四川省高二上学期期中数学试题
四川省成都市简阳市成都市简阳实验学校(成都石室阳安学校)2024-2025学年高二上学期10月期中考
四川省成都市简阳市成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．设点()2,3,4A -在xOy 平面上的射影为B ，则OB等于（）AB ．5C ．D 2．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11,15,17,,23,26,27,34,37,38a ，若该组数据的40%分位数为22，则a =（）A ．19B ．20C ．21D ．223．设,R x y ∈，()1,1,1a = ，()1,,b y z = ，(),4,2c x =- 且,a c b ⊥ ∥c，则a b += （）A ．B C ．3D ．44．对空中移动的目标连续射击两次，设{A =两次都击中目标},{B =两次都没击中目标),C ={恰有一次击中目标}，{D =至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）A ．A D ⊆B ．AC BD = C ．A C D⋃=D ．B D =∅5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,,4,5,5,6x ，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（）A ．23B ．12C ．16D ．136．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为X ，方差为2s ，则（）A ．270,75X s <>B ．270,75X s ><C ．270,75X s =<D ．270,75X s =>7．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A ．3BCD ．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1,AC A B 的中点，则下列说法错误的是（）A ．//MN 平面11ADD A B ．异面直线MN 与1DD 所成角为60o C ．直线MN 与平面ABCD 所成角为45 D ．MN AB⊥二、多选题9．在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（）A ．8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B ．1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C ．1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差D ．1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差10．给出下列命题，其中正确的是（）A ．若{},,a b c是空间的一个基底，则{},,a b b c +r r r r 也是空间的一个基底B ．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C ．若空间四个点P ，A ，B ，C 满足1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线D ．平面α的一个法向量为()1,3,4m =-u r ，平面β的一个法向量为()2,6,n k =--r.若//αβ，则8k =11．已知事件A 、B 发生的概率分别为()13P A =，()14P B =，则下列说法正确的是（）A ．若A 与B 相互独立，则()12P A B = B ．若()14P AB =，则事件A 与B 相互独立C ．若A 与B 互斥，则()12P A B =D ．若B 发生时A 一定发生，则()14P AB =三、填空题12．经过点()1,2,1A ，点()3,4,5B 的直线的一个方向向量是.13．某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为万辆.14．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= .若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,x y ∈R ，()()()120102001,b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈R，则0y =，b =.四、解答题15．柜子里有3双不同的鞋，分别用1a ，2a ；1b ，2b ；1c ，2c 表示6只鞋，其中1a ，1b ，1c 表示每双鞋的左脚，2a ，2b ，2c 表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么(1)写出试验的样本空间；(2)求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.(3)求取出的鞋不成双的概率.16．2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[72,76),[76,80),[80,84),[84,88),[88,92),[92,96),[96,100)并绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；(2)用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.17．在四棱锥P ABCD -中．底面为矩形ABCD ，且3, 4.AD CD PD ==⊥平面,1ABCD PD =．M 为AB 中点．(1)求点P 到直线AC 的距离；(2)求异面直线,AC PM 所成角的余弦值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12,,CC D E =分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F BD E --的余弦值的取值范围.19．在空间直角坐标系Oxyz 中，定义：过点()000,,A x y z ，且方向向量为()(),,0m a b c abc =≠的直线的点方向式方程为000x x y y z z a b c---==；过点()000,,A x y z ，且法向量为()()222,,0m a b c a b c =++≠的平面的点法向式方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，将其整理为一般式方程为0ax by cz d ++-=，其中000d ax by cz =++．(1)求经过()()1,2,4,2,0,1A B -的直线的点方向式方程；(2)已知平面1:2310x y z α-+-=，平面1:240x y z β+-+=，平面()()()1:123250m x m y m z γ+-+++-=，若111,l l αβγ=⊄ ，证明：1l γ∥；(3)已知斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 所在平面2α经过三点()4,0,0P -，()()3,1,1,1,5,2Q H ----，侧面11BCC B 所在平面2β的一般式方程为40y z ++=，侧面11ACC A 所在平面2γ的一般式方程为()22110x my m z -+++=，求平面11ABB A 与平面11ACC A 的夹角大小．。
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c2．若直线经过(1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角是（）A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A B C ．5-D 4．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A ．1月29日景区A 累计参观人次中特色景点a 占比超过了13．B ．2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9800人次．C ．2月4日至2月6日特色景点a 的累计参观人次的增长率和2月6日至2月8日特色景点a 累计参观人次的增长率相等．D ．2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日至2月8日的增长率．5．如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处，从A ，B 到直线（水库底面与水坝的交线）的距离AC 和B 分别为3m 和4m ，B 的长为2m ，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中AC BC ⊥．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11C AB BA -为“阳马”B ．四面体111A CC B 为“鳖臑”C ．1EF AC ⊥D ．1EF A B⊥7．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,m a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()()0n u v w uvw =≠ ,,的直线l 的方程为000.x x y y z z uvw---==根据上述材料，解决下面问题：直线l 是两个平面220x y -+=与210x z -+=的交线，则（）是l 的一个方向向量．A ．()2,1,4B ．()1,3,5C ．()1,2,0-D ．()2,0,1-8．设直线系:cos sin 1m n M x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是假命题．．．的是（）A ．当1m n ==时，存在一个点与直线系M 中所有直线的距离都相等．B ．当2m n ==时，直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限．C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1．D ．当2,1m n ==时，若0a ≤，则点(),0A a 到直线系M 中所有直线的距离不小于1．二、多选题9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[)[)[)0,0.50.5,13,3.5 ，，，，制作了频率分布直方图，下列命题正确的有（）．A ．设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人．B ．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a (吨)的最低标准的估计值为2.7．C ．该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨．D ．在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4．10．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B ．已知直线10kx y --=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为213k -≤≤C ．直线10x y +-=与直线2210x y ++=D ．点P 在直线:10l x y --=上运动，(2,3),(2,0)A B ，则||||PA PB -11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为线段BM 上的动点（含端点），则下列选项正确的有（）A ．若直线1A M 与直线AN 所成角为α，则cos α的最大值为23．B ．若点N 到平面11ABCD 的距离为d ，则d CN +的最小值为5．C ．若在该正方体内放入一个半径为12的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是π22-．D ．点T 从B 点出发匀速朝1D 移动，点S 从A 点出发匀速朝1A 移动．现,S T 同时出发，当S 到达1A 时，T 恰好在1BD 的中点处．则在此过程中，,S T ．三、填空题12．一条光线经过点(2,3)A 射到直线10x y ++=上，被反射后经过点(1,1)B ，则入射光线所在直线的一般式方程为.13．已知三棱锥P ABC -，如图所示，G 为ABC V 重心，点M ，F 为PG ，PC 中点，点D ，E 分别在PA ，PB 上，PD mPA= ，()0PE nPB mn =≠ ，若M D E F ，，，四点共面，则11m n+=．14．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“i 的胜者”，负者称为“i 的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为．四、解答题15．如图，已知平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是菱形，1AB =，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．(1)证明：1C C BD ⊥；(2)若1CA ⊥平面1C BD ，求1CC 的长．16．班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个，黄球2个．(1)如下两种方案，哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．方案一：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次有放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品．(2)还剩最后一个奖品时，甲乙两位同学都想获得．于是他们约定：轮流从纸箱中有放回地抽取一球，谁先抽到黄球，谁获得奖品；如果3轮之后都两人都没有抽到黄球，则后抽的同学获得奖品．如果甲先抽，求甲获得奖品的概率．17．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且13AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点，四面体P BCG -的体积为83．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦；（2）求点D 到平面PBG 的距离；（3）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值．18．男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目．根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm ，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm ．为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下：射击序号123456789101112131415命中环数9.49.510.29.19.28.910.19.39.49.69.39.310.19.5 5.0(1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”．①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率；②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落．假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响．则甲至少需要进行几次射击，才能有90%以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？(2)经计算得甲这次训练命中环数的平均数15119.2015i i x x ===∑，标准差1.18s =，其中i x 为第i 次射击命中的环数，1i =，2，L ，15．第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大．为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩．求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差(精确到0.01)．(参考数据lg20.3010=，lg30.4771=)19．如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点．(1)求证：//NC 平面PAM ；(2)若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；(3)设P AM D --的大小为θ，若π(0,]2θ∈，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。
四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023~2024学年度上期高中2022级期中联考数学（答案在最后）考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）A.8B.9C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.⨯=．【详解】设4个小球分别为1A，2A，1B，2B，则试验结果为4312故选：C2.某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.⨯=，则成绩在515分以上人数为【详解】成绩在515分及以下人数为1600060%9600-=．1600096006400故选：D3.给出下列命题：①若空间向量a，b满足0a b ⋅<，则a与b的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c，若a c b c ⋅=⋅，则a b =；④若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当a 与b 的夹角为π，满足0a b ⋅< ，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由a c b c ⋅=⋅ ，得到()0a b c -⋅= ，所以a b = 或a b - 与c 垂直，所以③错误；对于④，因为{},,a b c 为空间向量的一个基底，所以,,a b c 不共面，故,,a b b c c a +++ 也不共面，所以{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]人数/人42550156A.59B.59.4C.69D.69.4【答案】D 【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为42550156506070809069.4100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：D5.若1()3P A =，()14P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 的关系为（）A.相互独立B.互为对立C.互斥D.无法判断【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式()5()()()6P A B P A P B P AB ==+- ，求出5()6P AB =，从而得到()()()P AB P A P B =⋅，即可判断出结果.【详解】因为()5135()()()()6346P A B P A P B P AB P AB ==+-=+-= ，得1()4P AB =，所以131()()()344P AB P A P B =⨯==⋅，故选：A.6.的正方形ABCD 对角线BD 折起，使得平面ABD 与平面CBD 所成二面角的大小为120︒，则异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为（）A.14B.14-C.34-D.34【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出,,,A B C D 坐标，从而得到13(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =-，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取BD 中点O ，连接AO ，CO ，以OC ，OB 分别为x ，y 轴，垂直面BOC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系o xyz -，如图所示，因为ABCD 的正方形，所以1OA OB OC ===,则(0,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，又易知，OA BD ⊥,OC BD ⊥，所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角，由题知，120AOC ∠=︒，所以030A Z ∠=︒，则13,0,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以，1(,1,)22AD =-- ，(1,1,0)BC =- ，故131322cos ,24AD BC AD BC AD BC+⋅===⋅ ，所以，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为34．故选：D.7.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为21s ．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，A 同学实际成绩137分，被错录为118分；B 同学实际成绩115分，被错录为103分；C 同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A.2212s s = B.2212s s > C.2212s s < D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为n ()0n >，因为11810312913711598++=++，所以更正前后平均分不变，且()()()()()()22222211812510312512912554913712511512598125973-+-+-=<-+-+-=，所以2212s s <．故选：C8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截得到的，其中3AB =，2BC =，14CC =，2BE =，则BC 中点G 到平面1AEC F 的距离为（）A.211B.3211C.32222D.92222【答案】D 【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(2,3,2)E ，1(0,3,4)C ，(1,3,0)G ，所以1(2,3,4)AC =- ，(0,3,2)AE =，(1,0,2)GE = ，设(,,)n x y z = 为平面1AEC F 的法向量，则100n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以3202340y z x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1z =，所以21,,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，点C 到平面1AEC F 的距离为2222GE n d n ⋅==．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x '，方差为2s '．下列结论正确的是（）A.x ax '=B.222a a cs =+' C.x ax c'=+ D.222s s a '=【答案】CD【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据(1,2,3,,)i x i n = 的平均数为x ，方差为2s ，则新数据(1,2,3,,)i ax c i n += 的平均值为x ax c '=+，方差为222s s a '=.故选：CD10.下面结论正确的是（）A.若事件M 与N 相互独立，则M 与N 也相互独立B.若事件M 与N 是互斥事件，则M 与N 也是互斥事件C.若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()0.58P M N =D.若()0.6P M =，()0.4P N =，则M 与N 互为对立事件【答案】AC 【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A 、B ；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C ，D.【详解】对于A ：若事件M 与N 相互独立，因为M N M MN =-，所以()()()()P M N P M MN P M P MN=-=-又()()()()()()()()1P M N P M P N P M P N P M P M P N ==-=-⎡⎤⎣⎦，所以()()()P MN P M P N =，所以事件M 与N 相互独立，所以()()()()P M N P N NM P N P NM=-=-()()()()()()()1P N P N P M P N P M P N P M =-=-=⎡⎤⎣⎦，所以M 与N 是相互独立事件，故A 正确；对于B ：若事件M 与N 是互斥事件，如掷一枚骰子出现1、2、3点记为事件M ，出现1、2、3、4点记为事件N ，则N 为出现5、6点，满足事件M 与N 是互斥事件，显然M 与N 不互斥事件，故B 错误；对于C ，若()0.4P M =，()0.3P N =，M 与N 相互独立，则()()()()()()0.40.3P M N P M P N P MN N M P P =+-=+- 0.70.40.30.58=-⨯=，故C 正确；对于D ：如从110 共10个整数中随机抽取一个数，记抽到1、2、3、4、5、6为事件M ，则()0.6P M =，记抽到1、2、3、4为事件N ，则()0.4P N =，显然M 与N 不为对立事件，故D 错误；故选：AC11.某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，该单位全体工作人员平均体重x 和方差2s 分别为（）A.61x =B.60x = C.2155s = D.2169s =【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为5a （0a >），女性人数为3a ，该单位全体人员体重的平均数为：536456615353a ax a a a a=⨯+⨯=++，所以该单位全体人员体重的方差为：2253151(6461)159(5661)16988⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦．故选：AD12.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==，点O 是AC 中点，点M 是棱SD 的上动点（M 与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为910B.从A 、O 、C 、S 、M 、D 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为35C.存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为60︒D.不存在点M ，使//OM 平面SBC 【答案】ABC 【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A 、O 、C 和S 、M 、D 分别共线，其余18种均不共线，故概率为2912010-=；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为93155=．故A 、B 正确．以A 为空间原点建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,2,0,0,1,1,0A D C S B O ，设DM DS λ=，(0,1)λ∈，设(),,M x y z ，则有()()(),2,0,2,20,22,2x y z M λλλ-=-⇒-，则(1,12,2)OM λλ=-- ，(2,0,0)AB =-，1cos ,2AB OM AB OM AB OM ⋅==⋅，解得24210λλ--=，()22160∆=-+>，方程有解，故C 正确．