第六章 排列与组合
新教材2023年高中数学第六章计数原理6
第二步：从占据首位以外的 6 个元素中选 4 个排在除首位以外的其 他 4 个位置上，有 A46种排法．
由分步乘法计数原理，可得共有 A61·A64＝2 160(种)排法． 解法三(间接法)：即先不考虑限制条件，从 7 人中选出 5 人进行排列， 然后把不满足条件的排列去掉． 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有 A57种，甲在首位的情况有 A64种，所以符合要求的排法有 A75－A46＝2 160(种)．
(2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲以外的 6 个元素中选 2 个排在首末两个位置上，有 A62种方法；第二步：从未排上 的 5 个元素中选 3 个排在中间 3 个位置上，有 A35种排法；
根据分步乘法计数原理，有 A26·A35＝1 800(种)排法． (3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的 5 个元素中选 2 个排在首末两个位置，有 A25种排法； 第二步：从未排上的 5 个元素中选出 3 个排在中间 3 个位置上，有 A53种排法． 根据分步乘法计数原理，共有 A52·A53＝1 200(种)排法．
第二类：女生乙不站在正中间，完成这件事可分为三步． 第一步：女生乙有 4 个位置可选择，有 4 种站法； 第二步：女生丙不能站在正中间(可站在两端)，有 5 个位置可选择， 有 5 种站法； 第三步：其余 5 人可自由选择，有 A55种站法． 根据两个计数原理得，不同的站法共有 A66＋4×5×A55＝3 120 种．
共有 A55·A22＝240 种不同的排法，选 C． (2)先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为 A66种，这 6 个歌唱节目 的空隙及两端共七个位置中再排 4 个舞蹈节目有 A74种排法，由分步乘法 计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 A47·A66＝604 800(种)．
选择性必修三第六章6.2排列组合
3
7
4
7
解：
1 A =7 6 5 =210
3
7
4
2
A
7 =7 6 5 4 =840
A77 7!
3 4 = A73 =7 6 5 =210
A4
4!
4
2
4
A
A
6 2 =6 5 4 3 2 1 =6! =720
6.2.2排列数
不是排列
（2）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲乙丙3名同学每人从中
各取1盘菜，共有多少种不同的取法？
解:（2）第1步：确定甲同学的菜，共有5种选法;
是排列
第2步：确定乙同学的菜，共有4种选法;
第3步：确定丙同学的菜，共有3种选法.
根据分布乘法计数原理共 N 5 4 3 60种不同的选法.
？
种
( − )种 ( − )种
( − + )种
= ( − )( − ). . . ( − + )
6.2.2排列数
探究新知
1. 排列数公式：
= ( − )( − ). . . ( − + )
(, ∈ ∗ , ≤ )
2. 全排列的定义：
练习2
典型例题
3名男生和5名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
（4）全体站成一排，男生甲和男生乙站一起；相邻问题——捆绑
男生：甲、乙、丙 女生：A、B、C、D、E
甲乙
乙甲
丙、A、B、C、D、E
解：
4 A A =2 1 7 6 5 4 3 2 1 =10080
第六章计数原理
2023/3/24
第六章考点排列组合的概念与计算完整版课件
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列和组合的概念进行考查，排列“既取又 排，与顺序有关”．组合“只取不排，与顺序无关”．
第14页，共42页
典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
变式训练1 (1)从2，3，5，7，11中任取两个数相乘，可得到多少个不同的 积，属于___组_合____问题，表达式为___C__52 ___，共有____10____个 ； (2)从2，3，排5，列7，11中任取两个数相除P52，可得到多少个20不同的 商，属于________问题，表达式为________，共有________个.
P 3m7＝37×36×35×…×(37－m＋1)，∴37－m＋1＝13，解得m
＝25.
第29页，共42页
检测练习 A组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B组 1 2 3
5．若
C2 n1
1 6
P3 n1
，则n等于(
A
)
A．4
B．7
C．19
D．37
【提示】 展开得
(n 1)n 21
(2)若 Cmn
1098 7 43 21
，则n＝____10____，m＝____4____；
(3)若 C8x1 C8x C94 ，则x＝___4_或_5___.
