第一课完全完美信息动态博弈

• 如果1在第一阶段选择了R，则两个参与者都是理性的就不可 能是共同知识，但这时1仍有理由在第一阶段选择R，却不与 2对1的理性假定相矛盾。
• 一种可能是“参与者1是理性的”是共同知识，但“参与者2 是理性的”却不是共同知识:如果1认为2可能不是理性的， 则1就可能在第一阶段选择R，希望2在第二阶段选择R’，从 而给1以机会在第三阶段选择L‘‘。另一种可能是“参与者2是 理性的”是共同知识，但“参与者1是理性的”却不是共同 知识:如果1是理性的，但推测2可能认为1是非理性的。
（2，2）
乙
• 其次子博弈必须有一个明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
确的信息集，不能分割任
（-1，0） （0，4）
何信息集，在多节点信息集合的不完美信息集中有可
能不存在子博弈。
3.3.2 子博弈完美纳什均衡
定义：如果一个完美信息的动态博弈中，各博弈方的策 略构成的一个策略组合满足，在整个动态博弈及它的 所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称 为该动态博弈的一个“子博弈完美纳什均衡”。
• 逆推归纳法是动态博弈 分析最重要、基本的方 法。
（2，2）
（0，4）
• 一个两阶段动态博弈逆向归纳法的公式化表达： • 当在博弈的第二阶段参与者2行动时，由于其前参与者1已选
择行动a1，他面临的决策间题可用下式表示:
假定对A1中的每一个a2，参与者2的最优化问题只有惟一 解，用R 2(a1)表示，这就是参与者2对参与者1的行动的 反应(或最优反应)。
该子博弃的一个纳了卜均衡，因此根据子博弈完美纳什均衡 的定义判断，这个策略组合不是子博弈完美纳什均衡。这也 是上述纳什均衡策略组合不稳定的根源。
• 策略组合“乙在第一阶段选择‘不借’、如果有第三阶段选 择则选择不打;甲如果有第二阶段选择选‘不分”’，则是了 博弈完美纳什均衡，因为该策略组合的双方策略不但在整个 博弈中构成纳什均衡，而且在两级子博弈中也都构成纳什均 衡。
• 由于企业1也能够像企业2一样解出企业2的最优反应，企业
1就可以预测到他如选择q1，企业2将根据R2(q1)选择产量。 那么在博弈的第一阶段，企业1的问题就可表示为：
解得：
• 这就是斯塔克尔贝里双头垄断博弈的逆向归纳解。
• 对斯塔科尔贝里双头垄断博弈的逆向归纳解的评价：
• 回顾在古诺博弈的纳什均衡中，每一企业的产量为(a一c)/3, 也就是说，斯塔克尔贝里博弈中逆向归纳解的总产量3(ac)/4，比古诺博弈中纳什均衡的总产量2(a-c)/3要高，从而斯 塔克尔贝里博弈相应的市场出清价格就比较低。不过在斯塔 克尔贝里博弈中，企业1完全可以选择古诺均衡产量(a一 c)/3 ，这时企业2的最优反应同样是古诺均衡的产量，也就 是说在斯塔克尔贝里博弈中，企业1完全可以使利润水平达 到古诺均衡的水平，而却选择了其他产量，
借
不借
• 比如下面的例子： • 在这个例子中，对乙来说，
分
甲 不分
（1，0）
• 甲的分钱许诺是不可信的。 （2，2） • 关键是对甲的行为有所约束。
（0，4）
开金矿博弈
不同版本的开金矿博弈——分钱和打官司的可信性
乙
借
不借
甲 分
（2，2） 打
（1，0） 不分 乙
不打
（1，0）
（0，4）
有法律保障的开金矿博弈 ——分钱打官司都可信
4.3.3 逆向归纳法背后的理 性假设
• 最后，我们探讨逆向归纳法背后的理性假定。看下面的例子：
• 我们用博弈树表示一个动态博弈，树上每一枝的末端都有两 个收益值，上面代表参与者1的收益，下面代表参与者2的收 益。考虑下面的三步博弈，其中参与者1有两次行动:
• 为计算出这一博弈的逆向归纳解，我们从第三阶段(即参与
简单类型的完全且完美信息动态博弈的模式
• 1.参与者1从可行集A1中选择一个行动a1； • 2.参与者2观察到a1之后从可行集A2中选择一个行动a2； • 3.两人的收益分别为u1（a1,a2)和u2（a1,a2)； • 完全且完美信息动态博弈的主要特点是： • (1)行动是顺序发生的； • (2)下一步行动选择之前，所有以前的行动都可被观察到； • (3)每一可能的行动组合下参与者的收益都是共同知识。
B 不制止（0，10） 仿冒 A 不仿冒
制止
B 不制止 （5，5）
（2，2）
（10，4）
4.1.2 动态博弈的基本特点
• 策略是在整个博弈中所有选择、行为的计划，不能分割。 • 结果是上述“计划型”策略的策略组合，构成一条路径. • 得益对应每条路径，而不是对应每步选择、行为.
