几个特殊的代数系统 6.1
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几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
第一讲代数系统
θl，则称θl为A中关于运算*的左零元。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
23
6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
22
6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
17
6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
10
6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
第六章 几种典型的代数系统
因为关于二元运算 的幺元是唯一的，所以 我们有时不再列举幺元 e，而简单地说< S, > 是幺半群。因为在幺半群中只有一个二元运 算 ，所以我们把关于 的幺元称为幺半群的 幺元。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
➢ < N, + >， < Z, + >， < Q, + >，< R, + > 都 是无限交换幺半群，幺元是 0。< Z+, + > 不 是幺半群。
定理6.1 群中元素 x 的逆元 x1 的逆元是 x， 即 (x1) 1 = x。 证明 因为 xx1= x1x = e，所以 (x1) 1 = x 。 定理6.2 群中的二元运算满足消去律。 证明 群中的每个元素都有逆元。由定理5.4立 即得出结论。
定理6.3 幺元是群中唯一的幂等元。 证明 ee = e，e 是幂等元。设 a 是群中的任意 幂等元，则 aa = ae。因为群中的二元运算满 足消去律，所以 a = e。
定义6.3 若幺半群 < G, , e > 中的每个元素都有 逆元，f 是 G 上的求逆元运算，即 f(x) = x1，则 称代数系统 < G, , f, e > 为群。若群中的二元运 算是可交换的，则称它为交换群，也称为阿贝 尔群。若群中的集合是有限集，则称该群为有 限群，否则称为无限群。若有限群中的集合有 n 个元素，则称该有限群为 n 阶群。一阶群， 即幺元是群中唯一元素的群称为平凡群。
例如， < Z, +, , 0 > 是无限交换群，称其为整 数加法群。
定义实函数集 RR 上的二元运算 + 如下：
对于任意 f, gRR，(f + g)(x) = f(x) + g(x)。
第6章 几个典型的代数系统
定义6.4 设<G,∘ >是代数系统，∘ 为二元运算。如果 ∘
运算是可结合的，存在幺元 e∈G，并且对 G 中的任
何元素x，都有x1∈G，则称 G 为 群。 实例: (1) <Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是 群.
(2) <Mn(R),+>是群，而<Mn(R),· >不是群.
第6章 几个典型的代数系统
6.1 半群与群
6.2 环与域
6.3 格与布尔代数
6.4 题例分析
6.1 半群与群
定义6.1 设 V=<S,∘>是代数系统，∘ 为二元运算，如果 ∘ 运算 是可结合的，则称 V 为半群。 如果半群V=<S,∘>中的二元运算∘是可交换的，则称 V为可交换半群。
定义6.6 设 G 是群，若存在 a∈G 使得 G = { ak | k∈ Z } 则称 G 是循环群，记作G=<a>，称 a 为 G 的生成元。 实例 整数加法群 G = <Z,+> = <1> = <1>
模 6 加法群 G = <Z6,> = <1> = <5>
循环群 G = <a>，根据生成元 a 的阶可以分成
群G 的中心C： 设G 为群, C = { a | a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心. 证: e∈C. C是G的非空子集. 任取 a, b∈C，只需证明 ab1与 G 中所有的元素都可 交换. x∈G，有: (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知C≤G. 对于阿贝尔群G，G的中心就等于 G. 对某些非交换群 G，它的中心是{ e }.
