最佳保温层厚度

摘要
随着科技的发展，能源问题倍受关注，特别是”9 11”事件以后，各种能源价格节节攀升，能源也成为制约社会发展的主要因素，我国的能源的保护与利用也被提到了战略高度。

我国的建筑能耗总量逐年上升，在能源总消耗量中所占的比例已从上世纪七十年代末的10％，上升到近年的27.45％，其速度越来越快，因此建筑节能显得尤为重要。

建筑节能是指在确保室内热舒适环境的前提下,提高采暖、通风、空调、照明、炊事、家用电器和热水供应等的能源利用效率，重点是提高采暖、空调系统的能源利用效率。

在东北地区寒冷的冬天，我们主要考虑的是冬季保温
本文主要针对北方特殊气候下对屋顶保温层最佳厚度的探讨。

按照问题的要求，我们建立了两个主要的模型分别对保温层的厚度以及材料进行了相关的求解。

模型一：我们主要建立的是多层热传导方程模型，由于房顶特殊的要求，我们可以将屋顶视为平壁，于是所研究的问题就是多层平壁热传导问题，设传热面积A 为常量。

可以建立导热速率()q t 与热阻R 之间的关系。

求解模型是在水泥砂浆、三毡四油防水材料的厚度和热传导系数已知的情况下，建立在单位时间内经单位导热面所传递的热量
()q t 与保温层的厚度及热传导系数的关系。

并通过建筑上通用的计算方法来计算保温层
的厚度，即用导热系数与热阻的关系K=
i
R 1
来计算，然后根据建筑节能的设计标准65%加以验证。

以此来验证保温层厚度设计的合理性。

模型二：为了找出一种最好的保温材料，我们考察了影响保温材料的各个因素，最终得到四种主要因素，其中包括材料的造价，热传导系数，材料的容重和材料的厚度。

然后我们通过层次分析法对几种常用的保温材料作了分析，并与珍珠岩保温层作了比较，最终找到了理想的保温材料是XPS 板。

同时我们将该材料的造价和节省的能源造价进行了比较，也充分说明了选择该种材料的合理性。

由模型我们计算出珍珠岩保温层的理论厚度约为170mm,XPS 板的理论厚度约为51.5mm 。

与实际结果大致相符。

关键词：热传导方程 热阻 热传导系数 传热系数 层次分析法
最佳保温层厚度
一、问题的重述
北方的冬季天气寒冷，建筑时选择良好的保温材料和保温措施，是人们十分关注的问题。

目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，假设屋顶由里向外的结构是0.1(cm)涂料，1.5(cm)水泥砂浆20(cm)楼板，2(cm)水泥砂浆，珍珠岩保温层，2(cm)水泥砂浆，1(cm)三毡四油防水材料。

北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄氏75度，冬季为摄氏零下40度。

为了保持室内有较好的舒适温度，又不造成浪费，
（1） 保温层厚度应该多厚为好？
（2） 如果更换保温层成其它保温材料，你认为那种好，其厚度是多少？ 二、模型假设
1．假设传导过程无热量损失；
2．假设各种物质的热传导系数无其他外界的条件影响，即是不考虑材料被损坏或其他问题（如材料含有杂质等）；
3．假设冬季室内有稳定的热源，假设卧室、起居室室内设计温度取16℃～18℃； 4．假设夏季卧室、起居室室内设计温度取 25～28℃；
5．假设夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到75℃，冬季为零下40℃；
6．假设室内较舒适温度为18℃～25℃，在节能计算时，居室室内计算温度，冬季全天为18℃；夏季全天为25℃。