• 动态博弈的非对称性——先后次序决定动态博弈必然是 非对称的。先选择、行为的博弈方常常更有利，有“先 行优势”。
• 值得注意的是，当两个博弈方按照上述子博弈完美纳什均衡 策略组合行为时，实际上不会进行到博弈的第二、第三阶段， 两个博弈方在第二、二阶段的行为实际上不会发生。我们称 此时第二阶段甲的选择点和第三阶段乙的选择点为“不在均 衡路径上”的，两博弈方的策略在这两个节点的选择称为 “不在均衡路径上的选择”。我们必须强调，子博弈完关纳 什均衡必须对博弈方在所有选择节点处的选择都作出规定， 包括最终不在均衡路径土几的节点，不管是在均衡路径上的 选择还是不在均衡路径。
• 对上面的通过求极值可得： • 已知q1< a-c,在前面我们分析同时行动的古诺博弈中，得出
的R2(q1)和上式完全一致，两者的不同之处在于这里的 R2(q1)是企业2对企业1已观测到的产量的真实反应，而在古 诺的分析中， R2(q1)是企业2对假定的企业1的产量的最优反 应，且企业1的产量选择是和企业2同时作出的。
者1的第二次行动)开始。这里参与者1面临的选择是L’’。 那么在第二阶段，参与者2预测到一旦博弈进入到第三阶段， 则参与者1会选择L’’ ，这会使2的收益为0，从而参与者2 在第二阶段的选择为:L‘可得收益1, R“可得收益0，于是 L‘是最优的。
• 这样在第一阶段，参与者1预测到如果博弈进入到第二阶段， 2将选择L’，使参与者1的收益为1，从而参与者1在第一阶 段的选择是:L收益为2, R收益为1,于是L是最优的。
4.2 可信性和纳什均衡的问题
4.2.1 相机选择和策略中的可信性 问题
• 动态博弈中各个博弈方的策略是自己设定的，在各个博弈 阶段，针对实际情况可以进行随机的选择，这称为“相机 选择”。
• 相机选择的存在使得博弈方的策略的可信性值得怀疑，也
就是说博弈方是否会真正始终按照自己策略所乙设定的方案
行为还是临时改变主意？
3.3.1 子博弈
定义：由一个动态博弈第一阶段以外的某阶段开始的
后续博弈阶段构成的，有初始信息集和进行博弈
所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈
的一部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”乙。
• 首先子博弈不能包含原博
借
弈的第一个阶段，这意味
甲
着动态博弈本身不会是他
分
不分
不借 （1，0）
自己的子博弈。
• 由于参与者1能够和参与者2一样解出2的问题，参与者1可以 预测到参与者2对1每一个可能的行动a1所作出的反应，这样 1在第一阶段要解决的问题可以归结为：
• 假定参与者1的这一最优化问题同样有惟一解，表示为a1*，
我们称
是这一博弈的逆向归纳解。
• 逆向归纳解不含有不可置信的威胁:参与者1预测参与者2 将对1可能选择的任何行动a1做出最优反应，选择行动 R2(a1)。
• 上述的求解过程求出：参与者1在第一阶段的最优选择是L， 从而博弈结束。
• 但是即使逆向归纳预测博弈将在第一阶段结束，我们论证过 程的重要部分却是考虑如果博弈不在第一阶段结束时可能发 生的情况。
• 比如在第二阶段，当参与者2预测如果博弈进入第三阶段， 则1会选择L’’，这时2假定1是理性的。由于只有在1偏离了博 弈的逆向归纳解，才能轮得到2选择行动，而这时2对1的理 性假定便看似是矛盾的，即如果1在第一阶段选择了R，那么 第二阶段2就不能再假定1是理性的了。但这种理解是不对的。
• 根源：纳什均衡本身不能排除博弈方策略中包含的 不可信的行为设定，不能解决动态博弈的相机选择 引起的可信性问题
4.2.3 逆推归纳法
定义：从动态博弈的最后
一个阶段博弈方的行为
开始分析，逐步倒推回 前一个阶段相应博弈方 的行为选择，一直到第
乙
借
不借
一个阶段的分析方法，
甲
称为“逆推归纳法”。 分
不分 （1，0）
4.1 动态博弈的表示法和特 点
4.1.1 阶段和扩展性表示
• 阶段：动态博弈中一个博弈方的一次选择行为。 • 动态博弈最好的表示方法：扩展型（博弈树）。