6_1_运算与代数系统[10页]
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x∗(y ∘ z)=(x ∗ y) ∘ (x ∗ z) (y ∘ z) ∗ x=(y ∗ x) ∘ (z ∗ x) 则称 ∗ 对∘是可分配的，或称∗ 对∘满足分配律（distributive）。
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
例=> 实数集上的乘法对加法、n阶多项式和矩阵上的乘法对加法都是可分配 的；一个集合的幂集上的∪和∩是互相可分配的。
思考：原则上，可以将一个映射 f：An→B作为n元运算的定义，但总需要考虑 运算结果对A的封闭性，即应有B⊆A，否则没有什么实际意义。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
[例6-1] 设A={x|x=2n，nN}，问算数乘法和加法是否为A上的二元运算？ 解： 问题等同于衡量运算是否对A封闭。对A的任意两个元素x=2p 和y=2q，因为
6.1 运算及其性质
6.1.1 n元运算
Discrete mathematics
在一个集合上构造映射之后，可以利用映射得到集合元素的像，从而形成了运 算。
[定义6-1：n元运算] 设A是一个非空集合，一个映射 f：An→A 称为A上的n元代 数运算，简称 n 元运算（n-ary operation）。其中，n ≥ 1为自然数，称为运算的 元、阶或目。
第6章 运算与代数系统
Discrete mathematics
运算是指对集合元素的加工、处理和变换，集合与其上定义的运算构成了各种 代数系统，也称为代数结构，它们是近世代数（也称为抽象代数）研究的中心 内容，在现代数学、计算机科学和编码理论等领域具有很多重要的应用。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
xy = 2p +q
但p=1且q=2时，有 21+22=6A
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
代数系统
1代数系统1. 定义定义1.1 设A 是集合， 12,,,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。
根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。
由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。
2. 半群半群是最简单的代数系统，其定义如下。
定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。
带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。
例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。
3. 群定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。
例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。
4. 置换群定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。
12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。
2-阶轮换称为对换。
定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。
此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。
置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。
证明：请读者尝试完成该证明。
证毕5.环和域略。
6.格定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。
若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。
注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。
定义6.2设(,,)L∨∧是格。
（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。
代数系统
6.1.1 代数运算
例6.2 分析下列哪些是代数运算。 不是 (1)f(x,y)=1/(x-y), x∈R, y∈R; (2)g={<1,1>,<2,2>,<3,3>},集合A={1,2,3}; 是A上的一元运算 (3)h(x,y)=x· y-y, x∈R, y∈R; 是R上的二元运算 (4)f1={<x,y>| x∈R, y∈R,|x|=|y|}; 不是 (5)f2={<a,b>,<b,b>,<b,c>},集合A={a,b,c}; 不是 (6)w(x)=x2,x∈N。 是N上的一元运算
6.1.1 代数运算
二元运算的运算表：对于具有n个元素的有限集合A上 的二元运算“＃”，可以通过一个n×n表格来表示。 表格的上方、左侧依次列出A中元素，表格中第i行、 第j列元素列出A中第i个元素和第j个元素在运算“＃” 下的结果。
4 0
0 1 2 3 0 1 2 3
1
2
3
4 0
0 1 2 3 0 0 0 0
6.1.2 代数系统
例6.6 分析如下数学结构是否构成一个代数系统。 （1）N7，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （2）N7，模4加法 4 ，模4乘法 4 ； （3）N4，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （4）N，模7加法 7 ，模4乘法 4 。
解：（1）<N7, 7, 7 >是一个代数系统。 （2）<N7, 4, 4>是一个代数系统。 （3）<N4, 7, 7 >不是一个代数系统。 （4）<N , 7, 4>是一个代数系统。
6.1 代数系统的基本概念
代数结构也叫抽象代数，主要研究抽象的代数系 统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它来 表示实际世界中的离散结构。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、 集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公 理。 为了研究抽象的代数系统，需先定义一元、二元 代数运算以及n元运算的性质，并通过选择不同的运 算性质来规定各种抽象代数系统的定义，在此基础上 再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
6几个典型的代数系统
不是所有的群都是交换群
7
Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此， 我们可以概括地说： 代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合 运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
9
Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明 当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元， 否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
20
6.2环与域
是一个代数系统，如果满足： 设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算 对于运算★是可分配的，则称 A, ★， 是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
21
Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群
几个典型的代数系统
可交换半群：如果半群V = < S, >中的二元运算 是 可交换的，则称V为可交换半群。
2020/4/24
离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
2020/4/24
离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
2020/4/24
离散数学
四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
2020/4/24
2020/4/24
离散数学
一、半群的概念（续）
含幺半群（独异点）：如果半群V = < S, >的二元 运算 含有幺元，则称V为含幺半群(独异点)。 即 eS，使得对 xS都有e x = x e = x。 独异点亦可记为< S, , e>。
如：<Z, +>, <R–{0}, >, <P(S), >, <Zn, >都是 阿贝尔群。
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离散数学
二、群的概念（续）
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x -n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x -1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x –1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数 (4) xG，(xm)n = xmn ， m, n为整数
如：群<Z6, >, <0> = {0}, <1> = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 , <2> = {0, 2, 4}, <3> = {0, 3}, <4> = <2>, <5> = <1> 。
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离散数学
四、两种常用的群
1、循环群： 元素的阶(周期)：设群<G, >，aG，使ak = e 成立
2020/4/24
代数系统lly
思考：代数运算应满足什么条件？
集合的封闭性：给定集 A, 如果对A上的元素进
行某种运算后,运算结果仍在A中,
则称集A对该种运算封闭。 如Z对加、减、乘法封闭, 对除
法不封闭.
二、常见二元运算：
(1) 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合, 则
矩阵加法和乘法运算是Mn(R)上的二元
运算, 且封闭; (2) S为任意集合, P(S)为其幂集, 则∪,∩, – ,都是P(S)上的二元运算, 且封闭；
的同态,并且是单同态.