设平面SBC 的法向量(,,)n a b c =，()()0,2,0,2,0,2BC SB ==-，则有()201,0,1220n BC b n n SB a c ⎧⋅==⎪⇒=⎨⋅=-=⎪⎩，由0OM n ⋅= ，可得1212λλ=⇒=，故D 错误．故选：ABC【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：8636029371409857572703474373964746983312 6710037162332616959780456011366142817424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为153 204=．故答案为：3 414.某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取n名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则n=__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为1n，高中生抽取的人数为3n，则初中生抽取的人数为360n+，所以331601100**********n n n +==，解得340n =，1110n =从而13306025n n n n +==++．故答案为：25015.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设i A ()1,2,3,4i =为独孤队第i 局取胜，由题意，独孤队取胜的可能结果为四个互斥事件：123A A A ，1234A A A A ，1234A A A ，1234A A A A ，所以独孤队取胜的概率()()()()123123412341234P P A A A P A A A A P A A A A P A A A A =+++0.40.50.60.40.50.40.50.40.50.40.50.60.30.40.50.236=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：0.23616.已知空间向量a ，b ，c 两两之间的夹角均为60︒，且2= a ，6b = ，2c = ，若向量x ，y分别满足()0y y a b ⋅+-= 与12x c ⋅=，则y x - 的最小值为__________．【答案】5-5【解析】【分析】由题意可得2b a y --= ，令2b ap -=，可得y p -= 且2p c ⋅= ，利用数量积的性质得出5x p -≥，最后由模的三角不等式()()()()y x y p x p x p y p -=---≥--- 可得结论．【详解】依题意26cos606a b ⋅=⨯⨯︒=，22cos 602a c ⋅=⨯⨯︒=，62cos606b c ⋅=⨯⨯︒=，因为()0y y a b ⋅+-= ，所以()222022b a b a y b a y y ⎛⎫⎛⎫---⋅-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2222724b a b a b a y ⎛⎫--⋅+-== ⎪⎝⎭，所以2b ay --= ，令2b a p -= ，则y p -= ，且222b a bc a cp c c -⋅-⋅⋅=⋅==，由12x c ⋅= ，得()122x c p c x p c x p c -=⋅-⋅=-⋅≤-⋅，所以1052x p -≥=，所以()()()()5y x y p x p x p y p -=---≥---≥当且仅当x p - ，y p -u r u r共线同向且x p - ，c 共线时等号成立.故答案为：5-【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由()0y y a b ⋅+-= 结合已知变形得出2b ay --=，引入向量2b ap -=，可得y p -= ，从而得到x p - 的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省泸州市叙永第一中学校高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】D【分析】直接利用两条直线平行的充要条件进行求解即可． 【详解】解：因为直线10x ay ++=和直线210x y -+=互相平行，所以1(1)201(1)10a a ⨯--=⎧⎨⨯--⨯≠⎩，解得12a =-．故选：D ．2．若a b >，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．22a b > D ．ln ln a b >【答案】C【分析】利用特殊值1a =-，4b =-判断选项A ，利用作差法判断选项B ，利用指数函数的单调性判断选项C ，利用对数的定义判断选项D ，【详解】解：因为a b >，若1a =-，4b =-，则22a b <，故选项A 错误； 因为11b a a b ab--=，当0ab >时，11a b <，故选项B 错误；因为2x y =在R 上为增函数，若a b >，则22a b >，故选项C 正确； 若0a b >>，则lna 和lnb 无意义，故选项D 错误． 故选：C ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B【分析】由分层抽样的概念求解，【详解】设从高二学生中抽取的人数为x ，则7=210270x ，得9x =， 故选：B4．有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()1,2,3,i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则这两组样本数据（ ）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．标准差不相同D ．极差相同【答案】D【分析】由各个统计量的概念判断， 【详解】对于A ，设12,,,n x x x 的平均数为x ，则12,,,n y y y 的平均数为x c +，对于B ，设12,,,n x x x 的中位数为m ，则12,,,n y y y 的中位数为m c +，对于C ，由方差与标准差的计算公式，可得12σσ=， 对于D ，max min max min x x y y -=-，两组样本数据极差相同 故选：D5．现有以下两项调查：①从100台刚出厂的电视机中抽取3台进行质量检查；②某社区有1000户家庭，其中高收入家庭100户，中等收入家庭820户，低收入家庭80户，为了调查家庭每年生活费的开支情况，计划抽取一个容量为50的样本，则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ） A ．①②都采用简单随机抽样 B ．①②都采用分层随机抽样C ．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样D ．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特点，判断选项. 【详解】①的总体中的个体数较少，宜采用简单随机抽样，②中1000户家庭中收入存在较大差异，层次比较明显，宜采用分层抽样. 故选：C6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào ）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为A ．6B ．21C ．27D ．54【答案】C【分析】结合三视图,还原直观图,计算表面积,即可. 【详解】结合三视图,还原直观图为已知3,4,3AB BC CD ===,则该四面体1111272222S AB BC AC CD AB BD BC CD =⋅+⋅+⋅+⋅=,故选C. 【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,难度中等.7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==.故选：D.8．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,m αβα⊂，则//m β. D ．若//m β，m α⊂，则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α，B 选项两条直线位置关系不能确定，C 选项正确，D 选项两个平面相交也能满足//m β，m α⊂.【详解】A 选项，当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α，所以该选项不正确；B 选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，所以该选项不正确；C 选项，根据面面平行的性质，说法正确；D 选项，当两个平面相交，m α⊂且平行于交线，也满足//m β，m α⊂，所以不能推出面面平行. 故选：C【点睛】此题考查空间点线面位置关系的辨析，根据已知条件判断线面平行，线线平行和面面平行，关键在于熟练掌握相关定理公理.9．在一个实验中，某种豚鼠被感染A 病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ） A ．0.25 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.75【答案】A【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.【详解】20组数据中，都不含1,2,3,4的数据有5个，分别是：907，966，569，556，989； 故三只豚鼠都没被感染的概率为：50.2520=. 故选：A .10．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．25C ．5D ．252【答案】D【分析】由基本不等式求解， 【详解】由题意得3132x y xy y x+=+=，则 31123()131323625(34)2222y xx y x y x y +++++=≥=，当且仅当123y x x y =即55,24x y ==时等号成立， 故选：D11．在如图的直角梯形ABCD 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统证法”．设15BEC ∠=︒，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）的概率是（ ）A ．23B ．34C 3D 2【答案】A【分析】根据()()()=ΩS A P A S 计算即可． 【详解】解：记此点取自等腰直角CDE 中（阴影部分）为事件A ， 此点取自梯形ABCD 为事件Ω， 在Rt CEB △中，·sin b c CEB =∠，·cos a c CEB =∠，()22222232?sin cos ?sin 302a b c c CEB CEB c c c ∴+=+∠⋅∠=+︒=， 212△=⋅DCE S c ，()221324梯形=⋅+=ABCD S a b c ，()()()22122334∴===Ωc S A P A S c ．故选：A ．12．若,x y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +≥B ．2x y +≥C ．221x y +≤D ．222x y +≤【答案】D【分析】由基本不等式求解，【详解】由题意得222x y xy ≤+，即222221x x y y -++≤，得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时等号成立，故C 错误，而0,1x y ==-时满足题意，故A ，B 错误， 故选：D二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图 因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．从甲、乙等5名同学中随机选3名组成校庆志愿小分队，则甲、乙都不入选的概率为 ________. 【答案】110##0.1 【分析】由组合数与古典概型求解，【详解】由题意得甲、乙都不入选的概率为3511C 10p ==， 故答案为：11015．某产品的广告费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表：若x 与y 之间是线性关系，且根据上表可得回归直线方程ˆ68y x =+，现发现表中有一个数据模糊看不清，该数据是___________. 【答案】31【分析】根据回归方程过样本中心点可得答案. 【详解】设表中模糊不清数据为m ，由表知6345109: 4.5,44m x y ++++===， 代人回归方程ˆ68yx =+中，得1096 4.584m+=⨯+，解得31.m = 故答案为：31.16．在三棱锥ABCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________. 【答案】【分析】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,可证明AM DM ⊥，通过几何关系可得到外接球的半径为OB =【详解】取BC 的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 和正三角形BCD 的重心，O 是该三棱锥外接球的球心，连接,,,,,AM DM OF OE OM OB ,则,E F 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ，OE ⊥平面ABC ，AM BC ⊥，DM BC ⊥， 因为平面ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面ABC ⋂平面BCD BC =，AM ⊂平面,ABC 所以AM ⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得//DM OE ，所以四边形OEMF 是平行四边形， 因为AM BC ⊥，DM BC ⊥，AMDM M =，,AM DM ⊂平面ADM ，所以BC ⊥平面ADM ，又OM ⊂平面ADM ，所以OM BC ⊥， 因为AM ⊥平面BCD ，DM ⊂平面BCD ， 所以AM DM ⊥， ∵3633AM DM === ∴133EM FM AM ==∴四边形OEMF 为正方形，∴6OM = 在直角三角形OMB 中，球半径()22226315OB OM BM =++∴外接球体积为341520153ππ⨯=，故答案为：2015π三、解答题17．求下列不等式的解集： (1)2450x x -++<； (2)5131x x +<+. 【答案】(1){|1x x <-或5}x > (2){|11}x x -<<【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）移项，通分后化简求解，【详解】（1）由2450x x -++<，得2450x x --> 解得1x <-或5x >.所以不等式的解集为{|1x x <-或5}x >； （2）由5131x x +<+，可得2201x x -<+， 等价于(1)(1)0x x -+<，解得11x -<<， 所以不等式的解集为{|11}x x -<<．18．某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的线性回归方程55211135,41.7i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑；(2)据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i x y i n =，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =- 【答案】(1)0.320.06y x =- (2)3.14万人【分析】（1）根据已知数据，先求得,x y ，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程； （2）利用回归方程估计.【详解】（1）解：由()13456755x =⨯++++=()11 1.1 1.5 1.9 2.2 1.54.5y =⨯++++=有241.755 1.54ˆ0.32, 1.540.3250.0613555ba -⨯⨯===-⨯=--⨯， 故y 关于x 的线性回归方程为0.320.06y x =-；（2）解：由（1）知回归方程为0.320.06y x =-，当10x =时，0.32100.06 3.14y =⨯-=， 所以预测该月的用户数量为3.14万人.19．已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：该保险公司这种保险的赔付规定如下：将所抽样本的频率视为概率．（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值．【答案】（1）1.035a ；（2）0.945a .【分析】（1）得出保费0.9a ，a ，1.5a ，2.5a ，4a 对应的概率，即可得出本年度续保人保费的平均值的估计值；（2）先计算出每个赔偿金额对应的概率，然后按照平均值的计算公式得出本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；【详解】（1）由题意可得保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人保费的平均值的估计值为0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a a（2）由题意可得赔偿金额（元）0 2.5a4a5a 5.5a概率0.7 0.2 0.06 0.03 0.01本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=a a a a a00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.94520．某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的200名学生进行了一次测试.已知参x i=全部介于45分到95分之间，该校将所有分数分成5组：加此次测试的学生的分数(1,2,3,,200)i[45，55)，[55，65)，⋯，[85，95]，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.(1)求m的值，并估计此次校内测试分数的平均值x；x i=的方差2s，并判断此次得分为52分和94分的两名(2)试估计这200名学生的分数(1,2,3,,200)i同学的成绩是否进入到了[2,2]x s x s -+范围内？（参考公式：2211()n i i i s f x x n ==-∑，其中i f 为各组频数；参考数据：12911.4)≈【答案】(1)m 0.024=，75(2)129，进入【分析】（1）由各组的频率和为1，可求出m 的值，再根据平均数的定义可求出x ；（2）利用方差公式求出方差2s ，然后计算出[2,2]x s x s -+，再判断即可.【详解】（1）(0.0060.014++m 0.0360.020)101++⨯=．∴m 0.024=.∴该次校内考试测试分数的平均数的估计值为：500.06600.14700.24800.36900.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.（2）2211()n i i i s f x x n ==-∑ 222220.06(5075)0.14(6075)0.24(7075)0.36(8075)0.2(9075)=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-129=．∴s 12911.4=≈，∴252.2,297.8x s x s -=+=．∴得分为52分的同学的成绩没有进入到[52.2，97.8]内，得分为94分的同学的成绩进入到了[52.2，97.8]内．21．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PD AB ==，E 为PC 中点．(1)求证：DE ⊥平面PCB ；(2)求二面角E BD P --的余弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）根据条件先证BC ⊥平面PCD ，得到BC ⊥DE ，再由DE ⊥PC ，即可证明DE ⊥平面PCB .（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE ，平面PDB 的法向量，即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明:PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又∵正方形ABCD 中，CD ⊥BC ，PD CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，又∵DE ⊂平面PCD ，∴BC ⊥DE ，∵PD ＝CD ，E 是PC 的中点，DE ⊥PC ，PC BC ＝C ，且PC ⊂面PCB ，BC ⊂面PCB∴DE ⊥平面PCB（2）以点D 为坐标原点，分别以直线DA ，DC ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,1,D P B E则()()2,2,0,0,1,1DB DE ==，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则220000x y n DB y z n DE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩， 令1z =，得到1,1y x =-=，()1,1,1n ∴=-又()()0,2,0,2,0,0C A ，则()2,2,0AC =-，且AC ⊥平面PDB ，∴平面PDB 的一个法向量为()1,1,0m =-，设二面角E BD P --的平面角为α，则1cos cos ,m n α+=<>== 所以二面角E BD P -- 22．已知函数()2()22f x ax a x =-++，a R ∈(1)求关于x 的不等式()0f x ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程(21)xf -11m m=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(,4-∞--【分析】(1)对a 进行讨论，分别求出其解集即可；（2）先令11t m m =++ 由0m >，则可得3t ≥，再将关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-= 有两个不同正根，结合根与系数的关系，即可求解.【详解】（1）当a<0时，不等式的解集为或2{|1}x x a≤≤； 当0a =时，不等式的解集为 {|1}x x ≤；当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥； （2）当 0m > 时，令 1113s m m =++≥=，当且仅当1m =时取等号，设 |21|x t -=，则原方程可化为2()(2)20g t at a t s =-++-=.由题意知()0g t =在(0,1)有两个不等的实根.因为(0)20g s =-<，(1)0g s =-<，固有()()224200201a a s a aa ⎧⎪∆=+-->⎪<⎨⎪+⎪<<⎩解得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.。
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市郫都区2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列调查中，适合用普查的是（）A ．了解我省初中学生的家庭作业时间B ．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量C ．了解一批电池的使用寿命D ．了解某市居民对废电池的处理情况2．若随机事件A ，B 满足()23P A =，()12P B =，()56P A B +=，则()P AB =（）A ．16B ．13C ．12D ．233．2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（）A ．盛李豪的平均射击环数超过10.6B ．黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C ．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D ．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差4．下列命题中正确的是（）A ．点()3,2,1M 关于平面yOz 对称的点的坐标是()3,2,1--B ．若直线l 的方向向量为()1,1,2e =- ，平面α的法向量为()6,4,1m =-，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120 ，则直线l 与平面α所成的角为30oD ．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，P 四点共面，且任意三点不共线，若12OP mOA OB OC =-+ ，则12m =-5．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A ．3BC D ．6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A ．事件B 与C 互斥B ．()58P A B ⋃=C ．()()()()P ABC P A P B P C =D ．,,A B C 两两相互独立7．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A ．6B ．14C D ．48．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知12,1===AB AD AA .动点P 从1A 出发，在棱11A B 上匀速运动；动点Q 同时从B 出发，在棱BC 上匀速运动，P 的运动速度是Q 的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎡⎢⎣C ．⎤⎥⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦二、多选题9．某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图.现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（）A ．该学校高一学生共800人B ．志愿服务小组共有学生96人C ．志愿服务小组中高三学生共有20人D ．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为22510．下列对随机事件,A B 概率的说法正确的有（）A ．若,AB 相互独立，则(()()P AB P A P B =B ．若,A B 互斥，则()()()P AB P A P B =C ．()()()P A P AB P AB =+D ．()1()P A B P AB +=-11．若一个平面α与棱长为2的正方体的六个面都相交，且它们相交所成的二面角分别为(16)i i θ≤≤，则下列说法正确的是（）A ．621sin 2i i θ==∑B ．621sin 4i i θ==∑C ．若正方体的每条棱与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为D ．若正方体的每个面与平面α所成角都相等，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为三、填空题12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为.13．已知一组数据12,,,n x x x ⋯的平均数为10，方差为2，若这组数据1221,21,x x --⋯，21n x -的平均数为a ，方差为b ，则a =b =.14．两条异面直线a ，b 所成的角为60︒，在直线a 上取点A ，E ，在直线b 上取点B ，F ，使AB a ⊥，且AB b ⊥.已知6,8,14AE BF EF ===，则线段AB 的长为.四、解答题15．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是34，得到黄球或蓝球的概率是12．(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，L ，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值及样本成绩的第75百分位数；(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z 和方差2s .17．如图，在四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1,CD AB BC ===，1,,PA AB BC N =⊥为PD 的中点.(1)求证://AN 平面PBC ;(2)求点N 到平面PBC 的距离;(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值是26，若存在，求出DMDP的值，若不存在，请说明理由.18．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组（岁）本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p 3[35,40)1000.54[40,45)a 0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．19．已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量,a b的夹角，记作,a b ，.定义a 与b 的“外积”为a b ⨯ ，且a b ⨯是一个向量，它与向量,a b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面,ABCD 4,DP DA ==E 为线段A 上一点，||AD BP ⨯=(1)求AB 的长；(2)若E 为A 的中点，求平面PEB 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)若M 为线段PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=，求||λ.。
