大学物理第一章课后习题答案

第一章质点运动学1.1一质点沿y 方向运动，它在任意时刻t 的位置由式1052+=t y 给出，式中t 以s 计，y 以m 计算下列各段时间内质点的平均速度大小：(1)2s 到3s (2)2s 到2.1s (3)2s 到2.001s (4)2s 到2.0001s 解：(1)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 32=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /25)23(]10)2(5[10)3(5221212=−+−+=−−=υ(2)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 1.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm sm t t y y /5.20)21.2(]10)2(5[10)1.2(5221211=−+−+=−−=υ(3)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 001.22=，则质点的平均速度大小为：{}sm smt t y y /005.20)2001.2(]10)2(5[10)001.2(5221212=−+−+=−−=υ(4)令质点的始末时刻为s t 21=，s t 0001.22=，则质点的平均速度大小为：sm smt t y y /0005.20)20001.2(]10)2(510)0001.2(5[221212=−−−+=−−=υ1.2一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为2653t t x +−=;式中t 以s 计，x 以m 计，试求：(1)质点的初始位置和初始速度；(2)质点在任一时刻的速度和加速度；(3)质点做什么运动；(4)做出t x −图和t −υ图；(5)质点做匀加速直线运动吗？解：（1）设质点初始时刻00=t ，则质点的初始位置为：mm x 3]06053[20=×+×−=即质点的初始位置在Ox 轴正方向3m 处。

因为质点的速度为：tdt dx125+−==υ所以质点的初始速度为：220/5/)0125(s m s m dt dxt −=×+−===υ质点的初始速度大小为2/5s m ，方向沿Ox 轴负方向。

（2）质点任一时刻的速度为：tt t dtd dt dx 125)653(2+−=+−==υ质点任一时刻速度的大小等于上面表达式数值大小，方向由其数值的正负标定，如果上面表达式小于零则速度方向沿Ox 轴负方向，反之则沿Ox 轴正方向。

质点任一时刻的加速度为：2/12)125(s m t dt d dt d a =+−==υ即质点任一时刻的加速度大小为2/12s m ，方向沿Ox 轴正方向。

（3）由（2）的结果表明质点在加速度大小为2/12s m ，方向沿Ox 轴正方向的匀加速直线运动。

速度方向为：前s t 125~0~内沿x 轴负方向运动，此后反回沿x 轴正方向运动。

（4）t(s)图t x −)(s t 图t −υ（5）是。

1.3一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2−=，在0=t 时，,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，求此质点的运动方程。

解：由质点的加速度公式dtd a υ=得adt d =υ，两边积分：∫∫′′−=′t t t d t A d 0cos 2ωωυυυ因为0=t 时，0=x υ即00=t ，0=o υ所以任一时刻质点的速度为:t A ωωυsin −=由dtdx =υ即dt dx υ=，两边积分：∫∫−=x xt t otdtA dx 0ω其中0x 为0=t 时刻的位移，则A x =0所以质点的运动方程为t A x ωcos =1.4一同步卫星在地球赤道平面内运动，用地心参考系，以地心为坐标原点，以赤道平面为xoy 平面。

已知同步卫星的运动函数可写成.sin ,cos t R y t R x ωω==(1)求卫星的运动轨道以及任一时刻它的位矢，速度和加速度；(2)以1541027.7,1023.4−−×=×=s km R ω，计算卫星的速率和加速度的大小。

解：根据已知条件，同步卫星的运动函数为：tR y t R x ωωsin ,cos ==(1)卫星的运动轨道以及任一时刻它的位矢为：jt R i t R j y i x r ����ωωsin cos +=+=速度为：jt R i t R j dt dy i dt dx j i y x �������ωωωωυυυcos sin −+−=+=+=加速度为：jt R i t R j dt d i dt d j a i a a y x y x ������ωωωωυυsin cos 22−+−=+=+=（2）卫星的速率22yx υυυ+=22)cos ()sin (t R t R ωωω+−=ωR =1571027.71023.4−−×××=s m s m /101.33×≈加速度的大小22yx a a a +=2222)sin ()cos (t R t R ωωωω−+−=R2ω=m s 72151023.4)1027.7(×××=−−2/224.0s m =1.5列车沿一水平直线运动，刹车后列车的加速度为kx a −=，k 为正常数，刹车时的初速度为0υ,求刹车后列车最多能行进多远？解：设列车最多行进的距离为s ，初始时刻0=t ，初始位置0=s ，列车停止的速度为0=υ由列车的加速度为:kx dxd dt dx dx d dt d a −====υυυυ得kxdx d −=υυ两边积分∫∫−=0υυυskxdxd 可得得列车刹车后列车运行的距离为:01υks =1.6一质点沿半径为R 的圆周按规律221bt t s o −=υ而运动,o υ，b 都是常数.求:(1)t 时刻质点的总加速度；(2)t 为何值时总加速度在数值上等于b ?(3)当加速度达到b 时,质点以圆周运行了多少圈?解：（1）总加速度可写为切向加速度与法向加速度矢量和，即nt a a a +=其中，切向加速度大小：bdt sd a t −==22法向加速度大小22dt a n υ=线速度大小bt dtds−==0υυ所以有：nt t Rbt t b a 20)(−+−=υ（2）总加速度大小为22n t a a a +=，当其值为b 时，即2202])([)(Rbt b b −+−=υ时间t 为bt 0υ=（3）加速度达到b 时，所用时间为bt 0υ=此时质点运动的轨迹总圆周长是bb b b s 221222000υυυυ=⋅−×=总质点以圆周运行的圈数为：bRr s n πυπ422==总1.7在水平桌面上放置B A ,两物体用一根不可伸长的绳索按图所示的装置把它们连接起来,C 点与桌面固定.已知物体A 的加速度2/5.0s m a =,求物体B 的加速度.解：设绳索上的拉力为T ，移动长度为x ∆，那么物体A 的运动距离是xs A ∆=31物体B 的运动距离是xs B ∆=41因为221at s =所以B A ,加速度大小比等于其位移大小比，即BAB A s s a a =所以2/375.05.0433141s m a x x a s s a A A A B B =⋅=∆∆==1.8有一自由落体,它在最后1s 内所通过的路程等于全程一半,问该物体是从多高的地方落下的?物体下落其用多少时间?设物体下落共一用时间为t 。