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典例剖析 例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【思路点拨】 对排列数、组合数公式的逆向及组合数两个 性质的考查，根据展开式的特点推导出排列数、组合数. ∵ ，∴C8xx＝1 4C或8x 5. C9x C94
第六章 排列、组合与二项式定理
考点23 排列、组合的概念与计算
人教版高中数学选择性必修第三册6-2-1排列
课堂篇·互动学习
类型一 排列的概念
[例 1] 判断下列问题是否为排列问题． (1)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排 三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合 M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为 a，b，可以得到多少个焦 点在 x 轴上的椭圆方程ax22＋by22＝1？可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程ax22－ by22＝1? (3)从 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字，有多少种方法？若这 3 个数字组成没有重复 的三位数，又有多少种方法？
3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其
中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( B )
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
解析：将 4 张贺卡分别记为 A，B，C，D，且按题意进行排列，用树形图表示为
由此可知共有 9 种送法．
4．从 1,2,3,4 中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组 成不同点的个数为 12 .
题才能归结为排列问题．
2．相同排列 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的 元素完全相同 ， 且元素的 排列顺序也相同 ．
一、答一答 1．怎样理解排列的定义？
提示：(1)排列的定义包括两个方面：一是从 n 个不同的元素中取出元素；二是按 一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同．
[解] (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队” 问题与顺序有关，故选 3 个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则必有 a>b，a，b 的大小关系一定；在双曲线ax22－by22＝1 中，不管 a>b 还是 a<b，方程ax22－by22＝1 均表示焦点在 x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故 是排列问题．
数学初中二年级上册第六章排列与组合的认识与运算
数学初中二年级上册第六章排列与组合的认识与运算在初中二年级上学期的数学教材中，我们学习了许多有趣而又实用的数学知识。
而第六章的内容涵盖了排列与组合的认识与运算，这是我们在数学学习中非常重要的一部分。
下面，我们将详细介绍这一章节的相关知识。
一、排列的概念与计算在数学中，排列是指从一组元素中取出若干个进行排列，其中元素的顺序是重要的。
换句话说，排列是由给定的元素中按一定顺序选择不同元素的方法总数。
排列的计算需要用到阶乘的概念。
所谓阶乘，即把从1到该数的所有正整数相乘，例如n的阶乘用符号n!来表示。
利用阶乘的概念，我们可以很容易地计算出排列的个数。
例如，从5个元素中选取3个元素进行排列，计算方式如下：A(5,3) = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 60这就意味着，从5个元素中选择3个元素进行排列的方法总数是60种。
二、组合的概念与计算不同于排列，组合是指从一组元素中取出若干个进行组合，其中元素的顺序不重要。
换句话说，组合是由给定的元素中按无序方式选择不同元素的方法总数。
组合的计算可以使用排列的概念进行推导。
通过考虑元素的顺序，我们可以将组合问题转化为排列问题进行计算。
具体方法是利用组合数的概念，用符号C(n,m)来表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法总数。
组合数可以通过排列数的计算公式进行求解：C(n,m) = A(n,m)/m! = n!/[m!(n-m)!]例如，从6个元素中选取4个元素进行组合，计算方式如下：C(6,4) = A(6,4)/4! = 6!/[4!2!] = 15这就意味着，从6个元素中选择4个元素进行组合的方法总数是15种。
三、排列与组合的应用排列与组合在生活中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要考虑元素的顺序或者无序进行选择，从而使用到排列与组合的概念。
比如，考虑以下两个实际问题：问题1：某班有10个同学，老师要从中选出3个同学参加活动，同时指定一个同学负责领队。
2023年高中数学新人教A版选择性必修第三册 第六章 6
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相
同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题是组合的是
有3个点共线的情况的种数,问题则较易解决.9个点中有3个点共线
的情况,显然是三行、三列和两条对角线上的点,易知共8种,9个
点中任取 3 个点的组合数为C93 ,所以共可以组成C93 -8=76(个)三角形.
答案:76
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛 对于一些正面处理(解题方法中常称“直接法”)较复杂或
激趣诱思
知识点拨
三、组合数的性质
性质 1:C = C- .
性质 2:C+1
= C + C -1 .
微练习
18
计算:C20
=
3
2
,C99
+ C99
=
18
2
解析:C20
= C20
=
20×19
3
3
2
C99
+ C99
= C100
=
答案:190 161 700
.
=190,
2×1
100×99×98
!