四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
高2022级上学期数学期中考试题（答案在最后）2023.11.13一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.直线x =）A.90︒B.120︒C.60︒D.不存在【答案】A 【解析】【分析】直线的斜率不存在，即得倾斜角【详解】∵直线x =x 轴垂直,∴其倾斜角为90︒，故选：A2.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11A C 与11B D 的交点，若1AA a = ，AB b = ，AD c =，且=++AM xa yb zc ，则x y z ++=（）A.2B.12-C.0D.1-【答案】A 【解析】【分析】以,,a b c 为基底表示出向量AM，即可求出对应的,,x y z 的值，即可得结果.【详解】根据题意易知()()1111111111112222AM AA A AA A A A M B D A A A a b c B D =+=++=++=++ ，即可知111,,22x y z ===，所以可得2x y z ++=.故选：A3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）A.13B.38C.12D.58【答案】C 【解析】【分析】根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.【详解】甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为4182=．故选：C.4.已知直线()1:320l x a y +-+=，()2:310l a x ay -+-=，则“1a =-”是“12l l ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线垂直可得1a =-或3a =，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.【详解】若12l l ⊥，则()330a a a -+-=，解得1a =-或3a =，故“1a =-”是12l l ⊥的充分不必要条件．故选：A ．5.若椭圆2221x y +=的离心率为e ，则e 的值为（）A.12B.2C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的离心率公式直接求解.【详解】由题意得椭圆长半轴1a =，短半轴22b =，所以半焦距2c ==，所以离心率2212c e a ===，故选：C.6.在平面直角坐标系中，设点()()1,1,2,2-A B ，点M 在单位圆上，则使得ABM 为直角三角形的点M 的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】对ABM 的直角位置进行分类讨论，结合垂直关系以及圆与圆之间的位置关系即可求得不同情况下满足题意的点M 的个数，综合可得共有4个.【详解】根据题意，若ABM 为直角三角形，分以下3种情况进行讨论：①若90MAB ∠= ，则点M 在过点A 与AB 垂直的直线上，如下图所示：设直线为1l ，又()()1,1,2,2-A B 可得21321AB k +==-，所以直线1l 的斜率为113k =-，即直线方程为()1113y x +=--，即320x y ++=，此时圆心O 到直线1l 的距离为15d ==<，即直线1l 与单位圆相交，此时有两个公共点，即2个符合题意的点M ；②若90MBA ∠= ，则点M 在过点B 与AB 垂直的直线上，如下图所示：设直线为2l ，显然直线2l 的斜率为213k =-，即直线方程为()1223y x -=--，即380x y +-=，此时圆心O 到直线2l 的距离为15d ==>，即直线2l 与单位圆相离，此时无公共点；③若90AMB ∠= ，则点M 在以AB 直径的圆上，如下图所示：易知AB 的中点为31,22⎛⎫⎪⎝⎭，且AB ==即以AB 直径的圆的方程为22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=，显然5310571122222-=<<+=，即两圆相交，此时有两个符合题意的点M .综上可知，符合题意的点M 共有4个.故选：D7.若直线:30l kx y k -+=与曲线1C y =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.13,24⎛⎤⎥⎝⎦B.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】直线:30l kx y k -+=即()30k x y +-=，恒过定点(3,0)-，曲线1C y =-即()()22111x y y +-=≥表示以点(0,1)为圆心，半径为1，且位于直线1y =上方的半圆（包括点(1,1)-，(1,1)），当直线l 经过点(1,1)-时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时101132k -==-+，直线记为1l ；当l1=，得34k =，切线记为2l ，分析可知当1324k ≤<时，l 与曲线C 有两个不同的交点，即实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E .记1A F 与平面11BCC B 所成角为α，1A F 与1AD 所成角为β，则（）A.3παβ<< B.3παβ<< C.3παβ>>D.3παβ<<【答案】D 【解析】【分析】利用作图，构造出α和β，分别求tan α和tan β，比较后，即可判断选项.【详解】如图，取1CC ，1BB ，11B C 的中点G ，M ，N ，连接EG ，1D G ，MN ，1A M ，1A N ，1B F ，设棱长为2，//MN EG ，MN ⊄平面1AEGD ，EG ⊂平面1AEGD ，所以//MN 平面1AEGD ，1//A N AE ，同理1//A N 平面1AEGD ，，且1A N MN N = ，所以平面1//A MN 平面1AEGD ，所以点F 在线段MN 上，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以11A FB α∠=，因为1//AD MN ，所以1A FM ∠或1A FN ∠为β，111tan A B B Fα=,当点F 在MN 的中点时，1B F 最小，此时tan α最大，最大值是，当点F 与点M ，N 重合时，1B F 最大，此时tan α最小，最小值是2，当点F 在MN 的中点时，2πβ=，当点F 与点M ，N 重合时，β最小，1A M =,2MF =，12A F ==，tan 3β=，所以2tan α≤≤，tan 3β≥，tan 3π=所以3παβ<<.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.掷一枚均匀的硬币两次，记事件A =“第一次出现正面”，B =“第二次出现反面”，则有（）A.A 与B 相互独立B.()()()⋃=+P A B P A P BC.A 与B 互斥D.1()4P AB =【答案】AD 【解析】【分析】由相互独立事件的定义可判断A ；由概率加法公式的使用条件可判断B ；由互斥事件的定义可判断C ；由独立事件的概率乘法公式可判断D.【详解】A 选项，由题意得事件A 的发生与否对事件B 的发生没有影响，∴A 与B 相互独立，对，B 选项、C 选项，由于事件A 与B 可以同时发生，∴事件A 与B 不互斥，错，D 选项，由于A 与B 相互独立，∴1()()()4P AB P A P B =⨯=，对，故选：AD10.下列说法正确的是（）A .直线()()213750m x m y m ++-+-=必过定点()1,3B.过点(2,1)P 作圆225=x y +的切线，切线方程为250x y +-=C.经过点()1,1P ，倾斜角为θ的直线方程为()1tan 1y x θ-=-D.直线210x y --=的方向向量()2,1m =-【分析】直线方程化为(25)2370m x y x y +-+-+=，即可求定点判断A ；确定(2,1)P 在圆225=x y +上，并求切线斜率，应用点斜式写出切线方程判断B ；注意倾斜角θ为直角的情况判断C ；由直线方程写出一个方向向量，判断是否与()2,1m =-共线即可判断D.【详解】A ：由()()213750m x m y m ++-+-=，即(25)2370m x y x y +-+-+=，令2502370x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，故必过定点()1,3，对；B ：由22215+=，即(2,1)P 在圆225=x y +上，圆心(0,0)O ，所以12OP k =，故切线斜率2k =-，则切线方程为12(2)y x -=--，所以切线方程为250x y +-=，对；C ：当倾斜角θ为直角时，直线方程不能用()1tan 1y x θ-=-表示，错；D ：直线210x y --=的一个方向向量为(2,1)，显然与()2,1m =- 不共线，故()2,1m =-不是方向向量，错.故选：AB11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ､N 分别是11C D ､1B B 的中点，平面1A MN 与棱1CC 的交点为E ，点F 为线段1D D 上的动点，则下列说法正确的是（）A.1CE EC =B.三棱锥11B A MN -体积为23C.若112=D F 则BF 平面1A MN D.若11D F =，则直线BF 与1A N 所成角的正弦值为23【分析】对于A,根据面面平行的性质可知1//A N ME ,进而可知E 的位置.对于B,根据等体积法,转化成求三棱锥11N A MB -的体积即可.对于C,根据面面平行证明线面平行即可求解.对于D,根据异面直线所成角的求法:平移找角,然后求角即可.【详解】由题可知:点E 满足1//ME A N ,故1114C E C C =,所以A 错误.111111111221333MB B A MN N A B M A V V S B N --==⨯⋅=⨯⨯= ,故B 正确.在边1CC 上取一点H ,使114CH CC =.故1//,//FH A N BH NE ⇒平面1//A MN 平面FBH ,BF ⊂ 平面FBH ,所以BF 平面1A MN ,故C 正确.(如图一)取1AA 的中点P ,1//,BP A N PBF ∴∠ 为直线BF 与1A N 所成角,(如图二)22,3,sin 3FP FP BF PBF BF ====∴∠==,故D 正确.故选:BCD12.已知平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(1)λ≠的点P 的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知(2,0),(4,0)A B -，若12λ=，则下列关于动点P 的结论正确的是（）A.点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16πB.当P 、A 、B 不共线时，△PAB 面积的最大值是6C.当A 、B 、P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D.若点(3,1)Q -，则2PA PQ +的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】应用两点式求P 的轨迹方程为()22416++=x y ，即可判断A ，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B ，根据||||||||PA OA PB OB =，结合角平分线的性质判断C ，由已知有2PA PQ PB PQ +=+，利用三点共线求最小值判断D.【详解】设(,)P x y ，因为PA PB=12=，整理得2280x x y ++=，即()22416++=x y ．A ：点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16π，正确；B ：圆的半径为4且6AB =，当△PAB 的底边AB 上的高最大时，面积最大，所以△PAB 面积的最大值是164122⨯⨯=，错误；C ：当A ，B ，P 不共线时，由12PAPB =，OA =2，4OB =，即12OA OB =，故||||||||PA OA PB OB =．由角平分线定理的逆定理知：射线PO 是∠APB 的平分线，正确；D ：因为12=PA PB，即2|PA =PB |，则2PA PQ PB PQ +=+，又P 在圆()22416++=x y 上，如图所示，所以当P ，Q ，B三点共线时，2PA PQ +取最小值，此时min (2||||)||PA PQ BQ +===，正确.故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.点()2,1关于0x y -=的对称点为_______________【答案】()1,2【解析】【分析】设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果.【详解】设对称点坐标为(),a b ，根据题意可得111221022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-=⎪⎩，解得1,2a b ==；所以对称点坐标为()1,2.故答案为：()1,214.在三棱锥O ABC -中，60AOB AOC ∠=∠=︒，OA OB OC ==，BC =，则异面直线OB 与AC所成的角是_________【答案】60︒【解析】【分析】设1OA =，则1OB OC ==，BC =90BOC ∠=︒，将,,OA OB OC 作为空间向量的一组基底，表示出AC ,然后利用向量的夹角公式求解即可.【详解】设1OA =，则1OB OC ==，BC =所以222OB OC BC +=，所以OBC △为直角三角形，即90BOC ∠=︒，所以0OB OC ⋅= ，因为60AOB AOC ∠=∠=︒，所以111122OA OB OA OC ⋅=⋅=⨯⨯= ，因为AC OC OA =- ，所以1AC = ，12OB AC OB OC OB OA ⋅=⋅-⋅=- ,设异面直线OB 与AC 所成的角为θ（090θ︒<≤︒），则112cos cos ,12OB AC OB AC OB AC θ⋅====⋅ ，因为090θ︒<≤︒，所以60θ=︒，即异面直线OB 与AC 所成的角为60︒，故答案为：60︒..15.数据1，2，7，3，4，5，3，6的p 分位数是5，则p 的取值范围是__________【答案】53,84⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据百分位数的知识求得p 的取值范围.【详解】数据从小到大排序为：1,2,3,3,4,5,6,7，5在第6位，所以53586,,84p p ⎛⎫<<∈ ⎪⎝⎭.故答案为：53,84⎛⎫ ⎪⎝⎭16.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为________.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为________.【答案】①.()()211αβ--②.()()23311βββ-+-【解析】【分析】利用相互独立事件得概率公式计算即可求解.【详解】采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的事件是发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1的3个事件的积.3次发送和接收相互独立，所以所求概率为()()()()()211111βαβαβ---=--.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1这四个事件的和.所以所求概率为()()()()232323C 11311ββββββ-+-=-+-.故答案为：()()211αβ--；()()23311βββ-+-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或步骤.17.已知直线l 经过点()1,2P -．（1）若直线l 与直线230x y --=平行，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）250x y -+=（2）20x y +=或10x y +-=【解析】【分析】（1）利用两直线平行设出直线l 的方程，代入点P 坐标即可求得直线方程；（2）分情况对截距是否为0进行分类讨论，利用直线方程的截距式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可设直线l 的方程为20x y C -+=,将点()1,2P -代入计算可得5C =，可得直线l 的方程为250x y -+=.【小问2详解】若在两坐标轴上的截距为0，则可得直线方程为2y x =-，即20x y +=；若在两坐标轴上的截距不为0，设为a ，则直线l 的方程为1x y a a+=，代入点()1,2P -可得1a =，可得直线l 的方程为10x y +-=；综上可知，直线l 的方程为20x y +=或10x y +-=18.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，其中一个焦点坐标是)，长轴长是短轴长的2倍.（1）求E 的方程；（2）设直线l ：2y kx =+与E 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅=uu r uu u r，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）426k =±.【解析】【分析】（1）由题可得c =2a b =，即可解出,a b 得出椭圆方程；（2）设A ，B 的坐标为()11,x y ，()22,x y ，联立直线与椭圆，由韦达定理结合2OA OB ⋅=uu r uu u r 建立方程，即可求出k 值.【详解】（1）解：由题意得，c =2a b =，222a b c =+ 解得2a =，1b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．（2）解：设A ，B 的坐标为()11,x y ，()22,x y ，依题意得，联立方程组22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()221416120k x kx +++=．()22(16)48140k k ∆=-+>，234k >，1221614k x x k -+=+，1221214x x k =+，()()()()212121212121222124OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+++=++++uu r uu u r ()22222121612201244141414k k k k k k k --=+⋅+⋅+=+++，∵2OA OB ⋅=uu r uu u r ，∴2212204214k k-+=+，27364k =>，所以，6k =±.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查利用韦达定理求参数，属于中档题.19.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AAAB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.（1）求证：1B E //平面11A C F ；（2）求直线1AC 与平面11A C F 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）法一：连接11B D 与11A C 交于点O ，利用中位线及正四棱柱性质证明四边形1B EFO 为平行四边形，结合平行四边形性质利用线面平行的判定定理证明；法二：利用正四棱柱性质得11A B EG 为平行四边形，结合平行四边形性质利用线面平行的判定定理证明；法三：利用面面平行的判定定理证明平面1//B ME 平面11A C F ，然后利用面面平行的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【小问1详解】法一：如图1，连接11B D 与11A C 交于点O ，连接,OF EF ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以EF BD ∥，且12EF BD =，由1111ABCD A B C D -为正四棱柱，可知11//B D BD ，且11B D BD =，所以11EF B D ∥且11112EF B D B O ==，故四边形1B EFO 为平行四边形，所以1B E OF ∥，又因为OF ⊂平面111,A C F B E ⊄平面11A C F ，所以1//B E 平面11A C F .法二：如图2，取AD 中点为G ，连接1,,A G GF EG ，由于,G F 分别为,AD CD 的中点，则11GF AC A C ∥∥，则11,,,A G F C 四点共面；因为,E G 分别为,BC AD 中点，则有EG AB ∥且EG AB =，而11//A B AB 且11A B AB =，故11//EG A B 且11EG A B =，故11A B EG 为平行四边形，所以11B E A G ∥，又因为1A G ⊂平面111,A C F B E ⊄平面11A C F ，所以1//B E 平面11A C F .法三：如图：取AB 中点M ，连接MF 、AC 、ME 、1B M ，则11ME AC A C ∥∥，又ME ⊄平面11A C F ，11AC ⊂平面11AC F ，所以ME 平面11A C F .11MF B C ∥，11MF B C =，故11B C FM 为平行四边形，所以11B M C F ∥，又1B M ⊄平面11A C F ，1C F ⊂平面11A C F ，所以1B M 平面11A C F .又1B M ME M ⋂=，1B M ⊂平面1B ME ，ME ⊂平面1B ME ，所以平面1B ME 平面11A C F .又1B E ⊂平面1B ME ，所以1//B E 平面11A C F .【小问2详解】设正四棱柱底面边长为2，则侧棱长为4，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()110,0,0,0,0,4,2,2,0,2,2,4,1,2,0A A C C F ，则()()()11112,2,4,2,2,0,1,2,4A C A C A F =-==- ，设平面11A C F 的一个法向量为(),,n x y z =r，则有11100n A C n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，0240x y x y z +=⎧⎨+-=⎩，取()1,4,4,1z n ==- ，设直线1AC 与平面11A C F 所成角为α，则1sin cos ,33A C n α== .20.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“2X ≥”的事件概率．【答案】（1）415；（2）1725.【解析】【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中3号歌手的概率；利用()()()P AB P A P B =⋅求得结果；（2）根据()()()223P X P X P X ≥==+=，分别求解出两人选择3号歌手和三人选择3号歌手的概率，加和得到结果.【详解】（1）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”则()122323C P A C ==，()243535C P B C == 事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立则AB 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”()()()()()22413515P AB P A P B P A P B ∴=⋅=⋅-=⨯=⎡⎤⎣⎦即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415（2）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则()243535C P C C ==依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且ABC ，ABC ，ABC ，ABC 彼此互斥()()()()23222313333235535535575P X P ABC P ABC P ABC ∴==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()()23318335575P X P ABC ===⨯⨯=()()()331817223757525P X P X P X ∴≥==+==+=故“2X ≥”的事件的概率为1725【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.（1）求证：AB BC ⊥；（2）若2BC =，请问在线段1AC 上是否存在点E ，使得二面角A BE C --的大小为2π3，若存在请求出E 的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点E 为线段1AC 中点【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥侧面11A ABB ，进而可得AB BC ⊥；（2）以点A 为原点，建立空间直角坐标系，设()1101λλ=≤≤ A E A C ，利用空间向量法结合二面角A BE C --的大小为2π3可表示出关于λ的关系式，求解即可.【小问1详解】证明：连接1AB 交1AB 于点D ，因1AA AB =，D 为1A B 中点，则1AD A B⊥由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC ⋂平面111A ABB A B =，AD ⊂平面11A ABB ，得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥.三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又1AA AD A ⋂=，1,AA AD ⊂侧面11A ABB ，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥.【小问2详解】假设在线段1AC 上存在一点E ，使得二面角A BE C --的大小为2π3，由111ABC A B C -是直三棱柱，所以以点A 为原点，以AC ､1AA 所在直线分别为y ，z 轴，以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()10,0,2A ，()()10,22,0,(220),2,2,2，，C B B 且设()1101λλ=≤≤ A E A C ，1(0,2,2)A C =- ，得(),22E λ-所以()0,,22AE λ=-，0)= AB 设平面EAB 的一个法向量()1,,n x y z = ，由1AE n ⊥ ，1AB n ⊥得：(22)00y z λ⎧+-=⎪+=，取11,1,1n λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，由（1）知1AB ⊥平面1A BC ，所以平面CEB的一个法向量)12AB =，所以11112π1cos 32AB n AB n ⋅== ，解得12λ=，∴点E 为线段1AC 中点时，二面角A BE C --的大小为2π3.22.如图，已知圆22:430M x x y -++=，()1,P t -为直线:1l x =-上一动点，O 为坐标原点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）若两条切线PA ，PB 与y 轴分别交于点S ，T ，求ST 的最小值.【答案】（1）证明见解析，定点5,03⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()221112636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭（3）2【解析】【分析】（1）求出以P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程，再根据线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，将两圆的方程相减可得直线AB 的方程，令直线方程中参数项的自变量为0得解；（2）设AB 的中点为点F ，直线AB 过的定点为点H ，根据几何性质可得HF 始终垂直于FM ，进而求得方程即可；（3）设切线方程为()1y t k x -=+，根据直线与圆相切化简可得228610k kt t ++-=，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1k ，2k ，为228610k kt t ++-=的两根，表达出()1212ST k t k t k k =+-+=-，再代入韦达定理，结合函数的范围求解即可.【小问1详解】由题，圆M 的圆心坐标()2,0，半径为1，所以PM =，1AM =，22228=-=+PA PM AM t ，故以P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()22218x y t t ++-=+，显然线段AB 为圆P 和圆M 的公共弦，则直线AB 的方程为()()()222221281x x y t y t +--+--=+-，即350x ty --=，所以()350x ty --=，所以直线AB 过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，直线AB 过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，AB 的中点为直线AB 与直线MP 的交点，设AB 的中点为F ，直线AB 过的定点为H ，易知HF 始终垂直于FM ，所以F 点的轨迹是以HM 为直径的圆，5,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0M ，∴点F 的轨迹方程为()221112636x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭；【小问3详解】设过点P 的圆M 的切线方程为()1y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故()2,0M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，则()12124ST k t k t k k =+-+=-=，故当0=t时，ST 取得最小值为2.。
