(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法(20210206050533)

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奇数幻方

奇数幻方口诀“1”坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间偶数八阶魔方图：和值260一、幻方及其起源在《射雕英雄传》中郭靖、黄蓉二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。

瑛姑出了一道题：数字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。

这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。

4 9 23 5 78 1 6这就是一个最简单的3阶平面幻方（三阶幻方，幻和为15，中间数字必填5）。

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。

公元13世纪的宋朝数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

杨辉称之为纵横图。

我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。

由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。

幻方图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等的这种性质，称为幻方法则。

关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45 个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。

这九个数就可以组成一个纵横图，人们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的。

也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。

(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法

任意奇数阶幻方的杨辉斜排法——对杨辉口诀的讨论范贤荣2016.3.8关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。

因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。

最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。

见图1。

图1 杨辉口诀的画法可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。

图2 菱中取方的画法现在,我们很多人用的是“取方框”画法。

即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。

红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。

因此1、9没有“对易”。

同样，3、7也没有“相更”。

因此，就没有“上下对易，左右相更”了。

所以，就不需要“四维挺出”了。

因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。

所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：各子斜排为菱形，中间取方当作城，城外有子城内空，四围都往城中进。

挺进多少方可止，几阶就挺几步深。

注1：“四围”就是上下左右四边。

“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。

注2：“几阶就挺几步深”。

如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。

见图2。

下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。

图3 5阶菱方阵与幻方图4 7阶菱方阵与幻方图5 9阶菱方阵与幻方图6 11阶菱方阵与幻方图7 11阶幻方图8 13阶菱方阵图9 13阶幻方。

任意奇数阶幻方最简单公式做法

任意奇数阶幻方最简单公式做法任意奇数阶幻方最简单公式做法奇数阶幻方的填法我有最简易公式，任意奇数阶直接填成（3阶——任意奇数阶通用），先填中心九宫图，然后延伸填成米字形。

在米字划分的八个区内，对称填（1——最大数），（2——最大数减1），（3——最大数减2），（4——最大数减3）。

这八个数为首数，然后按照走向每格依次递加4，或者递减4，依次填完即成！公式简单而且完美对称，绝对最简单！不用位移法，一次填成！任意奇数阶通用。

公式中带入n(即幻方阶数）即可，内九宫格内每格一个公式，正中心数填上（n 平方+1）除以2，.然后以（中心数）（注：以下简称（中））为坐标和原始数；得出周围八个格内数，如下：中上左为（中）减1. 中下右为（中）加1.中上为（中）减（n-1). 中下为（中）加（n-1).中上右为（中）加（2n-3). 中下左为（中）减（2n-3).中左为（中）加（n+1). 中右为（中）减（n+1).然后以这八个数为首数，向外延伸成米字形，填法如下：中上左方向每格递减2. 中下右方向每格递加2.中上方向每格递加2. 中下方向每格递减2.中上右方向每格递减2. 中下左方向每格递加2.中左方向每格递加2. 中右方向每格递减2.下面填米字隔开的八个区域：将（1 ）填入右上顶角的下一格，（以它为首数每格递加4）从上往左下依次填完一行，再折回从上往左下依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方）填入右下顶角的上一格，（以它为首数每格递减4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（2 ）填入右下顶角的左一格，（以它为首数每格递加4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（n的平方-1）填入左下顶角的右一格，（以它为首数每格递减4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

将（3 ）填入左下顶角的上一格，（以它为首数每格递加4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。

奇数三阶幻方的解法

奇数三阶幻方的解法摘要：1.奇数三阶幻方的概念及特点2.构造奇数三阶幻方的基本方法3.构造奇数三阶幻方的具体步骤4.奇数三阶幻方的验证方法5.结论正文：一、奇数三阶幻方的概念及特点奇数三阶幻方，又称为奇数阶幻方，是指一个含有N 行N 列的数表，满足如下条件：1.每一行中的数字之和等于奇数；2.每一列中的数字之和等于奇数；3.每一对角线上的数字之和等于奇数；4.每一反对角线上的数字之和等于奇数；5.N 个数字都不重复。

由于满足以上条件的数表中的数字和为奇数，因此称为奇数三阶幻方。

二、构造奇数三阶幻方的基本方法构造奇数三阶幻方的基本方法是先设定中心数，然后按照一定的规律填充其他数字。

三、构造奇数三阶幻方的具体步骤构造奇数三阶幻方的具体步骤如下：1.选择一个奇数作为中心数，例如选定数字5 作为中心数；2.将中心数放在数表的中心位置，即第3 行第3 列；3.从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向填充其他数字。

