第一章 一些典型方程和定解条件的推导

第一章一些典型方程和定解条件的推导

§1.1 基本方程的建立

例1弦的振动

1、问题的提法

给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。

2、方程的推导

基本假设：

（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。

（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。

由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知

作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度

于是，在每一个时间段内

作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化

由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。

图1.1

弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分

之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽

象为“没有重量的”弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u 必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。

把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和

C 的拉力T 1和T 2。

弦的每小段都没有纵向（即x 方向)的运动，所以作用于B 的纵向合力应为零，

2211cos cos 0T T αα-= （1.1）

按照弦作微小振动的假设，可知振动过程总弦上x 点与x +dx 处切线的倾角都很小，即α1≈0，α2≈0，从而由

2

4

cos 12!4!ααα=-+-

可知，当我们略去α1与α2所有高于一次方的各项时，就有

12cos 1,cos 1αα≈≈

带入（1.1）式，便可近似得到

12T T =。

在u 方向弧段B 受力的总和为T 2sin α2- T 1sin α1-ρgds ，其中-

ρgds 是弧段B 的重力。又因当α1≈0，α2≈0时

1122(,)sin tan (,)sin tan u x t x u x dx t x ds dx αααα∂=

≈=∂∂+=≈=

∂=≈ 且小弧段B 在时刻t 沿u 方向运动的加速度近似为22

(,)u x t t ∂∂，小弧段的质量为ρgds ，所以根据F ＝ma 写出B 的横向运动方程

2212

(,)sin sin u x t T T gds ds t ααρρ∂--≈∂ 或

22

(,)(,)(,)[]u x dx t u x t u x t T gdx dx x x t ρρ∂+∂∂--≈∂∂∂（1.2） 上式左边括号内的部分是由于x 产生dx 的变化而引起的

(,)u x t x

∂∂的改变量，可用微分近似代替，即

22(,)(,)(,)(,)[]u x dx t u x t u x t u x t dx dx x x x x x ∂+∂∂∂∂-≈=∂∂∂∂∂ 于是

2222(,)(,)[]u x t u x t T g dx dx x t

ρρ∂∂-≈∂∂ 或

2222(,)(,)T u x t u x t g x t

ρρ∂∂≈+∂∂ 一般说来，张力较大时振动速度变化很快，即22

(,)u x t t ∂∂要比g 大很多，所以又可以把g 略去（或跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u (x,t )关于x ，t 都是二次连续可微的前提下，最后得出u (x,t )应近似满足方程

22222(,)(,)u x t u x t a t x

∂∂=∂∂ （1.3） 其中2T

a ρ=。（1.3）式称为一维波动方程。

如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t 弦上x 点处的外力密度为F (x,t )，显然，在这时（1.1）及（1.2）分别为

2211cos cos 0T T αα-=

2212

(,)sin sin u x t Fds T T gds ds t ααρρ∂+--≈∂ 利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为

22222(,)(,)(,)u x t u x t a f x t t x

∂∂=+∂∂ （1.3）′ 其中1(,)(,)f x t F x t ρ=

，表示时刻t 单位质量得弦在x 点处所受的外力

密度。 方程（1.3）与（1.3）′得差别在于（1.3）′的右端多了一个与未知函数u 无关的项f (x ,t )，这个项称为自由项。包括非零自由项得方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。（1.3）称为齐次一维波动方程，（1.3）′称为非其次一维波动方程。 例 2 传输线方程

1、问题的提法

对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫（Kirchhoff ）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能量显著地辐射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。

2、方程的推导

今来考虑一来一往高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图1.2）我们来研究这种导体内电流流动的规律。在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i 与电压v 来描述，此处i 与v 都是x ，t 的函数，记作i （x ，t ）与v （x ，t ）。以R ，L ，C ，G 分别表示下列参数：