上财研究生高微题库——四、不确定性下的选择
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4．[简单] (William Sandholm, 2006) 一个消费者目标是最大化他的期望效用，如果该消费者 在面对如下两个彩票 L1 和 L2 时，他更偏好于 L2 ： L1 = (0.5 $10, 0 $0, 0.5 $ − 10) ，
L2 = (0 $10,1 $0, 0 $ − 10) ，即 L1 为以 0.5 的概率得到$10，以 0.5 的概率得到$‐10， L2 为以 1 的概率得到$0。(1) 试构造满足该消费者偏好的期望效用函数。(2) 假设现在 该消费者在面对另外两个彩票 L3 和 L4 ，其中 L3 = (0.75 $10, 0 $0, 0.25 $ − 10) ， L4 = (0.5 $10, 0.5 $0, 0 $ − 10) ，请问他更偏好于哪个彩票？
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U ( L3 ) = 0.75u ($10) + 0.25u($ − 10) = 0.75 , U ( L4 ) = 0.5u ($10) + 0.5u ($0) = 0.5 + 0.5a ， 因为 a ∈ (0.5,1) ， 所以 0.75 < 0.5 + 0.5a ， U ( L3 ) < U ( L4 ) 。故该消费者更偏好 L4 。
5． [中等] (William Sandholm, 2006) 考虑任意两个定义在财富水平上的彩票 F 和 G ， 即F 和 G 为定义在实数上的概率分布函数，(1) 证明：如果 F 一阶随机占优于 G ，那么彩票 F 的期望收益大于或等于 G 的期望收益，(2) 举出反例说明上面命题的反命题不成立，即 存在彩票 F 和 G ，使得 F 的期望收益大于 G 的期望收益，但 F 不一阶随机占优于 G 。 答 ： (1) 因 为 F 一 阶 随 机 占 优 于 G ， 则 对 于 任 意 的 增 函 数 u : → ， 我 们 有
U ( Lmax ) = 1 ， 如果他认为以 1 的概率得到 B 和以 0.6 的概率得到 A 以 0.4 的概率得到 C 无差异，分别计算彩票 (0,1, 0) , (0.6, 0, 0.4) 和 (0.3, 0.5, 0.2) 的期望效用。 答：(1) Lmax = (1,0,0) ， Lmin = (0,0,1) 。 (2) α (1, 0, 0) + (1 − α )(0, 0,1) = (0.6, 0, 0.4) ，所以 α = 0.6 。 (3) 根据题意， U ((0,1,0)) = U ((0.6,0,0.4)) = 0.4U ( Lmin ) + 0.6U ( Lmax ) = 0.6 , U ((0.3, 0.5, 0.2)) = 0.5U ((0,1, 0)) + 0.5U ((0.6, 0, 0.4)) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.6 = 0.6 。
x，
6．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 假设彩票的结果空间为 A = {a1 , a2 ,… a n } ，证明或者举出反例 说明下面两种消费者面对不确定性时作选择的方式是否满足独立公理： (1) 标准 I： 比较出现好的结果的概率： 首先将集合 A 划分成好的结果 G 和坏的结果 B 两 个子集， A = G ∪ B ，且 G ∩ B = ∅ 。对于任意两个彩票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和
∫
∞
−∞
u( x)dF ( x) ≥ ∫ u( x)dG( x) 。 令 u ( x) = x ， 我们得到 ∫ xdF ( x) ≥ ∫ xdG( x) ， 即F
−∞ −∞ −∞
∞
∞
∞
的期望收益大于或等于 G 的期望收益。 (2) 设 F 为区间 [0,1] 上的均匀分布，则彩票 F 的期望收益为 0.5，设彩票 G 为以 0.75 的概率得到 0，以 0.25 的概率得到 1，则 G 的期望收益为 0.25。故彩票 F 的期望收益 大于 G 的期望收益，但由于 0.8 = F (0.8) > F (0.75) = G (0.75) = G (0.8) = 0.75 ，根据 一阶随机占优的另一个定义：如果 F 一阶随机占优于 G ，则有对于任意 的 F ( x ) ≤ G ( x ) ，所以 F 不一阶随机占优于 G 。
q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ，其中 ∑i =1 p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n n
q
当且仅当
∑
ai ∈G
p(ai ) > ∑ a ∈G q(ai ) 。
i
(2) 标准 II：比较可能出现的最坏的结果：不失一般性，假设 a1
1 − p 的概率使他的财富变为 w2 ，请问当他的初始财富为多少时，他会认为保持原有财
富不变和接受上面的彩票无差异？ 答：如果该消费者认为接受上面的彩票和保持原有财富不变无差异，我们有如下关系式，
