27.2.2相似三角形的应用2
27.2.2 相似三角形的应用举例教学设计
《27．2．2相似三角形应用举例》的教学设计富裕县第二中学杨丽丽教学目标1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。
2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
教学重点与难点重点：运用两个三角形相似解决实际问题难点：在实际问题中建立数学模型教学设计教学过程设计意图说明新课引入：1．复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义2．回顾相似三角形的概念及判定方法以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。
提出问题：利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）↓“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知三条则可求第四条。
一试牛刀：例1（教材P49例3——测量金字塔高度问题）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：略（见教材P49）问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？（如用身高等）解法二：用镜面反射（如图，点A是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形）．（解法略）让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。
通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。
二试牛刀：例2：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。
如果测得QS=45 m ，ST=90 m ，QR=60 m ，求河的宽度PQ 。
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P⇓∆PQR ∽∆PST ⇓8 1.6 6.4512 1.610.4FH FH -==+-，即PQ QR PQ QS ST =+，604590PQ PQ =+， 90(45)60PQ PQ ⨯=+⨯。
27.2.2《相似三角形的性质》教学设计.2.2相似三角形的性质教学设计
《相似三角形的性质》授课方案一、内容和内容解析（一）内容相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（二）内容解析判断和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判断，接下来就要对性质进行研究．与全等三角形相同，相似三角形的性质主要研究三角形几何量之间的关系．由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比率．三角形还有其他的几何量，如高、中线、角均分线的长度，以及周长、面积等．教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角均分线的比进行研究，实行获取对应线段的比等于相似比，以此作为基础，获取相似三角形面积的比与相似比的关系．基于以上解析，确定本节课的授课重点：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的研究和运用．二、目标和目标解析（一）授课目的1．认知趣似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系．2．会利用相似三角形性质解决简单的问题．（二）目标解析1．达成目标 1 的标志是：知道相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，可以经过推理证明两条性质．2．达成目标 2 的标志是：会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积．三、授课识题诊断解析相似三角形的对应角相等，对应边成比率，由定义可获取，且类比于全等三角形的对应角相等，对应边相等，这些性质学生易于发现．但三角形还有其他的量，如何提出它们的性质？可提出哪些性质？既要从一维层面上提，又要想到二维层面上来，对学生现有的认知基础来说，还有必然的难度．1.授课重点相似三角形性质定理的理解与运用．2.授课难点研究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．四、授课流程（一）、复习引入回顾：从相似三角形的定义出发，可以获取相似三角形的什么性质？相似三角形的对应角相等，对应边成比率．三角形中有各样各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角均分线的长度，以及周长、面积等等．问题：若是两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系．（二）计算研究，归纳新知问题 1：观察网格中的相似三角形求出相似比和对应高的比。
27.2.2相似三角形的应用精品
（分析：如图，要想求厚 度x，根据条件可知，首先 得求出内孔直径AB。而在 图中可构造出相似形，通 过相似形的性质，从而求 出AB的长度。）
S
A' B' C'
h O
A B C
6.如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地 面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成 30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米， 那么树的高度是多少？
A
D
B
C
10.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他 走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到 路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时， 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是 9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是 D C 多少？
A F
D
4m
H 20m
E
C
B
1m 1.8m
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的 中点，过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证： AM=CN；⑵若∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3， 求BC的长。
证明(1) 四边形ABCD是矩形,MAE NCE, AME CNE, 又E为AC的中点,即AE EC , AME CNE; AM CN .
(2)解 : CEN 90 , ACB NCE , Rt ABC NEC , EN CE 2 9 , 又EC 3, BC . AB BC 3 2
27.2.2 相似三角形的应用举例(2)
CD=12 m，两树根部的距离BD=5 m.一个身高1．6 m的
人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当 他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较 高的树的顶端点C？
三、提出问题
你能设计方案，利用相似三角形的知识测量 旗杆的高度吗？ 方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长． 点拨：把太阳的光线看成是平行的.
四、运用提高
如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m， 求河宽AB.
100 m.
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题：
教材第55,56页习题27.2第10、11题. 2.选做题： 教材第56页习题27.2第16题.