四川省德阳市2023-2024学年高二平实班上学期期中数学试题含解析
四川省什邡高2022级平实班第三学期期中考试数学试题卷（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()1i 5iz +=+，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的四则运算、共轭复数及复数的几何意义即可得解.【详解】由()1i 5i z +=+，得()()()()5i 1i 5i 64i32i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，则32i z =+，故z 在复平面内对应的点为()3,2，在第一象限．故选：A ．2.在△ABC 中，1AB =，BC =，5cos 6A =，则AC =（）A.2B.73 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可.【详解】因为△ABC 中，1AB =，BC =，5cos 6A =，所以由余弦定理知，222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅，即251562AC AC+-=，化简整理得235120AC AC --=，解得3AC =或43AC =-（舍去）.故选：C3.已知点(1,1)A -和点(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为（）A.22(2)(4)5x y ++-= B.22(2)(4)20x y ++-=C.22(1)5x y +-=D.22(1)20x y +-=【答案】C 【解析】【分析】求圆心与半径可得标准方程.【详解】因为点(1,1)A -和点(1,3)B -为直径端点，所以AB 中点1113,22M --+⎛⎫⎪⎝⎭，即(0,1)M 为圆心，由AB =，则圆的半径2AB r ==故圆的标准方程为22(1)5x y +-=.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩(单位：环)7：，6，9，7，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（）A.7 B.8C.8.5D.9【答案】C 【解析】【分析】由百分位数的概念和计算公式可直接求解.【详解】将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因为1070%7⨯=，所以第70百分位数为898.52+=，故选：C .5.若0a >，0b >，直线()2110x a y +-+=与直线30bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（）A.116B.19C.18D.16【答案】C 【解析】【分析】先根据两直线垂直得到a 和b 之间的关系：21a b +=；再利用基本不等式即可求出ab 的最大值.【详解】由直线()2110x a y +-+=与直线30bx y +-=互相垂直，所以()12110b a ⨯+-⨯=，即21a b +=.又0a >，0b >，所以2112122228a b ab a b +⎛⎫=⨯⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即14a =，12b =时等号成立，所以ab 的最大值为18．故选：C ．6.过原点的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为24a ，则双曲线的渐近线方程为（）A.33y x =± B.12y x =±C.y x =±D.2y x=±【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件可得四边形1AF BF 为矩形，设AF m =，BF n =，根据双曲线定义和△ABF 的面积可得2224164c a a -=，故可求ba的值.【详解】如图，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，所以AB 为直径的圆的方程为222x y c +=，圆也过左焦点1F ，所以AB 与1F F 相等且平分，所以四边形1AF BF 为矩形，所以1AF BF =．设AF m =，BF n =，则12AF BF BF BF m n a -=-=-=，所以22224m n mn a +-=．因为AF BF ⊥，所以22224m n AB c +==．因为△ABF 的面积为24a ，所以2142mn a =，得28mn a =，所以2224164c a a -=，得225c a =，所以2225a b a +=，所以224b a =，得2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±．故选：D ．7.已知O 为坐标原点，P 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于Q ，R 两点，QF FR ⊥，3QF FR =，则椭圆E 的离心率为（）A.33B.22C.53D.104【答案】B 【解析】【分析】由椭圆的对称性，及QF FR ⊥，得四边形1PFQF 为矩形，设PF m =，利用椭圆的定义，及条件所给出的长度关系，可表示出23a m FR -=，143a m F R +=，223a mPR +=，利用勾股定理，求出m ，推断出点P 的位置，求出离心率.【详解】如图，设左焦点为1F ，连接1PF ，1QF ，1RF ，由题，P ，Q 关于原点对称，所以四边形1PFQF 为平行四边形，又因为QF FR ⊥，所以四边形1PFQF 为矩形.设PF m =，则12QF PF a m ==-，又因为3QF FR =，则23a m FR -=，143a m F R +=，223a m PR +=，在1Rt F PR △中，22211PF PR F R +=，即()222224233a m a m a m ++⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m a =或2m a =（舍去），故点P 为椭圆的上顶点.由1F P PF ⊥，所以()2222a a c +=，即222a c =，所以离心率22e ==.故选：B.【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含a ，b ，c 的代数式表示出来，即可求解离心率.8.在矩形ABCD 中，3,4AB AD ==，将ABD △沿对角线BD 翻折至A BD ' 的位置，使得平面A BD '⊥平面BCD ，则在三棱锥A BCD -'的外接球中，以A C '为直径的截面到球心的距离为（）A.10B.5C.10D.10【答案】B 【解析】【分析】如图，取BD 的中点为O ，连接,A O CO '，过A '作A H BD ⊥'，垂足为H ，连接CH ，可证O 为三棱锥A BCD -'的外接球的球心，利用解直角三角形可求233725A C '=，据此可求球心到以A C '为直径的截面的距离.【详解】如图，取BD 的中点为O ，连接,A O CO '，过A '作A H BD ⊥'，垂足为H ，连接CH .因为三角形A DB '为直角三角形，故A O OD OB '==，同理CO OD OB ==，故CO OD OB OA '===，所以O 为三棱锥A BCD -'的外接球的球心，而5BD ==，因为A H BD ⊥'，A H '⊂平面A BD '，平面A BD '⊥平面CBD ，平面A BD ' 平面CBD BD =，故A H '⊥平面CBD ，而CH ⊂平面CBD ，故A H CH '⊥.在直角三角形A BD '中，3,4A B A D ''==，故125A H '==，故95BH ==，在直角三角形CBD 中，4cos 5CBD ∠=，故281941931624255525CH =+-⨯⨯⨯=，故2144193337252525A C '=+=.设球心到以A C '为直径的截面的距离为d ，则10105d =====，故选：B.【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A.公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为22D.P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】ABD 【解析】【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A ；求出垂直平分线的方程判断B ；利用垂径定理计算弦长判断C ；求出圆1O 到直线的距离的最大值判断D ．【详解】圆2121)1:(x O y -+=的圆心1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=的圆心2(1,2)O -，半径2r =，显然122121||(,)O O r r r r =-+，即圆1O 与圆2O 相交，对于A ，将方程2220x y x +-=与22240x y x y ++-=相减，得公共弦AB 所在直线的方程为440x y -=，即0x y -=，A 正确；对于B ，由选项A 知，直线AB 的斜率1AB k =，则线段AB 中垂线的斜率为1-，而线段AB 中垂线过点1(1,0)O ，于是线段AB 中垂线方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=，B 正确；对于C ，点1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为22d ==，因此AB ==，C 错误；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1(1,0)O 到直线0x y-=的距离为2d =，因此点P 到直线AB 距离的最大值为112d r +=+，D 正确．故选：ABD10.已知函数()()πsin 02||0f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭,,的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.π3ϕ=B.函数()f x 的图象关于1,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 在12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[-D.要得到函数()()cos g x A x ωϕ=+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移14个单位【答案】ACD 【解析】【分析】先由图象信息求出()f x 表达式，从而即可判断A ；注意到()0,0x 是()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心当且仅当()00π2sin 2π03f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由此即可判断B ；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C ；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】如图所示：由图可知1112,43124T A ==-=，又2πT ω=，所以1,2πT ω==，所以()()2sin 2πf x x ϕ=+，又函数图象最高点为1,212⎛⎫⎪⎝⎭，所以1π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 62k k ϕ+=+∈，解得ππ,Z k k ϕ=+∈23，由题意π||2ϕ<，所以只能π0,3k ϕ==，故A 选项正确；由A 选项分析可知()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()0,0x 是()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心当且仅当()00π2sin 2π03f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，但1ππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而函数()f x 的图象不关于1,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 选项错误；当12,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π4π2π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π2π5π2π,333t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，而函数2sin y t =在2π3π,32⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，在3π5π,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当12,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()22122f x -=⨯-≤≤⨯=，所以函数()f x 在12,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[-，故C 选项正确；若将函数()π2sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位，则得到的新的函数解析式为()()1ππππ2sin 2π2sin 2π2cos 2π43323h x x x x g x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故D 选项正确.故选：ACD.11.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 为PC 的中点，2,90PD AD BD ADB ===∠=︒，则（）A.//PA 平面BDEB.平面PCB ⊥平面PDBC.三棱锥P BDE -的体积为43D.异面直线PA 和BE 所成的角的余弦值为3【答案】ABD 【解析】【分析】A 项，通过证明线线平行即可得出结论；B 项，通过证明BC ⊥平面PDB ，即可得出结论；C 项，通过等积法即可求出三棱锥的体积；D 项，将异面直线PA 和BE 所成的角转化为同一个平面上两条直线的夹角，即可求出异面直线PA 和BE 所成的角的余弦值.【详解】由题意，在四棱锥P ABCD -中，连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，过点E 作EFCD ⊥于点F ，在ABCD Y 中，12AO CO AC ==，点O 为AC 中点，在ACP △中，E 为PC 的中点，∴1,2OE AP OE =∥AP ,∴异面直线PA 和BE 所成的角即为BEO ∠（或其补角），∵AP ⊄面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴//PA 平面BDE ，A 正确；在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又90ADB ∠=︒，∴,,BC BD PD BC ⊥⊥，∵BD ⊂平面PDB ，PD ⊂平面PDB ，BD PD D = ，∴BC ⊥平面PDB ，∵BC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面PDB ，B 正确；在ABCD Y 中，12AO CO AC ==，2,90PD AD BD ADB ===∠=︒，∴AD ∥BC ，90ADB CBD ∠=∠=︒2AD BD BC ===，112EF PD ==∴,ABD BCD 是等腰直角三角形，22AB CD ==，∵PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，∵平面PCD 平面ABCD CD =，,EF CD EF ⊥⊂平面PCD ，∴EF ⊥平面ABCD .∵E 为PC 的中点，∴三棱锥P BDE -的体积为：1111222222323P BDE P BCD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=，C 错误；在Rt PAD 中，AP ===，∴12OE AP ==在Rt PCD 中，PC ==在Rt BCP 中，E 为PC 的中点，∴12BE PC ==，在Rt BOE △中，cos3OEBEO BE∠==，D 正确.故选：ABD.12.已知双曲线22:184x y C -=的左、右顶点分别为A ，B ，P 是C 上任意一点，则下列说法正确的是（）A.C 的渐近线方程为2y x =±B.若直线y kx =与双曲线C 有交点，则2k ≥C.点P 到C 的两条渐近线的距离之积为83D.当点P 与A ，B 两点不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为2【答案】AC 【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A ，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B ，结合点到直线的距离公式可求C ，PA ，PB 的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D 可判断.【详解】双曲线22:184x y C -=，则2a b ==，对于A ，C 的渐近线方程为22b y x x a =±=±，A 正确；对于B ，由双曲线的渐近线方程为2y x =±可知，若直线y kx =与双曲线C 有交点，则2k <，B 错误；对于C ，设点(),P x y ，则222212884x yx y -=⇒-=，点P 到C222833x y -==，C 正确；对于D，易得()A -，()B ，设(),P x y，则(22418x y x ⎛⎫=-≠± ⎪⎝⎭，所以直线PA ，PB的斜率之积为22224181882x y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===--，D 错误．故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()tan π1α+=-，则2sin cos cos sin αααα+=-__________．【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先求tan α的值，再用tan α表示齐次分式，即可求解.【详解】()tan πtan 1αα+==-，()2sin cos 2tan 1211cos sin 1tan 112αααααα++-+===-----.故答案为：12-14.已知()1,2M ，()4,3N ，直线l 过点()2,1P -且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是__________________【答案】(][),32,-∞-+∞ 【解析】【分析】画出图形，由题意得所求直线l 的斜率k 满足PN k k 或PM k k ，用直线的斜率公式求出PN k 和PM k 的值，解不等式求出直线l 的斜率k 的取值范围．【详解】如图所示：由题意得，所求直线l 的斜率k 满足PN k k 或PM k k ，即31242k +=-，或21312k +=-- ，2k ∴ 或3k - ，故答案为：(][),32,-∞-+∞ ．15.已知命题p ：[]04x ∃∈,，使得220x x a --<，若p 是真命题，则a 的取值范围是___________.【答案】1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】分离变量可得22a x x >-，结合能成立的思想和二次函数最值的求法可求得结果.【详解】由220x x a --<得：22a x x >-；[]0,4x ∃∈ ，使得220x x a --<，()2min 2a x x ∴>-；22y x x =- 为开口方向向上，对称轴为14x =的抛物线，∴当[]0,4x ∈时，()22min11122448x x⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16.已知,a b为单位向量，若()()0,221a b c a c b ⋅=+⋅+=- ，则()()c a c b -⋅- 的取值范围为__________.【答案】[532,532]-+【解析】【分析】由题设以,a b为x 、y 轴构建平面直角坐标系，(1,0),(0,1)a b == ，令(,)c x y = 结合已知有22(1)(1)1x y +++=，又()()22111(()222c a c b x y -⋅-=-+--，将问题转化为求点11(,22到22(1)(1)1x y +++=上点距离d 的范围，即可得结果.【详解】由,a b 为单位向量，且0a b ⋅= ，故a b ⊥ ，以,a b为x 、y 轴构建平面直角坐标系，如下图示，则(1,0),(0,1)a b == ，令(,)c x y = ，则2(2,),2(,2)c a x y c b x y +=++=+，又()()221c a c b +⋅+=- ，所以22221x x y y +++=-，即22(1)(1)1x y +++=，故c的终点在圆心为(1,1)--，半径为1的圆上，而(1,),(,1)c a x y c b x y -=--=- ，故()()2222111((222c a c b x x y y x y -⋅-=-+-=-+-- ，所以，只需确定点11(,)22到22(1)(1)1x y +++=上点距离d 的范围即可，而11(,22到(1,1)--的距离为2，故[1,1]22d ∈-+，则()()21[52c a c b d -⋅-=-∈-+ .故答案为：[5-+【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，将问题化为求定点到圆上点距离的范围，进而求目标式的范围.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知向量a 与b的夹角为60°，||a ＝1，)b = ．（1）求||b 及a b ⋅；（2）求|2|a b -.【答案】（1）||b = 2，a b ⋅=1；（2）|2|a b -=【解析】【分析】（1）利用模长坐标公式求||b ，再由数量积的定义求a b ⋅；（2）应用向量数量积的运算律求|2|a b -即可.【小问1详解】由题设2b ==，则cos 12cos60 1.a b a b θ⋅=⋅=⨯︒=【小问2详解】由()2222|2|244a b a ba ab b -=-=-⋅+221412cos604213=-⨯⨯⨯︒+⨯=，所以2a b -=18.夜幕降临，华灯初上，丰富多元的夜间经济，通过夜间商业和市场，更好满足了民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富了购物体验和休闲业态．打造夜间经济，也是打造城市品牌、促进产业融合、推动消费升级的新引擎．为不断创优夜间经济发展环境，近朋，某市商务局对某热门夜市开展“服务满意度大调查”，随机邀请了100名游客填写调查问卷，对夜市服务评分，并绘制如下频率分布直方图，其中[)40,50为非常不满意，[)50,60为不满意，[)60,70为一般，[)70,80为基本满意，[)80,90为非常满意，[]90,100为完美．（1）求a 的值及估计80%分位数：（2）调查人员为了解游客对夜市服务的具体意见，对评分不足60分的调查问卷抽取2份进行细致分析，求恰好为非常不满意和不满意各一份的概率．【答案】18.0.025a =；80%分位数为92.19.815【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，求出a ；判断出80%分位数所在区间，再设出80%分位数，列出方程即可求解；（2）列举出基本事件的所有样本点即所求事件样本点，按古典概型即可求解.【小问1详解】由(0.0020.0040.0140.0200.035)101a +++++⨯=，解得0.025a =；由低于90分的频率为10.025100.75-⨯=，则80%分位数在[]90,100内，设样板数据的80%分位数约为n 分，则900.80.75100900.25n --=-，解得92n =,即80%分位数为92.【小问2详解】非常不满意的游客有1000.002102⨯⨯=人，设编号为,A B ,不满意的游客有1000.004104⨯⨯=人，设编号为a b c d ,,,，则基本事件的总数有：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 工15种，事件M “恰好为非常不满意和不满意各一份”有：,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 工8种，故8()15P M =.19.已知圆C ：()()2224x a y -+-=，直线l ：30x y -+=，l 与圆C 相交于A ，B 两点，||AB =．