四川大学2014级线性代数期末测验题(A卷)

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线性代数期末考试试题A及解答

令正交矩阵，则，上述正交矩阵T所得正交变换即为所求-----------（12分）
3、此二次型矩阵特征值有负值，，故二次型不正定。--------------------（14分）
六、
1、证明： -------------（3分）
，故可逆，且 ----（5分）
2、证明：因为为正交矩阵且， ------------（1分）
-------（4分）
，故 -----------------（5分）
六证明题
1、若阶矩阵满足，求证可逆，并求。
2、设五阶正交矩阵满足，求证：矩阵的秩。
线性代数A参考答案及评分标准
一、填空
1、负；46。2、4；2；与。
3、；。4、。
5、 6、。
7、0；。8、；2；。
二、计算
1、 --（3分）=
--------------（5分）= ------------------（6分）
得到齐次线性方程组的基础解系
三、 --------（2分）
故时，，方程组有解---------（4分）
此时方程组的一般解为：，得一个特解
导出组的一个基础解系， -----------------（10分）
通解为（，为任意常数）…（12分）
四、，
得到的特征值 ---------------（4分）
三（12 ）设线性方程组，当为何值时能与对角形矩阵相似，求参数的值。
五（14 ）二次型
（1）写出二次型的矩阵。
（2）用正交变换法将此二次型化为标准形并写出所做的正交变换以及二次型的标准形。
（3）此二次型是否正定，说明理由。
5．四阶矩阵的行列式则，，的列向量组线性关。

【期末试题】2018-2019秋线性代数(理工)

三、证明题（共 19 分）
1. （7 分）证明：向量组 ��1, ��2, ��3 线性无关的充分必要条件是向量组 ��1 + ��2, ��2 + ��3, ��3 + ��1 线性无关. 2.（6 分）设方阵 �� 使得 ��3 = 2��, 证明 ��2 − �� 可逆，并求 ��2 − �� 的逆矩阵. 3.（6 分）设 �� 阶方阵 �� 满足 ��2 = ��. 则 �� 是齐次线性方程组 �� = 0 解的充分必要条件为：存在向量 �� 使得 �� = �� − ��.
0

相似,
则
�� =
__________.
1 2 3 4 0 0 4 y
1 0 0
x
0
0
1
1

110 2. 若存在3维列向量不能由向量组 (0) , (��) , (2) 线性表出，则 �� = __________.
121
1 2 4 ��1 3. 若二次型 (��1, ��2, ��3) (0 2 2) (��2) 正定，则 �� 的取值范围为 __________.
0 0 �� 3 4. 设��为3阶实对称阵,��2 − �� = 2��, ��(��) = 0,则二次型 �� 的规范形为 __________.

2014线性代数A卷答案

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ），（2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分）证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立，（2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分）故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

2014线代期末

2014-2015 第一学期期终试题（考试时间： 2015.1.13）
一、单项选择（请将正确选项填写在后面的括号中，每小题 3 分，共 15 分）
1．
设矩阵 A
1 0 3 0
0 2 0 4
2 0 4 0
1003 ，则行列式 2 A 的值为
（A） 320
（B） 320
（C） 40
（D） 40
【
】
（A）必可由 , , 线性表示（B）必可由 , , 线性表示
（C）必可由 , , 线性表示（D）必不可由 , , 线性表示
4．
设矩阵 A
1 x
3
1 4
3
1 y
5
有
3
个线性无关的特征向量，
2
是二重特征值，
则 x 和 y 依次为
【
】
（A） 2, 2 （B） 2, 2 （C） 3, 1 （D） 1, 3
四、（12 分）取何值时，线性方程组
(22x1()5x12) xx22
2x3 4x3
1 2
2x1 4x2 (5 )x3 1
有唯一解、无解、无穷多解？并在有无穷多解时，求其结构解.
五、（12 分）设有直线 L
:
3xxyy3z
与点
1
M
(1,0,1)
.
（1）求 L 的对称式方程；（2）求点 M 到直线 L 的距离.
【
】
2．
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1896
a d g
b e h
c f i
0 0 1
0 1 0
1 0 0
2015
=
【
】
（A）

