直线与圆位置关系知识点与经典例题
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直线与圆位置关系
一.课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想。
二.知识框架
相离 几何法
弦长 直线与圆的位置关系
相交 代数法
切割线定理
相切
直线与圆 代数法
求切线的方法
几何法
圆的切线方程
过圆上一点的切线方程
圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程
三.直线与圆的位置关系及其判定方法
1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离22B A C
Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判
定。
(1)⇔ (2)⇔=r d 直线与圆相切 (3)⇔>r d 直线与圆相离 2.联立直线与圆的方程组成方程组,消去其中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元二次方程,通过解的个数来判定。 (1)有两个公共解(交点),即⇔>∆0直线与圆相交 (2)有且仅有一个解(交点),也称之为有两个相同实根,即0=∆⇔直线与圆相切 (3)无解(交点),即⇔<∆0直线与圆相离 3.等价关系 相交0>∆⇔<⇔r d 相切0=∆⇔=⇔r d 相离0<∆⇔>⇔r d 练习 (位置关系)1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2 2=+-y x C ,试问k 为何值时,直线与圆相切、相离、相交? (位置关系)2.已知点),(b a M 在圆1:22=+y x O 外,则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (最值问题)3.已知实数x 、y 满足方程01422=+-+x y x , (1)求 x y 的最大值和最小值; (2)求y x -的最大值和最小值; (3)求22y x +的最大值和最小值。 〖分析〗考查与圆有关的最值问题,解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解,运用数形结合的方法,直观的理解。①转化为求斜率的最值;②转化为求直线b x y +=截距的最大值;③转化为求与原点的距离的最值问题。 (位置关系)4.设R n m ∈,,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是() (位置关系)5.在平面直角坐标系xoy 中,已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1,则实数c 的取值范围是 6.直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C ) A 、6π B 、4π C 、3π D 、2 π (位置关系)7.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是 ( ) A .2 B .21+ C .2 21+ D .221+ (最值问题)8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点,则A 到直线05=--y x 的最大距离为______. 9.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆 C 的方程为( ) A .03222=--+x y x B .042 2=++x y x C .03222=-++x y x D .0422=-+x y x 10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点,则b 的取值范围是__________. (对称问题)11.圆4)1()3(:2 21=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( ) A. 4)1()3(22=-++y x B. 4)3()1(22=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(22=++-y x 12. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点,若≥||MN 则k 的取值范围是( ) A .3[,0]4- B .[]33- C .[ D .2[,0]3- 13.圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R). (1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒相交于两点; (2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值. [解析] (1)将方程(2m +1)x +(m +1)y =7m +4,变形为(2x +y -7)m +(x +y -4)=0. 直线l 恒过两直线2x +y -7=0和x +y -4=0的交点, 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +y -7=0x +y -4=0 得交点M (3,1). 又∵(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点M (3,1)在圆C 内,∴直线l 与圆C 恒有两个交点. (2)由圆的性质可知,当l ⊥CM 时,弦长最短. 又|CM |=(3-1)2+(1-2)2=5, ∴弦长为l =2r 2-|CM |2=225-5=4 5. 四.计算直线被圆所截得的弦长的方法 1.几何法:运用弦心距、半径、半弦长构成的∆Rt 计算,即2 22d r AB -= 2.代数法:运用根与系数关系(韦达定理),即[] B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+= (注:①当直线AB 斜率不存在时,请自行探索与总结; ②弦中点坐标为 )(2 ,2B A B A y y x x ++,求解弦中点轨迹方程。) 练习 1.直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于() 2.过点)1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ) A.053=--y x B. 073=-+y x C. 053=-+y x D. 053=+-y x 3.已知圆C 过点)0,1(,且圆心在x 轴的正半轴上,直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为() 4.直线x -2y -3=0与圆C :(x -2)2+(y +3)2 =9交于E 、F 两点,则△ECF 的面积为( ) A.32 B.34 C .2 5 D.355 5.已知圆4)4()3(:22=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l (1)求证:不论k 取什么值,直线和圆总相交; (2)求k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.