（1）求实数a 的值；（2）当0a >时，求过点()1,6-并与圆C 相切的直线方程．【答案】（1）1a =或3a =-（2）=1x -或34210x y +-=【解析】【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于a 的方程即可求解出结果；（2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】因为圆的半径2r =，||AB =所以圆心到直线的距离d ==，所以d ==，所以12a +=，所以1a =或3a =-.【小问2详解】因为0a >，所以()()22:124C x y -+-=，当直线的斜率不存在时，直线方程为=1x -，圆心到=1x -的距离为()112r --==，所以=1x -与圆相切；当直线的斜率存在时，设直线方程为()61y k x -=+，即60kx y k -++=，2=，所以34k =-，所以直线方程为34210x y +-=，所以过点()1,6-并与圆C 相切的直线方程为=1x -或34210x y +-=.20.已知向量2,1,cos ,cos 222x xx m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭．（1）若1m n ⋅=，求5cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）记()f x m n =⋅，在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数(A)f 的取值范围．【答案】（1）12；（2）31,2⎛⎤⎥⎝⎦．【解析】【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合二倍角公式转化求解即可；（2）利用正弦定理，结合三角形的内角和通过A 的范围，转化求解函数值的范围即可．【详解】解：（1）m n⋅2cos cos 222x x x=+cos 1sin 222x x =++1sin ,162x m n π⎛⎫=++⋅= ⎪⎝⎭ 1sin 162x π⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭1sin 62x π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭所以251cos 2cos 212sin 3362x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）(2)cos cos a c B b C -= ，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+．A B C π++= ，sin()sin 0B C A ∴+=≠．1cos 2B ∴=，0B π<<，3B π∴=，203A π∴<<．51,sin ,166662A A ππππ⎛⎫⎛⎤∴<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．又1()sin 62f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，1()sin 62f A A π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭．故函数(A)f 的取值范围是31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．21.如图，⊥AE 平面,//,//ABCD CF AE AD BC ，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（1）求证：//DE 平面BCF ；（2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求直线FB 与平面ABCD 所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）47.【解析】【分析】（1）两种方法，一是通过题意，得到平面BCF 的法向量AB，然后结合DE，通过计算可得0DE AB ⋅=，从而得到//DE 平面BCF ；二是通过证明//CF AE 、//BC AD ，得到平面BCF //平面ADE ，进而推出//DE 平面BCF ；（2）通过建立空间直角坐标系，设出平面EBD 和平面BDF 的法向量，并结合题意条件，求解出CF 的长，然后根据CF ⊥平面ABCD ，求解出tan FBC ∠，即可.【小问1详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E .设()0CF h h =>，则()1,2,F h .（1）法一：证明：依题意，AE ^Q 平面ABCD ，//CF AE ，CF ∴⊥平面ABCD ，CF AB ∴⊥，又AB BC ∴⊥，BC CF C = ，AB ∴⊥平面BCF ，(1,0,0)AB ∴= 是平面BCF 的法向量，又(0,1,2)DE =-，可得0DE AB ⋅=，又因为直线DE ⊄平面BCF ，所以//DE 平面BCF .法二： //CF AE ，CF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE .同理//BC 平面ADE ，CF BC C = ，∴平面BCF //平面ADE ，又DE ⊂平面ADE ，所以//DE 平面BCF.【小问2详解】设(),,m x y z = 为平面BDF 的法向量，则00BD m BF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .同理可得平面BDE 的一个法向量为(2,2,1)n =由题意，有||1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉===，解得87h =.87CF ∴=.CF ⊥ 平面ABCD ，FBC ∴∠为直线FB 与平面ABCD 所成角，4tan 7CF FBC BC ∴∠==.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()3,0D -的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，记1ABF 的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程即可求解；（2）设直线方程（有两种方法，一种设3x my =-；另一种设()3y k x =+），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.【小问1详解】因为12c a =，所以2a c =，则223b c =，所以C 的标准方程为2222143x y c c+=，因为点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，所以221911443c c+⨯=，解得1c =，从而2a =，b =.所以C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】易知点()3,0D -在C 的外部，则直线l 的斜率存在且不为0，设:3l x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组223143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()223418150m y my +-+=，由Δ0>得3m >，由根与系数的关系知1212221815,.3434m y y y y m m +==++所以AB ==，化简得234AB m =+.设点()11,0F -到直线l 的距离为d，则d ==所以1ABF的面积22143135433523434S m m ==++(0)t t =>，得2235m t =+，所以299S t t t==++，因为96t t +≥=，所以63S ≤=，当且仅当3t =，即3m =时，等号成立.因为423m =满足Δ0>，所以S 的最大值为233.评分细则：第二问另解：（2）设():3l y k x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()223143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222432436120k x k x k +++-=.由Δ0>得5k <，由根与系数的关系知22121222243612,4343k k x x x x k k -+=-=++.所以AB ==化简得24313543AB k =+.设点()11,0F -到直线:30l kx y k -+=的距离为d，则d ==，所以1ABF的面积22124343S k k ==++.令243(3)k t t +=>，得234t k -=，所以4S t ==因为224281174581279t t t ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭，所以233S ≤=，当且仅当277t =，即14k =时，等号成立.因为14k =满足Δ0>，所以S 的最大值为3.。
四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。
四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。
2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省巴中市恩阳区高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线倾斜角为（ ）0x y --=A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒135︒【答案】B【分析】将直线方程转化为斜截式，得到，即，结合即得解.1k =tan 1α=[0,180)α∈【详解】由题意，直线0x y y x -=⇔=故直线斜率，1k =不妨设直线倾斜角为，则，又，αtan 1α=[0,180)α∈即.45α=故选：B2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．0123【答案】A【分析】根据圆柱母线的定义可判断命题①的正误；根据圆锥的形成可判断命题②的正误；根据棱台的定义可判断命题③的正误.【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.【点睛】本题考查几何体结构特征的判断，属于基础题.3．直线过定点，则点的坐标为（ ）():310R l mx m y m -+-=∈A A A ．B ．C ．D ．()3,1-()3,1--()3,1-()3,1【答案】D【分析】在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得的值，可得直线恒过定l x y ､点的坐标.【详解】直线可化简为，():310R l mx m y m -+-=∈()310m x y -+-=故可得，可得，3010x y -=⎧⎨-=⎩3,1x y ==故可得直线过定点.():310R l mx m y m -+-=∈()3,1A 故选:D.4．设是直线是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）l ,αβA ．若∥，∥，则∥B ．若∥，，则l αl βαβl αl ⊥βαβ⊥C ．若，，则∥D ．若，∥，则αβ⊥l α⊥l βαβ⊥l αl β⊥【答案】B【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判断定理、性质定理逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当和相交，直线平行于和的交线时，满足∥，∥，但此时αβl αβl αl β∥不成立，故错误；αβ对于B ，因为∥，所以在内至少存在于一条直线，使∥，又因为，所以，因为l ααl 'l 'l l ⊥βl '⊥β，所以，故正确；l α'⊂αβ⊥对于C ，因为，，所以∥或，故错误；αβ⊥l α⊥l βl ⊂β对于D ，因为，∥，所以或∥或，故错误.αβ⊥l αl β⊥l βl ⊂β故选：B5．若表示圆的方程，则的取值范围是（ ）22420x y x y m +--+=mA ．B ．C ．D ．(,5)-∞(],5-∞()5,+∞[)5,+∞【答案】A【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答.【详解】方程化为：，22420x y x y m +--+=22(2)(1)5x y m -+-=-因方程表示圆，于是得，解得，22420x y x y m +--+=50m ->5m <所以的取值范围是：.m (,5)-∞故选：A6．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．8343323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积.【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥,P ABCD -如图所示：平面,且底面为正方形，PD ⊥ABCD 2PD AD ==所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B7．已知直线l 过点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为()2,4P （ ）A ．B ．20x y -=280x y +-=C ．或D ．或20x y -=2100x y +-=20x y -=280x y +-=【答案】D【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程．l l 【详解】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为，即；l l 2y x =20x y -=若直线不经过原点，可设直线的方程为，l l 12x y a a +=()0a ≠把点代入可得，解得，()2,4P 2412a a +=4a =直线的方程为，即，∴l 148x y +=280x y +-=综上可得直线的方程为或；l 20x y -=280x y +-=故选：D ．8．正方体中，二面角的平面角的余弦值为（ ）1111ABCD A B C D -1B AC B --ABC ．D12【答案】D 【分析】连接，取中点O 连接.由，则且 ,则11,,AB B C AC AC 1,B O BO AB BC =BO AC ⊥11AB B C =，故即为二面角的平面角，然后设正方体边长进行求解即可.1B O AC ⊥1BOB ∠1B AC B --【详解】连接，取中点O 连接.11,,AB B C AC AC 1,B O BO 由，则且 ,则，故即为二面角的平面角.AB BC =BO AC ⊥11AB B C =1B O AC ⊥1BOB ∠1B AC B --不妨设正方体的边长为1，则在中中ABC 12BO AC ==1ABC 11AB B C AC ===又，故可得：.1B O =11B B=2221111cos 2B O BO B B B OB B O BO +-∠===⨯⨯故选：D.9．点关于直线的对称点为()2,3A -1y x =-+A ．B ．C ．D ．()3,2-()4,1-()5,0()3,1【答案】B【详解】试题分析：设点关于直线的对称点为，则()2,3A -1y x =-+(),P a b (3)1,2AP b k a --==-①，又线段的中点在直线上，即整理得：6,a b ∴-=AP 23,22a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭1y x =-+321,22b a -+=-+②，联立①②解得．∴点关于直线的对称点点的坐标为3,a b +=4,1a b ==-()2,3A -1y x =-+P ，故选B ．()4,1-【解析】1、点关于直线对称；2、中点坐标公式．【方法点晴】设出点关于直线的对称点的坐标，求出的中点坐标，代入直线方程，A 1y x =-+P AP 再利用与直线垂直，它们的斜率之积为，建立方程组进行求解．本题主要考查求点关于直线AP 1-的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标，考查方程思想与转化运算能力，属于中档题．10．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形1111ABCD A B C D -2,,E F 1,BC CC P （包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（ ）11BCC B 1PA AEF 1PAA ．B ．C ．D ．⎡⎣[]2,3⎤⎥⎦【答案】D【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.1A AEF 1A P【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，1BB G 11B C H 1A H 1A G GH 1D F 1AD 作图如下：在正方体中，易知，，，1111ABCD A B C D -11//AG D F 1//A H AE 1//EF AD 则共面，平面，平面，1,,,A E F D 1A G ⊄ 1AEFD 1D F ⊂1AEFD 平面，同理可得：平面，1//A G ∴1AEFD 1//A H 1AEFD ，平面平面，111A H A G A = ∴1//AGH 1AEFD 当平面时，平面，1A P ⊂1AGH 1//A P 1AEFD 正方体的棱长为，1111ABCD A B C D -2在中，，解得11Rt A B H 2221111A B B H A G +=1AG =1A H =在中，，解得，1Rt B GH 22211B G B H GH +=GH =则中边上的高，1A GH GH h ==即，1A P ∈故选：D.11．已知点在同一个球面上， ，若四面体体积的最大值,,,M N P Q 3,4,5MN NP MP ===MNPQ 为10，则这个球的表面积是（ ）A ．B ．254π62516πC ．D ．22516π1254π【答案】B【分析】由已知可得，从而可得球心在过中点与面垂直的直线上，根据=90PNM ∠︒O PM 'O MNP 球的几何性质可得，当过球心时体积最大，由四面体体积的最大值为10，求出，'O Q MNPQ '5O Q =再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表面积【详解】解：由，可得，所以，3,4,5MN NP MP ===222MN NP MP +==90PNM ∠︒则球心在过中点与面垂直的直线上，O PM 'O MNP 因为面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，MNP 根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，'O Q 因为四面体的最大体积为10，Q MNP -所以，可得，111'34'10332MNP S O Q O Q ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= '5O Q =在中，，'OO P 2'2'2OP OO O P =+所以，得，2225(5)4R R =-+258R =所以球的表面积为，2256254816ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为22224R a b c =++,,a b c 三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球； ③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.12．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上()1,0A -()2,0B 221:(2)()(0)4C x y m m -+-=>存在点满足，则实数的取值范围是（ ）P 2PA PB=m A ．B．C ．D．54⎡⎢⎣⎡⎢⎣【答案】D 【分析】设，由，得出的轨迹方程为一个圆，再由圆与圆的位置关系可得实(),P x y 2PA PB=P 数的取值范围．m 【详解】设，由，得，化简得，(),P x y 2PA PB==22650x x y -++=即，则点在以为圆心，2为半径的圆上，22(3)4x y -+=P ()3,0又在圆上，P 221:(2)()(0)4C x y m m -+-=>所以点为两圆有交点，即圆与圆有交点，P 22(3)4x y -+=221:(2)()(0)4C x y m m -+-=>所以，112222-+m 即实数的取值范围是．m故选：D ．二、填空题13．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为 O A B '''△OAB 3,4O A OB '''==OAB ______．【答案】12【分析】首先根据直观图还原为原图，再计算的面积.OAB 【详解】如下图，直观图还原为原图，则的面积 OAB 164122S =⨯⨯=故答案为：1214．若直线与直线平行，则__________．10x my ++=10mx y +-=m =【答案】1【分析】利用直线平行的条件即得.【详解】两条直线平行，则有，211m m ⎧=⎨≠-⎩∴.1m =故答案为：1.15．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，所得旋转体的体积是_______.3cm 【答案】π485【分析】由题意，旋转体为底面重合的两个圆锥，根据题干数据计算底面半径和高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】如图所示，不妨设直角三角形为，其中为直角，，ABC B ∠4,3AB BC ==故，，5AC 125AB BC BD AC ⨯==将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，可得到如图所示的底面重合的两个圆锥，圆锥底面圆的半径为，两个圆锥的高分别为，125BD =165AD ==，95CD ==故旋转体的体积.221148335V BD CD BD AD πππ=⨯⨯+⨯⨯=故答案为：.485π16，且，则___________．(1)≤+k x [,]a b 2b a -=k =【答案】22+【分析】设，则可根据两个函数的图象的位置关系求得的值.()()(1)f x g x k x ==+k【详解】设，()y f x ==(),P x y 则，故即，2204y y x ≥⎧⎨+=⎩24PO =2PO =结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），0y ≥P所以()f x =()0,2B而的动直线，()(1)g x k x =+(1,A -的解集为，(1)≤+k x [,]a b 故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为，()f x ()g x {}x a x b |≤≤若，结合图象可得，故，故的图象过， 0k >2b =0a =()g x B故此时2k =2=k 若，结合图象可得此时，这与矛盾，0k <()121b a -<---=2b a -=若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集，0k =()f x ()g x故答案为：2【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的解的问题，可根据不等式的形式将解的问题转化为熟悉函数图象的位置关系问题，结合动态讨论求出参数满足的要求.三、解答题17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高ABC ()3,1B BC AD 470x y +-=AB 所在直线方程为．求：CM 2320x y -+=(1)直线的方程；AB (2)顶点的坐标．C 【答案】(1)32110x y +-=(2)．()1415,7C 【分析】(1)由题意可得，由点斜式可写出直线的方程，再化为一般式即可；32AB k =-AB (2) 设，则,代入中线所在直线方程得，与()00,C x y 0031(,)22x y D ++AD 00410x y +-=联立求解即可.002320x y -+=【详解】（1）解：∵边上的高所在直线方程为，AB CM 2320x y -+=∴，13223AB k -==-∴直线的方程为，AB 31(3)2y x -=--即为：．32110x y +-=（2）解：设，则线段的中点,()00,C x y BC 0031(,)22x y D ++代入中线所在直线方程得，AD 003147022x y ++⨯+-=即为，00410x y +-=又，002320x y -+=联立得，解得，00004102320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩0011457x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴．()1415,7C 18．在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别边AB ，BC 上的点，且．求证：13CF AE FB EB ==(1)点E ，F ，G ，H 四点共面；(2)直线EH ，BD ，FG 相交于一点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到都平行,EF GH 于，由平行线的传递性可得，根据两平行确定一平面得出证明；AC //EF GH （2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明.【详解】（1）由题意，作图如下：空间四边形中，分别是的中点，.ABCD ,H G ,AD CD //HG AC ∴又，，，四点共面.13CF AE FB EB ==//EF AC ∴//EF HG ∴,,,E F G H （2）证明：连接、，因为分别是的中点，所以，EF HG ,H G ,AD CD //HG AC 且，又因为，所以，且，12HG AC =13CF AE FB EB ==//EF AC 34EF AC =所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，//HG AC HG EF ≠EFGH ,EH FG 所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，,EH FG P EH ⊂ABD P ∈ABD 同理平面，而平面平面，所以，P ∈BCD ABD ⋂BCD BD =P BD ∈故点时直线的公共点，即直线相交于一点.P ,,EH BD FG ,,EH BD FG 19．已知圆与y 轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l 上．1C (03)，(21)，(23)--，(1)求圆的方程；1C (2)若圆与圆相交于M ，N 两点，求两圆的公共弦长．1C 222:6350C x y x y +--+=【答案】(1)()()224316x y -+-=(2)【分析】(1)利用两点求出直线方程l ，利用圆心在l 上又在求出圆心坐标，进而求出圆的半径3y =求出圆的方程；1C (2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，利用勾股定理求1C 出两圆的公共弦长．【详解】（1）经过点与点的直线l 的方程为，即，(21)，(23)--，123122y x --=----1y x =-因为圆与y 轴相切于点，所以圆心在直线上，1C (03)，3y =联立解得可得圆心坐标为，31y y x =⎧⎨=-⎩43x y =⎧⎨=⎩(43)，又因为圆与y 轴相切于点，故圆的半径为4，1C (03)，1C 故圆的方程为．1C ()()224316x y -+-=（2）圆的方程为，1C ()()224316x y -+-=即，圆，228690x y x y +--+=222:6350C x y x y +--+=两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，2340x y +-=圆的圆心到直线的距离，1C (43)，2340x y +-=d所以两圆的公共弦长为=20．