塑性力学讲义-全量理论与增量理论PPT课件

s , s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i， 是与Mises条件相应的。
（ i Ei，1单拉时
）E1
ii
1 2 E
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
3 i 2 i
S ij
i i
（其中
i
3 2
SijSij,）i
2 3
eijeij
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律
弹性范围内，广义Hooke定律：
x E 1 x y z, y zG 1yz
y E 1 y z x, z xG 1zx
z E 1 z x y, xy G 1xy
将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张
量部分，则Hooke定律改写为
i i1 E 2i i,
ei j2 1 G Si j
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子
故
ijwk.baidu.com
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
e ii 1 E 2 ii , P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
eij Sij
（ Sii ）0。
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系
是应力和应变主轴重合，分配关系是应变偏
张量各分量和应力偏张量各分量成比例。为
便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的
写法一致， 将 eij 改21G写Si为j
eij
3i 2i
Sij,i
3Gi
（因 i E i 2 1 ， 而G 塑i性状态 ） 0.5
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij
以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到
s
s
E
,s，G 用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii
3 i 2 i
Sij , i
1
2
E
ii
i
（1）
第二式可以写为 m3Km
其中
K
E
312
第一式，且 0.5,，ijeij
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
e ij
（S ijG即剪切弹性模量）
2G
在塑性阶段：
（ eij
S ij 2G
即2
1 G
）
上式自乘求和后开方得：
2G
SijSij eklekl
J2 J2
13i2 2i 43i2 3i
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，0相2 应的应力和应变分别为
24.5M 6 P , a0.003232
塑性模量的表达式为
EPmnPn1
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素 §4-2 广义Hooke定律 §4-3 全量型本构方程 §4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 §4-6 卸载定律 §4-7 Levy—Mises和Prandtl—Reuss流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较
当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke
定律，但是不能写成全量形式，只能写成增
量形式。d ii1 E 2 d ii,
dije 2 1 G dijS
§4-3 全量型本构方程
由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
EsmPn
0s s
式中 s 2M 0 ,E 0 P 2G 0 a ,m 。 0 P 3M a 0 ,n 0 0 P .3a
拉伸加载至 P 0.0，0然2后卸载并方向加载，
针对下面两种情况，求出方向加载中的应