数学建模,汽车的刹车距离,动物的身长与体重,论文

学科评价模型

汽车刹车距离

一、问题重述

制定这样的规定是为了在后车急刹车情况下不致撞到前面的车，即要确定汽车的刹车距离。刹车距离显然与车速有关，先看看汽车在10英里/小时（约16千米/小时）的车速下2秒钟下行驶多大距离。容易计算这个距离为：10英里/小时*5280英尺/英里*1小时/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），远远大于一个车身的平均长度15英尺（=4.6米），所以“2秒准则”与上述规则并不一样。为了判断规则的合理性，需要对刹车距离做教仔细的分析。

一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其他很多因素会影响刹车距离，包括车型.车重，刹车系统的机械状况，轮胎类型和状况，路面类型和状况，天气状况，驾驶员的操作技术和身体状况等。

为了建立刹车距离与车速之间的函数关系，需要提出哪几条合理的简化假设呢？

可以假设车型，轮胎类型，路面条件都相同；

假设汽车没有超载;

假设刹车系统的机械状况，轮胎状况，天气状况以及驾驶员状况都良好；

假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向。

这些假设都是为了使我们可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响。这些假设是初步的和粗糙的，在建模过程中，还可能提出新假设，或者修改原有假设。

首先，我们仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段：

在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车系统开始起作用，汽车在反应时间行驶的距离称为“反应距离”；反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速

不变。

在第二阶段，从刹车踏板被踩下，刹车系统开始起作用，到汽车完全停止，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面）的距离称为“制动距离”。刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。由能量守恒制动力所做的功等于汽车动能的改变。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。路面状况可认为是固定的。

二、模型假设

根据上述分析，可作如下假设：

①刹车距离d 等于反应距离1d 和制动距离2d 之和；

②反应距离1d 与车速v 成正比，且比例系数为反应时间t ；

③刹车时使用最大制动力F ，F 作的功等于汽车动能的改变，且F 与车质量m 成正比；

④人的反应时间t 为一个常数；

⑤在反应时间内车速v 不变 ；

⑥路面状况是固定的；

⑦汽车的减速度a 基本上是一个常数。

三、问题分析

1.由上述假设，可得：

⑴tv d =2； ⑵2221mv Fd =,而ma F =，则2221v a

d =。所以22kv d =。 综上，刹车距离的模型为2kv tv d +=。

2.参数估计

可用我国某机构提供的刹车距离实际观察数据来拟合未知参数t 和k 。 转化单位后得：

车速（公里/小时） 20 40 60 80 100 120 140

实际刹车距离

（米）6.

5

17.

8

33.

6

57.

1

83.

4

118.

153.

5

用Mathematica进行拟合，代码如下：

Clear[x,v,d];

x={{20/3.6,6.5},{40/3.6,17.8},{60/3.6,33.6},{80/3.6,57.1},{100/3.6,83 .4},{120/3.6,118},{140/3.6,153.5}};

d=Fit[x,{v,v^2},v];

Print["d=",d];

Plot[d,{v,0,200/3.6}]

结果：

In[387]:=

Clear[v,d];

D=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;

For[v=20,v<=140,v=v+20,Print["速度为"，v，"km/h时刹车距离为"，d]] 速度为20km/h时刹车距离为6.2553

速度为40km/h时刹车距离为17.7747

速度为60km/h时刹车距离为34.5583

速度为80km/h时刹车距离为59.6061

速度为100km/h时刹车距离为83.918

速度为120km/h时刹车距离为116.494

速度140km/h时刹车距离为154.334

Y7U

3.结果分析

将拟合结果与实际结果对比：（代码）

Clear[v,d];

d=0.65218*v/3.6+0.0852792*(v/3.6)^2;

For[v=20,v<=140,v=v+20,Print["速度为",v,"km/h时刹车距离为",d]] 结果：

车速（公里/小时）20 40 60 80 100 120 140

实际刹车距离

（米）6.

5

17.

8

33.

6

57.

1

83.

4

118.

153.

5

计算刹车距离

（米）6.

2

17.

8

34.

6

56.

6

83.

9

116.

5

154.

3

计算刹车距离与实际刹车距离基本相当。

综上，反应时间t约等于0.6522秒，刹车时减速度约等于1/2k≈6m/s2。

刹车距离与车速的关系满足：d=0.6522v+0.08528v^2。

四、模型的评价

1、模型的优点

考察误差，发现当车速不超过104.6千米/小时，实际值都微小于理论值，但是当车速更快时，实际值就会大于理论值，而且随着车速的增加误差会越来越