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB， ∴∠AEB＝∠CBD. ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD. ∴
AB BE CD BD
.即CD=
AB BD . BE
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再 知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
方法二：利用镜子的反射
单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为
警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴∠B＝∠D＝90°.
AB BE ∴ . CD DE
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的 距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的 高度．
方法三：利用标杆测量旗杆的高度
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间 的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自 己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直 线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的 距离即可求出旗杆的高度. 点拨：人、标杆和旗杆都垂直于地面．
《27.2.2 相似三角形的性质》教案、导学案
27.2.2 相似三角形的性质【教学目标】1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)【教学过程】一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？二、合作探究探究点一：相似三角形的性质【类型一】利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE 相交于F点．(1)求△BEF与△AFD的周长之比；(2)若S△BEF＝6cm2，求S△AFD.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝12BC，∴BEAD＝BFDF＝EFAF＝12，∴△BEF与△AFD的周长之比为BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF＝12；(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为12，∴S△BEFS△AFD＝(12)2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.2∶2C．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴BDBE＝ABCB，即BDAB＝BECB，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴S△BEDS△BCA＝(DEAC)2＝818.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝12AC·BF＝18, ∴BF＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；(2)若S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AEAD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC ＝(AP AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶3.又因为S △ABC ＝18，所以S △APNS △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2； (2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD)2，所以AE AD ＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形PABQ 面积的13时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长． 解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形PABQ面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形PABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形PABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形PABQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【教学反思】本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.27.2.2 相似三角形的性质教学目标：知识与技能1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法。
27.2.2 相似三角形应用举例 课件2 (新人教版九年级下)
C
A
F
H
Ⅰ
Ⅱ
K G
分析：
E
B
(2)
D
l
假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位 置点F与两颗树的顶端点A、C恰在一条直线上,如 果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树 的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到 它。
由题意可知，AB⊥L，CD⊥L，
∴AB∥CD，△AFH∽ △CFK
FH = AH ∴ FK CK 即
解： 因为 ∠ADB＝∠EDC,
AB BD 那么 EC DC
∠ABC＝∠ECD＝90°， 所以 △ABD∽△ECD，
B
D
C
E
BD EC 120 50 解得AB 100(米) DC 60 答： 两岸间的大致距离为100米．
(方法二) 我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点 D和 E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线 EA相交于点C。此时，测得DE , BC, BD, 就可以求两岸 间的大致距离AB了。 A 此时如果测得DE＝120米， BC＝60米，BD＝50米，求 两岸间的大致距离AB． B
A
P E N C
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。 80 120
1、在同一时刻物体的高度与它的影长 成正比例，在某一时刻，有人测得一高 为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼 的影长为60米，那么高楼的高度是多少 米？解:设高楼的高度为X米，则
1.8 x 3 60 60 1.8 x 3 x 36
答:楼高36米.
例4 为了估算河的宽度,我们可以在河 对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和 S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂 直，接着在过点S且与PS垂直的直线a 上选择适当的点T,确定PT与过点Q且 P 垂直PS的直线 b的交点R.如果测 得QS=45m,ST= b Q R a 90m,QR=60m, S T 求河的宽度PQ.