算;公式C = !(-)!常用于 n 为字母的题目,多用于解不等式或证
明恒等式.
激趣诱思
知识点拨
微思考
“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
2022年秋高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数课后习题新人教A版选
6.2.3 组合 6.2.4 组合数A 级必备知识基础练1.若5名代表分4张同样的参观券,每人最多分一张,且全部分完,那么分法一共有( ) A.2种 B.1 024种C.625种D.5种2.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,则共需建公路的条数为( ) A.4 B.8C.28D.643.从2,3,…,8中任意取三个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,则这样的三位数的个数为( ) A.35 B.42C.105D.2104.某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( ) A.30种 B.60种C.120种D.180种5.(多选题)对于m ,n ∈N *且m<n ,关于下列排列组合数,结论正确的是( )A.C n m =C n n -mB.C n+1m =C n m -1+C n mC.A n m =C n m A m mD.A n+1m+1=(m+1)A n m6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为 .7.计算C73+C74+C85的值为.8.若对任意的x∈A,则1x ∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的集合的个数为.9.现有5名男司机、4名女司机,需选派5人运货到某市.(1)如果派3名男司机、2名女司机,共有多少种不同的选派方法?(2)至少有两名男司机,共有多少种不同的选派方法?B级关键能力提升练10.从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中,任取三条的不同取法有n种,在这些取法中,若以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m,则mn等于()A.110B.15C.310D.2511.已知圆上有9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有()A.36个B.72个C.63个D.126个12.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.3613.从10名大学毕业生中选3人担任某公司助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()A.28B.49C.56D.8514.(多选题)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区参与救援,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N ,则下列等式能成为N 的算式是( )A.C 135−C 71C 64B.C 72C 63+C 73C 62+C 74C 61+C 75C.C 135−C 71C 64−C 65D.C 72C 11315.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 种.16.C 88+C 98+C 108+C 118= .17.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有 条.18.甲、乙、丙、丁4名同学到A ,B ,C 三个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,且同学甲安排在A 小区,则共有 种不同的安排方案.19.(1)计算:C 85+C 10098C 77. (2)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2.C级学科素养创新练20.某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议,甲会议需2人参加,乙、丙两个会议各需1人参加,从10人中选派4人参加这三个会议,不同的安排方法有种.21.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.6.2.3 组合 6.2.4 组合数1.D 由于4张同样的参观券分给5名代表,每人最多分一张,从5名代表中选4人满足分配要求,故有C 54=5种.2.C 由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C 82=A 82A 22=8×72×1=28(条)公路.3.A 由于取出三个数字后大小次序已确定,只需把最小的数字放在百位,最大的数字放在个位,剩下的数字放在十位,因此满足条件的三位数的个数为C 73=7×6×53×2×1=35.4.B 从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有C 61C 52C 33=60(种).故选B.5.ABC 根据组合数的性质与组合数的计算公式C n m =n!(n -m)!m!,C n n -m =n![n -(n -m)]!(n -m)!=n!(n -m)!m!,故A 正确; 因为C n+1m =(n+1)!(n+1-m)!m!,C n m -1+C n m =n![n -(m -1)]!(m -1)!+n!(n -m)!m!=(n+1)!(n+1-m)!m!,所以C n+1m =C n m -1+C n m,故B 正确;因为A n m =n!(n -m)!,C n m A m m =n!(n -m)!m!·m !=n!(n -m)!,所以A n m =C n m A m m ,故C 正确;因为A n+1m+1=(n+1)!(n -m)!,(m+1)A n m =(m+1)·n!(n -m)!≠(n+1)!(n -m)!,故D 不正确.6.20 由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C 63=20(个)子集.7.126 C 73+C 74+C 85=C 84+C 85=C 95=9!5!×4!=9×8×7×64×3×2×1=126.8.15 “具有伙伴关系”的元素组有-1;1;12,2;13,3,共4组.所以集合M 的所有非空子集中,“具有伙伴关系”的非空集合中的元素,可以是“具有伙伴关系”的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为C 41+C 42+C 43+C 44=15. 9.解(1)从5名男司机中选派3名,有C 53种方法, 从4名女司机中选派2名,有C 42种方法.根据分步乘法计数原理得,所选派的方法总数为C53C42=C52C42=5×42×1×4×32×1=60.(2)从9人中任选5人运货有C95种方法.其中1名男司机、4名女司机有C51C44=5(种)选法.