箱梁的畸变分析
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高等桥梁结构理论
误差还是比较大。 畸变是在闭口薄壁杆件受到偏心荷载的时候产生的，薄壁杆件在偏心荷载作
用的时候，受力特性比较复杂，会产生纵向弯曲（图 1-a），扭转（图 1-b），畸 变（图 1-c）以及横向挠曲（图 1-d）四种基本变形。（如图 1 所示）
图1 另外能引起畸变的荷载主要有一下几种，竖直偏心荷载（图 2-a）、水平偏心 荷载（图 2-b）和在自重作用下由于支点倾侧（所谓三条腿）（图 2-c）产生的扭 矩等荷载。
的曲线，所以此处一阶导数为 0） Q = − （由于此处研究的是a1sinθP4 = 1的
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高等桥梁结构理论
情况，所以跨中处的剪力为− ）,M =
。将初参数和 x=0 代入（3-11）和（3-12）
以及转角和剪力表达式，列出一个以 Bi 为未知数的方程组。 解得：源自1 =2 == 1
− 4 +
（3-13）
3.1 两种物理模型之间的比拟关系
弹性地基梁
常截面畸变
A．控制微分方程 EIby，，，，+Ky=q B．相似物理量
EJAγ2，，，，+ EJBγ2=a1sinθP4
Ib—弹性地基梁惯矩（m4）
JA—箱梁畸变翘曲惯矩（m6）
EIb—弹性地基梁抗弯刚度（kn·m2） EJA—箱梁畸变翘曲刚度（kn·m4）
53.72 × ( × 10 ) + 17.717 × 17.717 × ( × 10 ) − 3.605
解得：
+ 166.121 = 0 + 5.131 = 0
= 0.68 × 10
= 2.628 N ∙ m
代回式（3-14）和（3-15）
y( ) = 0.68 × 10 ∙ [
所以畸变应变能 U 主要有畸变翘曲应变能 U1，框架畸变应变能 U2 以及结构 畸变总势能 U3 三部分组成。（详细推导过程参考文献【1】2.2.3 畸变应变能）
U= + + =
dz + Ω( ̈ ) dz − ( + )
( )dz
2.4 常截面畸变控制微分方程的推导
根据最小势能原理，当畸变应变能 U 取得极值的时候，结构处在一个平衡状 态。
= ( + d) 1 +
+ + 2 ( − β + 1) = 6.085
（3-1）
=
+
+
= 2.001 × 10 （3-2）
其中 Ki 都是常数项，与截面尺寸与 Ɵ 角有联系，具体公式在文献【1】中有 具体的推导。Ii 分别是单位长度上各板的惯性矩，这里注意，不要与文献【1】中 畸变翘曲应变能中的板块惯矩相混淆。
数得到齐次线性微分方程E （ ） + = 0的通解：
y = ( cosax + sinax) + ( cosax + sinax)（3-10）
引入双曲函数： = chax + shax， = chax − shax。设 = ( + )、
= ( + )、 = ( − )、 = ( − )。
得出： y = chaxcosax + chaxsinax + shaxcosax + shaxsinax（3-11）由于 加载位置在挠度曲线最大处，则微分方程（3-5）的特解为 0，（3-11）即为非齐 次线性微分方程通解。
K—弹性地基梁地基模数（kn/m2）
BJB—箱梁畸变框架刚度（kn/m4）
q—弹性地基梁均布荷载集度（kn/m） a1sinθP4 — 箱 梁 畸 变 水 平 分 力 偶
y—弹性地基梁的挠度（m）
（kn·m/m）
M—弹性地基梁的弯矩（kn·m）
γ2—箱梁的畸变角（rad）
BA—箱梁畸变的双力矩（kn·m2）
