2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试
一、填空题
1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}
A x x C ∈=2，则C
B 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .
3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .
4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST
与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .
5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，
则不等式组()⎩⎨
⎧≤≤≤≤2
121x f x 的解集为 .
6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .
7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .
8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .
二、解答题
9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨
⎧--=,
4,1log 3x x x f .9.
90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，
满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.
10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .
11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.
二试
一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =
且A
B
a a a
b b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤
++++++A B a a a b b b n n .
二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC
和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.
证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.
三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n k
k m n 1
2-<≤.设A 是{
}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.
四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=n
i i
a
1
互素，且不等于n a a ,,1 的
最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.
E
D。