如图，平面平面，，，，.ACEF ⊥ABC AF AC ⊥//AF CE 23AF CE =2BD DE =（1）求证：平面；//DF ABC （2）求证：.DF CE ⊥【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明D BC CE G M 四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面；AFDM DF //AM //DF ABC (2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得.CE ⊥ABC CE AM ⊥DF //AM CE DF ⊥【详解】(1) 证明：过点作的平行线，交于点，连接.D BC CE G FG 过点作的平行线交于点，连接.D EC BC M AM 则四边形为平行四边形，有平行且等于.CMDG DM CG 因为，所以.2BD DE =12ED BD =因为，所以，//DG BC 12FG ED CG BD ==故，所以，2CG EG =23CG CE AF ==又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，AF CG //AFGC AF CG 所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.AF DM AFDM DF //AM 又平面，平面，所以平面.DF ⊄ABC AM ⊂ABC //DF ABC (2)证明：因为，，所以.AF AC ⊥//AF CE CE AC ⊥因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，ACEF ABC AC CE ⊂ACEF 所以平面，又平面，所以.CE ⊥ABC AM ⊂ABC CE AM ⊥又由(1)知，所以.DF //AM CE DF ⊥21．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向处，B 岛在O 岛的正东方向20km 处．(1)以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，1km 为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A 、B 的坐标，并求A 、B 两岛之间的距离；(2)已知在经过O 、A 、B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O 岛的南偏西30°方向距O 岛20km 处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】(1)，，()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险．【分析】(1)根据题意可得两点的坐标，由两点间的距离公式可得A 、B 两岛之间的距离；,A B (2)求得过，三点的圆的方程为，该船航线所在的直线方程为,O A B 2220600x y x y +--=，由点到线的距离公式可得圆心到此直线的距离，由此可得直200x -=5d =+<线与圆相交，从而可得结论.【详解】（1）解：∵A 在的北偏东45°方程，在的正东方向，O B O 20km ∴，．()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式知，；||AB ==km （2）解：设过，三点的圆的方程为．,O A B 220x y Dx Ey F ++++=将，，代入上式，()0,0O ()20,20A ()10,0B 得，解得．222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴圆的方程为．2220600x y x y +--=则该圆的圆心为，半径．()10,30r =设船起初所在的点为，则C (10,C --又该船航线所在直线的斜率为tan(6030)tan 30k =︒-︒=︒∴该船航线所在的直线方程为．200x -=圆心到此直线的距离5d ==+由于，2(5700+=+21000700=>+即，700d r =+<=所以此直线与圆相交，故不改变方向，该船有触礁的危险．22．如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边P ABCD -ABCD ,AC BDO PAC = △长为2的等边三角形，PB =PD AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD（2）求直线与OF 所成角的大小.CP （3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，PB M //CM BDF BMBP 请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.3013BM BP =【分析】（1）由底面是菱形，证得PO ⊥BD ，在中，PA =PC ，证得PO ⊥AC ，结合线ABCD PAC △面垂直的判定定理，即可证得PO ⊥底面ABCD ；（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，证得CP OE ，得到∠EOF 为直线与OF 所成的角，//CP 进而求得直线与OF 所成角的大小；CP （3）连接CM ，连接CE ，ME ，证得EM 平面BDF ，结合（2）证得平面EMC 平面BDF ，即可////得到CM 平面BDF .//【详解】（1）因为底面是菱形，且，所以O 为AC ，BD 中点，ABCD AC BD O = 在中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，PBD △因为在中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，PAC △又因为AC BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP OE . ，//故∠EOF 为直线与OF 所成的角，CP 又由为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =.PAC △30（3）存在，，13BM BP =连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以，13EF FP =又因为，所以在中，，即EM BF ，13BM BP =PFB △EF BM FP BP =//因为EM 平面BDF ，BF 平面BDF ，所以EM 平面BDF ，⊄⊂//由（2）知EC OF ，因为EC 平面BDF ，OF 平面BDF ，所以EC 平面BDF ，//⊄⊂//因为EC EM =E ，所以平面EMC 平面BDF ，//因为CM 平面EMC ，所以CM 平面BDF .⊂//【点睛】解答空间中点、线、面位置关系的判定问题常见解题策略：1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、对于空间中的垂直关系中确定线面垂直是关键，证明线线垂直则需借助线面垂直的性质，垂直关系的判定定理和性质定理合理转化是证明垂直关系的基本思想.。
四川省2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试题含答案
四川省2024-2025学年上学期期中调研测试高二数学试卷（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1，考查范围：必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章和第二章.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线2025π:cos4l x =的倾斜角为（）A.π2 B.2025π4 C.π4D.0【答案】A 【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为2025πcos 4为常数，故直线2025π:cos 4l x =的倾斜角为π2.故选：A.2.直线3230x y +-=与320x y +=之间的距离为（）A.5B.13C.9D.13【答案】D 【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线3230x y +-=和320x y +=平行，由两条平行直线间的距离公式可得13d ===．故选：D ．3.圆221:4C x y +=与圆222:(2)(3)9C x y -+-=的公切线条数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆221:4C x y +=，则圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:(2)(3)9C x y -+-=，则圆心()22,3C ，半径23r=，则12CC ==15<，即211212r r C C r r -<<+，故圆1C 与圆2C 相交，其公切线条数为2．故选：C ．4.过点()1,3P -作圆22(1)(1)2x y -++=的切线，则切线的斜率为（）A.1-或7-B.1- C.2-或7- D.2-【答案】A 【解析】【分析】设出直线的方程，由点到直线距离得到方程，求出1k =-或7k =-．【详解】因为圆22(1)(1)2x y -++=的圆心为()1,1-，易知过点()1,3P -的切线l 斜率存在，设l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，则d ==，解得1k =-或7k =-．故选：A ．5.若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（）A.12B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为6636⨯=个．其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有：()()()()()()()()()1,1,3,3,5,5,1,3,1,5,3,1,3,5,5,1,5,3，共9个，故91364P ==．故选：B ．6.在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为11B C 的中点，则平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值为（）A.63B.4C.15D.5【答案】D 【解析】【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面ABQ 与平面11ACC A 夹角的余弦值.【详解】1,,DA DC DD 两两垂直，故以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =，取1BB 的中点为P ，连接CP ，则()()()10,1,0,1,1,,1,1,0,0,0,02C P B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,1,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,0,0，()11,0,1A ，则11,0,1,1,0,,0,22QB CP QB CP QB CP ⎛⎫⎛⎫=-=∴⋅=∴⊥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()10,1,0,1,0,,0,2AB CP CP AB CP AB⎛⎫==∴⋅=∴⊥ ⎪⎝⎭又因为QB CP ⊥，CP AB ⊥，AB BQ B = ，,QB AB ⊂平面ABQ ，故⊥CP 平面ABQ ，所以11,0,2CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 为平面ABQ 的一个法向量，设平面11ACC A 的一个法向量为(),,n x y z =，则11001000x n AC x y y z n AA z =⎧⎧⋅=-+=⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨=⋅=⎩⎪⎪⎩=⎩，所以()1,1,0n =-- ()1,1,0n =--为平面11ACC A 的一个法向量，设平面ABQ 与平面11ACC A 的夹角为α，则P cos 5C nCP nα⋅=== ，故平面ABQ 与平面11ACC A夹角的余弦值为5．故选：D．7.如图，E 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部（含表面）一动点，则EA EB ED ++的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出向量坐标，然后根据模的坐标求法求出最值即可.【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0A B D ，设()(),,01,01,01E x y z x y z ≤≤≤≤≤≤，则()(),,,(1,,),,1,EA x y z EB x y z ED x y z =---=---=---，则()13,13,3EA EB ED x y z ++=---.故EA EB ED ++= 1x y z ===．故选：C ．8.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 为腰长为1的等腰直角三角形，且AB AC >，侧面11ACC A 为正方形，2,AB AE P =为平面1A BC 内一动点，则PA PE +的最小值是（）A.62B.32C.D.265【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点A 、A '到平面1A BC 距离相等，得出A 关于平面1A BC 的对称点为A '，利用对称点求出最短路径即可【详解】由题意，以C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系-C xyz ，则()()()()1111,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,,,022A B C A E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()()110,1,0,1,0,1,0,0,1CB CA AA ===，设A 关于平面1A BC 的对称点为(),,,0A x y z z >'，则()()11,,1,1,,A A x y z AA x y z =---'=-'，设平面1A BC 的法向量()111,,n x y z =，则10,0,CB n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,y x z =⎧⎨+=⎩令11x =，则110,1y z ==-，所以()1,0,1n =-为平面1A BC 的一个法向量，所以A 与A '到平面1A BC的距离112AA n A A n d n n ⋅⋅==='=，即1x z -+=①，又AA n '∥，所以1,x z y -=-⎧⎨=⎩②，所以由①②得211z -=，又由0z >可得0,0,1x yz ===，所以()0,0,1A '，所以2PA PE PA PE A E +=+≥===''，当且仅当,,A P E '三点共线时取等号，所以PA PE +的最小值为62．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在空间直角坐标系O xyz -中，下列叙述正确的是（）A.点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称B.点()3,1,6--与点()3,1,6-关于z 轴对称C.点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称D.坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分【答案】AC 【解析】【分析】ABC 选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC 正确，B 错误；D 选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分.【详解】A 选项，点()1,1,0-与点()1,1,0关于x 轴对称，A 正确；B 选项，点()3,1,6--关于z 轴的对称点是()3,1,6，B 错误；C 选项，点()2,5,7与点()2,5,7-关于平面xOy 对称，C 正确；D 选项，坐标轴两两确定的平面把空间分为8个部分，D 错误．故选：AC ．10.已知直线()1:120l ax y a -+-=在x 轴上的截距大于0，直线2:240l x y +-=与y 轴交于点B ，则（）A.0a < B.1l 恒过定点2,1C.点B 到直线1l 的距离可能为3 D.不存在a 使得12//l l 【答案】BD 【解析】【分析】运用截距概念求解即可判断A 、C ；运用消去参数判断B ；根据1l 恒过定点判断D 【详解】对于A ，把0y =代入()120ax y a -+-=，得210a x a -=>，所以0a <或12a >，A 错误；对于B ，将直线()120ax y a -+-=改写为()()210x a y -+-+=，所以2010x y -=⎧⎨-+=⎩，所以21x y =⎧⎨=⎩，所以1l 恒过定点()2,1C ，B 正确；对于C ，对于2:240l x y +-=，令0x =可得()0,2B ，易得当1BC l ⊥时，点B 到直线1l 的距离取得最大值=，C 错误；对于D ，因为直线1l 恒过的定点()2,1C 也在直线2l 上，即12,l l 至少有一个交点C ，D 正确．故选：BD ．11.已知平面内一动点M 到坐标原点的距离为1，以M 为圆心、1为半径的动圆与圆22:(1)(2)5N x y -+-=交于,A B 两点，则（）A.存在唯一的圆M ，使得,A B 两点重合B.1MN ⎤∈-⎦C.若ABN 存在，则其不可能为等边三角形D.tan ANB ∠的最大值为43【答案】BCD 【解析】【分析】由给定条件可得坐标原点与点,A B 之一重合，利用动圆M 与圆N 的位置关系判断A ；由圆上的点与定点距离最值判断B ；求出AB 最大值判断C ；由余弦定理求解判断D.【详解】依题意，坐标原点与点,A B 之一重合，不妨设坐标原点为A ，圆22:(1)(2)5N x y -+-=的圆心(1,2)N ，半径，对于A ，当动圆M 与圆N 内切或外切时，均有,A B 两点重合，A 错误；对于B ，点M 在以A 为圆心、1为半径的圆上运动，||AN =||1]MN ∈+，B 正确；对于C ，||BN =，要使ABN 为等边三角形，则||AB =，而2||||||AB MA MB ≤+=，当且仅当点,,A M B 共线时取等号，则ABN 不可能为等边三角形，C 正确；对于D ，要使tan ANB ∠最大，即ANB ∠最大，只需||AB 取最大值2，此时2223cos5ANB ∠=，44sin ,tan 53ANB ANB ∠=∠=，D 正确．故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知空间向量()()2,1,3,,21,3a b m n =-=+ 满足a b ⊥ ，则m n +=______．【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.【详解】因为a b ⊥ ，故()()2,1,3,21,322190m n m n -⋅+=++-=，解得4m n+=．故答案为：413.已知圆P 过()()()1,1,7,3,5,7---三点，则圆P 的面积为______．【答案】25π【解析】【分析】设圆的一般方程，将3点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.【详解】设圆P 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入()()()1,1,7,3,5,7---三点坐标可得110,499730,2549570,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++-+=⎨⎪++-+=⎩解得4,6,12,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以圆P 的方程为2246120x y x y +-+-=，其标准方程为22(2)(3)25x y -++=，故其面积2π25πS r ==．故答案为：25π14.在正三棱锥P ABC -中，AB AP =⊥平面PBC ，点P 在底面ABC 内的投影为点,O M 是平面ABC 内以O 为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值最大为______.【答案】3【解析】【分析】过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，由异面直线所成角的向量公式结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】正三棱锥P ABC -中，因为AP ⊥平面PBC ，又,PB PC ⊂平面PBC ，因此,PA PB PA PC ⊥⊥，故PB PC ⊥，故22sin60223PA PB PC AB AO AB =====︒=，则PO ==，延长CO 交AB 于点D ，过点O 作AB 的平行线交BC 于点E ，易知,,OD OE OP 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(1,,,0,0,A B P ，设()[)cos ,sin ,0,0,2πM ααα∈，则(cos ,sin ,PM αα=，()0,AB =，设直线PM 与AB 所成的角为θ，则3cos 3PM AB PM ABθα⋅===≤，当π2α=或3π2时，取最大值3．故答案为：3.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()()()2,2,2,6,4,2A B C ---三点，点P 在圆22:4E x y +=上运动．（1）若直线PA 与圆E 有唯一公共点，求PA ；（2）求222PA PB PC ++的最小值．【答案】（1）2（2）56【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，根据题意得到直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，由勾股定理求出切线长；（2）设s ，且224x y +=，表达出2228012PA PB PCy ++=-，而22y -≤≤，故当2y =时，取得最小值56．【小问1详解】由题意知，圆E 的圆心为()0,0E ，半径2r =，故2AE ==>，由题意可得直线PA 与圆E 相切，且唯一公共点为点P ，在Rt APE 中，由勾股定理可得2PA ==．【小问2详解】设s ，且224x y +=，故222222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-+-++()22312681268128012x y y y y =+-+=+-=-，而22y -≤≤，当2y =时，222PA PB PC ++取得最小值56．16.已知在ABC V 中，()()()0,0,2,0,1,3,,A B C D E ，分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ．（1）求AC 边上的高所在直线的斜截式方程；（2）若ADE V 的面积为ABC V 面积的14，求直线DE 的一般式方程.【答案】（1）1233y x =-+；（2）330x y +-=.【解析】【分析】（1）由AC 的斜率和垂直关系可得AC 边上的高所在直线的斜率，接着由点斜式即可求出所求直线方程，再转化成斜截式即可.（2）先由题意得12AD AE AC AB ==，即E 为AB 的中点，接着由中点坐标公式、直线BC 的斜率和平行关系即可由点斜式求出直线DE 的方程，再转化成一般式即可.【小问1详解】由题直线AC 的斜率为130310k -==-，所以AC 边上的高所在直线的斜率为1113k -=-，所以AC 边上的高所在直线的方程为()1023y x -=--，化为斜截式为1233y x =-+.【小问2详解】因为ADE V 的面积为ABC V 面积的1,,4D E 分别在线段,AC AB 上，且//DE BC ，所以1,2AD AE E AC AB ==为AB 的中点，即()1,0E ，又直线BC 的斜率为30312-=--，所以直线DE 的斜率也为3-，所以直线DE 的方程为()031y x -=--，即330x y +-=，所以直线DE 的一般式方程为330x y +-=.17.如图，在四面体OABC 中，3OA = ，且26,,3OA OB OA OC CD CB G ⋅=⋅== 为AD 的中点，点H 是线段OA 上的动点（含端点）．（1）以{},,OA OB OC 为基底表示OG ；（2）求DH OH ⋅的最小值．【答案】（1）111236OG OA OB OC =++ （2）-1【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理得到2133AD OA OB OC =-++ ，111236OG OA AG OA OB OC =+=++ ；（2）设()01OH OA λλ=≤≤ ，得到2133DH OA OB OC λ=-- ，求出()29601DH OH λλλ⋅=-≤≤ ，当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值1-.【小问1详解】由题意可得()2233AD AC CD AC CB OC OA OB OC =+=+=-+- 2133OA OB OC =-++ ，所以11212233OG OA AG OA AD OA OA OB OC ⎛⎫=+=+=+-++ ⎪⎝⎭111236OA OB OC =++ ；【小问2详解】设()01OH OA λλ=≤≤ ，因为()2133DH OH OD OA OA AD OA OA O B A OC O λλ⎛⎫=-=-+=--++ ⎪⎝⎭ 2133OA OB OC λ=-- ，所以2212()3333DH OH OA OB OC OA OA OA OB OA OC λλλλλ⎛⎫⋅=--⋅=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭()29601λλλ=-≤≤，故当13λ=时，DH OH ⋅ 取得最小值，最小值为1196193⨯-⨯=-．18.已知在空间直角坐标系中，点()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,2,1,1O P Q R --．（1）证明：,,OP OQ OR 不共面；（2）求点O 到平面PQR 的距离；（3）设S 为平面PQR 上的一个动点，且222PS = ，求,PO PS 的夹角θ取得最小值时，OS 的值．【答案】（1）证明见解析（2）11（3）62【解析】【分析】（1）用反正法证明即可；（2）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量求解即可；（3）求出OP 和平面PQR 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式求解余弦值，进而可知正弦值，利用向量的模长公式求解即可.【小问1详解】由题意假设存在,a b ∈R ，使得OR aOP bOQ =+成立，则()()()2,1,11,0,10,1,1a b =-+-，即()()2,1,1,,a b a b =--，可得2,1,1,a b a b =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩此方程组无解，所以假设不成立，故,,OP OQ OR 不共面．【小问2详解】由题意可得()()()1,0,1,1,1,2,3,1,0OP PQ PR =-=-= ，设平面PQR 的法向量为 =s s ，所以20,30,x y z x y +-=⎧⎨+=⎩令1x =-，则3,1y z ==，故平面PQR 的一个法向量为()1,3,1n =-，故点O 到平面PQR 的距离21111OP n d n ⋅== ．【小问3详解】设,OP n 的夹角为α，则cos OP n OP nαα⋅==== 所以min π2θα=-，所以OS OP PS =+=2=．19.现定义：若圆A 上一动点M ，圆A 外一定点N ，满足MN 的最大值为其最小值的两倍，则称N 为圆A 的“上进点”．若点G 同时是圆A 和圆B 的“上进点”，则称G 为圆“A B ⊗”的“牵连点”．已知圆221:(1)(1)3A x y +++=．（1）若点C 为圆A 的“上进点”，求点C 的轨迹方程并说明轨迹的形状；（2）已知圆22:(2)(2)1B x y -+-=，且,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”．（ⅰ）求直线PQ 的方程；（ⅱ）若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线1:3l y kx =+与H 交于,I J 两点，探究当k 不断变化时，在y 轴上是否存在一点W ，使得0IW JW k k +=（IW k 和JW k 分别为直线IW 和JW 的斜率）恒成立？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，点C 的轨迹是以()1,1A --为半径的圆．（2）（ⅰ）0x y +=；（ⅱ）存在，()0,3W 【解析】【分析】（1）由“上进点”的定义知C 是圆A 的“上进点”，则()2CA r CA r +=-，（其中r 是圆A 的半径），由此得点C 的轨迹.（2）（ⅰ）由“牵连点”的定义知，若,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，则,P Q 均同时为圆A 与圆B 的“上进点”，所以,P Q 应为圆A 、圆B 的“上进点”所成的两轨迹（圆）的交点，由此可求直线PQ 的方程；（ⅱ）先求出圆H 的方程，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠，假设y 轴上存在点()0,W t ，使得0IW JW k k +=.则1212t 0y t y x x --+=，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩结合韦达定理可求解.【小问1详解】因为点C 为圆A的“上进点”，所以233CA CA ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，即CA =，所以C 的轨迹方程为22(1)(1)3x y +++=，所以点C 的轨迹是以()1,1A --【小问2详解】（ⅰ）∵P 为圆“A B ⊗”的“牵连点”，∴P 同时为圆A 与圆B 的“上进点”，由P 为圆B 的“上进点”，得()121PB PB +=-，所以3PB =，即点P 在圆22(2)(2)9x y -+-=上，由P 为圆A 的“上进点”，得点P 在圆22(1)(1)3x y +++=上；∴点P 是圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的交点．因为,P Q 均为圆“A B ⊗”的“牵连点”，所以直线PQ 即为圆22(1)(1)3x y +++=和22(2)(2)9x y -+-=的公共弦所在直线，两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=．（ⅱ）设22(1)(1)3x y +++=的圆心为()1,1S --22(2)(2)9x y -+-=的圆心为()2,2T ，半径为3．直线ST 的方程为y x =，与y 0x +=联立得PQ 的中点坐标为()0,0，点S 到直线0x y +=的距离为=，则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=．假设y 轴上存在点()0,W t 满足题意，设()()112212,,,,0I x y J x y x x ≠．则0IW JW k k +=，即1212t 0y t y x x --+=，整理得()()21120x y t x y t -+-=．将11223,113y kx y kx =+=+，代入上式可得211211033x kx t x kx t ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭①，联立221,31,y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()222810,Δ039k x kx ++-=>，所以1212222839,11k x x x x k k -+=-=++，代入（1）并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =.故y 轴上存在点()0,3W ，使得0IW JW k k +=恒成立.。