一．绪论
由于预应力混凝土箱形截面具有良好的力学性能，在大跨度桥梁，城市高架 桥建设中得到了十分广泛的作用，其主要的好处主要有一下几点：
(1)箱梁截面抗扭刚度较大，在施工和使用过程中均有良好的稳定性； (2)顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效的抵抗正负弯矩，因而特别 适应具有正负弯矩的连续结构； (3)箱梁结构中部得到很大的挖空，因而自重小； (4)承重结构和传力结构相结合，使各部件共同受力，达到较好的经济效果．同 时截面效率高，适合预应力混凝土结构空间布置钢束。 随着箱型梁桥在现代桥梁施工中占有越来越大的比例，畸变效应对其受力性 能的影响越来越受到设计及施工人员的重视。通过这一个学期的学习，我也对薄 壁箱梁的畸变理论有了一定的了解。
2
高等桥梁结构理论
板井等人也用广义坐标法研究了畸变问题；西野、长谷川、名取在严格变位场假 设下，比较了广义坐标法，对约束扭转和畸变做了综合考察．但出于该法采用截 面变形中心与扭转中心一致的假设，因此只适用于具有两个对称轴的截面，并且 不能考虑箱梁顶板的悬臂作用。
由于将约束扭转和畸变综合在一起考虑时，计算分析比较复杂，而且已有的 方法，如广义坐标法，在实际应用中有其局限性，因此在实际分析中，薄壁杆件 的约束扭转一般分解为刚性扭转和畸变两部分进行单独分析。对于箱梁的畸变， 除广义坐标法外，薄壳理论是另外一种传统的解析方法，但其繁琐可想而知，很 难在实际工程中推广应用。得勃洛斯基(R．Dabrowski)由传统的弯曲理论和约束 扭转理论推广出“广义的弯曲理论”，经简化得到简便实用的畸变分析理论。文 献【3】介绍了这种不考虑剪切变形的畸变分析理论，并利用其与弹性地基梁的 相似关系对其畸变微分方程进行求解，是畸变分析的良好思路。文献【5】据此 推导了变截面箱梁畸变分析的刚度法。薄壁杆件横向挠曲一般认为是产生畸变的 原因，故其分析与畸变分不刀：，文献【4】对此作了介绍。平岛政治以弯曲理 论为出发点提出考虑剪切变形的任意四边形箱梁畸变理论，Richowd·B采用等代 梁法来求解变截面箱梁的畸变问题，该法是--400实用的简化计算；近年来，精 确而实用的弹性地基比拟梁法(BEF法Wright·N)的出现，使等截面箱形梁的畸变 分析得到了初步的完善，该法应用能量原理推得一个和弹性地基梁挠曲微分方程 类似的畸变微分方程。从而可以应用弹性地基梁理论分析箱粱畸变比拟法，具有 物理概念清晰，受力明确，计算简单等特点。
2.2 畸变荷载的分解
荷载的分解主要是有两个步骤，第一步是先把偏心荷载分解成一对对称荷载 和反对称荷载（如图 4 所示），然后再把分解出来的反对称荷载分解为扭转荷载
4
高等桥梁结构理论
以及畸变荷载。（如图 5 所示）。
图-4
图-5
2.3.畸变应变能
在箱梁中，畸变计算可简化为四块纵向板梁及沿梁跨方向一系列横向框架的 力学模型。当梁受偏心荷载发生畸变时，各版在自身平面内发生翘曲，产生畸变 翘曲应变能。同时横向框架有横向翘曲，产生框架畸变应变能。
第二步，解微分方程
7
高等桥梁结构理论
E （ ） + Ky = q（3-5） 先将y = 带入齐次线性微分方程
E （ ）+ 得出
= 0（3-6）
= (cosπ + isinπ)（3-7）
由复数开方根公式得
s=
+ isin
（3-8）
设
a=
= √2 （3-9）
分别当 k=1,2,3,4 时，得到四个线性无关特解，将其组合并引入四个积分常
1 =−
2
代入（3-11）、（3-12）得到 y,M 的表达式
y( ) =
1 ℎ −2
ℎ −4
(
ℎ−
（3-14）