7．由于涂料层比较薄（0.1(cm)），所以不考虑涂料层的隔热作用；
8．假设层与层之间接触良好,即接触的两表面温度相同.
9．假设与屋顶平面平行的各平面的温度相同，即为等温面；,
10．假设屋顶的温度只沿垂直于屋顶的方向变化，而且假设在时间间隔较小的时间
段[,]t t t +∆内温度场分布近似是稳定的，即0u
t ∂=∂；
11．假设屋顶的各层材料均匀，各层导热系数λ可视为常数；
12．假设屋顶边缘处散热可以忽略；
13．我们仅研究屋顶传热情况，而不研究墙壁和窗户传热情况；
三、符号说明
1．1()T t 表示t 时刻室内温度，在计算时，冬季取1()18T t =， 夏季取1()26T t =；
2．2()T t 表示t 时刻室外温度；
3．n 表示屋顶保温层的层数（对于本具体问题，6n =）；
4．i d 表示第i 个保温层的厚度（1,2,
,i n =）；（对于本具体
问题，123560.015,0.2,0.02,0.02,0.01d m d m d m d m d m =====）
x
室内温度T 1
5．d 总表示屋顶的厚度，即1
n
i i d d ==∑总
6.d 保表示保温层的厚度； 7．λ保表示保温层的热传导系数；
8．i λ表示第i 个保温层材料的热传导系数，也称导热系数，单位：W/（m ·k ），（即瓦/米·度）（1,2,
,i n =）
；（对于本具体问题，1350.93/(),w m k λλλ=== 2461.51/(),0.093/(),0.17/()w m k w m k w m k λλλ===，在实际建筑中，采用水泥与珍珠岩之比1：10的混合材料保温层，热传导系数为40.16(/)w m k λ=）； 9．()x λ表示保温层x 处材料的热传导系数；
10．A 表示屋顶平壁的面积；
11．()q t 表示t 时刻在单位时间内经单位导热面积所传递的热量； 12．(,)u x t 表示t 时刻保温层x 处的温度； 13．()C x 表示保温层x 处材料的比热； 14．()x ρ表示保温层x 处材料的密度； 15．
u
x
∂∂表示温度梯度，即沿等温面法线方向的温度变化率称为温度梯度。

16．i
i i
R d λ=
表示第i 层的热阻；
17．R 表示围护结构热阻，1
n
i i R R ==∑；
18．R 保表示保温层热阻； 19．0R 表示保温层热阻限值；
20．K 表示围护结构传热系数，在稳态条件下，围护结构两侧空气温度差为1K ，单位时间内通过单位面积传递的热量。

单位：W/(m 2·K) （即瓦/平方米·度），此处K 可用℃代替；
21． R 总 表示围护结构传热阻，为结构热阻（R ）与两侧表面换热阻之和； 22．0K 表示传热系数K 限值，为方便起见取00.45K =；
23．HDD18表示采暖度日数； 23．CDD26表示空调度日数；
四、问题的分析
我们知道，只要物体内部有温差存在，就有热量从高温部 分向低温部分传导。

所以，热传导与物体内部的温度分布密切 相关。

任一瞬间物体内部或空间中各点温度的分布，称为温度场， 一般地温度场与时间、空间位置有关，因此可用下列函数关系 (,,,)u u x y z t =表示。

由于本问题所研究的是平屋顶热传导问题，所以可将屋顶视 为平壁，于是所研究的问题就是多层平壁热传导问题，设传热面积
缘处的热损失可以忽
略，根据“与屋顶平面平行的各平面的温度相同”这个假设条件，
平壁内的温度只沿垂直于壁面的x 方向变化，这是一维平壁热传
导问题，设(,)u x t 表示t 时刻保温层x 处的温度；假设平壁各层厚
度为i d ，各保温层的材料均匀，导热系数i λ可视为常数 （1,2,
,i n =）
，其中n 为平壁的层数。

另外，假设冬季室内有稳定的热源，使室内温度始终保持有较好的舒适温度，假设
始终保持室内温度为18℃到26℃。

根据以上分析和假设，我们提出以下工作思路： 1．建立多层平壁热传导模型；
2．求解模型，在水泥砂浆、三毡四油防水材料的厚度和热传导系数已知的情况下，建立在单位时间内经单位导热面所传递的热量()Q t 与保温层的厚度及热传导系数的关系。

3．研究当保温层的材料取定为珍珠岩时，确定最佳厚度。

4．寻找更佳的保温材料，确定其厚度。

5．进行理论分析和数据检验。

五、模型的建立与求解 1．热量传递的规律
t 时刻
温度(,)u x t 的梯度为u
x ∂∂，则根据傅立叶热传导
定律在时刻t ，单位时间内由等温面1x 流入 的热量为：
11(,)
()
u x t Q x A x
λ∂=-∂入 式中1()x λ是比例系数，称为热传导系数，又称导热系数，其单位为W/（m ·k ）。