具体规律为：- 从中心数开始，向上、下、左、右四个方向填充数字，直到碰到边界；- 碰到边界后，从该方向的对角线开始填充数字，直到碰到另一个边界；- 填充完四个方向后，再从中心数开始，按照顺时针和逆时针方向继续填充数字，直到填满整个数表。

四、奇数三阶幻方的验证方法在填充完数字后，需要验证该数表是否满足奇数三阶幻方的条件。

验证方法如下：1.验证每一行、每一列的数字之和是否为奇数；2.验证每一对角线和每一反对角线上的数字之和是否为奇数。

如果满足以上条件，则所构造的数表是一个有效的奇数三阶幻方。

五、结论通过以上步骤，我们可以构造出一个满足条件的奇数三阶幻方。

这种方法不仅适用于奇数三阶幻方，还可以推广到其他奇数阶幻方。

幻方的制作方法

奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。

六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。

这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。

（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。

我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。

而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。

图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。

一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。

构造奇数阶幻方的杨辉口诀法

构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2023(12)1
【摘要】幻方在中国起源很早,最初是与河图与洛书相关联,后来古人称为九宫算或纵横图,它是最早发现的著名组合算题。

在杨辉口诀法的基础上,通过对构造出的具体的奇数阶幻方的构造规律进行探寻,结合幻方矩阵化的思路及分块矩阵这个工具给出奇数阶幻方构造的通法,并且将杨辉口诀法进行推广应用于全体奇数阶幻方的构造上。

【总页数】7页(P166-172)
【作者】朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院延安
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.奇数阶面幻方的行列式构造法
2.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法
3.构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法
4.构造奇数阶对称幻方及奇偶分开对称幻方的新方法
5.奇数阶幻方的一种新构造法
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任意奇数阶幻方的杨辉斜排法

图1杨辉口诀的画法
可见，杨辉口诀是在利用５×5的方格,斜排9个数后,按照他的步骤,仍然是画出5×5方格的３阶的幻方,如图1ｅ。
图2菱中取方的画法
现在，我们很多人用的是“取方框”画法。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来,如图2b的红框。红框外的1,是走到框内的绿方块中，红框外的9,是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易,左右相更”了。所以,就不需要“四维挺出”了。因此,现在的画法,与原来的口诀不一致了。
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
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任意奇数阶幻方的杨辉斜ຫໍສະໝຸດ 法——对杨辉口诀的讨论范贤荣２016．3．8
关于三阶幻方的排法,我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排,上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀,画出“上下对易，左右相更”之后,形成图１d的图面。因此,必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七,二四為肩,六八為足”的三阶幻方。见图1。
所以，我根据作图的次序,将杨辉的口诀,演绎成：
各子斜排为菱形,中间取方当作城，
城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”,因此是相向而行,都到城中。
注２：“几阶就挺几步深”。如３阶进３步，5阶进5步，7阶进７步……后续亦如此类推。见图2。
下面,我将２~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况,列于后。
图3 5阶菱方阵与幻方
图４7阶菱方阵与幻方
图59阶菱方阵与幻方

“幻方”的口诀

幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。

举例（3 阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * *步骤（3）:即“上出框时往下放（左一列最下一行）”步骤（4）:即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，将要填写的数字放到本行靠右一列）步骤（5）:步骤（6）:1 * *步骤（7）:注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即6的左上方是已经填写了数据的4的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时步骤（8）:即“上出框时往下放（左一列最下一行）”步骤（9）:即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。

双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4,8, 12 , 16 ,20……)(n=4k ,k=1 , 2, 3, 4 , 5……)先说明一个定义:互补:如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1 ,称为互补。

先看看4 阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写：10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

将对角线上的数字，换成与它互补的数字。

这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17把1 换成17-1 = 16 ；把6 换成17-6 = 11 ；把11 换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方对于n=4k 阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4 把它划分成k*k 个方阵。