ℎ)
M( ) = 2E （3-15）
sinλzchλz + cosλzchλz + (sinλzchλz + cosλzshλz) 2
边界条件是：z = 、 = 0、 = 0。代入（3-14）（3-15）。得联立方程
图3 本节解析的截面，如图3-a所示。以点2的畸变角γ2为基本未知量，各个点 的畸变角军用γ2的函数来表示。当纵向翘曲变形的时候，横截面各直杆保持直 线，也就是说与z轴平行的各个直杆都是保持直线，不会弯曲等等。而且翘曲应 力沿板厚方向为常量，并不会随着板厚而变化，同时格板宽度也保持不变。结构 受力在线弹性范围之内。
3
高等桥梁结构理论
二．常截面控制微分方程的推导 2.1 常截面控制微分方程的推导
我所学习的课本，也就是在项海帆教授主编的《高等桥梁结构理论》这本教 材中，选取的是以畸变角γ2 为基本未知量，采用能量原理及变分法推导出单室 梯形箱梁常截面的畸变微分方程。
2.1 基本未知量
畸变方程基本上有两种，一种是用挠度表示的，另外一种就是前面说的畸变 角γ2表示的，两种表达式可以互换。
M = 2E （ shaxsinax − shaxcosax + shaxsinax − chaxcosax） （3-12）（另外还有剪力和转角的表达式，参考文献【7】192 页（8-12）） 第三步，代入边界条件，求出实际表达式，绘制影响线。
引入初参数，根据对称条件，取跨径中点为坐标原点，那里挠度为 ，且 ’ = 0（因为对称，坐标零点一定是一个拐点，而且挠度曲线是一条光滑连续
图2
1.2 畸变的研究现状
前文提到过，乌曼斯基的扭转理论由于忽略了畸变的作用，所以并不能得到 准确的计算结果。随着研究的发展，发现当薄壁杆件具有非对称截面且剪切的作 用不容忽视时，畸变对受力性能的影响较大。1933年，艾伯纳发表了关于折板理 论的畸变解析法，从而拉开了考虑周边变形的箱梁扭转问题研究的序幕；此后辛 格、戴弗里斯、斯肯纳相继发表了关于畸变问题研究的报告；1949年，符拉索夫 另辟蹊径，提出了对于由平板围成的闭口截面杆件考虑截面外形轮廓线变形的约 束扭转计算新方法——广义坐标法。阿伯代尔、沙马特、莱特、罗宾逊、奥村和
通过以上对比关系，把求解具有端横隔板的箱梁（指常截面）的畸变角和畸
变双力矩 BA 的问题转化为求解在一定边界条件下弹性地基梁的挠度 y 以及弯矩 M 的问题，如此使问题得到简化。
3.2 弹性地基梁比拟法
通过学习文献【1】上的实例，我总结了计算的过程，并且对于一些我学习 时候难以理解的地方标示一下。
先例举书上的例子，三跨等截面单室矩形连续梁 3×80m，截面尺寸如图 4
对于变截面薄壁箱梁，它与常截面的区别主要在于扭矩H也是关于z的函数， 而不是一个常量。求变截面畸变应力也可以用B.E.F比拟法求解。但是由于地基 的弹簧是变的，会遇到求解的困难。用加权残数法的配点原理可获得近似解。
1.3本文主要内容
本文主要是我在学习的时候对于一些难以理解的问题，主要简要介绍了常截 面畸变控制微分方程的推导，以及用弹性地基梁比拟法解出常截面箱梁的畸变应 力。
高等桥梁结构理论
箱梁的畸变分析
土研-11 窦宇 1108140611002 摘要：箱型梁截面是现代桥梁建设中比较常见的一种结构形式，但是受力结构相 对来说比较复杂。本文简要介绍了畸变的形成、研究现状、以及使用能量变分法 推导常截面畸变控制微分方程和实际计算中的弹性地基梁（B.E.F）比拟法。 关键词：畸变，微分方程，弹性地基梁。
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高等桥梁结构理论