四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

第页共6页1四川大学期末考试试卷(A )科目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 232323a a ab bb c c c = __abc()_____.2．向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性_______.3．设A =378012002⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, A *是A 的伴随矩阵, 则 |15-A*| = _________.4．当t 满足______的条件时, 22212311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5．设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.第页共6页2 二、选择题（每小题3分，共15分）1．设矩阵,23⨯A ,32⨯B 33⨯C , 则下列式子中, ( )的运算可行.(A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -.2．设D=123012247-, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333A A A ++=( ).(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3．设A 为4m ⨯矩阵, 秩(A)=2,123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解.(A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +-(C)1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+4．设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ).(A) 11--=BC A X ; (B) 11--=C BA X ; (C) 11--=A BC X ; (D) 11--=BA C X .5．设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值.(A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分)1．计算行列式 11120132.12231420------第页共6页32．解矩阵方程,X B AX +=其中21125111,3001214A B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.X=[-1 5]5/4 2 .-1/2 .-1 3．求向量组]1,3,2,1[1-=α, ]1,10,11,5[2--=α,]9,1,8,3[3-=α, ]19,9,2,0[4-=α的秩与它的一个极大线性无关组.四、解答下列各题(每小题12分，共24分)1．讨论当b取何值时, 非齐次线性方程组123412341234237335135543x x x xx x x xx x x x b+++=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩有解; 当有解时, 求方程组的通解.第页共6页4第页共6页5232232133),,(x x x x x f +=323121244x x x x x x -++ 化为标准形.第页共6页6 五、证明题(每小题8分, 共16分)1．设12321311A λ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 如果存在三阶矩阵 0,B ≠ 满足AB =0, 试求λ的值,并证明. rank B *=0, 其中B *是B 的伴随矩阵.2．设A 是一个三阶矩阵,向量组123,,()I ααα中的三个向量分别是A 属于特征值0,1,3的特征向量, 向量组)(,,421II ααα线性相关, 证明: 向量组)(,,4321III αααα-线性无关.。

线性代数(经管类)试卷A__2014

（1）求向量组 1 , 2 ,3 , 4 的的秩与一个最大线性无关组；（2）将其余向量用极大线性无关组线性表示.
第 3 页共 6 页
得分
六、（12 分）设实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) X T AX ax12 2 x2 2 x3 2bx1 x3 (b 0)
式的三项、常数项.
得分
2 0 0 2 * 三、（ 12 分）设 A 的伴随矩阵 A 1 0 0 3
0 0 2 0
0 0 ，且 0 8
ABA1 BA1 3I ，求 B.
第 2 页共 6 页
得分
2 x1 x2 x3 1 四、（12 分）为何值时，方程组 x1 x2 x3 2 有无穷多 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为 12 . （1）求 a,b 的值；（2）利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用正交变换.
第 4 页共 6 页
七、（每小题 8 分，共 16 分）证明下列各题：
得分
1. 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 A 2 I 0 ，（1）证明：
x py 可化为标准形： f 6 y12 ，则 a
第 1 页共 6 页
.
1 2 3 6、设 (1,1,1) 是矩阵 0 a 2 的一个特征值，则 a b 2 2 b
T
.
得分
2x 3 1 2 x x 2 1 二、（12 分）设多项式 f ( x ) ，分别求该多项 2 1 x 4 x 2 1 4x
0 , 1 , 2 线性无关.

2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

四川大学线性代数2004级A卷第1学期

3 ．设 1 , 2 , 3 , 4 是齐次线性方程组 AX 0 的基础解系，则下列向量组中 ( A． )也是 AX 0 的基础解系。
1 ,1 2 , 3 4
B． 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 D． 1 , 1 2 , 2 3 , 3
6 3 4 C． 3 1 2 4 2 1 1 2 1 D． 2 4 1 1 1 5
5．下列矩阵中， (
)是正定矩阵。
1 1 0 A． 2 3 1 0 0 2
4 3 2 B． 3 4 1 2 1 2
C． 21 , 2 3 , 3 4 , 4
第 1 页
共6页
4．设 A 是 n 阶矩阵，如果 E 3 A 不可逆（E 是 n 阶单位矩阵），则有( A．3 是 A 的特征值； C． B． 3 是 A 的特征值； D．
)。
1 是 A 的特征值； 3
1 是 A 的特征值。 3
A 2 E 0, 2 A E 0, 其中 E 是三阶单
四、计算题(每小题 10 分，共 30 分)
1 0 1 2 1．已知 A 0 2 0 ，且满足 AX E A X ，其中 E 是三阶单位矩阵，求矩阵 1 0 1
X。
第 4 页
共6页
。
1 0 3. 设， (0,1, 0, 2) ，矩阵 A ，则秩（A）= 1 2
4.
3 2
。
设三阶方阵 A 的特征值为 1,1, 2 ，且 B A 5 A ，则 B 的特征值为。。