w1w2 p 1− p 1 + = ，所以他的初始财富 w 应满足： w = 。 (1 − p)w1 + pw2 w1 w2 w
j −1
j j
p ，因此，这个彩
ln 2 。 p
1来自百度文库
∑
∞ j =1
∞
j =1
(1 − p)
j −1
p × 2 = ∑ j =1 0.5 × 2 = ∞ 。
j
∞
j
∑
(1 − p) j −1 p × ln(2 j ) = p∑ j =1 j (1 − p) j −1 × ln 2 =
7．[中等] (Rubinstein, 2007) 假设偏好 满足 vNM 期望效用函数的公理，对于任意两个彩票
因此标准 I 等价于用上面的期望效用去比较彩票。 (2) 标 准 II 不 满 足 独 立 公 理 。 反 例 如 下 ： 假 设 n = 2 ， a1
P 和 Q ，证明如果 P Q ，那么 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 当且仅当 α ≥ β ，其 中 α , β ∈ (0,1) 。 答：假设 P Q ，对于任意的 α ∈ (0,1) ，根据独立公理，我们有 α P + (1 − α )Q Q ，以及
P
α P + (1 − α )Q α P + (1 − α )Q
Q ， 所 以 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 。结论得证。
β α
β [α P + (1 − α )Q] + (1 − α )Q ， 即
8．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 考虑不断重复地掷一枚硬币，假设每次出现正面的概率为 p ， 一个消费者面临如下的彩票：如果一直掷到第 j 次才第一次掷出正面，那么该消费者将 得到 2 元钱。 (1) 当 p = 0.5 时，这个彩票的期望收益是多少？ (2) 假设该消费者的期望效用函数为 u ( w) = ln( w) ，那么彩票给他的期望效用是多少？ (3) 该消费者愿意以至少多少钱的价格出售此彩票？ 答：(1) 第一次出现硬币正面的事件发生在第 j 次投掷的概率为 (1 − p) 票带给消费者的期望收益为： (2) 此彩票的期望效用为：
a2 a n ，对任意 彩票 g ，令 a ( g ) 为在彩票 g 中可能出现的最坏的结果(即出现 a ( g ) 的概率大于 0) 。比 较 任 意 两 个 彩 票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和 q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ， 其 中
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α P + (1 − α )Q 。即由 P Q 可得 P α P + (1 − α )Q Q 。 考虑任意的 α , β ∈ (0,1) ，如果 α = β ，显然有 α P + (1 − α )Q ∼ β P + (1 − β )Q 。 故不失一般性，假设 α > β ，则注意彩票 β P + (1 − β )Q 可以表示为 α P + (1 − α )Q 和 Q β β 的 复 合 彩 票 。 特 别 地 ， β P + (1 − β )Q = α [α P + (1 − α )Q ] + (1 − α )Q 。 因 为
∑
n i =1
p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n
q 当且仅当 a ( p )
a (q ) 。
答：(1) 标准 I 满足独立公理。因为我们可以构造出满足此选择标准的 vNM 期望效用函数， 而期望效用满足独立公理。令 u (ai ) = 1 ，如果 ai ∈ G ； u (ai ) = 0 ，如果 ai ∈ B 。则彩 票 p 的期望效用为
答：(1) 对于任意一个定义在结果空间为$10, $0，和$‐10 的彩票，均可以表示成如下形式： L = ( p1 $10, p2 $0, p3 $ − 10) ，其中 p1 , p2 , p3 ≥ 0 ，且 p1 + p2 + p3 = 1 。则该消 费者的期望效用为 U ( L) = p1u ($10) + p2u ($0) + p3u ($ − 10) 。我们接下来要找满足题 意的三个贝努利效用 u ($10) ， u ($0) ， u ($ − 10) 。因为该消费者认为 L1 优于 L2 ，所 以我们有 0.5u ($10) + 0.5u ($ − 10) < u ($0) ，故可以令 u ($10) = 1 ， u ($ − 10) = 0 ， u ($0) = a ，其中 a ∈ (0.5,1) 。 (2) 根据(1)中构造的效用函数， 我们可以比较彩票 L3 和 L4 的效用值得到消费者的偏好：
∑
n i =1
p(ai )u (ai ) = ∑ a ∈G p(ai ) ，彩票 q 的期望效用为 ∑ a ∈G q(ai ) ，
i i