所示。梁体混凝土标号，弹性模量 Eh=3.5×104MPa。试求（1）当跨中截面作用 一单位畸变荷载时 a1sinƟP4=1kn·m，各截面的畸变角及畸变双力矩。（2）绘出 跨中截面畸变角及畸变双力矩的影响线。
图6 第一步 求出翘曲惯矩 JA 和翘曲刚度 JB，从而导出换算长度 λx 根据文献【1】的推导，总结计算公式如下：
根据欧拉-拉格朗日（Euler-Largrange）条件式，推导出常截面畸变控制微分 方程 EJAγ2，，，，+ EJBγ2=a1sinθP4
5
高等桥梁结构理论
三．弹性地基梁比拟法求常截面箱梁的畸变 应力
由于常截面箱梁畸变控制微分方程与弹性地基梁挠曲的控制方程具有完全 相似的表达式，因此弹性地基梁的挠度 y 就等于解箱梁的畸变角γ2。
等截面弹性地基梁的微分方程为：
（ ） + 4 = （3-3）
式中：
λ=
（3-4）
根据表 2-5 是错误的。
K 相当于 EJB，EIB=EJA，这里要注释一下，文献【1】中的标注
λ=
=
= 0.0952
4
4
等截面连续箱梁，若自某跨跨中到最近支点的换算长度 λx＞π，本实例中 λ ×l/2=3.808＞π，可将三孔连续梁的畸变计算转化为跨境 80m 的简支梁来计算。
1.1 畸变的定义以及形成原因
在之前的学习中，我了解了乌曼斯基扭转理论。乌曼斯基在分析闭口薄壁杆 的时候放弃了符拉索夫“板中剪应力为零”的假定，使得计算结果更加准确。但 是乌曼斯基扭转理论的基本假定之中，第一条便是横截面的周边不变形，忽略了 对于闭口薄壁杆件至关重要的截面外形轮廓线变形，即是畸变，因此计算结果的
高等桥梁结构理论
误差还是比较大。 畸变是在闭口薄壁杆件受到偏心荷载的时候产生的，薄壁杆件在偏心荷载作
用的时候，受力特性比较复杂，会产生纵向弯曲（图 1-a），扭转（图 1-b），畸 变（图 1-c）以及横向挠曲（图 1-d）四种基本变形。（如图 1 所示）
图1 另外能引起畸变的荷载主要有一下几种，竖直偏心荷载（图 2-a）、水平偏心 荷载（图 2-b）和在自重作用下由于支点倾侧（所谓三条腿）（图 2-c）产生的扭 矩等荷载。
的曲线，所以此处一阶导数为 0） Q = − （由于此处研究的是a1sinθP4 = 1的
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高等桥梁结构理论
情况，所以跨中处的剪力为− ）,M =
。将初参数和 x=0 代入（3-11）和（3-12）
以及转角和剪力表达式，列出一个以 Bi 为未知数的方程组。 解得：源自1 =2 == 1
− 4 +
（3-13）
3.1 两种物理模型之间的比拟关系
弹性地基梁
常截面畸变
A．控制微分方程 EIby，，，，+Ky=q B．相似物理量
EJAγ2，，，，+ EJBγ2=a1sinθP4
Ib—弹性地基梁惯矩（m4）
JA—箱梁畸变翘曲惯矩（m6）
EIb—弹性地基梁抗弯刚度（kn·m2） EJA—箱梁畸变翘曲刚度（kn·m4）
53.72 × ( × 10 ) + 17.717 × 17.717 × ( × 10 ) − 3.605
解得：
+ 166.121 = 0 + 5.131 = 0
= 0.68 × 10
= 2.628 N ∙ m
代回式（3-14）和（3-15）
y( ) = 0.68 × 10 ∙ [
所以畸变应变能 U 主要有畸变翘曲应变能 U1，框架畸变应变能 U2 以及结构 畸变总势能 U3 三部分组成。（详细推导过程参考文献【1】2.2.3 畸变应变能）
U= + + =
dz + Ω( ̈ ) dz − ( + )
( )dz
2.4 常截面畸变控制微分方程的推导