解：如图所示，设自由落体运动的总高度为h ，落地总时间为t ，根据题意有：221gt h =2)1(212−=t g h 下落所用时间为（1>t ）：ss s s t 414.3)22(12)12(2122≈+=−+=−=则该物体初时时刻所在高度为：m gt h 12.57)414.3(8.9212122≈××==.hs2111.9电梯以s m /1的匀速率下降，小孩在电梯跳离地板m 50.0高，问当小孩再次落到地板上时电梯下落了多长距离？解：因电梯均速直线运动，所以它是惯性参照系中经过的时间间隔是相等，即小孩从起跳到落地所用时间t 为：2121gt h =s g h t t 6388.08.95.0222221≈×===电梯下落：ms s m t H 6388.06388.0/1=×==υ1.10通过岸崖上的绞车拉动纤绳湖中的小船拉向岸边，如图所示，如果绞车以恒定的速率u 拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的高度为h ，求小船向岸边移动的速度和加速度。

解：设滑轮到小船的绳长为ℓ，小船移动的位移大小为x ，那么直角三角中：222hx+=ℓ两边进行对时间导数：dt dx x dt d h x dt ddt d 22)()(222=+=ℓℓℓ已知条件u dtd =ℓυ=dtdx是我们该求的小船速度大小υx u =ℓu xh x u x 22+==ℓυυx u =ℓ等式两边再次对时间求导数dtd x dt dx dt d uυυ+=ℓ即dtd xu υυ+=22其中a dt d =υ，为小船的加速度大小因此得小船的速度和加速度大小为：ux h x 22+=υ23222ux h x u a −=−=υ方向均向岸边水平直线运动。

1.11在打靶实习中，炮筒与地面的仰角为°30，炮弹以s m /300=υ的初始速度脱离炮筒，射向离地面m 2的靶心：靶应置于地面何处，炮弹刚好击中靶心。

解：根据题意建立直角坐标系，如图所示。

根据抛体运动，运动学方程炮弹水平运动位移大小设为靶的位置：ℓ=x 同时炮弹竖直运动位移大小为：θυθ2202cos 21gx xtg y −=由上面两式可得，靶的位置为：023327259.42=+−×ℓℓm m 9.7527259.4227259.483133=×××−±=ℓy1.12一人乘摩托车跳跃一个大坑走,如图1.12所示.它以与水平成°5.22夹角的初速度为s m /65,从西边起跳,准确地落在坑的东边,已知东边比西边低m 4,忽略空气阻力,且取2/10s m g =.问:(1)坑有多宽?他跳跃的时间有多长？（2）他在坑边落地时的速度多大？解：（1）s m /650=υ为摩托车跳跃时速率，�5.22=θ为其跳跃速度与水平方向夹角，m h 4=为落地前后高度差，t 为跳跃到落地的时间，由已知条件坑的宽度即为摩托车水平方向的位移大小为：tx )(cos 0θυ=落地前后高度差为摩托车竖直方向的位移大小2021sin 0gt t h h −=−=∆θυ可得跳跃的时间（舍去负根）为：s s g gh t 132.51041025.22sin 655.22sin 652sin sin 22200≈××++=++=��θυθυ，坑的宽为：m m t x 2.308132.55.22cos 65)5.22cos (0≈×°×=°=υ（2）落地时水平速度大小为：θυυcos 0=x 落地时竖直速度大小为：gt y −=θυυsin 0坑边落地时的速度大小为：题1.12图22yx υυυ+=20220)sin (cos gt −+=θυθυ22020sin 2t g t g +⋅−=θυυs m /)132.510(132.55.22sin 10652)65(22×+×°×××−=sm /61.65≈坑边落地时的速度方向与水平夹角为：由θυθθυθυυυθcos tan cos sin tan 000gtgt xy −=−==′得°=′77.23θ1.13一无风的下雨天，一列火车以s m /20的速度前进，在车内游客看见玻璃上的雨滴和垂线成°75下降。