四川省达州市万源中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题
四川省达州市万源中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题一、单选题1．下列说法中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．两个互异平面α和β有三个不共线的交点2．已知()4,1,3A ，()2,4,3B -，则线段AB 中点的坐标是（）A ．51,,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5132,,⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．330,2,⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．330,2,⎛⎫- ⎪⎝⎭3．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 是BC 的中点，设1AA a = ，AB b = ，AD c =，则1A N等于（）A ．12a b c-++ B ．a b c -++ C ．12a b c--+ D ．12a b c-+ 4．已知Rt O A B '''△是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A ．2B ．1C D ．5．设两条直线l ，m ，两个平面α，β，则下列条件能推出//αβ的是（）A ．l α⊥，m β⊥，且//l mB ．//l α，//m β，且//l mC ．l α⊂，m β⊂，且//l mD ．l α⊂，m α⊂，且l //β，//m β6．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）A ．在睡眠指数[)60,80的人群中，早睡人数多于晚睡人数B ．早睡人群睡眠指数主要集中在80,90C ．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D ．晚睡人群睡眠指数主要集中在[)60,807．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）A ．16π3B C D ．20π38．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-．如果1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ，那么20252f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．52-B ．12-C ．12D ．52二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=B ．若向量AB，CD ，满足AB CD = ，则//AB CDC ．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底D ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zOC =++（其中,,x y z ∈R ，且1x y z ++=），则P ，A ，B ，C 四点共面10．已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若把函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（）A ．π3ϕ=B ．函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎣⎦上有3个零点11．在三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，OP ⊥平面ABC 于点P ，设,,,AOB BOC AOC ABC △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，下列命题中正确的是（）A ．ABC V 可能为直角三角形B ．点P 为ABC V 的垂心C ．22221111OP OA OB OC =++D ．3333123S S S S >++三、填空题12．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是.13．已知点()2,3,1P -关于坐标平面Oxy 的对称点为1P ，点1P 关于坐标平面Oyz 的对称点为2P ，点2P 关于z 轴的对称点为3P ，则3PP =．14．如图，边长为2a 的正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ．已知A ED ' 是AED △绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是．（1）三棱锥A FED ¢-的体积有最大值（2）异面直线A E '与BD 不可能互相垂直（3）恒有平面A GF '⊥平面BCED（4）动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上四、解答题15．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．(1)求证：1//D F 平面11A EC ；(2)三棱锥11F A EC -的体积大小．16．已知空间中三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ----．(1)若3c = ，且c BC∥，求向量c 的坐标；(2)求ABC V 的面积．17．某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[]60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费306090120150(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？(2)经调查，年龄在[)30,50之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在[)30,40和[)40,50的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费，求被免去的保费超过150元的概率．18．已知点N 在ABC V 所在平面内，满足,NA NB CN AN +=与BC 的交点为D ，平面向量()1,1m =-与()cos ,sin n a C b c C =- 相互垂直.(1)求A ；(2)若a ABC =AD .19．如图所示，直角梯形ABCD 中，//,,22AD BC AD AB AB BC AD ⊥===，四边形EDCF为矩形，CF EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：//DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 夹角的余弦值；(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 求出线段BP 的长度，若不存在，请说明理由．。
四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学) 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线30x +=的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（）A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D ．至少有一个黑球与都是白球3．“1m =-”是“直线1:210l mx y ++=与直线211:022l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =r ，()1,,1b y =r ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c ∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．45．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A ．乙跑步里程的极差等于31B ．甲跑步里程的中位数是245C ．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为1s ，2s ，则12s s >D ．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为1m ，2m ，则12m m >6．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为()A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝07．若圆C ：()()22212x y -+-=关于直线260ax by ++=对称，则由点(),M a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A ．B C ．4D ．8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，90BAD∠=，1160BAA DAA ∠=∠= ，12AB AD AA ===，则异面直线1B D 与11A C 所成角的余弦值为（）A B C ．34D ．3二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B ．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23C ．已知数据1x ，2x ，L ，10x 的极差为6，方差为2，则数据121x +，221x +，L ，1021x +的极差和方差分别为12，8D ．数据1x ，2x ，L ，10x 的平均数为90，方差为3；数据1y ，2y ，L ，15y 的平均数为85，方差为5，则1x ，2x ，L ，10x ，1y ，2y ，L ，15y 的平均数为87，方差为10.210．已知直线l ：50x y -+=与圆C ：22270x y x +--=，下列说法正确的是（）A ．点()3,1A 在圆C 外B ．直线l 与圆C 相离C ．点P 为圆C 上的动点，点Q 为直线l 上的动点，则PQ 的取值范围是)+∞D ．将直线l 下移4个单位后得到直线l ＇，则圆C 上有且仅有3个点到直线l ＇的距离为11．半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），下列结论正确的是（）A ．E CB F ，，，四点共面B ．在线段CD 上存在点M ，使AF AM⊥C ．若四边形ABCD 的边界及其内部有一点P ，且FP =则点PD ．点N 是线段CF 上的动点，则N 到直线AG 三、填空题12．已知随机事件A ，B ，C ，A 与B 相互独立，B 与C 对立，且()0.6P A =，()0.3P C =，则()P AB =.13．已知点()4,2A ，()0,3B 和直线l ：310mx y m --+=（R m ∈），直线l 与线段AB 有公共点，则m 的取值范围是.14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比()0,1MQ MPλλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；(2)若在[)60,70和[)70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)70,80组的概率.16．如图，四边形11A ABB 是圆柱的轴截面，C 是下底面圆周上一点，点D 是线段BC 中点(1)证明：直线1AC ∥平面1AB D ；(2)若2CA =，4CB =，12BB =，求点1A 到平面1AB D 的距离．17．已知圆C 过点()1,0A -和点()3,2B -，且圆心C 在直线260x y -+=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2E -的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，且MN =l 的方程.18．在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD CD ⊥，2PD AD ==，4DC =，1AB =，PD CD ⊥.(1)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(2)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值；(3)在线段PC 上是否存在点E ，使得平面BDE 与平面PCD 的夹角的余弦值为13，若存在，确定点E 的位置，若不存在，说明理由.19．在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为12，高二、高三对高一和行政组的胜率均为23，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.(1)求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；(2)若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；(3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.。
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年四川省成都市树德中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．以椭圆221259x y +=的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）A ．216y x =B ．28y x =-C ．216y x =-D ．216x y =-【答案】C【分析】利用椭圆和抛物线的几何意义求解即可.【详解】由椭圆221259x y +=可得4=c ， 所以左焦点坐标为(4,0)-，所以以(4,0)-为焦点的抛物线的标准方程为216y x =-， 故选：C.2．曲线221x xy y ++=（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．不具有对称性【答案】C【分析】将点(,)x y -，(,)x y -，(,)x y --分别代入方程，即可检验对称性. 【详解】对于A ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于x 轴对称，A 错误； 对于B ，将点(,)x y -代入曲线方程得：221x xy y -+≠， 所以曲线221x xy y ++=不关于y 轴对称，B 错误； 对于C ，将点(,)x y --代入曲线方程得：221x xy y ++=， 所以曲线221x xy y ++=关于原点对称，C 正确，D 错误. 故选：C3．已知圆()221:125C x y ++=，圆()222:11C x y -+=，动圆M 与圆2C 外切，同时与圆1C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ） A ．2213x y +=B ．22132x y +=C ．2219x y +=D ．22198x y【答案】D【分析】画图，分析出121262C M C M C C +=>=，确定圆心M 的轨迹为椭圆，求出23,8a b ==，得到轨迹方程.【详解】如图，由题意得：15C M MQ =-，21C M MP =+，其中MQ MP =， 所以12125162C M C M MQ MP C C +=-++=>=，由椭圆定义可知：动圆圆心M 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，设22221x ya b+=，则26,1a c ==，解得：2223,918a b a c ==-=-=，故动圆圆心M 的轨迹方程为22198x y .故选：D4．已知双曲线1C 过点)5,4，且与双曲线2C ：22152x y -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的焦距为（ ） A ．7 B ．14 C 21D ．221【答案】B【分析】首先设出与2C 共渐近线的双曲线方程，再代入点)5，，求出λ，从而求出1C 的方程，进而求解.【详解】设双曲线1C ：()220152x y λλλ-=≠≠且，将()5，代入可得516752λ-=-=.故双曲线1C ：2211435y x -=，则14357c =+，则焦距214c =. 故选：B5．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题； 所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题. 故选：A ．6．直线l 过点()0,3与圆C ：222220x y x y +---=交于,A B 两点且AB =l 的方程为（ ）A ．34120x y +-=B ．34120x y +-=或4210x y ++=C ．0x =D ．0x =或34120x y +-=【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，考虑直线的斜率是否存在，分类讨论，结合弦长和点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】将圆C ：222220x y x y +---=的方程化为 22(1)(1)4x y -+-=， 则圆心C 的坐标为(11)，，半径为2. 当直线l 的斜率不存在时，即直线l 的方程为0x =时，代入圆的方程得2220y y --= ，解得11y =2,1y =，此时||1(1AB == 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+ ，由||AB =，得圆心C 到直线l 22(3)1 ，1=，解得34k =-，故此时直线的方程为334y x =-+ ，即34120x y +-=，综上可得，直线l 的方程为0x = 或34120x y +-=， 故选：D.7．执行如图的程序框图，如果输入的,x y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S 的最大值，再与1进行比较即可.【详解】不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：平移直线20x y +=，当直线经过(1,0)A 时，2S x y =+有最大值，最大值为21021⨯+=>， 故选：C8．若椭圆22134x y +=的动弦AB 斜率为1，则弦中点坐标可能是（ ）A ．()34-，B ．3,14⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．()43-， D ．4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】已知弦中点的斜率，用点差法求中点的坐标. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则由已知得，2211134x y +=，2222134x y +=， 两式作差可得，22221212034x x y y --+=，整理可得121212124433y y x x x x y y +-=-=-+-.AB 中点D 的坐标为()00,x y ，则有0043y x =-. 又点D 在椭圆的内部，所以02y < 故选：B.9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（ ）A ．8B ．213C ．41D ．6【答案】B【分析】依题意得点A 坐标，作点O 关于l 的对称点B ，则||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，求AB 即为最小值．【详解】如图所示：作点O 关于l 的对称点B ，连接,PB AB ，设点(),A x y ，不妨设0y >由题意知()1,0F ，直线l 方程为=1x -，则||15AF x =+=，得4x = 所以24416y =⨯=，得4y =由||||||||PA PO PA PB AB +=+≥，当,,A B P 三点共线时取等号， 又()()222224425213AB y x =++++== 所以||||PA PO +的最小值为213故选：B【点睛】关键点点睛：作点O 关于l 的对称点B ，将PO 化为PB ，利用三点共线是求得最小值的关键点．10．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（ ） A ．3 B 210C 39D ．2【答案】B【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为433，然后以线段AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴23a =223b ac =-=所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，113333OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，2233CE OC ==2226DE CD CE =- 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y ，则3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则2222223423123543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭， 当333y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值， 即22max3233516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD 210. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 11．已知圆221(2)4C x y -+=：，()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：，过圆2C 上一点P 作圆1C 的两条切线，切点分别是E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】本题首先可以通过圆2C 的方程得出圆2C 的圆心轨迹，然后画出圆2C 的圆心轨迹图像以及圆1C 的图像，通过图像可以得出线段PA 的取值范围以及PE PF ⋅的解析式，最后通过函数性质即可得出结果．【详解】由()222(25cos )(5sin )1C x y R θθθ--+-=∈：可得： 圆2C 的圆心在圆22(2)25x y -+=的圆周上运动，设()20A ，，则[]46PA d =∈，，由图可知：()()222cos2412sin PE PF PE d θθ⋅==--， ()22228324112d d d d ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由()2223212f d d d =+-在[]1636，上为增函数可知， 当216d =时，PE PF ⋅取最小值6，故选A ．【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题．12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为aB ．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为9【答案】B【分析】根据题意可知，H 是1F Q 的中点，因此可得，OH 为△12QF F 的中位线，可求2F 到直线l 的距离判断A 选项；利用双曲线的定义，即可求得a ，b 和c 的值，求得双曲线的离心率，可判断B 选项；求得12sin PF F ∠，利用正弦定理即可求得△12PF F 的外接圆半径，可判断C 选项；利用三角形的面积公式，即可求得△12PF F 的面积，可判断D 选项． 【详解】由题意，()1,0F c -到准线0bx ay +=的距离122-===+bc bcF H b cb a ，又1FOc =，∴OH a =，如图过2F 向1F P 作垂线，垂足为Q ，由2//OH F Q ，O 为12F F 中点，则OH 为△12QF F 的中位线，所以1F H HQ =，即H 是1F Q 的中点，因为12F H HP =，2||2F Q a =，||HQ b =，||PQ b =，1||3=PF b ，因此2F 到直线l 的距离为2a ，故A 错误； 在2QPF △中，2222425+==b a PF ，又12||||2PF PF a -=，得到352b a -=， 解得3b =，2a =，13c =13c e a ==B 正确； 121sin sin aPF F HFO c∠=∠=，设△12PF F 的外接圆半径R ， 因此212||551322sin 13PF R PF F ==∠，所以513R =C 错误；△12PF F 的面积1121211||||sin 3231822a S F P F F PF F b c ab c=∠=⨯⨯⨯==．