根据最小势能原理，当畸变应变能 U 取得极值的时候，结构处在一个平衡状 态。
= ( + d) 1 +
+ + 2 ( − β + 1) = 6.085
（3-1）
=
+
+
= 2.001 × 10 （3-2）
其中 Ki 都是常数项，与截面尺寸与 Ɵ 角有联系，具体公式在文献【1】中有 具体的推导。Ii 分别是单位长度上各板的惯性矩，这里注意，不要与文献【1】中 畸变翘曲应变能中的板块惯矩相混淆。
数得到齐次线性微分方程E （ ） + = 0的通解：
y = ( cosax + sinax) + ( cosax + sinax)（3-10）
引入双曲函数： = chax + shax， = chax − shax。设 = ( + )、
= ( + )、 = ( − )、 = ( − )。
得出： y = chaxcosax + chaxsinax + shaxcosax + shaxsinax（3-11）由于 加载位置在挠度曲线最大处，则微分方程（3-5）的特解为 0，（3-11）即为非齐 次线性微分方程通解。
K—弹性地基梁地基模数（kn/m2）
BJB—箱梁畸变框架刚度（kn/m4）
q—弹性地基梁均布荷载集度（kn/m） a1sinθP4 — 箱 梁 畸 变 水 平 分 力 偶
y—弹性地基梁的挠度（m）
（kn·m/m）
M—弹性地基梁的弯矩（kn·m）
γ2—箱梁的畸变角（rad）
BA—箱梁畸变的双力矩（kn·m2）
一．绪论
由于预应力混凝土箱形截面具有良好的力学性能，在大跨度桥梁，城市高架 桥建设中得到了十分广泛的作用，其主要的好处主要有一下几点：
(1)箱梁截面抗扭刚度较大，在施工和使用过程中均有良好的稳定性； (2)顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效的抵抗正负弯矩，因而特别 适应具有正负弯矩的连续结构； (3)箱梁结构中部得到很大的挖空，因而自重小； (4)承重结构和传力结构相结合，使各部件共同受力，达到较好的经济效果．同 时截面效率高，适合预应力混凝土结构空间布置钢束。 随着箱型梁桥在现代桥梁施工中占有越来越大的比例，畸变效应对其受力性 能的影响越来越受到设计及施工人员的重视。通过这一个学期的学习，我也对薄 壁箱梁的畸变理论有了一定的了解。
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高等桥梁结构理论
板井等人也用广义坐标法研究了畸变问题；西野、长谷川、名取在严格变位场假 设下，比较了广义坐标法，对约束扭转和畸变做了综合考察．但出于该法采用截 面变形中心与扭转中心一致的假设，因此只适用于具有两个对称轴的截面，并且 不能考虑箱梁顶板的悬臂作用。
由于将约束扭转和畸变综合在一起考虑时，计算分析比较复杂，而且已有的 方法，如广义坐标法，在实际应用中有其局限性，因此在实际分析中，薄壁杆件 的约束扭转一般分解为刚性扭转和畸变两部分进行单独分析。对于箱梁的畸变， 除广义坐标法外，薄壳理论是另外一种传统的解析方法，但其繁琐可想而知，很 难在实际工程中推广应用。得勃洛斯基(R．Dabrowski)由传统的弯曲理论和约束 扭转理论推广出“广义的弯曲理论”，经简化得到简便实用的畸变分析理论。文 献【3】介绍了这种不考虑剪切变形的畸变分析理论，并利用其与弹性地基梁的 相似关系对其畸变微分方程进行求解，是畸变分析的良好思路。文献【5】据此 推导了变截面箱梁畸变分析的刚度法。薄壁杆件横向挠曲一般认为是产生畸变的 原因，故其分析与畸变分不刀：，文献【4】对此作了介绍。平岛政治以弯曲理 论为出发点提出考虑剪切变形的任意四边形箱梁畸变理论，Richowd·B采用等代 梁法来求解变截面箱梁的畸变问题，该法是--400实用的简化计算；近年来，精 确而实用的弹性地基比拟梁法(BEF法Wright·N)的出现，使等截面箱形梁的畸变 分析得到了初步的完善，该法应用能量原理推得一个和弹性地基梁挠曲微分方程 类似的畸变微分方程。从而可以应用弹性地基梁理论分析箱粱畸变比拟法，具有 物理概念清晰，受力明确，计算简单等特点。