上式中
的负号表示热量传递的方向与温度升高的方向相反。

x 1x 2x
同样，单位时间内由等温面2x 流出的热量为：
22(,)
()
u x t Q x A x
λ∂=-∂出 单位时间内流入介于等温面12x x 与之间部分的净流入热量为 2121(,)(,)
[()
()]u x t u x t Q Q x x A x x
λλ∂∂-=-∂∂入出 在时间12[,]t t 内，流入介于等温面12x x 与之间部分的净流入热量为
2
1
2121(,)(,)
[()
()]t t u x t u x t Q x x Adt x x
λλ∂∂=-∂∂⎰
上述净流入热量使介于等温面12x x 与之间部分的物体内部温度发生变化，物体温度从
1(,)u x t 变化到2(,)u x t （其中12[,]x x x ∈），它所吸收的热量为：
2
1
21()()[(,)(,)]x x Q C x x u x t u x t Adx ρ=-⎰
其中，()C x 和()x ρ分别表示保温层x 处材料的比热和密度。

因此，有
2
21
1
212121(,)(,)[()
()]()()[(,)(,)]t x t x u x t u x t x x Adt C x x u x t u x t Adx x x
λλρ∂∂-=-∂∂⎰
⎰
所以，
2
21
1
212121(,)(,)
[()
()]()()[(,)(,)]t x t x u x t u x t x x dt C x x u x t u x t dx x x
λλρ∂∂-=-∂∂⎰
⎰
而 2
221
11
2121(,)(,)(,)
[()()](())t t x t t x u x t u x t u x t x x dt dt x dx x x x x
λλλ∂∂∂∂-=∂∂∂∂⎰
⎰⎰
2
2
2
1
1
1
21(,)
()()[(,)(,)]()()
x x t x x t u x t C x x u x t u x t dx dx C x x dt t
ρρ∂-=∂⎰
⎰
⎰
由1212,,,x x t t 的任意性可知： (,)(,)
()()(())u x t u x t C x x x t x x
ρλ∂∂∂=∂∂∂ （1） 边界条件为
12(0,)(),(,)()u t T t u d t T t == （2）
2．平顶屋顶温度场微分方程模型
由（1）和（2）可得平顶屋顶温度场微分方程模型：
12(,)(,)()()
(())(0,)(),(,)()u x t u x t C x x x t x x
u t T t u d t T t ρλ∂∂∂⎧
=⎪∂∂∂⎨⎪==⎩ （3） 这是一个偏微分方程的边值问题。

3．稳定条件下平顶屋顶温度场的微分方程模型
直接求解方程（3）比较困难。

但是，由于经过长时间的热量传递之后，在时间间
隔较小的时间段[,]t t t +∆内温度场分布近似是稳定的，即0u
t
∂≈∂，于是便得稳定条件下
平顶屋顶温度场的微分方程模型：
12(,)(())0(0,)(),(,)()u x t x x x
u t T t u d t T t λ∂∂⎧=⎪
∂∂⎨⎪==⎩ （4） 由此可知：(,)
()
u x t x x
λ∂∂与x 无关，即在时刻t ，单位时间内流过各等温面单位面积上的热量是相同的，记为()q t -，即
(,)
()()
u x t q t x x
λ∂=-∂ （5） 其中负号表示热量传递的方向与温度升高的方向相反。

4．平顶屋顶传递的热量的计算
当x 在同一层之间（如在第i 层）变化时，即111
1
[,](1,2,
,)i i
k k i k k x d d d i n --==∈+=∑∑时
（规定00d =），有
(,)
()i
u x t q t x
λ∂=-∂ （6） 在区间111
1
[,](1,2,
,)i
i
k k i k k d d d i n --==+=∑∑上对x 积分得
11
1
1
1111(,)
()[(,)(,)]i
k i k i k k i i d d i i i k k i d k k u x t q t d dx u d t u d d t x λλ-=-=+--==∑∂=-=-+∂∑∑∑⎰
所以
111
1
()[(,)(,)]i i
i
k k i i
k k q t u d t u d d t d λ--===
-+∑∑ （7）
这就是在时刻t ，单位时间内流过第i 等温面单位面积上热量的计算公式。

另外还有
111
1
()
(,)(,)i i
i
k k i k k i
d q t u d t u d d t λ--===-+∑∑
相加得
111
1
1
1
()
[(,)(,)]n
n i i
i
k k i i i k k i
d q t u d t u d d t λ--=====-+∑
∑∑∑
于是 121
()(0,)(,)]()()n
i
i i
d q t u t u d t T t T t λ==-=-∑
12121
1
()()()()
()n n
i
i
i i i
T t T t T t T t q t d R λ==--=
=∑∑ （8） 其中，i
i i
d R λ=
称为第i 层材料的热阻。

这就是在时刻t ，单位时间内流过屋顶单位面积
上热量的计算公式。

对（8）式两边乘A 得 121
()()
()n
i
i i T t T t q t A d A λ=-=
∑ （9） 这就是在时刻t ，单位时间内流过整个屋顶热量的计算公式。