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2
人教版九年级数学下册：27.2.2 《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第27.2.2节《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
教材通过具体的例题和练习，引导学生探究相似三角形的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的概念，并对相似三角形的性质有一定的了解。
但在实际运用中，对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对相似三角形性质的理解，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、操作能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其运用。
2.学生在实际问题中，如何运用相似三角形的性质解决问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，发现相似三角形的性质。
2.使用案例分析法，让学生在具体的问题中，运用相似三角形的性质解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生主动探究，培养学生的创新精神和合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题和课后作业。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生回顾相似三角形的概念和性质。
例如：在平面直角坐标系中，已知两个三角形的三个顶点坐标，如何判断这两个三角形是否相似？2.呈现（10分钟）呈现教材中的例题，引导学生观察、分析，发现相似三角形的性质。
通过小组讨论，让学生总结出相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，运用相似三角形的性质解决问题。
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
教学设计2：27.2.2 相似三角形的性质
27.2.2相似三角形的性质教学目标知识理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质。
能够运用相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质解决相关问题。
通过自主学习和小组合作增强学生的学习主动性和探究欲望，提高观察能力归纳能力和应用知识解决问题的能力。
重点、难点：①教学重点相似三角形的周长与面积的性质的理解与运用。
②教学难点相似三角形周长之比和面积之比与相似比的关系的应用。
教学流程㈠、课前预习：课前拟定导学案：1、那么，如果,k f e d c b a=== a= , c= ,e= .=++++f d b e c a .2、如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线之间有什么关系？写出推导过程。
3、如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导过程。
4、如果两个三角形相似，它们的对应边上的对应角的平分线之间有什么关系？写出推导过程。
5、如果两个三角形相似，它们的周长、面积各有什么关系？写出推导过程。
6、合作探究类比两个相似三角形的周长和面积的关系，两个相似多边形的周长、面积又各有什么关系？写出推导过程㈡、预习检测1、有两个相似三角形的花坛，其中一个的面积为30 平方米，周长是35米，一边长是10米，另一个花坛未知，小明说只要知道它的与10米对应的边长就可以求出它的面积和周长，你觉得他说的有道理吗？2、相似三角形的对应边的比叫什么？3、三角形相似有哪些判定方法？4、∆ABC与∆A´B´C´的相似比k,则∆A´B´C´与∆ABC的对应高之比、对应角平分线之比、对应边的中线之比、周长之比、面积之比分别是什么？5、相似三角形有什么性质？相似多边形呢？通过预习检测可以查看学生的预习情况，一般情况基本知识点大部分学生都应该掌握。
㈢、班级展示，查看小组合作效果在课前设置的探究问题进行小组展示，小组积极推荐人选竞争性展示，一般由学生点评，教师发现学生难以解决的问题要及时引导、点拨。
27.2.2相似三角形的周长与面积(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的周长与面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过三角形大小不同但形状相似的情况？”（如衣服上的图案、建筑物的立面等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形周长与面积的奥秘。
1.对于相似比的概念，要结合生活中的实例进行讲解，让学生更好地理解；
2.在实践活动和小组讨论中，加强引导学生如何将问题抽象为相似三角形的数学模型，提高他们的建模能力；
3.关注学生的逻辑思维能力培养，提高他们在表达观点时的清晰度和条理性。
在实践活动和小组讨论中，同学们积极参与，课堂氛围较好。通过分组讨论和实验操作，学生能够将所学的理论知识运用到实际问题中，这有助于提高他们的数学建模能力和团队协作能力。但同时，我也发现部分同学在讨论过程中，对于如何将问题抽象为相似三角形的数学模型还不够熟练，这需要我在今后的教学中加强引导和训练。
在学生小组讨论环节，我鼓励同学们提出自己的观点和想法，并进行交流。这种开放性的讨论有助于培养学生的逻辑思维和口语表达能力。但从成果分享来看，部分同学在表达自己的观点时，逻辑不够清晰，这提示我在今后的教学中要关注学生的逻辑思维能力培养。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现同学们对相似三角形的周长与面积这一部分内容表现出较高的兴趣。在导入新课环节，通过生活中的实例引发学生的好奇心，这起到了很好的教学效果。但在讲授过程中，我也注意到有些同学在理解相似比的概念上还存在一定的困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释相似三角形的周长与面积比的概念，并通过案例分析和实验操作，让学生直观地感受到这些性质在实际问题中的应用。然而，从学生的反馈来看，这部分内容还需要进一步强化和巩固。
27.2.2相似三角形应用举例(二)
审核：初三数学组
初三数学导学提纲
第 3 页 (共 2 页)初三数学导学提纲第 4 页 (共 2 页)
(二)深入学习 小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m， 但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部 分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地面部分的影长 2.7m，他求得的树高是多少？
课海拾 贝/ 反思纠 错
(三)迁移运用 1.如图：小明想测量一颗大树 AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 CB 上，测得 CD=4m,BC=10m，CD 与地面成 30 度角，且测得 1 米竹杆 的影子长为 2 米，那么树的高度是多少？
A B D
当堂检测
1.（路灯距地面高度为 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米 的点 A 处，沿 AO 所在的直线行走 14 米到点 B 时， 人影的长度变化是___ AM、BN 分别表示人影长） __（填“增大”或“减小”）__ _____米． （线段
第 1 题 2. 如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB=1.125m，蹲下来，则身影 分析： （见教材 P49 页） 解： 注意 ：认真体会这一生活实际中常见的场景，借助图形把这一实际中常见的 场景，抽象成数学图形，利用相似的性质解决这一实际问题，图形可以滞后给 出， 先经历这一抽象的过程． 如果你们对于如何用数学语言表述有一定的困难， 应与老师一起认真板书解答过程．
（第 8 初三数学导学提纲 第 1 页 (共 2 页) 初三数学导学提纲 第 2 页 (共 2 页) 题）
AC=0.5m，已知小明的身高 AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯 离地面的高度 PH.
