塑性力学讲义-全量理论与增量理论PPT课件
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塑性力学讲义-全量理论与增量理论
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij 以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律
当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke
定律，但是不能写成全量形式，只能写成增
量形式。d ii1 E 2 d ii,
dije 2 1 G dijS
§4-3 全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
塑性力学 ppt课件
或者
l l n ij i j S n ij l i 2 S n n
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z) x xy xz
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy xz y yz . z
23 1
讨论：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 三个主平面是相互正交的； 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 应力特征方程的解是唯一的； 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关； I2与塑性 变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
弹性、塑性变形的力学特征
可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形—— 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形——原子间距的变化； 塑性变形——位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变 形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑 性变形与工模具的弹性变形共存。
金属塑性加工原理
塑性力学-塑性本构关系
第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。
Il’yushin(伊柳辛)理论。
•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。
Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。
3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。
4塑性增量本构理论
d ij 的夹角
p
。
2
即加载面φ必须外凸。
2
如果加载面内凹，如右图，则会使
。
二、Drucker公设的推论
2. d p 的正交性
参见下图（反证法）：如果 d ijp 不与n 重合，就一定可 以找到一点A，使得
ij
A B d ij 0
p
，故而d ijp 必为 的梯度方
d 0 , 加 载 硬化塑性： d 0 , 中 性 变 载 d 0 , 卸 载
§4.2 加载条件与加载准则
二、理想塑性材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面。 对于对于理想塑性材料，如果以f(ij)＝0表示屈服面，应 力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲 面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服 之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则： f(ij)＝0
d d
d d
o
o
§4.3 塑性共设
一、Drucker公设
2. 公设的涵义 德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料 的质点 ( 试件 ) ，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之 上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和 卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 即：
d d d
n1
n2
§4.2 加载条件与加载准则
三、硬化材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
（ 加载条件：
a
ij
, H a) 0
，则
d
ij
d
ij
p
。
2
即加载面φ必须外凸。
2
如果加载面内凹，如右图，则会使
。
二、Drucker公设的推论
2. d p 的正交性
参见下图（反证法）：如果 d ijp 不与n 重合，就一定可 以找到一点A，使得
ij
A B d ij 0
p
，故而d ijp 必为 的梯度方
d 0 , 加 载 硬化塑性： d 0 , 中 性 变 载 d 0 , 卸 载
§4.2 加载条件与加载准则
二、理想塑性材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
当屈服函数处处可微时，相应的屈服面称正则屈服面。 对于对于理想塑性材料，如果以f(ij)＝0表示屈服面，应 力位于极限曲面之内，材料处于弹性状态；应力位于极限曲 面之上，则塑性变形将可无限发展；而应力点不能达到屈服 之外。因此，保证应力不脱离屈服面就是加载准则： f(ij)＝0
d d
d d
o
o
§4.3 塑性共设
一、Drucker公设
2. 公设的涵义 德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材料 的质点 ( 试件 ) ，借助于一个外部作用，在其原有应力状态之 上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和 卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。 即：
d d d
n1
n2
§4.2 加载条件与加载准则
三、硬化材料的加载准则
1. 正则屈服面上的加载准则
（ 加载条件：
a
ij
, H a) 0
，则
d
ij
d
ij
塑性力学03-塑性本构关系ppt课件
的应力和应变的改变量, 即B点的应
B
%
力和应变为
% , %
o
p e
因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E. 这就是说,我们可以
由因为卸载引起的荷载的改变
%
量 P P% P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P% P 为假想荷载按弹性计算所
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i
d
2 3
Sij Sij
2 3
d
i
所以 d 3dip 3d i 2 i 2H 14i
• 将上面得到的 d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化
材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3d i 2H i
Sij
或写成:
dij
z
2
S
1 E
1 F
1
4
1
z
S
3
1 G
3 F
ln
2
z
屈服曲线
B
%
力和应变为
% , %
o
p e
因为卸载要服从弹性本构关系,
即 E. 这就是说,我们可以
由因为卸载引起的荷载的改变
%
量 P P% P 按弹性计算得到.