a2 ， 根 据 该 标 准 ， L1 = (1 a1 ,0 a2 ) 应当严格优于 L2 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ，考虑彩票 L3 = (0 a1 ,1 a2 ) ， 对于复合彩票 L4 = (0.5 L1 ,0.5 L3 ) 和 L5 = (0.5 L2 ,0.5 L3 ) ，假如独立公理成立，应 当有 L4 L5 ，但是根据标准 II， L4 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ∼ L5 = (0.25 a1 , 0.75 a2 ) ，即 L4 与 L5 无差异，矛盾。
第四部分 不确定性下的选择
第一节 彩票与期望效用
1． [简单] (Varian, 1992) 假设一个彩票有 A ，B 和 C 三种可能的结果， 一个消费者认为 A 优 于 B ， B 优于 C ，(1) 写出该消费者心目中最好的彩票 Lmax 和最差的彩票 Lmin 。(2) 构 简单彩票 (0.6, 0, 0.4) ，那么 α 等于多少？(3) 假设该消费者的期望效用为 U ( Lmin ) = 0 ， 其中 α ∈ [0,1] ， 如果我们要用 L 表示 造 Lmax 和 Lmin 的复合彩票 L = α Lmax + (1 − α ) Lmin ，
2．[简单] (Varian, 1992) (1) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = w 。 假设他的初始财富为 8 元，现在这个消费者拥有一张彩票，这张彩票以 0.5 的概率给他 带来 8 元的收入，以 0.5 的概率给他带来 1 元的收入，计算该消费者的期望效用。该消 费者愿意最低以多少钱将这张彩票卖出？ 答：该消费者的期望效用为 0.5 8 + 8 + 0.5 8 + 1 = 3.5 。假设该消费者愿意以 P 的价格卖 出这张彩票，我们有如下关系式： 8 + P = 3.5 ，故 P = 4.25 。 3．[简单] (Varian, 1992) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = −1/ w ， 假设该消费者的初始财富为 w ，他面对的彩票为以 p 得概率使他的财富变成 w1 ，以
L2 = (0 $10,1 $0, 0 $ − 10) ，即 L1 为以 0.5 的概率得到$10，以 0.5 的概率得到$‐10， L2 为以 1 的概率得到$0。(1) 试构造满足该消费者偏好的期望效用函数。(2) 假设现在 该消费者在面对另外两个彩票 L3 和 L4 ，其中 L3 = (0.75 $10, 0 $0, 0.25 $ − 10) ， L4 = (0.5 $10, 0.5 $0, 0 $ − 10) ，请问他更偏好于哪个彩票？
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U ( L3 ) = 0.75u ($10) + 0.25u($ − 10) = 0.75 , U ( L4 ) = 0.5u ($10) + 0.5u ($0) = 0.5 + 0.5a ， 因为 a ∈ (0.5,1) ， 所以 0.75 < 0.5 + 0.5a ， U ( L3 ) < U ( L4 ) 。故该消费者更偏好 L4 。
5． [中等] (William Sandholm, 2006) 考虑任意两个定义在财富水平上的彩票 F 和 G ， 即F 和 G 为定义在实数上的概率分布函数，(1) 证明：如果 F 一阶随机占优于 G ，那么彩票 F 的期望收益大于或等于 G 的期望收益，(2) 举出反例说明上面命题的反命题不成立，即 存在彩票 F 和 G ，使得 F 的期望收益大于 G 的期望收益，但 F 不一阶随机占优于 G 。 答 ： (1) 因 为 F 一 阶 随 机 占 优 于 G ， 则 对 于 任 意 的 增 函 数 u : → ， 我 们 有
U ( Lmax ) = 1 ， 如果他认为以 1 的概率得到 B 和以 0.6 的概率得到 A 以 0.4 的概率得到 C 无差异，分别计算彩票 (0,1, 0) , (0.6, 0, 0.4) 和 (0.3, 0.5, 0.2) 的期望效用。 答：(1) Lmax = (1,0,0) ， Lmin = (0,0,1) 。 (2) α (1, 0, 0) + (1 − α )(0, 0,1) = (0.6, 0, 0.4) ，所以 α = 0.6 。 (3) 根据题意， U ((0,1,0)) = U ((0.6,0,0.4)) = 0.4U ( Lmin ) + 0.6U ( Lmax ) = 0.6 , U ((0.3, 0.5, 0.2)) = 0.5U ((0,1, 0)) + 0.5U ((0.6, 0, 0.4)) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.6 = 0.6 。
x，
6．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 假设彩票的结果空间为 A = {a1 , a2 ,… a n } ，证明或者举出反例 说明下面两种消费者面对不确定性时作选择的方式是否满足独立公理： (1) 标准 I： 比较出现好的结果的概率： 首先将集合 A 划分成好的结果 G 和坏的结果 B 两 个子集， A = G ∪ B ，且 G ∩ B = ∅ 。对于任意两个彩票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和
∫
∞
−∞