验证：任取 x, yR 由于f (x+y) = 2x+y = 2x2y = f (x) f (y) 其次, 对任取的x, yR,当xy时, 2x 2y, 即 f (x) f (y), f 为单射, 从而f 是单同态
思考:
上题中f是< R, +>到<R, >的自同态吗? < Z,+>是代数系统, 给定a Z,令函数 f :ZZ, 且 xZ，f (x) = ax, 问：a 为何值时， f 是< Z, +>自同构?
(5) 是A上的一个二元运算,如果x,xx=x,
则说是等幂的
如：P(S)为其幂集, 则∪,∩；而 –,？
(6) 如果(ⅰ) xy = xz 且 x,有y = z, (ⅱ) yx = zx 且 x,有y = z
其中：是指集A关于运算 的零元 则是满足消去律.
四、集A的特殊元：
(3) S为集合, S s 是S上的所有函数的集合,
则复合 运算 o 是 S s上的二元运算.
三、二元运算的性质：
(1) 设（算符）是定义在集A上的二元运算, 若对任意的x, yA都有yx=xy, 则说具
集合的封闭性：给定集 A, 如果对A上的元素进
行某种运算后,运算结果仍在A中,
则称集A对该种运算封闭。 如Z对加、减、乘法封闭, 对除
法不封闭.
二、常见二元运算：
(1) 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合, 则
矩阵加法和乘法运算是Mn(R)上的二元
运算, 且封闭; (2) S为任意集合, P(S)为其幂集, 则∪,∩, – ,都是P(S)上的二元运算, 且封闭；
的同态,并且是单同态.
验证：任取 x, yR 由于f (x+y) = 2x+y = 2x2y = f (x) f (y) 其次, 对任取的x, yR,当xy时, 2x 2y, 即 f (x) f (y), f 为单射, 从而f 是单同态
思考:
上题中f是< R, +>到<R, >的自同态吗? < Z,+>是代数系统, 给定a Z,令函数 f :ZZ, 且 xZ，f (x) = ax, 问：a 为何值时， f 是< Z, +>自同构?
(5) 是A上的一个二元运算,如果x,xx=x,
则说是等幂的
如：P(S)为其幂集, 则∪,∩；而 –,？
(6) 如果(ⅰ) xy = xz 且 x,有y = z, (ⅱ) yx = zx 且 x,有y = z
其中：是指集A关于运算 的零元 则是满足消去律.
四、集A的特殊元：
(3) S为集合, S s 是S上的所有函数的集合,
则复合 运算 o 是 S s上的二元运算.
三、二元运算的性质：
(1) 设（算符）是定义在集A上的二元运算, 若对任意的x, yA都有yx=xy, 则说具
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5.群中元素的幂运算
设G是群，a ∈G，则
e, n 0 an an1a, n 1
(a1)n , n 1
18
群的性质
例4 在群<Z,+>与群<Z3， >中，分别计算3-5与2-3.
解：在群<Z,+>中， 3-5=(3-1)5=(-3)5= -15 在群<Z3， >中， 2-3=(2-1)3=13=0
0
Φ
x1
0, n
x,
x0 x0
x
群
例1 几个典型的群（续）： Klein 四元群：
◦ eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结
果都等于剩下的第三个元素
群
例2 设S=R-{-1}，S上定义运算*： a*b=a+b+ab，试证明<S，*>是群。
代 数
系
商代数
等价关系
统
群
群的基本概念及性质
子群 特殊群
群
定义 群:
设<G, ◦ >是个代数系统，如果◦满足
(1)可结合 (2)有幺元 (3)每个元素可逆且逆元仍在G中 则称<G,◦>是一个群，简称G为群。
群
例1 几个典型的群：
<Z,+>
幺元e
0
x-1
-x
<Zn, n> <P(S), >
群的性质
6.群中元素的阶 定义 元素的阶：
设<G,◦>是群，a∈G， 使ak=e的最小正整数k称为a的阶，记作|a| 。 如果这样的k不存在，则称a的阶是无限的。 注: (1) |a| = |a-1|
(2) |e| = 1
20
群的性质
例6 设群〈Z6，6〉,其中Z6={0,1,2,3,4,5}, 6是模6 加法,试求出群〈Z6，6〉中每一元素的阶。
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
典型子群
例9 群的中心 设G为群,令C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子
群，称为G的中心.
证明 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1 与G中所有的元素都可交换. x∈G，有
1 2 3 1 1 2 3
1 2 3
2
2
3
1
3
1 3
2 1
3 2
4
1 1
2 3
3 2
5
1 3
2 2
3 1
6
1 2
2 1
3 3
43
置换群
例14设σ＝
12
2 1
3 3
4 4
，
40
置换群
几个概念： n元对称群<Sn, ◦>的子群称为n元置换群。 n元对称群<Sn, ◦ >, 其中Sn为n元置换的集合， “◦”为n元置换的复合运算。 n元置换——集合S上的双射函数，S={1,2,...,n}。 n元置换的复合运算——函数的复合运算。
41
置换群
定义 n元置换：有限集合S上的双射函数:SS称为S上的n 元置换，其中S={1, 2, 3, ... , n}。
(ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G.