• 推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度 i 减小)得到:
卸载定律 . 即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变 减去卸载时的荷载改变量 P P% P 为假想荷载按弹性计算所
是某一非零的参考应力状态,
t 是单调增加的参数.
这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方
向都保持不变.
• 但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过 程是简单加载? Il’yushin指出, 在符合下列三个条件时, 可以 证明物体内所有各点是处于简单加载过程:
(1) 荷载(包括体力)按比例增长.如有位移边界条件应为零.
应变增量强度
d
p i
的公式得到
d
p i
d
2 3
Sij Sij
2 3
d
i
所以 d 3dip 3d i 2 i 2H 14i
• 将上面得到的 d代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化
材料的增量型本构方程:
dii
1 2
E
d ii
deij
1 2G
dSij
3d i 2H i
Sij
或写成:
dij
z
2
S
1 E
1 F
1
4
1
z
S
3
1 G
3 F
ln
2
z
屈服曲线
塑性力学基础知识ppt课件
• 由于材料的屈服极限是唯一 的，所以 应该用应力或应力的组合作为判断材 料是否进入了塑性状态的准则。
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物 体的变形不完全恢复，而产生一部 分永久变形时，我们称这种变形为 塑性变形，研究这种变形和作用力 之间的关系，以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.
• 根据不同应力路径所进行的实验，可 以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各 个界限。这个分界面即称为屈服面， 而描述这个屈服面的数学表达式称为 屈服函数或称为屈服条件。
12
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
19
简单弹塑性力学问题 本标准适用于已投入商业运行的火力发电厂纯凝式汽轮发电机组和供热汽轮发电机组的技术经济指标的统计和评价。燃机机组、余热锅炉以及联合循环机组可参照本标准执行，并增补指标。
• 梁的弯曲 • 圆柱体的扭转 • 旋转圆盘 • 受内压或外压作用的厚壁筒和
厚壁球体
20
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
塑性力学的任务
• 当作用在物体上的外力取消后，物 体的变形不完全恢复，而产生一部 分永久变形时，我们称这种变形为 塑性变形，研究这种变形和作用力 之间的关系，以及在塑性变形后物 体内部应力分布规律的学科称为塑 性力学。
2
本标准适 用于已 投入商 业运行 的火力 发电厂 纯凝式 汽轮发 电机组 和供热 汽轮发 电机组 的技术 经济指 标的统 计和评 价。燃 机机组 、余热 锅炉以 及联合 循环机 组可参 照本标 准执行 ，并增 补指标 。
屈服条件的概念，
• 屈服条件又称塑性条件，它是判断 材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。.
弹塑性力学PPT课件精选全文
◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
塑性力学讲义-全量理论与增量理论
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s ,， s
又
s
s
3G
,
s
s
G
s
3
1 G
s
3G
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
s
3G
2
3G
s
2
0.707 s
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
0.002 P
d P 0.002 0.002 P 0.004 P
背应力应为
P
b 46.5
mn 0.004 P n1d P
0.002
93 300 0.004 P 0.3
代入加载条件 b 得s ：0
在 P 0.时00的2 背应力为
b
0.002 0
mn P
n1 d P m P
n
0.002 0
46.5MPa
此时，加载条件变为
f 46.5 s 46.5 200 0
当应力从 246.5开MP始a卸载， ，f直到0 反向
塑性力学--第四章 塑性本构关系
2
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
• 当应力从加载面卸载, 也服从广义Hooke定律,写成增量形式 1 2 1 d ii d ii deij dSij E 2G
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-3 全量型本构方程 Il’yushin在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本 构关系, 这是一个全量型的关系, 类似于广义Hooke定律. 在小 变形的情况下作出下列关于基本要素的假定: 1 2 (1) 体积变形是弹性的, 即 ii ii E (2) 应变偏张量和应力偏张量成比例
塑性成形力学基础－－韩志仁