公式（9）也称为多层平壁
的热传导速率方程式。

5．温度函数的确定
当111
1
[,](1,2,
,)i
i
k k i k k x d d d i n --==∈+=∑∑时，对（5）式在11
[,]i
k k d x -=∑上对x 积分得
1
1
111
1
(,)()()[(,)(,)]i
k k i
i
x
k i i k d k k u x t q t x d dx u d t u x t x λλ-=--==∂-=-=-∑∂∑∑⎰
所以
1111
()
(,)(,)()i
i
k k k k i
q t u x t u d t x d λ--===-
-∑∑
所以，在时刻t 温度(,)u x t 与屋顶厚度x 之间的函数关系是分段线性函数，即
111
1111
1111()() [0,](,)()()()() [, ],i=2,3,,n
i i i i
k k k k k k k k k i q t T t x x d u x t d q t T t q t x d x d d λλλ---====⎧
-∈⎪⎪=⎨⎪---∈⎪⎩
∑∑∑∑
其图象如图所示：
6．几个节能术语 （1）围护结构
建筑物及房间各面的围挡物，如墙体、屋顶、门窗、楼板和地面等。

按是否同室外空气直接接触以及建筑物中的位置，又可分为外围护结构和内围护结构。

（2）围护结构传热系数（K ） 在稳态条件下，围护结构两侧空气温度差为1℃ ，单位时间内通过1m 2面积传递的热量称为围护结构的传热系数，记为K 。

单位：W/m 2 ℃。

围护结构的传热系数反映的是热量在某种材料里传递的速度，速度越小，那么这种材料的隔热性能也就越好。

（3）围护结构热阻（R ）
表征围护结构本身或其中某层材料阻抗传热能力的物理量。

单一材料围护结构热阻d
R λ
=，单位：(m 2·K)/W ，其中d 为材料层厚度（m ），λ为
材料的导热系数[W/（m ·K ）]。

多层材料围护结构热阻1
1
n
n
i
i i i i
d R R λ====∑∑
，单位：(m 2·K)/W ，其中i d 为第i 层材料
层厚度（m ），i λ为第i 层材料的导热系数[W/（m ·K ）]，i R 为第i 层材料的热阻。

（4）围护结构表面换热阻（R i 、 R e ）
围护结构两侧表面空气边界层阻抗传热能力的物理量。

在内表面，称为内表面换热阻（R i 、）；在外表面，称为外表面换热阻（R e ）。

在一般情况下，外围护结构的内表面换热阻可取R i =0.11m 2·K/W ,外表面换热阻可取R e =0.04m 2·K/W ，内外两个空气边界层的热阻值之和为0.15m2.K/W 。

（5）围护结构传热阻（R 总 ）
围护结构（包括两侧空气边界层）阻抗传热能力的物理量，为结构热阻（R ）与两侧表面换热阻之和，单位：m 2·K/W ，即
010.150.15n
i e i i R R R R R R ==++=+=+∑。

（10）
（6）围护结构传热系数（K ）与围护结构传热阻（R 总 ）的关系
2T
1
K R =
总
（11） 有了围护结构传热系数（K ）之后，在考虑围护结构两侧表面空气边界层热阻的情况下，单位时间内流过屋顶单位面积上热量的计算公式变为：
12121
()()
()[()()]n
i
i T t T t q t K T t T t K T R =-==
=-=∆∑
（12）
其中12()()T T t T t ∆=-。

（7）采暖度日数（HDD18）
采暖度日数（HDD18）是一年中当某天室外日平均温度低于18°C 时，将低于18°C 的度数乘以1天，所得出的乘积的累加值。

其单位为°C ·d 。

（8）空调度日数（CDD26）
空调度日数（CDD26）为一年中当某天是室外日平均温度高于26°C 时，将高于26°C 的度数乘以1天，再将此乘积累加。

其单位为°C ·d 。

按照HDD18和CDD26的值可将严寒、寒冷地区细分为5个气候小区： Ⅰ区（严寒地区）：冬季严寒。

Ⅰ(A)区：5500188000HDD ≤≤，冬季异常寒冷，夏季凉； Ⅰ(B)区：5000185500HDD ≤≤，冬季非常寒冷，夏季凉； Ⅰ(C)区：3800185000HDD ≤≤，冬季很寒冷，夏季凉爽；
Ⅱ区（寒冷地区）：冬季寒冷。