27.2.2相似三角形应用举例
Ｃ
解:∵太阳光是平行光线 12 1.5 ∴ BC 1.2 ∴BC=9.6 ∵9.6＞9 ∴乙的采光会受影响．
Ａ
12
可以计算出甲投在乙 墙壁上的影长吗？ 1.5
∵EC=9.6-9=0.6 ∴
DE 1.5 0.6 1.2
D
C
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
∴DE=0.75
5.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 是40米.求塔高AB? A 解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
A
解:∵太阳光是平行光线
D E E F A B B C
∴ AB=8
D
D 1
1.5 C
B 12
1
E
E
1.5 F
4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学 楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米， 墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 解：作DE⊥AB于E A 得
尝试画出影子
A
甲
D
乙 丙
B
E C
F
如何运用“三角形的相似知识”来说明 “平行光线的照射下，同一时刻物高与影 长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关知识 测量旗杆的高度?
测高是本课重点学习的内容
利用影长来测 高
Ｏ
怎样测量旗杆 的高度呢？ Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:
27.2.2相似三角形应用举例教学设计
2722相似三角形应用举例教学设计教学目的1.进一步巩固相似三角形的知识.2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题.3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力.重点、难点1.重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.2 •难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.一、知识回顾1、判断两三角形相似有哪些方法？2、相似三角形有什么性质？二、.探索新知例1、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”•塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米•据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的•你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度.如图，如果木杆EF长2 m它的影长FD为3 m测得OA为201 m,求金字塔的高度BO （思考如何测出0A的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度.解：例2、测量树的高度，有什么方法？在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3 米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米 ？（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.） 例3、问题：估算河的宽度，你有什么好办法吗？如图，为了估算河的宽度， 我们可以在河对岸选定一个目标 P,在近岸取点Q 和S ,使点P 、 QS 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点 T ,确定 求河的宽度PQ.分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种三、回顾与反思.谈谈本节课你有哪些收获. PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 如果测得QS = 45 m , ST = 90 m , QR = 60 m , 测量方法构造了三角形中的平行截线， 故可得到相似三角形，因此有巴二空PS ST x x 45 60再解x 的方程可求出河宽.90。
九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形2相似三角形应用举例第1课时习题课件新人教版
【解析】∵DE∥AB，∴∠A=∠E，∠B=∠D，
∴△ABC∽△EDC，∴ B C 即A B .
DC ED
∴AB=870 m.
290 AB . 10 30
答：湖两岸的距离AB是870 m.
【想一想错在哪？】如图，某一时刻，身高为1.6 m的小明站 在离墙1 m的地方，发现自己在太阳光下的影子有一部分在地 面上，另一部分在墙上，墙上的部分影子长为0.2 m，同时他 又量得附近一棵大树的影子长为10 m，求这棵大树的高度.
【互动探究】求灯罩的半径时，还有什么方法？
提示:利用相似三角形的性质，得到MN=4 r,在Rt△OMN中应用
3
勾股定理列方程求解.
【总结提升】利用相似三角形测量物体高度的一般步骤 1.画出示意图，利用平行光线、影子、标杆等构造相似三角形. 2.测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外一组对应 边的长度. 3.利用相似三角形的性质列出包括以上四个量的比例式，解出 未知量. 4.检验并得到答案.
