第四讲正多边形与圆分析

第四讲正多边形与圆教学目标1. 了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，正多边形内角、中心角的求法.2. 掌握圆与正多边形之间的关系及其相关运算.3. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.教学重点正多边形内角、中心角的求法，正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法. 教学难点会应用圆与圆的内接正多边形的边长之间的关系解决实际问题.教学方法建议总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化第一部分知识梳理一. 与正多边形有关的概念1.正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，如上图的正六边形ABCDEF.2.正多边形的中心正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做这个正多边形的中心，如上图的点O.3.正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,如上图中的OC、OD.4.正多边形的边心距正多边形的内切圆的半径长叫做这个正多边形的边心距，如上图中的OG.5.中心角正多边形的一边所对的关于外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,如上图圆中的∠COD.二 .正多边形的对称性1.正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形.一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.2. 正多边形的中心对称性当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形，它的对称中心是它的两条对称轴的交点.当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形.三. 圆内正多边形的计算在正n边形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形.每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径.它的长是正n边形的边心距.如图，设n边形的半径长为R，中心角为α，边长为a，边心距为r，则利用等腰三角形OCD，通过解直角三角形OGD，可由其中的两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长和面积.在有关正多边形的计算中，重点掌握：（1）已知边数求有关角的大小，或反过来已知有关角的大小求边数.（2）利用三角比进行有关正三角形、正四边形、正六边形的边长、边心距和半径长的计算.第二部分例题精讲例1下面给出五个命题（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形HOFEDCBA（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形（4）正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形（5）正n边形的中心角y，且与每一个外角相等其中真命题有（）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个出题意图：考查正多边形中的基本概念以及对称性.解析：（1）正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；（2）各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；（3）圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；（4）边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；（5）正n边形的中心角360nan︒=，且与每一个外角相等．故正确的是（1）（5）.答案： B针对训练 1下列命题中，正确的命题是（）A.正多边形一定是中心对称图形.B.正n边形的对称轴有n条.C.正多边形的对称轴是过顶点和中心的直线.D.各边相等的多边形是正多边形.例2（1）如图1，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC多少度？（2）如图2，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC﹦α﹒①如果α﹦45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由﹒②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α，应为 .出题意图： 考查圆内正多边形的计算.解析：（1）先根据圆周角定理求出∠AOC 的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；（2）①假设AC 是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为45°×2=90°，故此多边形是正方形；②根据正多边形内角和定理即可求出答案． 答案：解：（1）∵△PAC 是圆O 的内接正三角形 ∴∠AOC=2∠APC=2×60°=120° ∵OA=OC︒=︒-︒=∠-︒=∠∴3021201802180AOC OAC（2）①能 ∵α=45°∴圆内接正多边形的一个内角为90° ∴是正方形②∵AC 是圆的内接正n 边形的一边(2)1802n nα-⨯︒∴=n ︒︒=∴180-90α针对训练 2如图，已知正四边形ABCD 内接于半径是6厘米的O e ，求图中阴影部分的周长和面积.DCBAO例3 如图，已知半径长为R 的O e 中，ABC ∆和四边形ADEF 分别是O e 的内接正三角形和内接正方形，求BC 、EF 、EC 的长.OF ECBA出题意图： 考查正多边形的计算.解析： 利用正多边形的相关概念，并结合三角比，通过解直角三角形即可得出答案. 答案： 如图，联结OB 、OC 、AE 、OF ，则由题意AE 过点O ，且120,90BOC EOF ∠=︒∠=︒ 设OE 交BC 于HAB AC =Q»»,60,.AB AC BOE COE AE BC ∴=∠=∠=︒⊥∴在BOH ∆中，3sin BH OB BOE R =⋅∠=23BC BH R ∴==在OEF ∆中，90,EOF OE OF R ∠=︒==2EF R ∴=在EOC ∆中，60,COE OE OC R ∠=︒==H O F ED CBAOCE ∴∆是等边三角形 EC R ∴=针对训练 3求半径为R 的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比.