初中数学基础知识及经典题型

例题讲解

【例１】如图10,平行四边形ABCD 中,AB ＝5,BC ＝10,BC 边上的高AM =4,E 为BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合).过E 作直线AB 的垂线,垂足为F . FE 与DC 的延长线相交于点G ,连结DE ,DF 。 (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG .

(2) 当点E 在线段BC 上运动时,△BEF 与△CEG 的周长之间有什么关系？并说明您的理由.

(3)设BE ＝x ,△DEF 的面积为y ,请您求出y 与x 之间的函数关系式,并求出当x 为何值时,y 有最大值,最大值就是多少？

【例２】如图 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A B C 且OA ＝1 OB ＝OC ＝3 .(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标与对称轴方程. (3)点M N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边) 且MN∥x 轴 求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径.

【例3】已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时,217y =;且二次函数2y 的图象的对称轴就是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-. (1)求k 的值;

(2)求函数12y y ，的表达式;

(3)在同一直角坐标系内,问函数1y 的图象与2y 的图象就是否有交点？请说明理由.

图10

M

B D

C E F

G

x A

【例4】如图,抛物线2

4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 就是直线l 上一动点、

(1)求点A 的坐标;

(2)以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

(3)设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当

462682S +≤≤+时,求x 的取值范围、

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系,如图②所示(注:利润与投资量的单位:万元)

(1)分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式;

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉与树木,她至少获得多少利润？她能获取的最大利润就是多少？

【例5】如图,已知 (4,0)A -,(0,4)B ,现以A 点为位似中心,相似比为9:4,将OB 向右侧放大,B 点的对应点为C.

(1)求C 点坐标及直线BC 的解析式; (2)一抛物线经过B 、C 两点,且顶点落在x 轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象;

(3)现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB 距离为32的点P.

【例6】如图,抛物线2

1:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于M 点、抛物线1L 向

右平移2个单位后得到抛物线2L ,2L 交x 轴于C 、D 两点、 (1)求抛物线2L 对应的函数表达式;

(2)抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分就是否存在点N,使以A,C,M,N 为顶点的四边形就是平行四边形、若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点P 就是抛物线1L 上的一个动点(P 不与点A 、B 重合),那么点P 关于原点的对称点Q 就是否在抛物线2L 上,请说明理由、

解析过程及每步分值

2

1133222CPQ S CP CQ x x x

=⨯⨯=

=△3

tan 3

BC CDB CD ∴∠=

=727

【例7】如图,在矩形ABCD 中,9AB =,33AD =,点P 就是边BC 上的动点(点

P 不与点B ,点C 重合),过点P 作直线PQ BD ∥,交CD 边于Q 点,再把PQC △沿着动直线PQ 对折,点C 的对应点就是R 点,设CP 的长度为x ,PQR △与矩形ABCD 重叠部分的面积为y .

(1)求CQP ∠的度数;

(2)当x 取何值时,点R 落在矩形ABCD 的AB 边上？

(3)①求y 与x 之间的函数关系式;

②当x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的？

解析过程及每步分值

解:(1)如图,

四边形ABCD 就是矩

形,AB CD AD BC ∴==，.

又9AB =,33AD =,90C ∠=,

9CD ∴=,33BC =. ,30CDB ∴∠=.

PQ BD ∥,30CQP CDB ∴∠=∠=.

(2)如图1,由轴对称的性质可知,RPQ CPQ △≌△,

RPQ CPQ ∴∠=∠,RP CP =. 由(1)知30CQP ∠=,60RPQ CPQ ∴∠=∠=,

60RPB ∴∠=,2RP BP ∴=.

CP x =,PR x ∴=,33PB x =-.

在RPB 中,根据题

意

得:2(33)x x -=,

解这个方程得:23x =. (3)R ABCD 的内部或AB 边上时, 023x <≤,,

D

Q

C B

P

R A

B

A

D

C

(备用图1)

B A

D

C

(备用图2)

D Q

C B P R

A (图1)