奇数阶幻方的杨辉方法

奇数阶幻方的杨辉方法从三阶幻方谈起。

三阶幻方是指将1，2，3，…，8，9这九个数排列成一个3×3方阵，使三横行、三竖列和两条对角线上的三个数之和都相等。

这个相等的和数就叫做三阶幻方的幻和。

我们很容易求得这个幻和：1289451533++++== 。

要排出一个三阶幻方，中心这个数是一个关键。

这个数有四条线通过它，为此，我们把三数之和为15的算式全部列出来： 1+5915+=，16815++= ，2+ 5815+= ，2+ 6 715+=，34815++= ，3+5715+=，24915++= ，4+ 5615+= 。

（一共八个式子，幻方的三行、三列和两条对角线也正好是八个，所以上列八个式子正好表示行、列和对角线上的组成情形。

）5这个数在上列八个式子中出现了四次，这表明中心数就是5。

中心这个数定好之后，再确定四个角上的数，每个角上的数有三条线通过它，2,4,6,8这四个数在上列八个式子中各出现了三次，由此我们可以确定四个角上的数就是2,4,6,8这四个数。

首先可以任意指定某一个角是2，那么与2构成对角线的另一端只能是8；余下的两个角就是4,6。

中心和四角这五个数确定之后，余下的四个数不难计算求得。

图1给出了三阶幻方的一个示例。

关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。

参见图2。

如图2所示，它形象的表达了杨辉的方法。

这个方法可以变通一下：“上下对易，左右相更”改为上、下、左、右的各个元素各向对方移动三格，这样不仅可以省去“四维挺进”，而且最后得到的方阵是一个标准的33⨯方阵。

参见图3。

杨辉的方法不仅可以构造三阶幻方，而且还可以构造任图 1987654321176852349图2428637915图 3意奇数阶幻方。

杨辉的方法：设n 为奇数。

1．将221,2,3,,1,n n - 排成一个斜的n n ⨯方阵；2．以212n +为中心作一个n n ⨯方阵（格）；3．将位于这个n n ⨯方阵外的所有元素都向方阵内平移n 格，即得。

奇数阶幻方

三阶幻方的解法第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

12 43 5 76 892 9 47 5 36 1 8第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。

7在左中，3在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下，正中央5）第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样8 1 63 5 74 9 2四阶幻方的解法1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。

因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。

然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。

五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。

17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,所以1的右上方应该是第五行的第四个,接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5,在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;在10的下方填11,然后按上面的方法填,每次填五个数,直到完成.无论从上到下还是从左到右都是五排,所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,因此,你可以验算一下是否每个和都是65.此法适合于一切奇阶幻方.）罗伯法用罗伯法构造幻方：幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。

幻方算法

幻方算法首先，奇数的幻方，第一行中间放1，然后依次2、3、4一直往右上填，越界则反向，如果该位置有了数字，则排在前一个数的下面。

原则：非右上则下其次，4的倍数的的幻方。

设N%4等于0，则以每个4*4画对角，不在对角线上的数字与相对应数字对换。

比如8*8的,(0,1)与(7,6)对换，类推。

原则：横竖下标对N比余，相等或相加等于3则忽略，不做对换最后，最复杂的最后一种情况，单偶数的幻方。

我找了资料，但是没有完全好用的，总有缺陷概念:N=4m+2方法1：ACDB按上图将其分为4个部分，分别填入1-N*N/4组成的奇数幻方,N*N/4+1-N*N/2组成的奇数幻方,N*N/2+1-N*N/4*3组成的奇数幻方,N*N/4*3-N*N组成的奇数幻方将AD中m列互换。

不是镜面互换，而是平移。

将BC中m-1列互换，同上。

方法2：LUX法L U X41 14 1423 23 32先做一个N/2的奇数幻方，然后把这个幻方的每个数x替换成一个田字的四个数(x-1)*4+1——x*4这四个数的排列顺序有3种，前m+1行的按L排列，后m-1行的按X排列，中间一行中间一列按L排列，其余的按U排列。