例4 已知点A 、B 、C 在O e 上，AB 是O e 的内接正十二边形的一边，BC 是O e 的内接正方形的一边，求以AC 为一边的O e 的内接正多边形的边数. 出题意图：考查正多边形的计算.解析： 先算出»AB 所对的圆心角AOB ∠的度数和»BC 所对的圆心角BOC ∠的度数，从而可以求出»AC 所对的AOC ∠的度数，最终即可算出以AC 为一边的O e 的内接正多边形的边数.答案：解：Q AB 是O e 的内接正十二边形的一边∴3603012AOB ︒∠==︒ 又Q BC 是O e 的内接正方形的一边∴360904BOC ︒∠==︒ ∴3090120AOC ∠=︒+︒=︒或903060=︒-︒=︒当120AOC ∠=︒时，3603120︒=︒∴边数为3当60AOC ∠=︒时，360660︒=︒∴边数为6 ∴综上：以AC 为一边的圆O 的内接正多边形的边数为3或6针对训练 4已知点A 、B 、C 在O e 上，AB 是O e 的内接正五边形的一边，AC 是O e 的内接正六方形的一边，求BAC ∠的度数.第三部分 优化作业基础训练题（A ）1. 下列说法中，正确的是（ ）A.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.B.正多边形的中心角都是锐角，内角都是钝角.C.正多边形的中心角与边数成反比例关系.D.正多边形的内角是边数的正比例函数.2. 下列图形中，既有内切圆又有外接圆的是 （ ）A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形 3. 已知正多边形的半径与边长相等，那么这个正多边形的边数是 （ ） A.6 B.5 C.4 D.74.以半径为1的圆内接正三角形，正方形，正六边形的边心距为三边作三角形，则 （ ）A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是等腰直角三角形 5. 正五边形是 对称图形.6. 正八边形有 条对称轴，它不仅是 对称图形，还是 对称图形．7. 32的正多边形边数是 ．8. 正五边形的中心角等于 度，正十边形的外角等于 度.9. 若点A 、B 、C 在O e 上，AB 是O e 的内接正十边形的一条边，BC 是O e 的内接正十五边形的一边，则以AC 为一边的O e 的内接正多边形的边数是 ． 10.已知：如图，正三角形ABC 外接圆的半径为R ，求它的边长、边心距和面积.ABCMO11. 如图，已知正五边形ABCDE 的边长为2. （1）求正五边形ABCDE 的一个内角的度数； （2）已知AE 和CD 的延长线相交于点O ，求DO 长.OEDCBA12. 如图，要把边长为6厘米的正三角形纸板剪去三个三角形，得到一个正六边形，求这个正六边形的周长和面积.13. 如图，正五边形ABCDE 中，对角线AD 与BE 相交于点P. 求证：2EA EP BE =⋅PEDC BA14. 如图，已知多边形ABDEC 是由边长为4的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，一个圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长.EDCBA提高训练题（B ）1. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为 （ ）A. 40B. 50C.60D. 802.正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）A.80︒B.135︒C.144︒D.150︒3. 小敏将一个正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图所示，该正五边形的边心距OB 2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算12AC AB += .（不能用三角函数表达式表示） O BACABO4. 求证：从正六边形的一个内角顶点所作的三条对角线四等分这个内角.BA CD EFG H5. 如图，O e 的半径为10cm ，把圆周六等分的分点为M 、N 、P 、Q 、K 、T ，分别联结MP 、NQ 、NT 、PK 、QT 、MK ，得到两个三角形MPK 和NQT ，它们的边分别相交于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，求这个六边形的面积.BAC F DEMTP6. (1)正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt △BOD 中进行：则DO:BD:OB 的值？ (2)如果是正四边形，则OE:AE:OA 的比值是多少？ (3)如果是正六边形AB:OB:OA 的比值是多少？ODCBAEOABC DOBA7. 求边长为a 的正五边形ABCDE 的对角线的长.8.设正五边形的边长为a ，面积为S ，在正五边形内任取一点A ，则点A 到正五边形的五边距离之和是一个定值吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由.综合迁移题（C ）1. 一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.ABCDOM KJIHGFE2. 已知：如图，⊙O 半径为R ，求⊙O 内接正八边形的边长a 8，边心距r 8和中心角.3. 1O e 和2O e 的公共弦AB 既是1O e 的内接正方形的一条边，又是2O e 的内接正三角形的一条边，已知AB=a ，求12O O 的长.参考答案： 针对训练 1. B2. 周长：（12242π+ 面积：（3672π-）厘米23. 2:14.6︒或114︒基础训练题（A ） 1. C 2. D 3. A 4. C 5. 轴6. 8，轴，中心7. 68. 72,369. 6或3010.1,2OM R =3,BC R =233S R =11. (1)108°（2）51DO =（提示：联结CE ，利用比例即可）12. 12cm ，263cm13. 证明过程略（提示：可证得APE BAE ∆∆:，所以AE EPBE EA =，从而得出答案）14. 4（提示：先找出圆心的位置，过A 作DE 的垂线，再联结AD ，并作AD 的中垂线，两条线的交点即是圆心，然后利用圆中的相关条件进行解答即可） 提高训练题（B ） 1. A2. A 5224. 证明过程略5. 2503cm6. （1）::32OD BD OB = （2）::2OE AE OA =（3）::32AB OB OA = 7.51+（提示：利用角度得出相似三角形，再根据比例即可求出答案 ） 8.2Sa（ 提示：用等面积法.通过两种方法表示出正五边形的面积，列出方程即可求出答案.）综合迁移题（C ） 1. 32:62a a =2. 中心角α＝∠AOB ＝8360︒＝45°，a 8＝AB ＝2AK ＝0.7654R ，r 8＝OK ＝OA ·cos ∠AOK ＝R ·cos22.5°＝0.9239R33+33-（提示：分圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况考虑）。