故D 错误. 故选：B ．二、填空题13．若4进制数2m 01（4）（m 为正整数）化为十进制数为177，则m =______. 【答案】3【分析】将各数位上的数乘以其权重累加后，即可求解【详解】将4进制数2m 01（4）化为十进制数为01231404424177m ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3m =. 故答案为：3【点睛】本题考查进制间的转化，属于基础题. 14．设:411p x -≤；2:2110q x a x a a ．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，可得q 是p 的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.【详解】由题意得，命题:411p x -≤，解得102x ≤≤，记1|02A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，即()[(1)]0x a x a --+≤， 解得：1a x a ≤≤+，记{}|1B x a x a =+≤≤， 又因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，即q 是p 的必要而不充分条件，所以A 真包含于B ，所以0112a a ≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩（等号不同时成立），解得102a -≤≤，所以实数a 的取值范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．已知M 为抛物线2:4C y x =上一点，过抛物线C 的焦点F 作直线()152x m y m +-=-的垂线，垂足为N ，则MF MN +的最小值为______．【答案】3##3【分析】根据题意先确定出N 点的轨迹为圆，再由抛物线的定义转化||MF ，所求最小值转化为圆上动点到抛物线准线距离的最小值即可得解.【详解】由2:4C y x =知，焦点(1,0)F ，准线l 的方程为=1x -， 由()152x m y m +-=-可得5(2)0x y m y --++=，由5020x y y --=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点(3,2)P -，设PF 中点为E ，则(2,1)E ，由题意知NF PN ⊥， 所以N 的轨迹为以PF 为直径的圆， 则圆的方程为22(2)(1)2x y -++=，过M 作MD l ⊥于D ，则||||MF MN MD MN +=+，所以由图知，当M 运动到M '时，N 运动到N '，,,,D M N E '''共线时，||||MD MN +的最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上动点N 到准线的距离的最小值，即[](1)32E x r ---=故答案为：3216．已知P 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的交点，1F ，2F 是1C ，2C 的公共焦点，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，若122π3F PF ∠=，则1211e e ⋅的最大值为______．23【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF 用12,a a 来表示，然后在12PF F △中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用基本等式求解.【详解】设12,PF m PF n == 因为点P 在椭圆上，所以12m n a +=① 又因为点P 在双曲线上，所以22m n a -=② 则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos 3F F m n mn π=+- 即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c=+即2212314e e =+由基本不等式得：222212121231312342e e e e =+≥⋅= 所以12112323e e ⋅≤221231e e =即123e e 时成立.23三、解答题17．已知命题 p : “方程22112x y mm+=-表示双曲线”，命题:q : 方程2211x y m m +=-表 示椭圆”(1)若 p q ∧为真命题，求m 的取值范围; (2)若 p q ∨为真命题，求m 的取值范围.【答案】(1)110122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，(2)()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，【分析】(1)先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∧为真命题求出结果即可； (2) 先分别求出命题p 为真，q 为真的条件，然后根据p q ∨为真命题求出结果即可. 【详解】（1）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∧为真，则有m A B ∈⋂，即112m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）若 p 为真，有()120m m -<，即()102m A ⎛⎫∈=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，; 若q 为真，则有0101m m m m>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，即 110122m B ⎛⎫⎛⎫∈=⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 若 p q ∨为真，则有m A B ∈⋃，即()110022m ⎛⎫⎛⎫∈-∞⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. 18．已知圆C 的圆心在第一象限且在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)由直线40x y ++=上一点P 向圆C 引切线，A ，B 是切点，求四边形P ACB 面积的最小值． 【答案】(1)()()22139x y -+-=(2)【分析】（1）设出圆心坐标(),3,0a a a >，判断出圆的半径，利用直线0x y -=截圆所得弦长列方程来求得a ，从而求得圆C 的方程. （2）先求得PACB S PA r r =⋅=，通过求PC 的最小来求得PACB S 的最小值.【详解】（1）依题意，设圆C 的圆心坐标为(),3,0a a a >，半径为3a ，(),3a a 到直线0x y -=的距离为d ==，所以=1a ，所以圆C 的方程为()()22139x y -+-=.（2）由（1）得，圆C 的圆心为()1,3C ，半径=3r ，PACB S PA r r =⋅=，所以当PC 最小时，PACB S 最小.()1,3C 到直线40x y ++==所以PC 的最小值为所以四边形P ACB 3=19．已知平面内两个定点(2,0)A -，(2,0)B ，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，且2||MN AN BN =⋅.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)若直线:1l y kx =+与曲线E 有且仅有一个交点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)224x y -=(2)1k =±或k =【分析】（1）设点M 坐标为(,)x y ，然后求出MN 、AN 、BN 的坐标，然后根据2||MN AN BN =⋅可得答案；（2）由2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩可得()221250k x kx ---=，然后分210k -=、210k -≠两种情况求解即可. 【详解】（1）设点M 坐标为(,)x y ，则(,0)N x ，(0,)MN y =-，(2,0)AN x =+，(2,0)BN x =-， 2||MN AN BN =⋅，224y x ∴=-，即：224x y -=，∴点M 的轨迹方程为224x y -=；（2）将直线方程与曲线方程联立2214y kx x y =+⎧⎨-=⎩，()221250k x kx ∴---=， ①当210k -=，即1k =±时，直线l 与曲线E 渐近线平行，满足②当()2221042010k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=⎪⎩时，直线l 与曲线E 相切，满足题意，解得k =综上，k 的取值范围为1k =±或k =20．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点．(1)求直线P A 与PB 的斜率之积；(2)任意过Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与x 轴不重合的直线交椭圆E 于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆恒过点A ．【答案】(1)23-；(2)证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的方程，可得参数a 的值，则得到顶点坐标，设出点P ，利用椭圆方程和斜率公式，可得答案；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用圆的性质，结合向量数量积建立方程，可得答案.【详解】（1）由椭圆22:132x y E +=，可得223,2a b ==，则()A，)B ．设点(),P x y ，则有22132x y +=，即()222221333x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()22222323333PA PBx y k kx x -⋅====---．（2）证明：设()11,M x y ，()22,N x y ， 因为MN 与x轴不重合，所以设直线):MN l x ty t =∈R ，由222360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，化简得()2214423025t y +-=； 由题意可知0∆>成立，且1221225231442523y y t y y t ⎧⎪⎪+=⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩；()()11221212AM AN x y x y ty ty y y ⎛⋅=+=++ ⎝⎭⎝⎭()()2121248125t y y y y =+++，将韦达定理代入上式，可得()2221444825510232325t t t -++⋅+=++，所以AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ．21．设抛物线()220y px p =>的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA l '⊥于A '，定点()0,1K 使KA AA '+有最小值2．(1)求抛物线的方程；(2)当KA KB λ=（R λ∈且1λ≠）时，是否存在一定点T 满足TA TB ⋅为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x =(2)存在定点19,48T ⎛⎫⎪⎝⎭，使得TA TB ⋅为定值8564．【分析】（1）根据抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，然后三点共线时，距离和最短，即可得到关系式；（2）由已知可得，直线AB 经过K 点，设出直线方程和点的坐标，与抛物线联立，根据韦达定理，得到124y y t +=，124y y t =，表示出TA TB ⋅，整理完成得到()()22214222m t n T T m t m A B n =-+-⋅+++，可知当所有t 的形式前面的系数均为0时为定值，即可解出T 的坐标和该定值.【详解】（1）设抛物线焦点为F ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的定义有AA AF '=，则2KA AA KA AF KF '+=+≥即()2200122p KF ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2p =±（舍去负值），则抛物线的方程为24y x =．（2）∵KA KB λ=，∴K 、A 、B 三点共线． ∴设直线AB 方程为()1x t y =-， 设()11,A x y ，()11,B x y ，(),T m n ，联立()241y x x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得2440y ty t -+=，()24440t t ∆=-⨯>，则0t <或1t >.124y y t +=，124y y t =，()111x t y =-，()221x t y =-， 且有()()()()1212TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--， 而()()()()1212TA TB ty m t ty m t y n y n ⋅=-+-++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()22212121t y y t m t n y y m t n =+-++++++⎡⎤⎣⎦()()()()()222144t t t m t n t m t n =+-+++++⎡⎤⎣⎦()()22214222m t n m t m n =-+-+++，因为，t 的任意性，要使该值为定值，需满足 140220m n m -=⎧⎨-+=⎩，可得1498m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时8564TA TB ⋅=. 22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3()00,M x y 是C 上的动点，以M 为圆心作一个半径2r =的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C 交于点P 、Q ，若存在圆M 与两坐标轴都相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP ，OQ 的斜率都存在且分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； (3)证明：22OP OQ +为定值？并求OP OQ ⋅的最大值． 【答案】(1)221205x y +=； (2)证明见解析； (3)证明见解析，最大值为252．【分析】（1）由存在圆M 与两坐标轴都相切确定圆心M 坐标，由离心率及点M 坐标即可列方程组求参数；（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得1k ，2k 是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点()00,M x y 在椭圆C 上可得12k k 为定值；（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ，由（2）得22221212116y y x x =，结合()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，可得221220x x +=，22125y y +=，即有2225OP OQ +=，当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得OP OQ ⋅的最大值.【详解】（1）由椭圆的离心率2231c b e a a ==-224a b =，又存在M 与两坐标轴都相切，则此时圆心()2,2M ±±， 代入222214x y b b +=，解得：25b =，则220a =，∴椭圆方程：221205x y +=．（2）因为直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =与圆M 相切， 由直线1:OP y x k =与圆()()2200:4M x x y y -+-=联立，可得()()222210100012240k x x k y x x y +-+++-=，同理()()222222000012240k x x k y x x y +-+++-=，由判别式为0可得1k ，2k 是方程()22200004240x k x y k y --+-=的两个不相等的实数根，∴20122044y k k x -=-，因为点()00,M x y 在椭圆C 上，所以2254x y =-，所以1214k k =-．（3）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11,P x y ，()22,Q x y ， 因为1214k k =-，所以22221212116y y x x =，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在椭圆C 上，所以2222221212121554416x x y y x x ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221220x x +=，所以22222212121255105444x x x x y y ++=-+-=-=，所以2225OP OQ +=．当直线落在坐标轴上时，显然有2225OP OQ +=， 综上，2225OP OQ +=，所以()2212522OP OQ OP OQ ⋅≤+=， 所以OP OQ ⋅的最大值为252． 【点睛】（2）中由判别式为0可得1k ，2k 是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.。
四川省阆中中学校2024-2025学年高二上学期期中学习质量检测数学试题
四川省阆中中学校2024-2025学年高二上学期期中学习质量检测数学试题一、单选题1．直线30x y --=的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π42．已知复数3i12iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）AB C D 3．已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =A ．9B ．4C ．3D ．24．圆()221:11O x y -+=与圆()222:24O x y ++=的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A ．111222a b c+- B ．211322a b c-++C ．221332a b c+- D ．221332a b c-+-6．已知直线:3l y kx =+与圆22:(1)(1)4C x y -+-=交于,A B 两点，若AB =则k =（）A ．34-B ．34C ．12D ．12-7．在四棱锥P ABCD -中，()()()4,2,3,4,1,0,6,2,8AB AD AP =-=-=--，则这个四棱锥的高h 等于（）A ．1B ．2C ．13D ．268．已知圆C ：22(4)16x y ++=，若曲线C 上存在4个点到直线340x y m --=的距离为2，则m 的取值范围为（）A ．(22,2)--B ．[22,2]--C ．(22)(2)-∞--+∞ ，，D ．(22][2)-∞--+∞ ，，二、多选题9．设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列说法中正确的是（）A ．124PF PF +=B ．椭圆C 的离心率2e =C ．1PF 的最大值是3D ．12PF F 10．已知直线()()1:21l y m x m -=+∈R ，直线()2:20l x y λλ-+=∈R ，则下列说法正确的为（）A ．直线1l 过定点(1,2)-B ．若12l l ⊥，则2m =-C ．若两条平行直线1l 与2l 间的距离为，则5λ=-D ．点(2,6)P 到直线1l 距离的最大值为511．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“∞”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy 平面上，把到两个定点1(0)F a -，，2(0)F a ，距离之积等于2a (0a >)的动点轨迹称为双纽线.已知双纽线C ：()()222229x y x y +=-，P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 上满足12PF PF =的点P 有且只有一个B ．曲线C 经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为(],1-∞-D ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3三、填空题12．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB a mb =+ ，2BC a b =-- ，2CD a b =-+，且A B D ，，三点共线，则实数m =．13．已知()221125x y ++=，2224x y +=，则()()221212x x y y -+-的最小值为.14．阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点000(,,)P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为000()()()0a x x b y y c z z -+-+-=；过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为(),,(0)d u v w uvw =≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为3570x y z -+-=，直线l 是平面370x y -+=与4210y z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为.四、解答题15．已知()24A -，，()22B --，两点，直线l ：460x y +-=.(1)求直线AB 的垂直平分线方程；(2)若圆C 过A ，B 两点，且圆心在直线l 上，求圆C 的方程.16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 上一点．请用向量方法解决以下问题：(1)证明：直线1AB ⊥平面11A ED ；(2)是否存在点F ，使直线1//D F 平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由．17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos tan b C c B C +=.(1)求角C ；(2)若4b a =，ABC 的面积为()cos 2A C -.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，AC 与BD 相交于点O ，2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA PC =，点E F ，分别是棱AB PC ，的中点.(1)求证：//PA 平面BDF ；(2)若直线PA 与平面PBD .①求PA 的长；②求平面PDE 与平面FDB 的夹角的余弦值.19．已知圆22:(5)1Q x y -+=和点(10,0)M ，直线:25l y x =+．(1)点A 在圆Q 上运动，且A 为线段MN 的中点，求点N 的轨迹曲线T 的方程；(2)点P 是直线l 上的动点，过P 作（1）中曲线T 的两条切线PB 、PC ，切点为B ，C ，求直线BC 所过定点D 的坐标；(3)设E 为（1）中曲线T 上任意一点，过点E 向圆Q 引一条切线，切点为F ．试探究：x 轴上是否存在定点G（异于点Q），使得22||1||EFEG+为定值？若存在，求2||||5EQ EF+的最小值；若不存在，请说明理由．。
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四川省高二上学期期中数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一下·双鸭山期中) 若，则下列不等式不可能成立的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）在中,,则此三角形解的情况是（）
A . 一解
B . 两解
C . 一解或两解
D . 无解
3. （2分）已知数列的各项均不等于0和1，此数列前项的和为，且满足
，则满足条件的数列共有（）
A . 2个
B . 6个
C . 8个
D . 16个
4. （2分） (2020高二下·济南月考) 已知，且，则的最小值为（）
A . 8
B . 12
D . 20
5. （2分）(2018·汉中模拟) 已知等比数列满足，，则（）
A . 7
B . 14
C . 21
D . 26
6. （2分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，A＝45°，b＝4，c＝，那么＝（）
A .
B . －
C .
D . －
7. （2分） (2020高一下·隆化期中) 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则面积的最大值为（）
A . 4
B .
C . 8
D .
8. （2分） (2018高二上·益阳期中) 已知数列中，，且，则
B .
C . 6
D .
9. （2分）已知中，，则A= （）
A . 或
B . 或
C .
D .
10. （2分）已知x,y满足条件则2x+4y的最小值为（）
A . 6
B . 12
C . -6
D . -12
11. （2分）已知为等差数列的前项的和，，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）已知，且为幂函数，则ab的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2020高三上·潍坊期中) 若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为
________.
14. （1分）(2020·福州模拟) 设x，y满足约束条件则z＝x-3y的最小值为________
15. （1分） (2019高一下·慈利期中) 等比数列中，是关于的方程两个实根，则
________.
16. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 已知α，β∈（0，），且cosα= ，sin（α﹣β）= ，则sinβ=________．
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分） (2020高一下·大庆期末) 在等差数列中，为其前n项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
（3）设，求数列的前n项和
18. （10分）(2018·河南模拟) 的内角，，的对边分别为，，，面积为，已知 .
（1）求角；
（2）若，，求角 .
19. （5分）已知函数f（x）= ，x∈[2，6]
（1）求证：函数f（x）是区间[2，6]上的减函数；
（2）求函数f（x）在区间[2，6]内的最大值与最小值．
20. （10分） (2016高一上·银川期中) 已知函数y=x2﹣ax﹣3（﹣5≤x≤5）
（1）若a=2，求函数的最值；
（2）若函数在定义域内是单调函数，求a取值的范围．
21. （10分）已知圆x2+（y﹣2）2=4，点A在直线x﹣y﹣2=0上，过A引圆的两条切线，切点为T1 ， T2 ，（Ⅰ）若A点为（1，﹣1），求直线T1T2的方程；
（Ⅱ）求|AT1|的最小值．
22. （15分） (2019高一下·通榆月考) 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和(n∈N*)，且a2＝3，S4＝16. （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、
答案：17-2、
答案：17-3、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。