下面是我写的JAVA实现类，2种单偶数我都实现了（第一种方法的实现被我注释掉了），还有一个监测的方法，仅供参考。

public class HuanClass {private int N;private int SUM;private int MAX;private int[][] RE;public HuanClass(int val) throws Exception{N=val;MAX=N*N;if(MAX%2==1)SUM=(MAX+1)/2*N;else SUM=(MAX+1)*N/2;RE=new int[N][N];if(N<3)throw new Exception("shit");else if(N%2==1)RE=CountOdd(N);else if(N%4==0)CountFour();elseCountEven();}private int[][] CountOdd(int n){int[][] IRE=new int[n][n];int i=0;int j=n/2;int tmp=1;while(true){if(j>=n)j=0;if(i<0)i=n-1;if(IRE[i][j]==0){IRE[i--][j++]=tmp++;}else{i+=2;j--;if(j<0)j=n-1;if(i>=n)i=i%n;if(IRE[i][j]==0)IRE[i--][j++]=tmp++;else break;}}return IRE;}private void CountFour(){int fillCount=1;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){RE[i][j]=fillCount;fillCount++;}}int tmp;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N/2;j++){if(i%4!=j%4&&(j%4+i%4)!=3){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[N-i-1][N-j-1];RE[N-i-1][N-j-1]=tmp;}}}}/*private void CountEven(){int halfN=N/2;int[][] tmpIArr=CountOdd(halfN);for(int i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){RE[i][j]=tmpIArr[i][j];RE[i+halfN][j]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*3;RE[i][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*2;RE[i+halfN][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN; }}int m=(halfN-1)/2;int tmp;for(int j=0;j<m;j++){for(int i=0;i<halfN;i++){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[i+halfN][j];RE[i+halfN][j]=tmp;if(j<m-1){tmp=RE[i][j+halfN];RE[i][j+halfN]=RE[i+halfN][j+halfN];RE[i+halfN][j+halfN]=tmp;}}}}*/private void CountEven(){int halfN=N/2;int m=(halfN-1)/2;int[][] Seq=CountOdd(halfN);char[][] SeqSign=new char[halfN][halfN]; for(int i=0;i<SeqSign.length;i++){for(int j=0;j<SeqSign[i].length;j++){ SeqSign[i][j]='L';}}int i=halfN-1;for(int l=1;l<m;l++,i--){for(int j=0;j<halfN;j++){SeqSign[i][j]='X';}}for(int j=0;j<halfN;j++){if(j==halfN/2)SeqSign[i][j]='L';elseSeqSign[i][j]='U';}for(i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){int beginNum=(Seq[i][j]-1)*4;switch (SeqSign[i][j]){case 'L':RE[i*2][j*2]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'U':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'X':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+3;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+2;break;}}}}public int[][] getHuan(){return RE;}public boolean check(){for(int i=0;i<N;i++){int tmpSum1=0;int tmpSum2=0;for(int j=0;j<N;j++){tmpSum1+=RE[i][j];tmpSum2+=RE[j][i];}if(tmpSum1!=SUM||tmpSum2!=SUM)return false;}int sum1=0,sum2=0;for(int i=0;i<N;i++){sum1+=RE[i][i];sum2+=RE[i][N-1-i];}if(sum1!=SUM||sum2!=SUM)return false;return true;}}幻方维基百科，自由的百科全书跳转到: 导航, 搜索幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。

(奥数)幻方-奇数阶幻方的编排方法

幻方（二）——奇数阶幻方的编排方法在幻方（一）——三阶幻方中我们已经学习了三阶幻方的一般编排方法，但那种方法是比较麻烦的，又不容易掌握。

于是，人们在分析研究的基础上，总结了一些简便易学的编排方法。

一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。

这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。

先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。

利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。

但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。

二、罗伯法请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：1、在第一行正中央的方格子中填上1；2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。

重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。

---------请同学们在事先准备好的方格子中把这种方法练习一遍！-----------这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。

使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。

编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。

第十二课时杨辉与幻方

第十二课时杨辉与幻方教学目标：了解中国的河图洛书及杨辉与幻方的关系，让学生体会中国数学的伟大成就，培养学生的数学兴趣教学方法：共同探讨教学过程：一、复习河图洛书和与洛书对应的九宫格如图12-1的幻方，引起数学家们的极大兴趣，人们自然会想到，存不存在更为复杂的幻方呢？如每边上的数字个数是4，5，6······？其次，能否利用杨辉的作法来作出更复杂的幻方呢？答案是肯定的。

一、杨辉与幻方对于每边数的个数为n的n×n纵横图来说，其数字总数为n2。

杨辉利用等差数列求和的方法计算得这n2个数的总和为，用n除这个数，就得到每行（每列）n个数的和相等时各行各列数字之和为。

如n=3时，和为15；n=4时，其和为34；n=5时，其和为65。

1、n为奇数时幻方制作和填图方法下面看n=5时5×5纵横图的作法：作25个数的斜排，如图12-2-1图12-2-1如图12-2-2中每个方形对角线两顶点上的数字互换，1和25，21和5，11和15，23和3，12和14，18和8互换。