Ⅱ (A)区：2000183800,2690HDD CDD ≤≤≤且，冬季寒冷，夏季凉爽； Ⅱ (B)区：2000183800,26200HDD CDD ≤≤≤≤且90，冬季寒冷，夏季热； （9）建筑物耗热量指标（q H ）、耗冷量指标（q c ）
建筑物按照冬季和夏季室内热环境设计指标和设定的计算条件，计算得出的单位建筑面积在单位时间内消耗的需由采暖和空调设备提供的热量和冷量。

单位：W/m 2。

计算时所用的建筑面积为整栋建筑的建筑面积。

7．民用建筑节能设计对围护结构传热系数K 的2个设计标准
标准1 屋顶传热系数K 值不超过《民用建筑节能设计标准》（采暖居住建筑部分）JGJ 26-95第4.2.1条规定的限值0K ，即0K K ≤。

0K 与地区的寒冷程度及楼层有关，
为了计算方便起见，在辽宁地区一般取00.45K =
标准2 若0K K >不符合，则计算的耗热量指标和耗煤量指标不超过JGJ26-95第3.0.5条
的规定。

居住建筑通过采用增强建筑围护结构保温隔热性能和提高采暖、空调设备能效比的节能措施，在保证相同的室内热环境指标的前提下，与未采取节能措施前相比，采暖、空调能耗应节约50%，有条件的大城市和严寒、寒冷地区可率先按照节能率65%的地方标准执行。

8．珍珠岩保温层厚度的计算
为了简单起见，在确定保温层厚度时，仅按设计标准1利用公式（10）和（11）来计算。

根据已知条件，经查阅相关资料可得下表：
由公式（10）
10.150.400414n
i i R R R ==+=+∑总保
由公式（11） 110.400414K R R ==+总保
其图象如下：
图2
当00.5K =时，由0K K ≤解得 1.8218R ≥保。

记0 1.8218R =，则有
0R R ≥保 （13）
公式（13）称为保温条件。

由于d R λ=
保
保保
，所以有
00d R d R λλ≥≥保
保保保
，，所以得到厚度的计算公式：
0 1.8218d R λλ≥=保保保 （14） 当保温材料确定后，利用（14）式可确定材料的最佳厚度。

特别，当保温材料取定为珍珠岩时，0.093λ=保，其厚度为0.1676d ≥保。

珍珠岩保温层的厚度可取为170d mm =保。

但在实际建筑中，使用水泥珍珠岩，0.16λ=保，厚度可取为292d mm =保
问题2模型建立
据单位面积上材料的造价、材料厚度（材料越厚施工越不方便）、材料的重量（容重越大越增加结构负荷，间接造成建造成本增加）等因素综合考虑，适当选择保温材料。

经查阅有关资料，常用房顶保温材料有：
1
0.400414K R =
+保
保温材料计热阻
要求
(m2K／
W)
导热系
数(W／
mK)
密度(kg
／m3)
达到热
阻要求
的厚度
(mm)
达到热
阻要求
单位容
量(ks／
m2)
与XPS板比较厚度重量
增加比
单价(元
/m3)
达到热
阻要求
的单位
价格(元
／m2)
与XPS板
比较价
格比
厚度比容量比
挤塑聚苯
板XPS板
1.8218 0.028 28-38 51.01 1.84 1倍1倍420 21.42 1倍
珍珠岩 1.8218 0.093 400 169.43 67.77 3.32倍36.90倍96 16.27 0.76倍水泥聚苯
板
1.8218 0.09 300 163.96 49.19 3.21倍26.79估205 33.61 1.57倍EPS泡沫板 1.8218 0.042 20-30 76.52 1.91 1.50倍 1.04倍410 31.37 1.46倍硬质聚氨
酯泡沫
1.8218 0.023 60 41.90
2.51 0.82倍 1.37倍700 29.33 1.37倍
根据这些资料，建立层次分析的模型如下：
（1）层次结构图以层次分析法和九级标度法为基础建立模型，通过对资料和数据的
分析研究建立了层次结构图（图3）如下：
图3
(2)准则层对目标层的数据说明
从长远利益考虑，我们认为材料的热传导系数会直接影响将来的供能问题，而单价
只是暂时的利益因素。

