第四讲正多边形与圆分析

第四讲正多边形与圆

教学目标

1. 了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系，正多边形内角、中心角的求法.

2. 掌握圆与正多边形之间的关系及其相关运算.

3. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法.

教学重点正多边形内角、中心角的求法，正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念及求法. 教学难点会应用圆与圆的内接正多边形的边长之间的关系解决实际问题.

教学方法

建议

总结归纳，启发诱导，讲练结合，巩固优化

第一部分知识梳理

一. 与正多边形有关的概念

1.正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，如上图的正六边形ABCDEF.

2.正多边形的中心

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做这个正多边形的中心，如上图的点O.

3.正多边形的半径

正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,如上图中的OC、OD.

4.正多边形的边心距

正多边形的内切圆的半径长叫做这个正多边形的边心距，如上图中的OG.

5.中心角

正多边形的一边所对的关于外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,如上图圆中的∠COD.

二 .正多边形的对称性

1.正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形.

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.

2. 正多边形的中心对称性

当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形，它的对称中心是它的两条对称轴的交点.

当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形.

三. 圆内正多边形的计算

在正n边形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形.每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n边形的内切圆的半径.它的长是正n边形的边心距.

如图，设n边形的半径长为R，中心角为α，边长为a，边心距为r，则利用等腰三角形OCD，通过解直角三角形OGD，可由其中的两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长和面积.

在有关正多边形的计算中，重点掌握：

（1）已知边数求有关角的大小，或反过来已知有关角的大小求边数.

（2）利用三角比进行有关正三角形、正四边形、正六边形的边长、边心距和半径长的计算.

第二部分例题精讲

例1下面给出五个命题

（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆

（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形H

O

F

E

D

C

B

A

（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形

（4）正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形

（5）正n边形的中心角y，且与每一个外角相等

其中真命题有（）

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

出题意图：考查正多边形中的基本概念以及对称性.

解析：（1）正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；

（2）各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；

（3）圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；

（4）边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；

（5）正n边形的中心角

360

n

a

n

︒

=，且与每一个外角相等．

故正确的是（1）（5）.

答案： B

针对训练 1

下列命题中，正确的命题是（）

A.正多边形一定是中心对称图形.

B.正n边形的对称轴有n条.

C.正多边形的对称轴是过顶点和中心的直线.

D.各边相等的多边形是正多边形.

例2（1）如图1，已知△PAC是圆O的内接正三角形，那么∠OAC多少度？

（2）如图2，设AB是圆O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC﹦α﹒

①如果α﹦45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边形是几边形？请说明理由﹒

②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α，应为 .

出题意图： 考查圆内正多边形的计算.

解析：（1）先根据圆周角定理求出∠AOC 的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可解答；（2）①假设AC 是圆内接多边形的一条边，则此多边形的内角为45°×2=90°，故此多边形是正方形；②根据正多边形内角和定理即可求出答案． 答案：

解：（1）∵△PAC 是圆O 的内接正三角形 ∴∠AOC=2∠APC=2×60°=120° ∵OA=OC

︒

=︒

-︒=∠-︒=

∠∴3021201802180AOC OAC

（2）①能 ∵α=45°

∴圆内接正多边形的一个内角为90° ∴是正方形

②∵AC 是圆的内接正n 边形的一边

(2)1802n n

α-⨯︒∴=

n ︒︒=∴180-90α

针对训练 2

如图，已知正四边形ABCD 内接于半径是6厘米的O e ，求图中阴影部分的周长和面积.

D

C

B

A

O

例3 如图，已知半径长为R 的O e 中，ABC ∆和四边形ADEF 分别是O e 的内接正三角形和内接正方形，求BC 、EF 、EC 的长.

O

F E

C

B

A

出题意图： 考查正多边形的计算.

解析： 利用正多边形的相关概念，并结合三角比，通过解直角三角形即可得出答案. 答案： 如图，联结OB 、OC 、AE 、OF ，则

由题意AE 过点O ，且120,90BOC EOF ∠=︒∠=︒ 设OE 交BC 于H

AB AC =Q

»»,60,.AB AC BOE COE AE BC ∴=∠=∠=︒⊥

∴在BOH ∆中，3

sin BH OB BOE R =⋅∠=

23BC BH R ∴==

在OEF ∆中，90,EOF OE OF R ∠=︒==

2EF R ∴=

在EOC ∆中，60,COE OE OC R ∠=︒==

H O F E

D C

B

A