28
群
群的基本概念及性质 子群
特殊群——循环群 置换群
29
循环群
定义 循环群： 如果群G可以由一个元素a生成，即 G=<a>={ak|kZ}, 则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成 元，记为G=<a>。
例7 生成子群 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子群
，称为由 a 生成的子群，记作<a>. 证明 (1)由a∈H知H≠. (2)任取am,al∈H，则
am(al)1 = amal = aml∈H 根据判定定理可知H≤G.
26
典型子群
例8 生成子群举例：
<Z,+>：<2>={2k | k∈Z}=2Z <Z6, >：<2>={0,2,4} Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：
记法：
1 (1)
2 ...
(2) ...
n
(n)
记Sn：S上所有n元置换的集合。且在Sn上可以定义置换的 复合运算“◦ ”，称作置换的“乘法”。
Байду номын сангаас
42
置换群
例13 集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记 为S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
可以证明，若G=<a>，则G=<a-1>，即a与a-1 都是G的生 成元。
30
循环群
例10 循环群举例: （1）无限阶循环群：<Z，+> , Z=<1>=<-1> （2）n阶循环群：<Zn, n >, Zn=<1>=<n-1>
31
循环群
定理 设循环群G=<a>，则 |a| = |G|，即循环群的阶与生 成元的阶是相同的。 当|G|=∞时，G=<a>={…, a-2,a-1,e, a1,a2,…} 当|G|=n时， G=<a>={a0,a1,a2,…,an-1}
a1 a2
b1
b2
an -1 =
bn
b1 b2
a1
a2
45
bn 。
an
置换群
定义 n元置换的全体构成的集合Sn对置换的乘法构成一 个群，称为n 元对称群。 定义 n元对称群的任何子群都称为S上的n元置换群。
37
循环群
例11 求<Z，+>与<Z8 , 8>的生成元与循环子群(续)。 (2)<Z8 , 8> 循环子群：8的所有正因子有1，2，4，8，故Z8的所有 循环子群为 <18/1>=<0>={0}
<18/2>=<14>=<4>={0,4} <18/4>=<12>=<2>={0,2,4,6} <18/8>=<1>=Z8
a
1
*a
0
即
a a 1 aa 1 0
a
1
a
a 1a
0
得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。 综上知<S，*>是群。
群的性质
群的性质包括： 1)消去律 2)群方程的可解性（重点） 3)群中无零元 4)有限群运算表的特性 5) 群中元素的幂运算（重点） 6) 元素的阶
32
循环群
关于循环群的两个问题： (1)如何求取循环群的所有生成元？ (2)如何求取循环群的所有(循环)子群？
33
循环群
定理 设G=<a>， (1)若|G|= ∞，则G的生成元只有a与a-1。 (2)若|G|=n，则G的生成元是ak，其中k是与n互素的正整 数。
34
循环群
定理 设G=<a>, (1)若|G|= ∞ ，则G的循环子群有无限个，即为
16
群的性质
练习 设群<Z8， 8 >， 8是模8加法，在群中解下列方 程： (1)x 8 6 =5; (2)2 8 y = 3.
解：(1)x=5 8 6-1=5 8 2=7 (2)y=2-1 8 3=6 8 3=1
17
群的性质
3. 群中无零元。
4. 有限群的运算表的特征。
<G,◦>是个有限群，则G中每个元素在◦运算表中的每一 行(列)必出现且仅出现一次。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云 青岛理工大学计算机工程学院
2013.09
1
第6章 几个典型的代数系统
代数系统
半群与群 环与域 格与布尔代数
分类
代数系统 成分：集合+运算 的构成 公理：运算性质
代数系统 间的关系
映射 代数系统的 同构与同态
子集 子代数 新
生成
的
笛卡儿积 积代数
τ＝
13
2 4
3 1
4 2
，
则σ◦τ=
13？24
3 2
4 1
,
τ◦σ=
1？2
4
3
3 1
4 2
44
置换群
置换的乘法有下述一些性质： (1)满足结合律 (στ)ρ=σ(τρ), σ,τ,ρSn。 （2）n元恒等置换Is是Sn中的单位元
即： Is τ=τ Is ，τSn。 （3）每个n元置换在Sn 中都有逆元
解： 在群〈Zn，n〉中，x Zn,
1, x 0
|
x
|
[n, x] x
,
x
0