SAS分析非平稳时间序列

运用SAS对谷物产量进行分析
一、摘要
利用SAS软件（程序见附录）判断谷物产量数据为平稳序列且为非白噪声序列，然后先后通过模型的识别、参数的估计、模型的优化、残差白噪声检验，确定AR(1)模型拟合时间序列显著有效。

由于时间序列之间的相关关系，且历史数据对未来数据有一定的影响，对未来5期的谷物生产量进行预测。

二、理论准备
首先判断序列的随机性和平稳性。

通过随机性检验，判断该序列是否为白噪声序列，如果是白噪声序列，就认为该随机事件没有包含任何值得提取的有用信息，我们就应该终止分析。

通过平稳性检验，序列可以分为平稳序列和非平稳序列。

如果序列平稳，通过相关计算进行模型拟合，并利用过去行为对将来行为进行预测，达到预测效果。

如果序列为非平稳，再确定模型为非平稳序列中四大类模型中的哪种种模型或者几种模型对序列的综合影响，通过把序列转化为平稳序列，再进一步分析。

三、数据选取
本实验采用某地区连续74年的谷物产量（单位：千吨），如下所示：
0.97 0.45 1.61 1.26 1.37 1.43 1.32 1.23 0.84 0.89 1.18 1.33 1.21 0.98 0.91 0.61 1.23 0.97 1.10 0.74 0.80 0.81 0.80 0.60 0.59 0.63 0.87 0.36 0.81 0.91 0.77 0.96 0.93 0.95 0.65 0.98 0.70 0.86 1.32 0.88 0.68 0.78 1.25 0.79 1.19 0.69 0.92 0.86 0.86 0.85 0.90 0.54 0.32 1.40 1.14 0.69 0.91 0.68 0.57 0.94 0.35 0.39 0.45 0.99 0.84 0.62 0.85 0.73
0.66 0.76 0.63 0.32 0.17 0.46
四、数据进行平稳性与纯随机性的检验与判别
（一）序列的纯随机性检验
图1序列延迟6阶LB检验结果
序列纯随机性检验结果显示延迟6阶LB检验统计量的P值小于1%的显著性水平0.0001，说明序列之间蕴含着很强的相关信息，即该序列是非随机性序列，为非白噪声。

（二）模型的平稳性检验——ADF检验
绘制该序列时序图：
图2序列时序图
该时序图显示该地区谷物产量在0.8千吨左右，波动比较平稳，但存在略微趋势。

运用单位根检验序列的平稳性。

序列时序图得到如下图：
图3 ADF检验图
ADF检验结果表示，单位根统计量ADF=-2.682929，在5%的显著性水平下，接受γ=0的原假设，即认为该序列非平稳且带有趋势。

为此对序列进行一阶差分（Y t=▽X t=X t-X t1 ），画出Y t的时序图如下
由时序图可以看出经过一阶差分后的序列平稳。

进一步对差分后的序列进行单位根检验，如图：
图4 一阶差分后的ADF检验图
从图中可以看出，在5%的显著性水平下，拒绝γ=0的假设，即通过一阶差分后，序列基于平稳。

下面便对一阶差分序列Y t进行分析。

五、模型的识别
令Y t=▽X t=X t-X t1
画出差分序列的自相关图和偏自相关图如下：
图5 样本自相关图
样本自相关图显示除了延迟一阶自相关系数在二倍标准差范围以外，其他阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。

根据自相关系数的这一特点可以初步判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。

同时，可以认为该序列的自相关系数1阶截尾。

图6 样本偏自相关图
样本偏自相关图显示除了延迟1、2、3阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其他的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，所以该偏自相关系数可认为3阶截尾。

为了模型定阶的准确性，下面采用BIC准则，对模型进行判断。

根据BIC准则，我们知道在所有通过检验的模型中使得BIC函数达到最小的模型为相对最优模型。

为此运用SAS输出所有自相关延迟阶数小于等于10，移动平均延迟阶数小于等于5的所有ARMA(p，q)模型的BIC信息量，如下图所示：
图7 ARMA(p，q)模型的BIC信息量
图表显示一阶差分序列Y t的BIC信息量最小的是MA(1)模型。