同时考虑到材料的厚度和容重会影响到施工的难度问题，所以选
用保温材料不但要考虑导热系数高低，更要考虑相同热阻时不同保温材料的厚度与容
重。

保温材料越厚施工越不便，保温材料容重越大越增加结构负荷，间接造成建造成本
增加。

综合以上各因素，我们得到以下判别矩阵：
方案层对准则层的判别矩阵可通过上面资料中的相关数据得出结论。

六．模型求解与检验
问题1的求解
根据查得的资料显示，在辽宁地区屋顶的传热系数K ≤0 .45 当保温材料取定为珍珠岩时，0.093λ=保，按公式
0 1.8218d R λλ≥=保保保 计算得其厚度为0.1676d ≥保。

珍珠岩保温层的厚度可取为170d mm =保。

但在实际建筑中，使用水泥珍珠岩，0.16λ=保，厚度可取为292d mm =保
模型检验：
原理：根据资料提示，北方的建筑设计应该满足在有保温层时，减少的热量占总热量的比例应不小于65% 。

冬天验证：①当室内温度为25℃时，
q=K )(12T T -⨯≤)(W 25.29254045.0-=--⨯ 若没有保温层时， ()W T T K q 8.169)2540(15.093.0202.017.001
.074.12.093.0015.0112'-=--⨯=-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%8.82%1008.169)
25.29(8.169%100'
'≥=⨯----=⨯-=q q q η 由此我们得到此保温层设计达到较好效果。

②当室内温度为18℃时 q=K )(12T T -⨯≤)(W 1.26184045.0-=--⨯ 若没有保温层时， ()W
T T K q 5.151)1840(15.093.0202.017.001.074.12.093.0015.01
12'-=--⨯=
-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%8.82%1005.151)
1.26(5.151%100'
'≥=⨯----=⨯-=q
q q η
也同样达到设计要求。

综合可得该保温层设计在冬天时满足条件，而且效果较好。

夏天验证：①当室内温度为25℃时， q=K )(12T T -⨯≤)(W 5.22257545.0=-⨯ 若没有保温层时， ()W T T K q 6.130)2575(15.093.0202.017.001
.074.12.093.0015.0112'=-⨯=-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%8.82%1006.1305
.226.130%100''≥=⨯-=⨯-=q q q η
由此我们得到此保温层设计达到较好效果。

②当室内温度为18℃时 q=K )(12T T -⨯≤)(W 7.25187545.0=-⨯ 若没有保温层时， ()W T T K q 9.148)1875(15.093.0202.017.001.074.12.093.0015.01
12'=-⨯=
-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%7.82%1009.1487
.259.148%100'
'≥=⨯-=⨯-=q q q η 也同样达到设计要求。

综合可得该保温层设计在夏天时满足条件，而且效果较好。

问题2的求解
绘出权重的示意图如下所示：
图4
由图表得出，XPS 板权重最大，其次是EPS 泡沫板和硬质聚氨酯泡沫。

故若要更换保温材料，可在这些材料中作选择。

下面以XPS 板为例，计算其保温厚度，并做验证 仍然根据传热系数K ≤0.5计算，过程如下：
K=
≤⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯++++15.093.0202.017.001.0028.074.12.093.0015.01
d 0.45
得保温层的厚度d ≥51.5mm
d 的验证（将d 的值代入热传导方程）
原理：仍为有保温层时，减少的热量占总热量的比例应不小于65% 。

冬天验证：①当室内温度为25℃时，
q=K )(12T T -⨯=--⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯++++≤)2540(15.093.0202.017.001.0028.00515.074.12.093.0015.01)(W 3.29254045.0-=--⨯
若没有保温层时，
()W T T K q 7.169)2540(15.093.0202.017.001
.074.12.093.0015.0112'-=--⨯=-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%7.82%1007.169)
3.29(7.169%100'
'≥=⨯----=⨯-=q
q q η 由此我们得到此保温层设计达到较好效果。

②当室内温度为18℃时
q=K )(12T T -⨯=--⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯++++≤)2540(15.093.0202.017.001.0028.00515.074.12.093.0015.01)(W 3.29254045.0-=--⨯
若没有保温层时，
()W
T T K q 5.151)1840(15.093.0202.017.001.074.12.093.0015.01
12'-=--⨯=
-⨯=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+++
比例%65%7.80%1005.151)
3.29(5.151%100'
'≥=⨯----=⨯-=q q q η 也同样达到设计要求。