结果如图12-2-3，这其实用的仍然是杨辉“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”的构造幻方的方法。

图12-2-2 图12-2-3“四维挺出”即是把图12-2-4中“＋”字上的数字“挺出”到剪头所指的位置，就成就一幻方，如图12-2-5图12-2-4 图12-2-52、n为偶数时幻方制作和填图方法以四阶幻方为例法一：杨辉的四阶幻方有一种是按照“易换法”制作的。

制作过程如下：将1-16的16个数按顺序填入空格中，如图12-3-1。

将外四角4个数对换：1和16对换，4和13对换，如图12-3-2；图12-3-1 图12-3-2 图12-3-3接着内四角四个数对换：6和11对换，7和10对换，如图12-3-3。

这样就得到了一个纵列、横行、对角线上和数之和均为34的四阶幻方。

把这个幻方旋转、对称翻转又能得到不同的幻方。

幻方填写方法

没法，组合数学还考幻方构造。

这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。

按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。

奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。

填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。

在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。

16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。

奇数阶幻方的填充方法与步骤

奇数阶幻方的填充方法与步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊奇数阶幻方的填充方法和步骤，这可有
意思啦！
想象一下，一个正方形的格子阵，就像一个神秘的魔法阵，等着我
们去填满神奇的数字。

奇数阶幻方就是这样一个充满魅力的存在。

首先呢，咱得找个奇数阶的方格，比如说三阶、五阶啥的。

这就好
比是给魔法阵选个合适的大小。

然后，咱们把数字 1 放在第一行的正中间那个格子里。

就好像给魔
法阵种下了第一颗魔法种子。

接着，就开始有趣啦！数字 2 要放在数字 1 的右上方格子里。

哎呀，如果右上方没格子了咋办？嘿嘿，那就像绕圈圈一样，跑到最上面那
行或者最右边那列的对应格子里。

这就像在魔法阵里玩捉迷藏一样。

后面的数字就依次按照这个规则放。

你看，就这么简单，一格一格
地把数字都安排得明明白白。

这过程中，你会发现数字们就像听话的小精灵，乖乖地找到自己的
位置。

而且，等你填满整个幻方，哇塞，那可真是一种奇妙的感觉。

你说这奇数阶幻方神奇不神奇？就靠着这么简单的步骤，就能创造
出一个充满规律和美感的数字图案。

就好像是在建造一座数字的城堡，每一块石头都有它的位置，组合起来就是坚不可摧的。

咱再仔细想想，生活中不也有很多这样看似复杂，其实有简单方法的事情吗？就像解一道难题，只要找到关键的步骤，就能迎刃而解。

所以啊，朋友们，别小看这奇数阶幻方的填充方法，它可不仅仅是个数学游戏，还能让我们领悟到很多生活的道理呢！学会了这个，以后看到奇数阶幻方，咱就能轻松搞定，那感觉，多棒呀！。

很直观的两种构造奇数幻方的方法!

移动后）（21和1移动后）和移动后
下面还是用个五阶幻方做个例子：（请全屏观赏）
步骤：(对于任意一个奇数幻方) ①：把1填在第一行的中间，把2填在1的右上方（就是向左移动一格，向上移动一格）。其中：假如数在第一行时（例如1就是）就把最底行假设在第一行的上面，就把下一个数填在假设行上；填好就把假设行放回最底处。例如下图，1在第一行，填2的时候：
同样，假设数在最后一列时，就把第一列假设在最后一列的右边，就把下一个数填在假设列上；填好后把假设列放回第一列。例如下图中，3在最右一列，到填4的时候：
中心是五阶幻方格子
从上右填到左下
③：四维挺进，上下对易，左右相更。四维挺进，上下对易，左右相更。（意思为，四周的数都移进来，在“对易” 和“相更”时移动的步数刚好为幻方的阶数。例如左边的21向右移动了5步，上边1 向下移动了5步。
向右移动5格向下移动5格（21向右移动格，1向下移动格）向右移动向下移动
②：以此类推，填好一个数后，把下一个数放在该数的右上方。 ③：当填了某个数后，假如右上方正好已经有数了，这时填下一个数在这个数的下方。再返回第②步，直到把数填满幻方格。例如下图，填了5时，遇到右上方已有1时，就将6填在5的下方： 6 5
下面就用个五阶幻方做个例子：（请全屏观赏）
ห้องสมุดไป่ตู้
杨辉法步骤：(对于任意一个奇数幻方，下面用五阶幻方例子讲解) ①：画个图画个图（适合五阶幻方的，中心是五阶方格）。②：n子斜排。子斜排。 ② 子斜排
很直观的两种构造奇数幻方的方法！很直观的两种构造奇数幻方的方法！ ——楼梯法和杨辉法
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界》》欢迎光临《《