• 例子：仿冒和反仿冒博弈 • 并不是所有的动态博弈都
仿冒
A 不仿冒
• • •
可以用扩展形表示，比如 动态博弈的阶段很多：象棋。 制止 战略空间是连续函数：产量。（-2，5）
• 博弈的时间顺序如下:
• (1)企业1选择产量q1 >0; • (2)企业2观测到然后选择产量q2 >0 • (3)企业1的收益由下面的利润函数给出：
• 这里P(Q)=a-Q，是市场上的总产品Q=q1+q2时的市场出 清价格，c是生产的边际成本，为一常数(固定成本为0)。
• 为解出这一博弈的逆向归纳解，我们首先计算企业2对企 业1任意产量的最优反应，R2(q1)应满足:
• 子博弈完美纳什均衡本身也是纳什均衡，不过它是比 纳什均衡更强的解。
• 子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威 胁和承诺，因此是真正稳定的。
• 子博弈是倒着看的，从最小的子博弈开始我们就找稳 定策略组合，直至最开始的节点，那么当然是稳定的 了。大家会发展这正是逆推归纳法。
• 逆推归纳法是求完美信息动态博弈子博弈完美纳什均 衡的基本方法。
• 但是第二个图中，乙的利益在法律的情况下仍然得不到保 障，可以看出法律在社会中的重要性。
4.2.2 纳什均衡的问题
第三种开金矿博弈中， （不借-不打，不分）和 （借-打，分）都是纳什均衡。但后者不可信，不可 能实现或稳定。
• 结论：纳什均衡在动态博弈可能缺乏稳定性，也就 是说，在完全信息静态博弈中稳定的纳什均衡，在 动态博弈中可能是不稳定的，不能作为预测的基础。
• 我们将定义子博弈完美纳什均衡为：只有不包含不可置信的 威胁的纳什均衡才是子博弈完美纳什均衡。一个完全且完美 信息动态博弈可能会有多个均衡，但惟一的子博弈完美纳什 均衡就是与逆向归纳解相对应的均衡。正如我们在前面所观 察到的，有些博弈会有多个纳什均衡，但有一个均衡明显占 优，成为博弈的解。
• 比如，上例分钱博弈中，双方的策略组合“乙第一阶段选择 ‘借’，第二阶段选择‘打’;甲第二阶段选择’分”’虽然 是整个博弈的一个纳什均衡，但这个策略组合中乙的策略要 求乙在第三阶段单人博弈构成的子博弈中选择的“打”不是
• 这时1也可能在第一阶段选择R，希望2会认为1是非理性的 而在第二阶段选择R’，期望1能在第三阶段选择R’’。逆向归 纳中关于1在第一阶段选择R的假定可通过上面的情况得到解 释。不过在有些博弈中，对1选择了R的更为合理的假定是1 确实是非理性的。
• 在这样的博弈中，逆向归纳在预测博弈进行方面就会失去其 大部分作用，正像在博弈论不能提供惟一解并不能达成协议 的博弈中，纳什均衡也对预测博弈的结果所助无几。
4.3 子博弈和子博弈完美纳 什均衡
• 由于动态博弈中纳什均衡是不可靠的，不 具备稳定性，因此要发展能排除不可信行 为的新的均衡概念。赛尔腾（1965）提出 了子博弈完美纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium)的概念。
• 要介绍子博弈完美纳什均衡，必须先了解 子博弈的概念。
借
乙 不借
甲 分 （2，2）
打
（1，0） 不分
乙 不打
（-1，0） （0，4）
法律保障不足的开金矿博弈 ——分钱打官司都不可信
• 第一个图中，通过法律手段使乙的利益得到保障，这样乙 的完整策略：“第一阶段借，如果第二阶段甲不分，第三 阶段打官司。”甲的完整策略是：“第二阶段分。”这是 这个3阶段动态博弈的解。
4.4 四个经典的动态博 弈例子
• 1.斯塔克尔贝里双头垄断模型
• 斯塔克尔贝里(1934)提出一个双头垄断的动态模型，其中 一个支配企业(领导者)首先行动，然后从属企业(追随者) 行。比如在美国汽车产业发展史中的某些阶段，通用汽车 就扮演过这种领导者的角色(这一例子把模型直接扩展到 允许不止一个追随企业，如福特、克莱斯勒等等)。根据 斯塔克尔贝里的假定，模型中的企业选择其产量，这一点 和古诺模型是一致的(只不过古诺模型中企业是同时行动 的，不同于这里的序贯行动)。