综合可得该保温层设计在冬天时满足条件，而且效果较好。

同理验证夏天得出结论。

七．结果分析
保温效果分析
没有保温层时传热系数为
11
2.49740.400414
K ==，
单位时间内流过屋顶单位面积上热量的计算公式变为： 1112()[()()]q t K T t T t =- 有保温层时传热系数为： 21
0.400414K R =
+保
，
单位时间内流过屋顶单位面积上热量的计算公式变为： 2212()[()()]q t K T t T t =- 保温效果为：
12122111()()0.400414
100%100%(1)100%(1100%()0.400414q t q t K K K q t K K R η--=
⨯=⨯=-⨯=-⨯+总
）
其图形如下
图5
从上图可看出：随着R 保的增加，前期保温效果增加比较明显，后期增加比较缓慢，特别0.5R ≤保时保温效果增长较快，当2R ≥保是保温效果增长较慢。

因此当保温效果增加到一定程度之后，选择增加热阻效果已经不明显，但造价可能会明显增大，这时要提高节能效果，就要从别的方面去考虑，如：集中供暖、提高热效率等。

另外，当0R R ≥保时，81.9813η≥% （此结论在上面模型求解中的模型验证里得到了验证）。

利用保温效率函数从理论上可以确定传热系数K 限值0K ，如我们要求保温热效率满足65%η≥，则000.874095311,0.743626K R ==，由此算得珍珠岩保温层的厚度
69.2d mm =保，挤塑聚苯板XPS 板保温层的厚度21d mm =保。

由于房顶散热只是整个房屋散热的一部分，四周的墙壁、窗户、门、大地等向外散发大量热量，而且每小时还需要换气一次也向外散发大量热量，因此，在实际施工中保温层的厚度比上面计算的理论值大得多。

实际施工中珍珠岩保温层的厚度为 120mm ，挤塑聚苯板XPS 板保温层的厚度为 60-----80mm 。

将水泥膨胀珍珠岩和XPS 板作经济上的比较
用水泥膨胀珍珠岩做保温层我们计算出的保温厚度至少为167.6 mm 。

而如果用XPS 板做保温层，其保温厚度至少为51.5mm 。

在前面的假设中我们已经假定居民楼为100m 2，为了达到施工难度一致，我们可以考虑使保温层的厚度一样，取最小值进行计算。

取d=51.5mm
同时假设用煤来供应热量（选用辽宁鞍山半烟末煤，煤发热量H C ＝20.9MJ/kg ，其价格C f ＝0.22￥/Kg ），假设一年的冬天有五个月，屋内的室温为25C 来近似计算。

两者的造价比较：
水泥珍珠岩的价钱：S1=1004.494960515.0=⨯⨯元 XPS 板的价钱：S2＝10021634200515.0=⨯⨯元
6.16684.494216312=-=-=∆S S S 元 计算热量(一年的热量消耗)： 用XPS 板作保温层时： Q1=K t
T T A ∆⨯-⨯⨯)(125
30360024100)2540(15.093.0202.017.001.0028.00515.074.12.093.0015.01
⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯++++=
MJ 37908-= ① 用水泥珍珠岩作保温层时： Q2=K t
T T A ∆⨯-⨯⨯)(125
30360024100)2540(15.093.0202.017.001.0093.00515.074.12.093.0015.01
⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯++++=
MJ 89936-= ②
①-②表示用XPS 比用珍珠岩做保温层在每年节省的热量
=∆Q MJ MJ MJ 52028)89936(37908=---
用煤供应这些热量需要的花费为：Y=C f ⨯7.5479
.2052028
22.0=⨯=∆C H Q 元 假设在N 年通过节能平衡差价，则 N 305.37
.5476.1668≈==∆≥
Y S 年 由计算可知通过大约三年的时间，我们可以通过能量的花费将购买材料多于的花费平衡掉，假设只考虑10年时间，可以净盈利 P ＝3834元 显然用XPS 比用珍珠岩做保温层更经济实惠。

八．优缺点，改进方向
模型的优点：在求解保温层厚度的过程中，我们避免了通过建立屋内外的热量平衡关系（比如冬天暖气提供的热量和屋顶散失的热量平衡）来计算，也就是避免了繁琐的计算屋内的暖气（或空调）提供（或散失）的热量，而是借用了工程上通用的计算保温层厚度的方法，即直接通过传热系数K 来求解，并且将热传导方程用于检验保温层厚度的合理性。

这样操作简单并且达到了预期的目标，计算的结果与工程大致相符。

同时在模型分析里面，我们从长远角度考虑，将水泥膨胀珍珠岩和XPS 板做了经济上的比较，可以得出结论虽然在购买材料时XPS 板的造价远高于水泥膨胀珍珠岩，但考虑到要损失更多的热量，这样会在将来消耗更多的资金，这样也会得不偿失。