2.2 畸变荷载的分解
荷载的分解主要是有两个步骤，第一步是先把偏心荷载分解成一对对称荷载 和反对称荷载（如图 4 所示），然后再把分解出来的反对称荷载分解为扭转荷载
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以及畸变荷载。（如图 5 所示）。
图-4
图-5
2.3.畸变应变能
在箱梁中，畸变计算可简化为四块纵向板梁及沿梁跨方向一系列横向框架的 力学模型。当梁受偏心荷载发生畸变时，各版在自身平面内发生翘曲，产生畸变 翘曲应变能。同时横向框架有横向翘曲，产生框架畸变应变能。
第二步，解微分方程
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E （ ） + Ky = q（3-5） 先将y = 带入齐次线性微分方程
E （ ）+ 得出
= 0（3-6）
= (cosπ + isinπ)（3-7）
由复数开方根公式得
s=
+ isin
（3-8）
设
a=
= √2 （3-9）
分别当 k=1,2,3,4 时，得到四个线性无关特解，将其组合并引入四个积分常
1 =−
2
代入（3-11）、（3-12）得到 y,M 的表达式
y( ) =
1 ℎ −2
ℎ −4
(
ℎ−
（3-14）
ℎ)
M( ) = 2E （3-15）
sinλzchλz + cosλzchλz + (sinλzchλz + cosλzshλz) 2
边界条件是：z = 、 = 0、 = 0。代入（3-14）（3-15）。得联立方程
图3 本节解析的截面，如图3-a所示。以点2的畸变角γ2为基本未知量，各个点 的畸变角军用γ2的函数来表示。当纵向翘曲变形的时候，横截面各直杆保持直 线，也就是说与z轴平行的各个直杆都是保持直线，不会弯曲等等。而且翘曲应 力沿板厚方向为常量，并不会随着板厚而变化，同时格板宽度也保持不变。结构 受力在线弹性范围之内。
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高等桥梁结构理论
二．常截面控制微分方程的推导 2.1 常截面控制微分方程的推导
我所学习的课本，也就是在项海帆教授主编的《高等桥梁结构理论》这本教 材中，选取的是以畸变角γ2 为基本未知量，采用能量原理及变分法推导出单室 梯形箱梁常截面的畸变微分方程。
2.1 基本未知量
畸变方程基本上有两种，一种是用挠度表示的，另外一种就是前面说的畸变 角γ2表示的，两种表达式可以互换。
M = 2E （ shaxsinax − shaxcosax + shaxsinax − chaxcosax） （3-12）（另外还有剪力和转角的表达式，参考文献【7】192 页（8-12）） 第三步，代入边界条件，求出实际表达式，绘制影响线。
引入初参数，根据对称条件，取跨径中点为坐标原点，那里挠度为 ，且 ’ = 0（因为对称，坐标零点一定是一个拐点，而且挠度曲线是一条光滑连续
图2
1.2 畸变的研究现状