知识点 2 应用相似三角形测量宽度 【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再 选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得 BD=110 m，DC=55 m，EC=52 m，求两岸间的大致距离AB.
x 30
路灯甲的高为9 m. 答案:9
3.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点 下降0.5 m时，长臂端点升高____m（杆的宽度忽略不计）．
【解析】设长臂上升的高度为x m,根据题意得 0 .5 1 ,
x 16
解得x=8. 答案:8
4.如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20 m的A处放了 一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点， 若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6 m，请你帮助小 明计算一下楼房的高度（精确到0.1 m）．
人教版数学九年级下册教案27.2.2 相似三角形应用举例(2)
年级九年级课题27.2.2相似三角形应用举例（第二课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1. 能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的实际问题（盲区问题）；2. 通过例题的分析与解决,让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用.过程方法通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力.经历探究相似三角形在实际问题中的应用过程，进一步地体会相似三角形的应用方法.情感态度在教学过程中发展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯;体会相似三角形的实际应用价值,通过本节课的学习,增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.在学习的过程中体会获得成功的喜悦,提高了学生学习数学的兴趣和信心.教学重点运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的高度（盲区问题）.教学难点如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情景引入小强站在一座木板墙前，小丽在墙后活动．你认为小丽应在什么区域内活动，才能不被小强看见? 请在左图的俯视图右图中画出小丽的活动范围并用阴影部分表示生活中还有哪些类似的例子？上一节课我们学会了用相似三角形的知识去测量金字塔的高度和河流的宽度，这节课我们继续用相似三角形这一数学模型解决实际生活类似于上面中的问题。
二、自主探究1.盲区问题：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？分析：视点：观察者眼睛F的位置称为视点；视线：由视点F出发的射线FD称为视线；仰角：在进行测量时，从下向上看，视线FD与水平线FH的夹角∠DFH叫做仰角；俯角：在进行测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角；盲区：观察者看不到的区域称为盲区．解题思路：利用AB∥CD，∴∆AFH∽∆CFK，根据对应边成比例可求得FH=8。
27.2.2.2相似三角形应用举例(2)
(2)当x=0.5时,y最大值=2.
因此
A
P Q E N C
80–x
80
=
x
D M
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
如图、在正△ABC中，边长为 2cm，P为AB上一 点，作矩形PMNQ内接于△ABC，又Q在AC上，P 在AB上，M、N在BC上，高AD分别交PQ 、 BC于 E 、 D，设PM=x， 矩形PMNQ的面积为y。 ①求出y与x之间的函数关系式？试确 定x的取值范围。 ②当PM为多少时，矩形的面积有 最大值？并求之。
(1)设线段BP为xcm,线段CQ为ycm,求y关于x 的函数关系式及自变量x的取值范围; (2)求当BP=CQ时,S△BQC与S△PAB的面积的比. (3)当P在什么位置时,BP+CQ=13cm,并求此时
Q到BC的距离.
A Q
P
D
B
O
C
例3.如图, △ABC中,BC=4, ∠B=450,AB=3 ,M,N分别为AB,AC上的 点,MN∥BC,并设MN=x, △MNC的面积为s, (1)求出s与x间的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)是否存在平行线段MN,使△MNC的面积 等于2.若存在求出MN的长;若不存在,请说 明理由.
A M E
N
B
D
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
挑战自我
３.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。设 正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC AE PN = 所以 B AD BC
27.2.2 相似三角形的性质 人教版九年级数学下册课件
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线 A
AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D'
∵△ABC ∽△A′B′C′ ∴∠B＝∠B' ， AB k
A'B' ∴△ABD ∽△A' B' D'
（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ AD AB k
A'D' A'B'
BD
C
相似三角形的性质
——第二十七章相似
教学目标
01.掌握相似三角形对应高线、中线和角 平分线的比与相似比之间的关系 重点
02.理解并掌握相似三角形周长与面积的的 比与相似比之间的关系. 重点
03.能够运用相似三角形的性质解决相 关问题 难点
大家回忆一下相似三角形的定义是什么？
三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似.
AM AM
AB AB
k
由两角分别相等的两个三角形相
似，得△ABN∽△ABN ，再由相似 对 应 角 平 分 线 的
三角形的定义，得
AN AN
AB AB
k
比等于相似比
相似三角形的周长有什么关系呢？
解：如图 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 AB BC CA k， A'B' B'C ' C ' A'
应角相等，所以∠BB＝∠A′D′B′＝90°.根据两角对应相
A'
等的两个三角形相似得到△ABD和△A′B′D′相似，
然后由相似三角形的对应边成比例得到
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1. 通过本堂课的学习和探索，你学会了什么? 2. 谈一谈你对这堂课的感受?