所以至少有两名男司机的选派方法为C95-5=121(种).10.B任取三条的不同取法有C53=10(种),钝角三角形只有2,3,4和2,4,5两种情况,故n=10,m=2,mn =15.11.D此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为C94=126(个).12.A①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21·A33=12(个);②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21·A33+A33=18(个);③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.13.B依题意,满足条件的不同选法的种数为C22C71+C21C72=49.14.BC13名医生,其中女医生6人,男医生7人.(方法一直接法)2男3女C72C63;3男2女C73C62;4男1女C74C61;5男C75,所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75.(方法二间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=C135−C71C64−C65.故选BC.15.10依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).16.220C88+C98+C108+C118=C129=C123=220.17.126要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C 94C 55=126(种)走法,故从A 地到B 地的最短路线共有126条.18.12 分两类:(1)A 小区安排2人(同学甲及另一名同学),则有C 31A 22=6(种)安排方案. (2)A 小区只安排同学甲1人,则有C 32A 22=6(种)安排方案,根据分类加法计数原理可得共有6+6=12(种)安排方案.19.(1)解原式=C 83+C 1002×1=8×7×63×2×1+100×992×1=56+4950=5006.(2)证明由组合数的性质C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.所以原等式成立.20.2 520 从10人中选派4人有C 104种方法,对选出的4人具体安排会议有C 42C 21种方法,由分步乘法计数原理知,不同的选派方法有C 104C 42C 21=2520(种).21.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有C 52C 32C 11A 22+C 53A 33=150(种).(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有C 42=6(种).(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(C 53C 22+C 54)A 33=90(种).。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第六章计数原理第2节排列与组合第1课时排列 第2课时排列数
第六章 6.2 6.2.1A 组·素养自测一、选择题1．(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素，下列问题属于排列问题的是( BD ) A ．相加可得多少个不同的和 B ．相除可得多少个不同的商C ．作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程D ．作为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程[解析] 对选项A ，由加法交换律可知相加求和不是排列问题，故A 错误；对选项B ，由于除法不满足交换律，可知两数相除求商是排列问题，故B 正确；对选项C ，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a ＞b ，即a ，b 的大小确定，不是排列问题，故C 错误；对选项D ，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程都表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，是排列问题，故D 正确．故选BD ．2．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋19)(m ＋20)(m ∈N *)可表示为( A ) A ．A 21m ＋20 B ．A 21m C ．A 20m ＋20D ．A 20m[解析] 因为最大数为m ＋20，共有21个自然数连续相乘，根据排列公式可得m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋19)(m ＋20)＝A 21m ＋20．3．已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于( B )A ．5B ．7C ．10D ．14[解析] 由8！(9－n )！×3＝9！(11－n )！×4，得(11－n )(10－n )＝12，解得n ＝7，n ＝14(舍)．4．(2021·福州期末)设x ∈N *，且x >15，则(x －2)(x －3)(x －4)…(x －15)可化简为( B ) A ．A 13x －2 B ．A 14x －2 C ．A 13x －15D ．A 14x －15[解析] 先确定最大数，即n ，再确定因式的个数，即m ，易知n ＝x －2，m ＝(x －2)－(x －15)＋1＝14，所以原式＝A 14x －2．5.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数为( A )A ．A 55A 24 B ．A 55A 25 C ．A 55A 26D ．A 77－4A 66[解析] 首先5名成人先排队，共有A 55种排法，然后把两个小孩插进中间的4个空中，共有A 24种排法，根据乘法原理，共有A 55A 24种排法．二、填空题6．一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有__720__种排法．[解析] 这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有A 66＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．7．某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为__20__． [解析] 先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个进行排列，有A 25＝20种．8．(2021·六安高二检测)计算：A 58＋A 48A 69－A 59＝__527__．[解析]A 58＋A 48A 69－A 59＝8×7×6×5×4＋8×7×6×59×8×7×6×5×4－9×8×7×6×5＝527． 三、解答题9．下列问题中哪些是排列问题？ (1)5名学生中抽2名学生开会； (2)5名学生中选2名做正、副组长； (3)6位同学互通一次电话； (4)6位同学互通一封信； (5)以圆上的10个点为端点作弦；(6)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线． [解析] (2)(4)(6)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．10．证明：A k n ＋k A k －1n ＝A kn ＋1．[解析] 证明：左边＝n ！(n －k )！＋k n ！(n －k ＋1)！＝n ！[(n －k ＋1)＋k ](n －k ＋1)！＝(n ＋1)n ！(n －k ＋1)！＝(n ＋1)！(n －k ＋1)！，右边＝A k n ＋1＝(n ＋1)！