线代A期末考试题及答案

线代A期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 向量组 \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) 线性无关的充分必要条件是：A. 向量组中任意向量不能由其他向量线性表示B. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到C. 向量组中任意向量不能由其他向量线性组合得到，且向量组中向量个数等于空间的维数D. 向量组中向量个数等于空间的维数答案：A2. 矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是：A. \(A\) 的行列式不为零B. \(A\) 的秩等于其行数C. \(A\) 的秩等于其列数D. \(A\) 的秩等于其行数且等于其列数答案：D3. 对于实对称矩阵 \(A\)，下列说法正确的是：A. \(A\) 一定可以对角化B. \(A\) 一定可以正交对角化C. \(A\) 的所有特征值都是实数D. \(A\) 的所有特征值都是正数答案：C4. 矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相似的充分必要条件是：A. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征多项式B. \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值C. \(A\) 和 \(B\) 有相同的秩D. \(A\) 和 \(B\) 有相同的迹答案：B5. 矩阵 \(A\) 为正定矩阵的充分必要条件是：A. \(A\) 的所有特征值都大于零B. \(A\) 的所有特征值都大于等于零C. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx > 0\)D. 对于任意非零向量 \(x\)，都有 \(x^TAx \geq 0\)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 若向量 \(\alpha = (1, 2, 3)^T\) 和 \(\beta = (4, 5, 6)^T\)，则向量 \(\alpha + \beta\) 等于 \(\boxed{(5, 7, 9)^T}\)。

7. 矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)的行列式为 \(\boxed{-2}\)。

2014-2015下线性代数B及答案

XX 大学2014－2015学年第二学期期末考试公共课(本)2014级《线性代数A 》试卷（B ）（答案一律写在答题纸上，在本试卷上做答无效）一、填空题（每题2分，共20分） 1. 排列7654321的逆序数是 . 2. 若行列式1220523k-=，则k=.3. ()112323⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.4. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122k A ,当≠k 时,A 可逆.5. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1745-32321A ,则=)(A R .6.n元齐次线性方程组0A x =有非零解的充要条件是 .7. 若6元齐次线性方程组0A x=的系数矩阵的秩为2，那么它的基础解系有个解向量. 8. 已知12(1,3,5,2),(3,9,15,)TTc αα=-=---线性相关，则参数=c.9. 已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则AA 22+的特征值为 .10. 已知二次型22121212(,)26f x x x x x x =+-，则该二次型矩阵为 .二、判断题（每题2分，共20分） 1. 设A 为n 阶矩阵，则BA B A +=+.（）2. 设A ,B 为n 阶矩阵，且A B B A =，则2222)(BAB AB A ++=+. （）3. 等价的向量组含有相同个数的向量. （）4. 同一方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. （）5. 互换行列式的两行，行列式变号. （）6. 设A ,B 为n 阶矩阵，且,A B O = 则AO=，或B O =. （）7.n元非齐次线性方程组A xβ=有解的充要条件是()(,)R A R A β=（）8. 初等矩阵都是可逆的. （）9. 若向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组321,,ααα也线性无关. （） 10. 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为3.（）三、计算题（每题10分，共50分）1. 计算行列式3111131111311113D=.2. 设10,32A⎛⎫= ⎪⎝⎭12,41B ⎛⎫= ⎪⎝⎭C 11,23-⎛⎫= ⎪⎝⎭求23A B -与.A B C +3. 已知310211211344A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式．4.求解方程组123412341234220,2220,430x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎨⎪---=⎩.5. 求矩阵3113A-⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量.四、证明题（10分）设向量组321,,ααα线性无关，且112321233123,2,23,b a aa b a aa b a aa =++=++=++证明向量组321,,βββ也线性无关.XX 大学2014－2015学年第二学期期末考试公共课(本)2014级《线性代数A 》试卷（B ）参考答案及评分标准一、填空题（每题2分，共20分）1. 212. 63. 144. 1 5．2 6．nA R <)( 7. 48. 6 9. 3,-1,8 10.1332-⎛⎫⎪-⎝⎭二、判断题（每题2分，共20分）1．×；2．√；3．×；4．√；5．√；6．×；7．√；8．√；9．√；10．× 三、计算题（每题10分，共50分）1．6111631161316113D=…………………5分6111020048002002== …………………5分2.2036562364123187A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………5分103747322719A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………5分3.A ~11210465,000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭故2)(=A R …………………8分A的一个最高阶非零子式为1-113 …………………2分4. 对系数矩阵A 作初等行变换，变为行最简形矩阵，有122121221143⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭~5102340123000⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=.34-2-,352432431x x x x x x ，令3410x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及01⎛⎫⎪⎝⎭， …………………6分即得基础解系12210ξ⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， …………………2分故通解为1212345232431001x x k k x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-=+⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭，),(21R k k ∈ . …………………2分5.31(4)(2)13A E λλλλλ---==----，所以A 的特征值为 122, 4.λλ== ………………4分当12λ=时，解方程(2)0.A E x-=得基础解系11.1p ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以对应于12λ=的全部特征向量为111(0).k p k ≠ ………………3分当24λ=时，解方程(4)0.A E x-=由得基础解系 21,1p -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以对应于24λ=的全部特征向量为222(0).k p k ≠ ……………3分四、证明题（10分）证明：设0332211=++βββx x x ，则12311232123()(2)(23)0x x x x x x x x x ααα++++++++= ……………4分因为321,,ααα线性无关,所以1231231230,20,230.x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 得 1230x x x === ……………4分故321,,βββ线性无关. ……………2分。