同时这也符合现在社会的节约能源的呼声。

模型的缺点：在整个模型的求解过程中，我们只考虑了冬天有暖气的地方，对于夏天使用空调的情况下，应该做另外的模型建立。

改进方向：①.由图4知，当保温层的热阻增加到一定程度时，其保温效果增加程度
已经不明显，此时再从增加热阻的角度出发，对于保温效果已经没有多大意义，而且此时造价可能会明显增大，这时要提高节能效果，就要从别的方面去考虑，如：集中供暖、提高热效率等。

②．本模型可使用于保温墙的设计，此时要考虑窗户的保温作用和墙面的差别，据资料差的此时应当用到加权法求得综合作用时的传热系数。

③当屋顶不能视作平壁结构时，或者是屋顶上设有排气孔时，又需要做另行考虑。

参考文献
1．中国建筑节能网：http:
2．《民用建筑热工设计规范》
3．《公共建筑节能设计标准》
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8．孟长再．住宅经济保温厚度的计算与分析．煤气与热力，1997，17（3）：39-43
9．挤塑聚苯乙烯板外保温墙体构造，图集号：DBJT－08．中国建筑东北设计院研究所．2000，1
10．苑振芳．新型墙体EPS外保温饰面系统介绍．中国建筑东北设计研究院．2000，1
附录
层次分析法的结果
标度类型：0.5~8.5
最终结果
为了显示方便，分别用A，B，C，D，E代表各种材料：
A——XPS板
B——珍珠岩
C——水泥聚苯板
D——EPS泡沫板
E——硬质聚氨酯泡沫
1. 最佳保温材料
判断矩阵一致性比例：0.0169; 对总目标的权重：1.0000
----------------------------------------------------------------------------------
最佳保温材料
材料厚度材料密度材料单价热传导系数Wi 材料厚度 1.0000 1.4918 1.0000 0.3012 0.1836 材料密度0.6703 1.0000 1.0000 0.3679 0.1580 材料单价 1.0000 1.0000 1.0000 0.4493 0.1836 热传导系数 3.3201 2.7183 2.2255 1.0000 0.4748
--------------------------------------------------------------------------------- 2. 材料厚度判断矩阵一致性比例：0.0014; 对总目标的权重：0.1836 ----------------------------------------------------------------------------------
材料厚度
A B C D E Wi
A 1.0000 1.4918 1.4918 1.2214 1.0000 0.2417
B 0.6703 1.0000 1.0000 0.8187 0.8187 0.1686
C 0.6703 1.0000 1.0000 0.8187 0.8187 0.1686
D 0.8187 1.2214 1.2214 1.0000 0.8187 0.1979
E 1.0000 1.2214 1.2214 1.2214 1.0000 0.2231
3. 材料密度判断矩阵一致性比例：0.0086; 对总目标的权重：0.1580
----------------------------------------------------------------------------------
材料密度
A B C D E Wi
A 1.0000 4.9530 4.9530 1.0000 1.2214 0.3189
B 0.2019 1.0000 1.0000 0.2019 0.3012 0.0670
C 0.2019 1.0000 1.0000 0.2019 0.4493 0.0726
D 1.0000 4.9530 4.9530 1.0000 1.2214 0.3189
E 0.8187 3.3201 2.2255 0.8187 1.0000 0.2225
4. 材料单价判断矩阵一致性比例：0.0086; 对总目标的权重：0.1836
----------------------------------------------------------------------------------
材料单价
A B C D E Wi
A 1.0000 0.5488 0.8187 1.0000 1.2214 0.1740
B 1.8221 1.0000 1.2214 1.8221 1.2214 0.2702
C 1.2214 0.8187 1.0000 1.2214 1.4918 0.2212
D 1.0000 0.5488 0.8187 1.0000 1.2214 0.1740
E 0.8187 0.8187 0.6703 0.8187 1.0000 0.1606
5. 热传导系数判断矩阵一致性比例：0.0014; 对总目标的权重：0.4748 ----------------------------------------------------------------------------------
热传导系数
B C D E A Wi
B 1.0000 1.0000 0.8187 0.5488 0.6703 0.1537
C 1.0000 1.0000 0.8187 0.5488 0.6703 0.1537
D 1.2214 1.2214 1.0000 0.8187 0.8187 0.1954
E 1.8221 1.8221 1.2214 1.0000 1.0000 0.2585 A 1.4918 1.4918 1.2214 1.0000 1.0000 0.2387 ----------------------------------------------------------------------------------。