(n －k ＋1)！，所以A k n ＋k A k －1n ＝A kn ＋1．B 组·素养提升一、选择题1．(2021·烟台高二检测)2 021×2 020×2 019×2 018×…×1 982×1 981等于( D ) A ．A 401 980 B ．A 411 980 C ．A 402 021D ．A 412 021[解析] 根据题意，2 021×2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 981＝A 412 021． 2．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( C )A ．8B ．5C ．3D ．0[解析] 由排列数公式知，A 55，A 66，…，A 100100中均含有2和5的因子，故个位数均为0，所以S 的个位数字应是A 11＋A 22＋A 33＋A 44的个位数字，而A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝1＋2×1＋3×2×1＋4×3×2×1＝33，故个位数字为3．3．(多选题)下列四个等式中正确的有( ABD ) A ．n ！＝(n ＋1)！n ＋1B ．A m n ＝n A m －1n －1C ．A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！D ．A m n ＋m A m －1n＝A mn ＋1 [解析](n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以A 正确； n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以B 正确；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！，所以C 不正确；由排列数公式可知A m n ＋m A m －1n＝n ！(n －m )！＋m n ！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m )！×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋m n －(m －1)＝n ！(n －m )！×n ＋1n －(m －1)＝(n ＋1)！[(n ＋1)－m ]！＝A m n ＋1，所以D 正确．4．(2021·安徽省淮南九中月考)要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长，但甲不能当副组长，则不同的选法种数是( B )A ．20B ．16C ．10D ．6[解析] 不考虑限制条件有A 25种选法，若甲当副组长，有A 14种选法，故甲不当副组长的选法有A 25－A 14＝16(种)．二、填空题5．满足不等式A 7nA 5n >12的n 的最小值为__10__．[解析] 由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12， 解得n >9或n <2． 又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10．6．已知A 7n －A 5nA 5n＝89，则n 的值为__15__． [解析] 根据题意，A 7n －A 5n A 5n ＝89，则A 7n A 5n＝90，变形可得A 7n ＝90A 5n ， 则有n ！(n －7)！＝90×n ！(n －5)！，变形可得：(n －5)(n －6)＝90， 解可得：n ＝15或n ＝－4(舍)； 故n ＝15．7．(2021·江西省南昌市期末)由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为__10__．[解析] 个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A 33＝6(个)；个位数字为2时，符合要求的四位偶数有A 12A 22＝4(个)．故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为6＋4＝10． 三、解答题 8.8个人排成一排． (1)共有多少种不同的排法？(2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ [解析] (1)由排列的定义知共有A 88种不同的排法．(2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A 88．也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A 48种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A 44种排法，由分步乘法计数原理知共有A 48×A 44＝A 88种排法．(3)同(2)的分析可知，共有A 38×A 55＝A 88(种)．9．求证：A m n ＋m A m －1n －1＋m (m －1)A m －2n －1＝A m n ＋1(n ，m ∈N *，n ≥m >2)．[解析] 因为左边＝n ！(n －m )！＋m (n －1)！(n －m )！＋m (m －1)(n －1)！(n －m ＋1)！＝n ！n －m ＋1＋mn －1！n －m ＋1＋mm －1n －1！n －m ＋1！＝n －1！[nn －m ＋1＋mn －m ＋1＋mm －1]n －m ＋1！＝(n －1)！n (n ＋1)(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！(n －m ＋1)！＝A m n ＋1．。
排列组合和排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
第3课时 排列、组合的综合应用
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3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼， 其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_3_6__种.(用数字作答) 解析 由题意得，不同的乘坐方式有 C23C24A22＝36(种).
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4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去， 则不同的选派方案共有___5_5____种(用数字作答).
跟踪训练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜 任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名 青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作， 则有多少种不同的选法？
解 可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 C24C23种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有 C34C13种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有 C34C23种选法. 根据分类加法计数原理，一共有 C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法.