4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 设在物体 V 内给定体力 Fi , 在应力边界 S 上给定面 力 pi , 在位移边界 Su 上给 定位移为 ui , 要求确定物 体内处于塑性变形状态的各 点的应力 ij , 应变 ij 和位 移 ui .按照全量理论,确定这 些基本未知量的基本方程有
塑性成形力学基础－－韩志仁 Nhomakorabea4-2 广义Hooke定律
• 在弹性范围内, 广义Hooke定律可以表达为 1 ij 1 ij ij kk E 1 2 1 • 也可以表示为: ii ii eij Sij E 2G 由应力和应变的分解式,即 ij Sij ij m , ij eij ij m 代入上面广义Hooke定律的公式,考虑到 G E / 2 1 1 eij ij m 1 S ij ij m ij kk E 1 1 1 2 1 Sij ij m 3 ij m Sij ij m E 2G E 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系. 我们来证明一下:
塑性成形力学基础－－韩志仁
塑性力学第五章本构关系ppt课件
（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1
塑性力学讲义-全量理论与增量理论
（1）
第二式可以写为 m 3K m 其中 K E
31 2
第一式，且 0.5, ij eij ， 故
3 i ij Sij 2 i
2 i ij 或 Sij 3 i
1 2 又因为S z z m z z , Sz z 3 3 i i 其展开式为 i , 3 i
2G
2 i
（因 i E i 21 G i ，而塑性状态 0.5） 当应力从加载面卸载时，也服从广义 Hooke 定律，但是不能写成全量形式，只能写成增 量形式。 1 2 1
d ii E d ii , de ij 2G dS ij
§4-3 全量型本构方程 由于在塑性变形状态应力和应变不存在 一一对应的关系。因此，必须用增量形式来 表示它们之间的关系。只有在知道了应力或 应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全 量的关系。由此可见，应力与应变的全量关 系必然与加载的路径有关，但全量理论企图 直接建立用全量形式表示的，与加载路径无 关的本构关系。所以全量理论一般说来是不 正确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分 总是可能的。但要在积分结果中引出明确的
P M z , z 2rt 2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转， 在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到 s 力。
s
E
, s
s
G
，用全量理论求筒中的应
解：（一）由全量理论
3 i eij S ij , i i 2 i 1 2 ii ii E
eij S ij
3 、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何， 对于同一种材料来说，应力强度是应变强度 i i 的确定函数 ，是与Mises条件相应的。 （ i E i 1 ，单拉时 E 1 ）
4塑性增量本构理论
∂σ ij
ij
∂Φ ∂Φ dε = h dσ mn ∂σ ij ∂σ mn
p ij
(5)
式中， 为硬化模量或硬化函数 为硬化模量或硬化函数， 式中 ， h为硬化模量或硬化函数， 取决于 σ ij 、 ε ij 在加载 无关。 面φ上的位置，而与dσij无关。 上的位置，而与 的线性相关。 （5）式说明 ε p 与dσij的线性相关。 ）式说明d
dw = (ε ij + adε ij − ε )dσ ≥ 0
p 0 ij p ij
同德鲁克公设类似，有： 同德鲁克公设类似，
0 (ε ij − ε ij )dσ ijp ≥ 0
dε ij dσ ijp ≥ 0
dσ ijp = d λ ∂ψ ∂ε ij
§4.4 流动法则
与弹性理论不同， 与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方 向不一致。因此， 向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 由前述可知， 的方向为φ的梯度方向 的梯度方向， 由前述可知， d ε ijp的方向为 的梯度方向，但这不是唯一 方向的。 确定 d ε ijp 方向的。
0 (σ ij − σ ij )d ε ijp ≥ 0
0 当 σ ij = σ ij 时，有：
(2)
dσ ij dε ijp ≥ 0
（3） ）
二、Drucker公设的推论 公设的推论
1. 屈服面处处外凸 参见左图， 参见左图，式(2)可写成 AB d ε ijp ≥ 0 ，由于 d ε ijp 永远 可写成 切线的垂直方向， 点必须在T的另一侧 在T切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在 的另一侧， 切线的垂直方向 要使该式成立， 点必须在 的另一侧， 因为该式要求AB和 因为该式要求 和
ij
∂Φ ∂Φ dε = h dσ mn ∂σ ij ∂σ mn
p ij
(5)
式中， 为硬化模量或硬化函数 为硬化模量或硬化函数， 式中 ， h为硬化模量或硬化函数， 取决于 σ ij 、 ε ij 在加载 无关。 面φ上的位置，而与dσij无关。 上的位置，而与 的线性相关。 （5）式说明 ε p 与dσij的线性相关。 ）式说明d
dw = (ε ij + adε ij − ε )dσ ≥ 0
p 0 ij p ij
同德鲁克公设类似，有： 同德鲁克公设类似，
0 (ε ij − ε ij )dσ ijp ≥ 0
dε ij dσ ijp ≥ 0