任意奇数阶幻方的奇偶分合法

任意奇数阶幻方的奇偶分合法
范贤荣2016.3.12
这种方法也叫康韦法、菱形法。

该法在网上介绍的少，例如王炳坤ABC先生写的《幻方(二)奇数阶幻方的编排方法》一文中也只介绍了“九子排列法”、“罗伯法”和“巴舍法”三种。

所以。

我向大家作一介绍。

康韦法的要点是：先将数列分为奇、偶两部分，即先“分”。

再将这两部分按照该法提供的方法排列。

最后，将这两部分“合”起来。

所以，我说：该法称之为“奇偶分合法”还比较恰当。

根据我填写的经验，将该法的口诀表述如下：
先将奇数排成菱，
再把偶数列成井，
把井分为四部分。

填满菱角幻就成。

操作方法
1）奇数成菱把“1、3、5……”填入红菱区
3）偶数成井把“2、4、6……”填入绿井区
4）井分为四用细小的井字（如图中双线），把偶数区域分成四份的
5）填满菱角按照罗伯法则：下到上，右到左，顶角到对角。

注：
1）具体填写时，为了填写的方便，先列出一菱形一井字的空格（如彩色区域，红菱、绿井）。

2）填写时，要斜上填。

3）井字的理解：以5阶为例，5阶的井字非常明显，就是两横两竖。

所以，以它为代表，列入口诀。

7阶以后，井字，就权当把它们分成四份的那个细小的井字（如图）。

现将我填写的情况陈列于后：
3阶
5阶（5阶井字最明显。

因此，以它为代表）
7阶
9阶
11阶。

奇数阶幻方求解技巧

奇数阶幻方求解技巧奇数阶幻方是一种特殊的方阵，其中的所有数字从1到$n^2$（n为方阵的阶数）连续排列，并且所有行、列和对角线的和相等。

求解奇数阶幻方的问题是一个古老而有趣的数学难题。

虽然没有一种通用的方法可以适用于所有的奇数阶幻方，但是有一些技巧和规则可以帮助我们更好地解决这个问题。

1. 规则1：确定中间数奇数阶幻方的中间数一定是$n^2$的一半，即$(n^2 + 1) / 2$。

由于幻方中所有行、列和对角线的和相等，所以可以将中间数放置在中间行的中间列（例如n=3时，中间数5可以放在第2行第2列的位置）。

2. 规则2：填充右上角从幻方的第一行开始，从中间数位置的右上方开始填充数字。

如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。

例如，当填充n=3的幻方时，从2的右上方（即第一行第二列的位置）开始填充，然后填充到第一行的右边界，继续填充到第一个位置（即第三行第一列的位置）。

3. 规则3：填充左下角从幻方的最后一行开始，从中间数位置的左下方开始填充数字。

如果遇到边界，则继续填充到相应的对角边界处。

例如，当填充n=3的幻方时，从8的左下方（即第三行第二列的位置）开始填充，然后填充到最后一行的左边界，继续填充到最后一个位置（即第一行第三列的位置）。

4. 规则4：填充其他位置从填充右上角和左下角的位置开始，按照以下规则填充其他位置：- 如果下一个填充位置在方阵的边界之外，则将其转移到相应的对角边界处。

- 如果下一个填充位置已经被填充过了，则将其转移到当前填充位置的下方一个位置。

5. 规则5：确定重复位置最后一个规则是确定重复位置。

当下一个填充位置部分或完全重叠时，我们需要将其转移到当前填充位置的下方一个位置。

使用以上的规则和技巧，我们可以逐步填充奇数阶幻方的所有位置，直到所有的位置都被填满。

这样，我们就可以得到一个满足条件的奇数阶幻方。

总结：- 确定中间数的位置，并将其放置在中间行的中间列。

- 从中间数位置的右上方开始填充数字，遇到边界则继续填充到相应的对角边界处。