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进 行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
三、分组、分配问题
角度1 不同元素分组、分配问题 例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；
解 每组 2 本，均分为 3 组的分组种数为C26AC2433C22பைடு நூலகம்15×66×1＝15.
第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有 1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有 1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选.可分两步. 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语 的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同 的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.
排列、组合的概念与计算
1.若从9名学生中任选三名值日，则不同选B
法的种数是 （ ） A.504种 B.84种 C.9种 D.3种
【提示】N
C39
987 3 2 1
84（种）.
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考点21 排列组合的 概念与计算
目标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分析 显示
考点21 排列组合的
概念与计算
典例 剖析
【例 【例 【例3】方法
1】 2】
总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要 注意等价转化思想的运用.
2.在解决具体问题时，要分清所给问题是 排列问题（有序）还是组合问题（无序）， 元素总数是多少及取出多少个元素.
考点21 排列组合的 概念与计算
总结
【变式训练1】求值：13A52 A44 C37 3! ；
2
C22C32Fra bibliotekC42
C2 100
；3
C94 96
C95 97
C96 98
C97 99
.
(1)原式 60 2435 6 55. 3 原式 C926 C927 C928 C929
(2)原式
C33
C32
C24
C2 100
C3 101
4321
化简得n 3 4,n 7.
4.若从x个不同的元素中任取出三个元素的组合数是35，则x等于（ C）
A.5 B.6 C.7 D.8
【提示】由Cx3
x(
x 1)(x 321
2)
3（5 x
3）,得x
7.
考点21 排列组合的
基础
概念与计算
过关
2022年秋高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合课件新人教A版选择性必修第三册
【预习自测】
①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘． 以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？ 提示：①是排列，①中选取的两个数相除是有顺序要求的，②中选 取的两个数相乘是无顺序要求的．
| 课堂互动 |
题型1 组合的概念 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
易错防范：错因是“排列”“组合”概念混淆不清．承担任务甲的 两人与顺序无关，此处应是组合问题．(设5人分别为A，B，C，D，E， 则有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种)．
正解一：先从5人中选出2人承担任务甲；再从余下3人中选出1人承 担任务乙；最后从剩下的2人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理， 不同的选法共有10×3×2＝60(种)．
易错警示 “排列”“组合”概念混淆不清
有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙 各需要1人承担，从5人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有 ________种(用数字作答)．
错解：分3步完成：第一步：从5人中选出4人，有5种方法． 第二步：从这4人中选出2人承担任务甲，有A种方法． 第三步：剩下的2人分别承担任务乙、丙，有A种方法． 根据乘法原理，不同的选法共有5AA＝120种．
5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成______条线 段；如果是有向线段，共有______条．
【答案】10 20 【解析】从五个点(设为 A，B，C，D，E)中任取两个点恰好连成一 条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有 10 条(AB， AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE) .有向线段跟两个点的先后 排列次序有关，所以是排列问题，排列数是 A52＝20.所以有向线段共有 20 条．
第六章 考点24 排列、组合的应用题
不满足限制条件的排列数
，
然后再从中减去
．
2．几种典型的排列问题及其处理方法 (1)元素相邻问题，一般用 捆绑法 ，即将必须相邻的元素“ 捆”在一起当作一个元素进行排列． (2)元素不相邻问题：一般用 插空法 ，即把可相邻的两个元 素之间各留出一个空位，将不能相邻的元素插入空位中进行排列 ．
3．组合问题 组合问题可分为两类：一类是不含限制条件的组合问题， 可直接利用公式求解；另一类是含有限制条件的组合问题．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【例2】现有0～9这十个数字． (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
【思路点拨】 (1)①位置分析法：先确定千位上的数字，由 于千位数字不能为0，故有9种排法；再用剩余的9个数字排剩 余的三位数字，有 P93 种排法，由分步计数原理可得没有重复 数字的四位数的个数是 9P93 ．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
【变式训练2】 (1)若用0～9这十个数字组成没有重复数字的三位数，则共 有 648 个； (2)若用0，1，2，3，4，5组成能被5整除且没有重复数字的三 位数，则共有 36 个．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(1)【提示】∵首位选择的方法有9种，其他数位选择的方法有 P92 种，∴共有 9P92 ＝9×9×8＝648(个)． (2)【提示】N＝P52＋ P41P41 ＝36(个)．
例1 变1 例2 变2 例3 变3 例4 变4
(3)①位置分析法：由于两端不能站女生，故两端只站男生，有 P32 种站法；剩余5名学生站5个位置，有 P55 种站法．由分步计 数原理可得，共有P32P55 种不同的站法． ②元素分析法：由于女生不能站两端，故4名女生只能站中间 的5个位置，有 P54 种站法；剩余3个位置站3名男生，有 P33 种站 法．由分步计数原理可得，共有P54 P33 种不同的站法．
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推广：将n封信都装错信封的方法数是多少？（思考）
S n ( 1) n ( 1)
n n 1
n ( n 1)( 1)
n! ( 1)
n 1
n2
n ( n 1) 4 3
n! 2!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n! 3!
