平均变化率问题演示教学
平均变化率PPT优秀课件7
别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 f ( x )及 g ( x )
的平均变化率。
y=kx+b在区间[m，n]上的平均变化 率有什么特点？
知识运用
请分别计算出下面两个图象表示的函 数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
O
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
建构数学
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
知识运用
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图 所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11 8.6
6.5
3.5 3 6 9 12 T(月)
知识运用
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
10 2 0
A (1, 3.5)
2
10
20
30
34 t(d)
(以3月18日作为第1天)
建构数学
平均变化率
一般地，函数 均变化率为
f ( x)
在区间上
[ x1, x2 ] 的平
f (x2 ) f (x1) x2 x1
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”； 曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
课堂小结
今天这节课，你学到了 哪些知识？
课堂小结
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
课后作业
1、国家环保局在规定的排污达标日期前， y W1(t) 对甲乙两家企业进行检查，连续检测结 果如图所示（其中W1(t),W 2(t) 分别表示 W2(t) 甲乙两企业的排污量），试比较两个企 业的治污效果。 O
课件6：3.1.1 函数的平均变化率
学习目标解读
1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变 化率． 2．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过 渡到瞬时变化率的过程.
重难点展示
重点：函数在某一点的平均变化率 ，瞬时变化 率． 难点：求函数在某一点的变化率.
教材新知导学 知识点1：变化率问题思维导航
1．我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现， 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越 慢．从数学的角度，如何描述这运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系 为h＝h(t)，h是否随t的变化均匀变化？
新知导学
牛刀小试
1．若函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx,1＋Δy)，则ΔΔxy等于(
)
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
【解析】 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－2＋1＝4Δx
＋2Δx2，∴ΔΔyx＝4＋2Δx. 【答案】 C
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的
当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×12＋122＝149.
方法规律总结 1.求函数 y＝f(x)从 x0 到 x 的平均变化率的步骤为： (1)求自变量的增量 Δx＝x－x0. (2)求函数的增量 Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x＋Δx)－f(x0)． (3)求平均变化率ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
【解析】Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
苏教版选择性必修第一册5.1.1平均变化率同步教学课件(共40张PPT)
苏教版选择性必修第一册5.1.1平均变化率同步教学课件(共40张PPT)(共40张PPT)第5章导数及其应用5.1导数的概念5.1.1平均变化率课标要求1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义.素养要求1.通过具体的平均变化率问题，培养学生的数学建模素养.2.借助平均变化率的求解，提升学生的数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU问题导学预习教材必备知识探究11.思考如图，从数学的角度刻画气温“陡升”，用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？2.填空(1)函数的平均变化率(2)平均变化率的意义平均变化率的几何意义是经过曲线y＝f(x)上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线PQ的斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的“________”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“________”.数量化视觉化解析f(2.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.3.做一做已知函数f(x)＝x2＋1，则当x由2变到2.1时，函数值的改变量为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44BHU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG互动合作研析题型关键能力提升2题型一求函数的平均变化率思维升华训练1 某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率.例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.题型二实际问题中的平均变化率(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.思维升华训练2 一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是________.(0，1]又v≤5，则4＋Δt≤5，所以Δt≤1，又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1].题型三平均变化率的应用例3 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能.平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.思维升华(2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢.课堂小结2.明确平均变化率的意义平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢.平均变化率的正负只表示变化的方向.TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG 拓展延伸分层精练核心素养达成3B2.已知函数f(x)＝x2＋2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为()A.4B.3C.2D.1A3.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为()A.0.4B.2C.0.3D.0.2B4.某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间[1，1＋d]上的平均速度为()A.2d＋4B.－2d＋4C.2d－4D.－2d－4D5.函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则()A.k1>k2B.k11，∴a＝4.11.如图是函数y＝f(x)的图象，函数f(x)在区间[－1，1]，[0，2]上的平均变化率分别为m1，m2，则m1，m2的大小关系是()BA.m1＞m2B.m1＜m2C.m1＝m2D.无法确定12.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是()CA.[1，2]B.[2，3]C.[3，4]D.[4，7]13.已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；解由f(x)＝2x2＋1，得f(2.01)－f(2)＝0.080 2，又2.01－2＝0.01，(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.14.函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下列结论正确的是() A.m1＝m2＝m3 B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3D.m1<m2<m3A本课结束INNOVATIVEDESIGN。