BIC统计量值为-2.8997。

可得该模型为MA(1)模型。

六、模型的参数估计
由BIC准则确定，该模型为MA( 1) 模型,运用SAS的ESTIMATE命令输出未知参数估计结果，如下图所示：
图8 模型参数估计
参数显著性结果显示常数项的参数t统计量的P值均大于0.05，即参数不显著。

然后通过更改命令，去掉常数项，得到的未知参数估计结果，如下图所示：
图9未知参数估计结果
此时参数显著性结果显示参数t统计量的P值小于0.05，即参数显著。

七、模型残差的白噪声检验
ESTIMATE命令输出的残差白噪声检验图如下所示：
图10残差白噪声检验
残差白噪声检验显示延迟6阶，延迟12阶，延迟18阶，延迟24阶LB检验统计量的P值均显著大于0.05，说明模型的残差为白噪声序列，即该MA（1）模型显著有效。

八、模型的确定
（一）、ESTIMATE命令输出的序列拟合统计量的值如下图所示：
图11 序列拟合统计量
这部分输出的五个统计量的值，由上到下分别是方差估计值、标准差估值、AIC信息量、SBC信息量及残差个数。

（二）、ESTIMATE命令输出的序列模型如下所示:
图12序列模型
由图中Factor 1 显示得出该序列的模型为：Y t=（1-0.79567B）εt，该式
也可写为：Y t=εt-0.79567ε1-t且δε2=0.267456 。

所以可以得出X t序列模型为ARIMA(0,1,1)，即（1-B）X t=εt-0.79567ε1-t
且δε2=0.267456 。

九、模型的预测
运用SAS，对往后五期（即第75、76、77、78、79年)的谷物产量进行预测，得到以下结果：
从该输出结果显示第75、76、77、78、79年的预测值分别为0.5183、0.5183、0.5183、0.5183、0.5183。

在图表第四、第五列为预测值在95%置信度的置信上限和置信下限。

同时，得到预测图如下所示：
图14往后五期预测图
十、结论
（1）序列纯随机性检验结果显示序列是非随机性序列，为非白噪声，经一阶差分为平稳时间序列。

（2）样本自相关图显示差分后的序列自相关系数1阶截尾，样本偏自相关图显示偏自相关系数可认为3阶截尾。

（3）采用BIC准则判断模型为MA(1)模型。

（4）残差白噪声检验显示MA（1）模型显著有效。

附件
模型绘制时序图、平稳性与随机性检验、识别
data example;
input status@@;
difx=dif(status);
time=_n_;
cards;
0.97 0.45 1.61 1.26 1.37 1.43 1.32 1.23 0.84 0.89 1.18 1.33 1.21 0.98 0.91 0.61 1.23 0.97 1.10 0.74 0.80 0.81 0.80 0.60 0.59 0.63 0.87 0.36 0.81 0.91 0.77 0.96 0.93 0.95 0.65 0.98 0.70 0.86 1.32 0.88 0.68 0.78 1.25 0.79 1.19 0.69 0.92 0.86 0.86 0.85 0.90 0.54 0.32 1.40 1.14 0.69 0.91 0.68 0.57 0.94 0.35 0.39 0.45 0.99 0.84 0.62 0.85 0.73 0.66 0.76 0.63 0.32 0.17 0.46 ;
proc gplot;
plot status*time difx*time;
symbol v=star c=blue i=join;
run;
proc arima;
identify var=status(1,0) minic p=(0:10)q=(0:5);
run;
模型的参数估计
estimate q=1;
run;
estimate q=1 noint;
run；
模型序列的预测
forecast lead=5 id=time out=results;
run;
模型序列的预测图
proc gplot data=results;
plot status*time=1 forecast*time=2 l95*time=3 u95*time=3/overlay; symbol1 c=black I=none v=star;
symbol2 c=red I=join v=none;
symbol3 c=green I=join v=none l=32;
run;
忽略此处..。