n! 4!
( n 1) !
( 1)
| Ai | m i 则 A A1 A 2 A n ,
Ai A j (1 i , j n , i j ),
所以
| A | | A1 A 2 A n | | A1 | | A 2 | | A n |
（1）共有多少种就坐方式？ （2）若限定 a ， 相邻，共有几种就坐 b 方式？ （3）若限定 a， 不相邻，共有几种就 b 坐方式？ 例2 平面内共有6个点，且每3点都不在一条 直线上，以这6点为顶点． （1）可以连接多少条含4条线段的封闭折 线？ （2） 可以连接多少条含4条线段的不封闭 折线？
第六章 排列与组合
§6.1 加法原理和乘法原理
一、加法原理
如果完成事件A，必须且只须完成有关事件
A1 , A 2 , , A n 中的一个就算完成；设完成事件 A1 , A 2 , , A n 的方法数分别是 m 1 , m 2 , , m n , 且
其中任何两种方法都不同，那么完成事件A的 方法数为
0
)
例1 设 m, n N *，求和:
m(m 1) (m 1)(m 2) (m n 1)(m n)
分析:
2Cm 1 2Cm 2 2Cm n
2 2 2
2 C2 C3 Cm1 Cm 2 Cm 2 (C2 C3 Cm )
定理3 从n个不同元素中取出m元环状 排列的种数是
Pn
m
n! m ( n m )!
.
m
推论1
n个不同元素的环状全排列的种数是
P n
n
( n 1)!
推论2 不计顺逆方向时，从 n 个相异元素取 出的 m 元环形排列的种数是
Pn
m
n
n! 2m n m !
2m
例1
a b， ， ，e五人围着一张圆桌就坐． ， c d
（4）全排列数的计算——正行列式法 P318.
1 1 1
1 1 1
1 1 1
n
Pn
m
n!
练习1
9个人排成一列纵队，a,b是9人中两人. （1）a不在最前，b不在最后，有几种排法？ （2）a,b既不在最前，也不再最后，有几种排法？ （3）若a在b前（不一定相邻）有几种排法？ （4）若a,b之间恰有3人，有几种排法？ （5）a,b之间至少有2人，有几种排法？
例3 设集合 M a, b, c, d ， 0,1, 2 ． N （1）从M到N的映射有多少种？ （2）从M到N上的映射（满射）有多少种？
答案 （1）
R 3 3 81
4 4
（2）
C 4 P3 6 6 3 6
3 3
§6.3 组合
一、相异元素的不重复组合 m n 定义5 组合 组合数 Cn m 定理5
k
k 1
k 1
(1 x) (1 x)
k
k 1
(1 x)
k r
(1 x)
k r 1
(1 x)
k
x
法3 组合数意义．
有a1 无a1 有a2 有a3 无a2 无a3
有ar 无ar
r 法4 对 r 作数学归纳法 (
n! n ! n ! nk !
．
例1 今有一等奖品一个，相同的二等奖品3 个，相同的三等奖品5个，发给9位学 生，令每人得一个，共有多少种可能的 分配法？ 例2 某市区有南北路8条，东西路5条，布局 十分整齐，有人从市区西南角A走向东 北角B，要走最近路程，共有多少路 线？
B
A 析 令表示东西路一段，表示南北路一段． 引伸：若中心处一公园.
m1 m 2 m n .
§6.1 加法原理和乘法原理
一、加法原理
方式 1
m 1班次
方式 2 m 2 班次
甲地
m n 1班次
乙地
方式 n
m n 班次
m 从甲地到乙地的走法有： 1 m 2 m n 种 .