dσ ijp = d λ ∂ψ ∂ε ij
§4.4 流动法则
与弹性理论不同， 与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方 向不一致。因此， 向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 由前述可知， 的方向为φ的梯度方向 的梯度方向， 由前述可知， d ε ijp的方向为 的梯度方向，但这不是唯一 方向的。 确定 d ε ijp 方向的。
0 (σ ij − σ ij )d ε ijp ≥ 0
0 当 σ ij = σ ij 时，有：
(2)
dσ ij dε ijp ≥ 0
（3） ）
二、Drucker公设的推论 公设的推论
1. 屈服面处处外凸 参见左图， 参见左图，式(2)可写成 AB d ε ijp ≥ 0 ，由于 d ε ijp 永远 可写成 切线的垂直方向， 点必须在T的另一侧 在T切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在 的另一侧， 切线的垂直方向 要使该式成立， 点必须在 的另一侧， 因为该式要求AB和 因为该式要求 和
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故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
Hale Waihona Puke i 2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
（ Sii ）0。
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系
是应力和应变主轴重合，分配关系是应变偏
张量各分量和应力偏张量各分量成比例。为
便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的
写法一致， 将 eij 改21G写Si为j
eij
3i 2i
Sij,i
3Gi
（因 i E i 2 1 ， 而G 塑i性状态 ） 0.5
弹性范围内，广义Hooke定律：
x E 1 x y z, y zG 1yz
y E 1 y z x, z xG 1zx
z E 1 z x y, xy G 1xy
将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张
量部分，则Hooke定律改写为
i i1 E 2i i,
ei j2 1 G Si j
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子
s , s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
e ii 1 E 2 ii , P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
eij Sij
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
EsmPn
0s s
式中 s 2M 0 ,E 0 P 2G 0 a ,m 。 0 P 3M a 0 ,n 0 0 P .3a
拉伸加载至 P 0.0，0然2后卸载并方向加载，
针对下面两种情况，求出方向加载中的应
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij
以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i， 是与Mises条件相应的。
（ i Ei，1单拉时
）E1
ii
1 2 E
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
3 i 2 i
S ij
i i
（其中
i
3 2
SijSij,）i
2 3
eijeij
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
e ij
（S ijG即剪切弹性模量）
2G
在塑性阶段：
（ eij
S ij 2G
即2
1 G
）
上式自乘求和后开方得：
2G
SijSij eklekl
J2 J2
13i2 2i 43i2 3i
当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke
定律，但是不能写成全量形式，只能写成增
量形式。d ii1 E 2 d ii,
dije 2 1 G dijS
§4-3 全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，0相2 应的应力和应变分别为
24.5M 6 P , a0.003232
塑性模量的表达式为
EPmnPn1
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到
s
s
E
,s，G 用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii
3 i 2 i
Sij , i
1
2
E
ii
i
（1）
第二式可以写为 m3Km
其中
K
E
312
第一式，且 0.5,，ijeij
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素 §4-2 广义Hooke定律 §4-3 全量型本构方程 §4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 §4-6 卸载定律 §4-7 Levy—Mises和Prandtl—Reuss流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较