3. 你还想解决什么问题吗?
3.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD， ∠B=90°， MN∥AB，AB=6，BC=4，CD=3，设DM=x. (1)设MN=y，用x的代数式表示y. (2)设梯形MNCD的面积为S，用x 的代数式表示S. (3)若梯形MNCD的面积S等于梯 形ABCD的面积的1/3，求DM. 【解析】(1)过D作DE⊥AB于E点交MN于F， MN=MF+FN=MF+3，在Rt△DAE中,AD= 由MN∥AB
(3)如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致 宽度AB。 A 解：∵∠ADB=∠EDC， ∠ABC=∠ECD=90° ∴ΔABD∽ΔECD AB BD ∴ , C B D EC CD BD EC 120 50 E
解得，AB CD 60 100(m).
FG=8米
A E G F B
C
H D
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 2 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测距(不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻 物高与影长的比例”的原理解决
二、测高的方法
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使 AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使 DE⊥AC，测出AD=30m，DC=30m，DE=40m,那么你能算 出池塘的宽AB吗?
因为 ∠ACB＝∠DCE , A D E B ∠CAB＝∠CDE=90°, 所以 △ABC∽△DEC ， AB AC 那么 DE DC
E
C
D
（2）如果在点C后面有一条河，那么利用全等测量A、B间 的距离还可行吗？如果不可行，你会有怎样的测量方法？ 测量工具只能用皮尺.
解：连结AC、BC，延长AC到D， 1 CD ，延长 AC 使 BC到E， 使
1 CE BC 2
A
B
2
，连结DE并测量出
它的长度，则A、B间的距离就 是DE长度的2倍。
DE AC 40 ( 30 30 ) 解得 AB 80 (米) DC 30 答： 池塘的宽大致为80米．
C
已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m, 两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵 树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的树的距 离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?
MF DM MF x 3 3 MF x y x 3 AE DA 3 5 5 5 ( 0 x 5)
(2)MN∥AB
DF DM DF x 4 DF x. DE AD 4 5 5
6 1 12 ∴S= 2+ (DC+MN)· DF= x x(0＜x＜5) 2 25 5
C E D
（3 ）如果点 C 在河岸上，大家知道如何测量 A 、B 间的距离吗？ 测量工具只能用皮尺.
解：连结AC、BC，分别取AC， BC的中点D、E，连结DE并测 量出它的长度，则A、B间的距 离就是DE长度的2倍。 A
B
D C
E
大运河的两岸有一段是平行的，为了估算其运河的宽度， 我们可以在对岸选定一个目标作为点A，再在运河的这一边选 点B、C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC 和AE的交点为D。(1)想象一下，如何确定点的位置？如何画图？ (2)要估算运河的宽度，你认为要测量哪些可以测量的线段？
(3)S梯ABCD=
1 2
(3+6)×4=18
25 5
∴S梯MNCD= 1 18 6 6 x 2 12 x
3
x1=-5+5 2 即DM=-5+5
，x2=-5-5 2 ＜0(舍去).
2 ．
D 1 E 3 C
B
2
2、如图：A、B两点位于一个池塘的两端，现想用皮尺测 量A、B间的距离，但不能直接测量
（1）我们在学习全等三角形的知识时，曾利用全等三角 形来测量A、B两点间距离，你还记得方案吗？
A
B
解：先在地上取一个可以直接到 达A点和B点的点C，连接AC、BC， 延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E， 使CE=BC，连结DE并测量出它的长 度，DE的长度就是A、B间的距离。
相似三角形的应用(二)
2、三角形相似的判定方法 3、三角形相似的基本图形
两角对应相等 三边对应成比例
两边对应成比例且夹角相等
“A”字型
“X”字型
1、下列各组图形必定相似的是（ D ） A、两个等腰三角形 B、两个面积相等的直角三角形 C个等腰三角形 2、如图：若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有 （ C ）对 A A、2 B 、3 C、4 D 、5