第六章 排列与组合

推论
Cn Cn Cn Cn Cn Cn 2
0 2 4 1 3 5
n 1
例6 证明
Cn 2Cn 3Cn nCn n 2
1 2 3 n
n 1
三、相异元素的重复组合
定义6 从 n个不同元素里，允许重复地任取 m个元素，不计順序地并成一组，叫 做从 n 个不同元素中取出的 m元可重 复组合（简称重复组合）.这样取出的 m m 元素重复组合的个数，可用符号 H n 表示.
定理3 从n个不同元素中取出m元环状 排列的种数是
Pn
m

n! m ( n m )!
.
m
推论1
n个不同元素的环状全排列的种数是
P n
n
( n 1)!
推论2 不计顺逆方向时，从 n 个相异元素取 出的 m 元环形排列的种数是
Pn
m
n

n! 2m n m !
2m
例1
a b， ， ，e五人围着一张圆桌就坐． ， c d
| Ai | m i 则 A A1 A 2 A n ,
Ai A j (1 i , j n , i j ),
所以
| A | | A1 A 2 A n | | A1 | | A 2 | | A n |
练习2
某人写了4封信和4个信封，此人将4封信和4 个信封都装错了的情况有多少种？ 解：利用正行列式，4封信都装错信封的方法数为
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 9 1 1 1 1
第六章 排列与组合
§6.1 加法原理和乘法原理
一、加法原理
如果完成事件A，必须且只须完成有关事件
A1 , A 2 , , A n 中的一个就算完成；设完成事件 A1 , A 2 , , A n 的方法数分别是 m 1 , m 2 , , m n , 且
其中任何两种方法都不同，那么完成事件A的 方法数为
Cn
m
P n
m
m!
m
推论1 （上标减1的变形） Cn
n m 1 m n nm
m
Cn
m
m 1
m 推论2 （下标减1的变形） Cn
Cn 1
推论2 （上、下标都减1的变形） Cn
n m
Cn 1
m 1
例1 平面内有9条直线，其中有三条互相平 行，此外没有任何两条平行，也没有任 何三条共点，问共有多少个交点？ 例2 6本不同的书，按下列条件分配，各有 多少种不同的分法？ （1）分给甲、乙、丙3人，每人2本. （2）分为3份，每份两本. （3）分为3份：一份1本，一份2本，一 份3本. （4）分给甲、乙、丙3人：1人得1本，1 人得2本，1人得3本.
a1
四、不尽相异元素的全排列 定义4 把 n个不尽相异的元素按照一定的顺 序排成一列，叫做 n 个不尽相异元素 的全排列． n个 定理4 如果在 n 个元素中，有 n1 a1， 2 a2 个 … ak个 nk ，且 n1 n2 nk n ， 那么这 n个不尽相异元素的全排列数
是
例3 设集合 M a, b, c, d ， 0,1, 2 ． N （1）从M到N的映射有多少种？ （2）从M到N上的映射（满射）有多少种？
答案 （1）
R 3 3 81
4 4
（2）
C 4 P3 6 6 3 6
3 3
§6.3 组合
一、相异元素的不重复组合 m n 定义5 组合 组合数 Cn m 定理5
例3 从 n 双不同的鞋中任取 2r 2r n ） （ 只，问分别满足以下条件的取法各有多 少种？ （1）取出鞋中没有成对的鞋； （2）取出的鞋中恰有一双成对的鞋； （3）取出的鞋中恰有k（k≤r）双成对的 鞋.
二、组合性质与组合恒等式 1. 组合性质 性质1 性质2
Cn Cn
m nm
Cn 1 Cn Cn
P n
m
n nm
m
P 1 n
m 1
m
推论4 （上、下标同时减1的变形）Pn nPn 1
例1:求证:(1) (2)
P mP P 1 n n n r r 1 r 1 r 1 P 1 r ( P P 1 Pr r ! n n n
m m
m 1
例2:解不等式2＜
推广：将n封信都装错信封的方法数是多少？（思考）
S n ( 1) n ( 1)
n n 1
n ( n 1)( 1)
n! ( 1)
n 1
n2Байду номын сангаас
n ( n 1) 4 3

n! 2!

n! 3!

n! 4!

( n 1) !
( 1)
m1 m 2 m n .
二、乘法原理
如果完成事件A,必须且只须完成事件（或步骤）
A1 , A 2 , , A n 后才算完成；设完成事件 A1 , A 2 , , A n
的方法数分别是 m 1 , m 2 , , m n , 那么完成事件A的 方法数为
P 1 n P 1 n
3
5
≤42
例3 用0，1，2，3，4，5，6能作成多少个没有重 复数字的四位偶数？ 例4 今安排5列火车停在5条铁道上，如果甲车不许 停在第一道，乙车不许停在第五道，问有几种 排法？
注： 1）限位排列，可先考虑有限制条件的那 一位； 2）相邻排列，可先将相邻的元素看成一 个“大元素”进行普通排列，然后再考虑 “大元素”的内部排列； 3）不相邻排列，先将其它元素进行普通 排列，然后将要求不相邻的元素插入它们 的间隙之中；
m m
n 1
m 1
例1 解方程
（1） Cn3 Cn1 Cn1 Cn k k 11 C19 C19 （2）
n
n 1
n2
2. 组合恒等式 定理6
Ck i Ck r 1．
k k 1 i 0
r
（我国元朝数学家朱世杰在1303年左右发现的.）
法1 法2
Ck i Ck i 1 Ck i
（1）共有多少种就坐方式？ （2）若限定 a ， 相邻，共有几种就坐 b 方式？ （3）若限定 a， 不相邻，共有几种就 b 坐方式？ 例2 平面内共有6个点，且每3点都不在一条 直线上，以这6点为顶点． （1）可以连接多少条含4条线段的封闭折 线？ （2） 可以连接多少条含4条线段的不封闭 折线？
定理8
分析:
H n Cn m 1
m m
A
B
a1a1a1 a1a1 a1a2 a3 am1am
a1a1a1 a1a2 a1a2 a3 am1am1
a1a1a1 a1a3 a1a2 a3 am1am2