2013-2014(1)线性代数课程试卷A卷答案

2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A 卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设n 阶方阵B A ,等价，则（ C ）（A ） B A = （B ）B A ≠ （C ）0≠A 则必有0≠B （D ） B A -= 2.对矩阵54⨯A ，以下结论正确的是（ B ）（A ）A 的秩至少是4 （B ）A 的列向量组线性相关（C ）A 的列向量组线性无关（D ）A 中存在4阶非零子式 3．A 是n m ⨯矩阵，R(A)= m<n, 则下列正确的是( D )（A ）A 的任意m 个列向量线性无关（B ）A 的任意一个m 阶子式必不为零（C ）A 经过初等行变换必可化为)0,(m E 的形式（D ）齐次线性方程组AX=0有无穷解4.设二次型323121232221321222444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则( C )（A ）f 的秩为1 （B ）f 的秩为2 （C ）f 为正定二次型（D ）f 为负定二次型 5. 若三阶方阵A 的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为T )1,1,1(1=β,属于特征值2的特征向量为T )0,1,1(2-=β，则向量T )1,0,2(21--=--=βββ（ D ）（A ）是A 的属于特征值1的特征向量（B ）是A 的属于特征值2的特征向量（C ）是A 的属于特征值-3的特征向量（D ）不是A 的特征向量二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为__负____。

7. 设A 是3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为],,[321ααα=A ，其中 j α)3,2,1(=j 是A 的第j 列，则________6___,3,21213=-αααα。

8.X 和Y 是nR 中的任意两个非零向量，记TY X A =，则矩阵A 的秩是___1___.9. 若n 元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r ，则r 与n 的关系必为__r =n___.10. 设向量空间{}R x x x x x W T∈=21121,)3,2,(，则W 的维数等于__2__ _。

四川大学期末考试试卷A卷

四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号：考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。

一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续，且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰，求()x ϕ．四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。

2015-2016-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准[详]

所以，即和正交；----------3分
考虑，即，等式两边同时左乘，得
，由此得：，即只有零解，
所以，可逆. ----------7分
2.设矩阵满足，，试求出的第2行的元素.
解：等式两边同时左乘得：，
整理得：，
已知，由此可求出 , ----------5分
从而可求出的第2行的元素为：1，-1, 0. ----------7分
1．5阶行列式中，项前面的符号为【负】.
2.设，是的第4行元素的代数余子式，则等于【0】.
3．设，为矩阵，且，则【2】.
4．若向量组线性相关，则【1】.
5．设是3阶实的对称矩阵，是线性方程组的解，是线性方程组的解，则常数【1】.
6．设和是3阶方阵，的3个特征值分别为，若，则行列式【-8】.
令，则可得正交变换，
二次型的标准形为： .----------14分
本题满分7分
本题得分
七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）
1.“设是阶实的反对称矩阵，则对于任何维实的列向量，和正交，且可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.
解：该结论成立。
由于为反对称阵，则，对于任意维实的列向量，有：
4.设，则的第3行第1列的元素为【D】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
5．设，是使二次型正定的正整数，则必有【B】．
(A) ；(B) ；(C) ；(D)以上选项都不对.
本题满分21分
本题得分
三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)
1.若线性无关，，线性相关，求 .

四川大学期末考试试题(A卷)

四川大学期末考试试题（A卷）
（2007-2008学年上期）
课程号：30332860 课序号：0，1，2 课程名称：电机学任课教师：赵莉华，曾成碧，张代润成绩：适用专业年级：电气工程及自动化05级学生人数：340 印题份数：345 学号：姓名：
m
、同步发电机在过励时向电网发出，产生
有双重含义，一是和之间的夹角；二是
注：1 试题字迹务必清晰，书写工整。

2 题间不留空格，一般应题卷分开本题共3页，本页为第1页
3 务必用A4纸打印教务处试题编号：
图 1
本题共3页，本页为第2页
教务处试题编号：
本题共3页，本页为第3页教务处试题编号：。

2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)

k11 k2 2 , km ，使 kii
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证：设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓学名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日