《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
21.3平均变化率问题课件
首页
典型例题
例1：某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元， 一月、• 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增 长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x;则 200(1+x) 二月份营业额为：__________________ 2 200 ( 1 x ) 三月份营业额为：_______________ 一月、• 二月、三月的营业额共950万元 根据：______________________ 作为等量关系列方程为：
200 200 (1 x) 200 (1 x) 2 950
整理方程得： 4 x 2 12x 7 0
解这个方程得： x1 3.5(舍去）x2 0.5
答：这个增长率为50%。
达标训练
1、某林场现有木材a立方米，预计在今后 两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场 2 (1 p%) 立方米. 有木材a __________
二、合作探究
探究点一 平均变化率问题与一元二次方程
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本 是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大？
首页
Байду номын сангаас
典例精析
例1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1 吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现 在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品 的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
三、课堂小结
1、平均增长（降低）率公式 2
a(1 x) b
《3.1.1 变化率问题》PPT课件(河南省市级优课)
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
30
C (34, 33.4)
20
B (32, 18.6)
10
A (1, 3.5)
2
01
10
20
30 34
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(oC) 33.4
18.6 A(1,3.5)
导入问题情境
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃
18.6℃ 33.4℃
T (℃)
温差15.1℃ 温差14.8℃
30
20
10
2
01
10
20
30 34 t(d)
构建数学模型
实例1：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
32 34 t (d)
思考: 平均变化率的“大小”与图 像的“陡峭”程度有什么关 系？
三、数学应用
例１ 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t 秒后 容器甲中水的体积V (t)=10×5-0.1t(单位:cm3） （1）求第一个10s内容器甲中体积V 的平均变化率. （2）求第二个10s内容器甲中体积V 的平均变化率.
20
30 34 t(d)
问题3 图中哪一段图像更“陡峭”？
问题4 如何量化图像的“陡峭”程度？
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T (℃) 30 20
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
《平均变化率》教案及教案说明
《平均变化率》教案及教案说明教案说明：本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。
通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解平均变化率的定义和意义；2. 掌握平均变化率的计算公式；3. 应用平均变化率解决实际问题。
教案内容：一、引言1. 引入话题：讨论物体速度的变化，引导学生思考如何描述速度的变化。
2. 引入平均变化率的概念：速度的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是速度的变化量与时间的比值。
二、平均变化率的定义与计算1. 讲解平均变化率的定义：平均变化率是变化量与变化时间的比值，表示变化的快慢。
2. 给出平均变化率的计算公式：平均变化率= 变化量/ 变化时间。
3. 举例说明：假设一个物体在时间t1时的速度为v1，在时间t2时的速度为v2，速度的平均变化率为(v2 v1) / (t2 t1)。
三、平均变化率的应用1. 问题情境：给出一个物体在不间点的速度，要求学生计算平均变化率。
2. 学生分组讨论：学生分组讨论并计算给定情境下的平均变化率。
3. 集体讨论：各组汇报计算结果，集体讨论并解释结果的意义。
四、巩固练习1. 给出一些实际问题，要求学生计算平均变化率。
2. 学生独立完成练习，教师进行解答和讲解。
五、总结与反思1. 总结平均变化率的定义、计算方法和应用。
2. 学生反思学习过程中的困难和问题，提出疑问并进行解答。
教学资源：1. 教学PPT：用于展示平均变化率的定义、计算公式和应用实例。
2. 练习题：用于巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 学生反馈：收集学生对教学内容的反馈和建议，以便进行教学改进。
六、实际情境分析1. 引入实际情境：讨论商品价格的变化，引导学生思考如何描述价格的变化。
2. 应用平均变化率的概念：商品价格的变化可以用平均变化率来描述，平均变化率的定义是价格的变化量与时间的比值。
一元二次方程实际问题平均变化率问题 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
第一次降 下降率量
低前的量
低后的量
5000
试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元 时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元， 则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？
涨价 售价
成本
0
3
2
1 3+1 2
每
2 3+2 2
涨 一3 3+3 2
元4 3+4 2
x 3+x 2
单件利润
3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 3-2+x
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
合作探究
填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时， 可卖100斤. (1)此时的利润w= _1_0_0_元_;
(2)若售价涨了1元，每斤利润为___2__元，同时少买 了10斤，销售量为_9_0___斤，利润w=1_8_0_元__ (3)若售价涨了2元，每斤利润为__3___元，同时少 买了20斤，销售量为_8_0__斤，利润w=_2_4_0_元_
少卖量
销售量
总利润
0
10×1
少 1卖0×2 1十0×3 1斤0×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
高二数学课件-《平均变化率》课件 最新
曲线的陡峭程度
Байду номын сангаас
y2 y1 k x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
T(℃)
30
C(34, 33.4)
yC-yB
20
B(32, 18.6)
10
xC-xB
2 0
无 数 不 入 微
A(1, 3.5)
2 10 20 30 34
yC yB 33.4 18.6 7.4 xC xB 34 32
(2)
0.4(kg / 月)
形 曲线陡峭程度
关系如何?
