向量及向量的基本运算
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(A)a=b (B)a∥b (C)a⊥b (D)|a|=|b|
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。 说明：（ 1a ） ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ， ，则 ； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为 （3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；
变一：设 OA 、 OB 不共线， 求证：A、B、P三点共线。
OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R
1 1 说明：当 时， OP＝ (OA＋OB) ，此 2 2 时P为AB的中点，这是向量的中点公式。
e1 , e2 是不共线的向量,已知向量, 练习、设
A 3e2 , CD 2e1 e2
若A,B,D三点共线,求k的值
例4（同课本）：若 a, b 是两个不共线的非零向 量（ t R) 。
（1）若 a, b 起点相同，为何值时，
1 a, t b, ( a b) 三向量的终点在一直线上？ 3
t
0 a b （2）若 且 a与b 夹角为 60 ，那么 为
t
何值时， a t b 的值最小？
向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念 , b, c ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a …… 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表 AB 。向量的大小即向量的模（长度），记 示，如： 作| AB |。 0 ②零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任 意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零 向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向 量经过平移后总可以重合，记为 a b 。
返回
例2: 已知G是△ABC的重心，求证：
GA GB GC 0
练习、如图平行四边形ABCD的对角线 OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足 BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN, 设 OA a, OB b,试用a, b表示OM, ON, MN
例3（同课本）：设 OA 、 OB 不共线，点P在 OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R 。 AB上，求证：
1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____ 1 . 2. 如果 AB=a,CD=b ，则 a=b 是四点 A 、 B 、 D 、 C 构成平行四 边形的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是( C )
4)实数与向量的积 a ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ ，它 的长度与方向规定如下： a a ； （Ⅰ） a a （Ⅱ）当时 0 ,λ 的方向与 的方向相同； a a 当时 ， 的方向相反；当时 0 λ 的方向与 ， 0 ，方向是任意的。 a 0 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3)向量的减法 a 长度相等、方向相反的 ① 相反向量：与 向量，叫做 a 的相反向量。记作 a ,零向量的 相反向量仍是零向量。 ②向量减法：向量 加上的 相反向量叫做 a b a 与 b的差，记作：a b a (b )。求两个向 量差的运算，叫做向量的减法。 a b a 的作图法：a b 可以表示为从 的终 点指向 b 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点） 。
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。 说明：（ 1a ） ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ， ，则 ； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为 （3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；
变一：设 OA 、 OB 不共线， 求证：A、B、P三点共线。
OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R
1 1 说明：当 时， OP＝ (OA＋OB) ，此 2 2 时P为AB的中点，这是向量的中点公式。
e1 , e2 是不共线的向量,已知向量, 练习、设
A 3e2 , CD 2e1 e2
若A,B,D三点共线,求k的值
例4（同课本）：若 a, b 是两个不共线的非零向 量（ t R) 。
（1）若 a, b 起点相同，为何值时，
1 a, t b, ( a b) 三向量的终点在一直线上？ 3
t
0 a b （2）若 且 a与b 夹角为 60 ，那么 为
t
何值时， a t b 的值最小？
向量及向量的基本运算
1）向量的有关概念 , b, c ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用a …… 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表 AB 。向量的大小即向量的模（长度），记 示，如： 作| AB |。 0 ②零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任 意的，0 与任意向量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零 向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向 量经过平移后总可以重合，记为 a b 。
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例2: 已知G是△ABC的重心，求证：
GA GB GC 0
练习、如图平行四边形ABCD的对角线 OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足 BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN, 设 OA a, OB b,试用a, b表示OM, ON, MN
例3（同课本）：设 OA 、 OB 不共线，点P在 OP ＝OA ＋OB 且 1, 、 R 。 AB上，求证：
1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____ 1 . 2. 如果 AB=a,CD=b ，则 a=b 是四点 A 、 B 、 D 、 C 构成平行四 边形的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是( C )
4)实数与向量的积 a ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ ，它 的长度与方向规定如下： a a ； （Ⅰ） a a （Ⅱ）当时 0 ,λ 的方向与 的方向相同； a a 当时 ， 的方向相反；当时 0 λ 的方向与 ， 0 ，方向是任意的。 a 0 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3)向量的减法 a 长度相等、方向相反的 ① 相反向量：与 向量，叫做 a 的相反向量。记作 a ,零向量的 相反向量仍是零向量。 ②向量减法：向量 加上的 相反向量叫做 a b a 与 b的差，记作：a b a (b )。求两个向 量差的运算，叫做向量的减法。 a b a 的作图法：a b 可以表示为从 的终 点指向 b 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点） 。