加法原理的集合说明 加法原理中的事件A和事件 A1 , A 2 , , A n 都是有限集，且 A1 , A 2 , , A n 互不相交，设
y1 y2 y3 y4 y5 8 5 13
将13看成13个球，用4个隔板隔开.
四、多项式定理（自学） 定理9
(a1 a2 am )
n
n1 n2 nm n
n! (n1 )!(n2 )! nm !
a1 1 a2 2 amm
n
n
n
其中
表示对所有满足 n1 n2 nm n
定理8
分析:
H n Cn m 1
m m
A
B
a1a1a1 a1a1 a1a2 a3 am1am
a1a1a1 a1a2 a1a2 a3 am1am1
a1a1a1 a1a3 a1a2 a3 am1am2
an1an an an an1an1 an m2 an m1
m1 m 2 m n .
甲地 丙地
m 1种方式 m 2 种方式
乙地
从甲地到乙地的走法有：m 1 m 2 种 .
乘法原理的集合说明 P313
§6.2 排列
一、相异元素的不重复排列 定义1: 排列 m 排列数 Pnm 或 An m 定理1: Pn n(n 1)(n 2) (n m 1) m m 1 m2 P nP 1 n( n 1) P 2 分析: n n n
2 2 2 2 2 2 2 2
(Cm n 1 Cm 1 )
3 3
1 3
n(3m 3mn n 1)
2 2
定理7
Cn Cn Cn Cn 2
0 1 2 n 0 1 2 3 n
n
Cn Cn Cn Cn (1) Cn 0.
n
m m
n 1
m 1
例1 解方程
（1） Cn3 Cn1 Cn1 Cn k k 11 C19 C19 （2）
n
n 1
n2
2. 组合恒等式 定理6
Ck i Ck r 1．
k k 1 i 0
r
（我国元朝数学家朱世杰在1303年左右发现的.）
法1 法2
Ck i Ck i 1 Ck i
例6 由数码1，2，3，4，可以组成多少个大 于1234的四位数？
三、相异元素的环状排列 定义3 从 n个不同元素中,不重复地任取 m 个元素，不分首尾地依次排成一个环 状（或一条封闭曲线），叫做从 n个 不同元素中取出 m 个元素的环状排 列.这样取出的所有环状排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m元的 环状排列数.
n
i2
n
( 1)
i
n! i!
二、相异元素的重复排列
定义2 从 n个不同元素中，允许重复地任取 m个按一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出的 m 元素可重复排 列（简称重复排列）．这样取出的重 m 复排列的个数，可用符号 Rn 表示． 定理2 Rn n
m m
例5 有3部车床的车间，接受5个不同的零 件，每部车床都能单独完成零件的加 工，问有多少种分配法?
n(n 1)(n 2) (n m 1). n ! n(n 1)(n 2)3 2 1.
推论1
P n
m
n!
n m !
约定 0! 1 推论2 （上标减1的变形） Pn (n m 1) Pn
m m 1
推论3 （下标减1的变形）
P n
m
n nm
m
P 1 n
m 1
m
推论4 （上、下标同时减1的变形）Pn nPn 1
例1:求证:(1) (2)
P mP P 1 n n n r r 1 r 1 r 1 P 1 r ( P P 1 Pr r ! n n n
m m
m 1
例2:解不等式2＜
Cn
m
P n
m
m!
m
推论1 （上标减1的变形） Cn
n m 1 m n nm
m
Cn
m
m 1
m 推论2 （下标减1的变形） Cn
Cn 1
推论2 （上、下标都减1的变形） Cn
n m
Cn 1
m 1
例1 平面内有9条直线，其中有三条互相平 行，此外没有任何两条平行，也没有任 何三条共点，问共有多少个交点？ 例2 6本不同的书，按下列条件分配，各有 多少种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙3人，每人2本. （2）分为3份，每份两本. （3）分为3份：一份1本，一份2本，一 份3本. （4）分给甲、乙、丙3人：1人得1本，1 人得2本，1人得3本.
m1 m 2 m n .
二、乘法原理
如果完成事件A,必须且只须完成事件（或步骤）
A1 , A 2 , , A n 后才算完成；设完成事件 A1 , A 2 , , A n