三种形式的应用
1、不知道特殊点的坐标时,常用一般式来表示 2、知道顶点坐标时,常用顶点式来表示 3、如果知道图象与坐标轴交点时,常用双根 式来表示 上述三种形式要灵活应用才能更好的理解 二次函 数的 表达式,进一步灵活应用