an1an an an an1an1 an m2 an m1
y1 y2 y3 y4 y5 8 5 13
将13看成13个球，用4个隔板隔开.
四、多项式定理（自学） 定理9
(a1 a2 am )
n

n1 n2 nm n
n! (n1 )!(n2 )! nm !
a1 1 a2 2 amm
n
an an an an an an 1 an m2 an m1
例7 同时掷三粒骰子，会出现多少种不同的 结果？ 析：1，2，3，4，5，6六个数字中允许重’ 复地选取三个数字的问题． 例8 求5元素不定方程 x1 x2 x3 x4 x5 8 的 非负整数解的组数. 析：令 xi 1 yi , i 1, 2,, 5 ，则
n

i2
n
( 1)
i
n! i!
二、相异元素的重复排列
定义2 从 n个不同元素中，允许重复地任取 m个按一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出的 m 元素可重复排 列（简称重复排列）．这样取出的重 m 复排列的个数，可用符号 Rn 表示． 定理2 Rn n
m m
例5 有3部车床的车间，接受5个不同的零 件，每部车床都能单独完成零件的加 工，问有多少种分配法?
例6 由数码1，2，3，4，可以组成多少个大 于1234的四位数？
三、相异元素的环状排列 定义3 从 n个不同元素中,不重复地任取 m 个元素，不分首尾地依次排成一个环 状（或一条封闭曲线），叫做从 n个 不同元素中取出 m 个元素的环状排 列.这样取出的所有环状排列的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m元的 环状排列数.
2 2 2 2 2 2 2 2
(Cm n 1 Cm 1 )
3 3

1 3
n(3m 3mn n 1)
2 2
定理7
Cn Cn Cn Cn 2
0 1 2 n 0 1 2 3 n
n
Cn Cn Cn Cn (1) Cn 0.
n
m1 m 2 m n .
甲地 丙地
m 1种方式 m 2 种方式
乙地
从甲地到乙地的走法有：m 1 m 2 种 .
乘法原理的集合说明 P313
§6.2 排列
一、相异元素的不重复排列 定义1: 排列 m 排列数 Pnm 或 An m 定理1: Pn n(n 1)(n 2) (n m 1) m m 1 m2 P nP 1 n( n 1) P 2 分析: n n n
0
)
例1 设 m, n N *，求和:
m(m 1) (m 1)(m 2) (m n 1)(m n)
分析:
2Cm 1 2Cm 2 2Cm n
2 2 2
2 C2 C3 Cm1 Cm 2 Cm 2 (C2 C3 Cm )
n(n 1)(n 2) (n m 1). n ! n(n 1)(n 2)3 2 1.
推论1
P n
m
n!
n m !
约定 0! 1 推论2 （上标减1的变形） Pn (n m 1) Pn
m m 1
推论3 （下标减1的变形）
n
n
其中
表示对所有满足 n1 n2 nm n
（4）全排列数的计算——正行列式法 P318.

1 1 1
1 1 1

1 1 1
n
Pn
m
n!
练习1
9个人排成一列纵队，a,b是9人中两人. （1）a不在最前，b不在最后，有几种排法？ （2）a,b既不在最前，也不再最后，有几种排法？ （3）若a在b前（不一定相邻）有几种排法？ （4）若a,b之间恰有3人，有几种排法？ （5）a,b之间至少有2人，有几种排法？
k
k 1
k 1
(1 x) (1 x)
k
k 1
(1 x)
k r

(1 x)
k r 1
(1 x)
k
x
法3 组合数意义．
有a1 无a1 有a2 有a3 无a2 无a3

有ar 无ar
r 法4 对 r 作数学归纳法 (
m1 m 2 m n .
§6.1 加法原理和乘法原理
一、加法原理
方式 1
m 1班次
方式 2 m 2 班次
甲地
m n 1班次
乙地
方式 n
m n 班次
m 从甲地到乙地的走法有： 1 m 2 m n 种 .
加法原理的集合说明 加法原理中的事件A和事件 A1 , A 2 , , A n 都是有限集，且 A1 , A 2 , , A n 互不相交，设
n! n ! n ! nk !
．
例1 今有一等奖品一个，相同的二等奖品3 个，相同的三等奖品5个，发给9位学 生，令每人得一个，共有多少种可能的 分配法？ 例2 某市区有南北路8条，东西路5条，布局 十分整齐，有人从市区西南角A走向东 北角B，要走最近路程，共有多少路 线？
B
A 析 令表示东西路一段，表示南北路一段． 引伸：若中心处一公园.