前文提到过，乌曼斯基的扭转理论由于忽略了畸变的作用，所以并不能得到 准确的计算结果。随着研究的发展，发现当薄壁杆件具有非对称截面且剪切的作 用不容忽视时，畸变对受力性能的影响较大。1933年，艾伯纳发表了关于折板理 论的畸变解析法，从而拉开了考虑周边变形的箱梁扭转问题研究的序幕；此后辛 格、戴弗里斯、斯肯纳相继发表了关于畸变问题研究的报告；1949年，符拉索夫 另辟蹊径，提出了对于由平板围成的闭口截面杆件考虑截面外形轮廓线变形的约 束扭转计算新方法——广义坐标法。阿伯代尔、沙马特、莱特、罗宾逊、奥村和
通过以上对比关系，把求解具有端横隔板的箱梁（指常截面）的畸变角和畸
变双力矩 BA 的问题转化为求解在一定边界条件下弹性地基梁的挠度 y 以及弯矩 M 的问题，如此使问题得到简化。
3.2 弹性地基梁比拟法
通过学习文献【1】上的实例，我总结了计算的过程，并且对于一些我学习 时候难以理解的地方标示一下。
先例举书上的例子，三跨等截面单室矩形连续梁 3×80m，截面尺寸如图 4
对于变截面薄壁箱梁，它与常截面的区别主要在于扭矩H也是关于z的函数， 而不是一个常量。求变截面畸变应力也可以用B.E.F比拟法求解。但是由于地基 的弹簧是变的，会遇到求解的困难。用加权残数法的配点原理可获得近似解。
1.3本文主要内容
本文主要是我在学习的时候对于一些难以理解的问题，主要简要介绍了常截 面畸变控制微分方程的推导，以及用弹性地基梁比拟法解出常截面箱梁的畸变应 力。
高等桥梁结构理论
箱梁的畸变分析
土研-11 窦宇 1108140611002 摘要：箱型梁截面是现代桥梁建设中比较常见的一种结构形式，但是受力结构相 对来说比较复杂。本文简要介绍了畸变的形成、研究现状、以及使用能量变分法 推导常截面畸变控制微分方程和实际计算中的弹性地基梁（B.E.F）比拟法。 关键词：畸变，微分方程，弹性地基梁。
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高等桥梁结构理论
所示。梁体混凝土标号，弹性模量 Eh=3.5×104MPa。试求（1）当跨中截面作用 一单位畸变荷载时 a1sinƟP4=1kn·m，各截面的畸变角及畸变双力矩。（2）绘出 跨中截面畸变角及畸变双力矩的影响线。
图6 第一步 求出翘曲惯矩 JA 和翘曲刚度 JB，从而导出换算长度 λx 根据文献【1】的推导，总结计算公式如下：
根据欧拉-拉格朗日（Euler-Largrange）条件式，推导出常截面畸变控制微分 方程 EJAγ2，，，，+ EJBγ2=a1sinθP4
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高等桥梁结构理论
三．弹性地基梁比拟法求常截面箱梁的畸变 应力
由于常截面箱梁畸变控制微分方程与弹性地基梁挠曲的控制方程具有完全 相似的表达式，因此弹性地基梁的挠度 y 就等于解箱梁的畸变角γ2。
等截面弹性地基梁的微分方程为：
（ ） + 4 = （3-3）
式中：
λ=
（3-4）
根据表 2-5 是错误的。
K 相当于 EJB，EIB=EJA，这里要注释一下，文献【1】中的标注
λ=
=
= 0.0952
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等截面连续箱梁，若自某跨跨中到最近支点的换算长度 λx＞π，本实例中 λ ×l/2=3.808＞π，可将三孔连续梁的畸变计算转化为跨境 80m 的简支梁来计算。
1.1 畸变的定义以及形成原因
在之前的学习中，我了解了乌曼斯基扭转理论。乌曼斯基在分析闭口薄壁杆 的时候放弃了符拉索夫“板中剪应力为零”的假定，使得计算结果更加准确。但 是乌曼斯基扭转理论的基本假定之中，第一条便是横截面的周边不变形，忽略了 对于闭口薄壁杆件至关重要的截面外形轮廓线变形，即是畸变，因此计算结果的