数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲 线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”
T(℃)
C(34, 33.4)
D(37,27.7) E(40,27.1)
30
B(32, 18.6)
20
10
2
0
A(1, 3.5)
2 10 20 30 34
① ② ③ ④
A
B
C
D
1. P7 页的第2,4题 2.研究性作业: 结合第4题能否找到一种较精确地刻画 曲线上某一点处的变化趋势的方法呢? 若能,则如何用数学语言来刻画?
练一练,你是最棒的!
3.已知函数f(x)=ax2在区间[1,2]上的平均变化率
为
3 ,则在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ( A )
x 2 -x 1
x
数学应用：
1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所 示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到 第12个月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11
8.6
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
平均变化率 课件
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
平均变化率与瞬时变化率PPT课件
p
1
(3)得出结论：切线斜率为2 第8页/共26页
3
x
问题一般化：如何求曲线上一点的切线?
(1)概念:曲线的割线和切线y=f(x)
y
Q
割 线
T 切线
P o
结论:当Q点无限逼近P点时,此时 x 直线PQ就是P点处的切线.
第9页/共26页
(2)如何求割线的斜率? y=f(x)
y
Q
o
P
x
kPQ
f
(x x) f (x) (x x) x
20
30 34 t(d)
第2页/共26页
问题情境3
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那 种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着 迷。
第3页/共26页
交流与讨论
容易看出点B,C之间的曲线较点
A,B之间的曲线更加“陡峭”.
如何量化陡峭程度呢？
●C
k yC yB xC xB
y
该比值近似量化B,C之间
这一段曲线的陡峭程度.
称该比值为曲线在B,C
之间这一段的平均变化
ห้องสมุดไป่ตู้
●B
率.
●A
o
x
第4页/共26页
建构数学理论
1.平均变化率的定义：
一般地，函数 在区间
[ x , x ] f上(的x平)均变化率为
12
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连
h（t） 10 4.9t2 6.5t
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
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计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
解 因为，所以 ．所以当，时，，则
求函数平均变化率的三个步骤：第一步，求自变量的增量；第二步，求函数值的增量；第三步，求平均变化率．
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．
第二章 导数及其应用
平均变化率与瞬时变化率
比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快． 我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．
函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过，两点的直线的斜率(如图)，即．
如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．
用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度
下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得，其中是下落高度，是时间．于是，取一小段时间由到，可得这一小段时间内的平均速度 ．
对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，它在区间[，]的平均变化率．通常我们把自变量的变化称作自变量x的改变量，记作，函数值的变化称作函数值y的改变量，记作．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即用它来刻画函数值在区间[，]上变化的快慢．
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解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 一年后甲种药品成本为 5 000（1-x）元， 两年后甲种药品成本为 5 000（1-x）2 元． 列方程得 5 000（1-x）2 =3 000． 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小 于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均 下降率约为 22.5%．
2．解决实际问题
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由 方程
6 000（1-x）2 =3 600 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的 营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年， 今年的营业额×（1+平均增长率）2 =后年的营业额。 解：平均每年增长的百分率为x,根据题意得：
平均变化率问题
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题1 思考，并填空： 1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为__6_0_0_0_（0__1_+_x_）_ kg， 第三年的产量为__6_0_0_0_0（__1_+__x）_2__ kg．
1．分析平均变化率问题的数量关系
2．解决实际问题
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元， 生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的 年平均下降率较大？
2．解决实际问题
28(10x)240.23 (1x)2 1.44
1+x=±1.2 x1 2.2 舍去 x2 0.2
答：平均每年的增长20%
平均变化率问题 4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价 均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设 这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方 程为( C ) A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200 D．7 600(1－x)2＝8 200
2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2013 年的产量将是 __a（__1_-_x_）__．2014 年的产量将是__a（__1_-__x）__2 _．
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量 关系吗？
两年后：
变化后的量 = 变化前的量 ×（1±x）2
总结
1、增长率的问题在实际生活其中x为平均增长百分率, a为增长前的量, b为增长n次后的量。
2、降低率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1x)n b
其中x为平均降低百分率, a为降低前的量, b为降低n次后的量。
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售 价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方 程中正确的是( A )
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289 6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个 ，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每 月的增长率为x，那么x满足的方程是( C ) A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196