u( x)dF ( x) ≥ ∫ u( x)dG( x) 。 令 u ( x) = x ， 我们得到 ∫ xdF ( x) ≥ ∫ xdG( x) ， 即F
−∞ −∞ −∞
∞
∞
∞
的期望收益大于或等于 G 的期望收益。 (2) 设 F 为区间 [0,1] 上的均匀分布，则彩票 F 的期望收益为 0.5，设彩票 G 为以 0.75 的概率得到 0，以 0.25 的概率得到 1，则 G 的期望收益为 0.25。故彩票 F 的期望收益 大于 G 的期望收益，但由于 0.8 = F (0.8) > F (0.75) = G (0.75) = G (0.8) = 0.75 ，根据 一阶随机占优的另一个定义：如果 F 一阶随机占优于 G ，则有对于任意 的 F ( x ) ≤ G ( x ) ，所以 F 不一阶随机占优于 G 。
q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ，其中 ∑i =1 p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n n
q
当且仅当
∑
ai ∈G
p(ai ) > ∑ a ∈G q(ai ) 。
i
(2) 标准 II：比较可能出现的最坏的结果：不失一般性，假设 a1
1 − p 的概率使他的财富变为 w2 ，请问当他的初始财富为多少时，他会认为保持原有财
富不变和接受上面的彩票无差异？ 答：如果该消费者认为接受上面的彩票和保持原有财富不变无差异，我们有如下关系式，
w1w2 p 1− p 1 + = ，所以他的初始财富 w 应满足： w = 。 (1 − p)w1 + pw2 w1 w2 w
j −1
j j
p ，因此，这个彩
ln 2 。 p
1来自百度文库
∑
∞ j =1
∞
j =1
(1 − p)
j −1
p × 2 = ∑ j =1 0.5 × 2 = ∞ 。
j
∞
j
∑
(1 − p) j −1 p × ln(2 j ) = p∑ j =1 j (1 − p) j −1 × ln 2 =
7．[中等] (Rubinstein, 2007) 假设偏好 满足 vNM 期望效用函数的公理，对于任意两个彩票
因此标准 I 等价于用上面的期望效用去比较彩票。 (2) 标 准 II 不 满 足 独 立 公 理 。 反 例 如 下 ： 假 设 n = 2 ， a1
P 和 Q ，证明如果 P Q ，那么 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 当且仅当 α ≥ β ，其 中 α , β ∈ (0,1) 。 答：假设 P Q ，对于任意的 α ∈ (0,1) ，根据独立公理，我们有 α P + (1 − α )Q Q ，以及
P
α P + (1 − α )Q α P + (1 − α )Q
Q ， 所 以 α P + (1 − α )Q β P + (1 − β )Q 。结论得证。
β α
β [α P + (1 − α )Q] + (1 − α )Q ， 即
8．[中等] (Jimmy Chan, 2008) 考虑不断重复地掷一枚硬币，假设每次出现正面的概率为 p ， 一个消费者面临如下的彩票：如果一直掷到第 j 次才第一次掷出正面，那么该消费者将 得到 2 元钱。 (1) 当 p = 0.5 时，这个彩票的期望收益是多少？ (2) 假设该消费者的期望效用函数为 u ( w) = ln( w) ，那么彩票给他的期望效用是多少？ (3) 该消费者愿意以至少多少钱的价格出售此彩票？ 答：(1) 第一次出现硬币正面的事件发生在第 j 次投掷的概率为 (1 − p) 票带给消费者的期望收益为： (2) 此彩票的期望效用为：
a2 a n ，对任意 彩票 g ，令 a ( g ) 为在彩票 g 中可能出现的最坏的结果(即出现 a ( g ) 的概率大于 0) 。比 较 任 意 两 个 彩 票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和 q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ， 其 中
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α P + (1 − α )Q 。即由 P Q 可得 P α P + (1 − α )Q Q 。 考虑任意的 α , β ∈ (0,1) ，如果 α = β ，显然有 α P + (1 − α )Q ∼ β P + (1 − β )Q 。 故不失一般性，假设 α > β ，则注意彩票 β P + (1 − β )Q 可以表示为 α P + (1 − α )Q 和 Q β β 的 复 合 彩 票 。 特 别 地 ， β P + (1 − β )Q = α [α P + (1 − α )Q ] + (1 − α )Q 。 因 为
∑
n i =1
p(ai ) = 1 ， ∑ i =1 q(ai ) = 1 ，按照此标准， p
n
q 当且仅当 a ( p )
a (q ) 。
答：(1) 标准 I 满足独立公理。因为我们可以构造出满足此选择标准的 vNM 期望效用函数， 而期望效用满足独立公理。令 u (ai ) = 1 ，如果 ai ∈ G ； u (ai ) = 0 ，如果 ai ∈ B 。则彩 票 p 的期望效用为
答：(1) 对于任意一个定义在结果空间为$10, $0，和$‐10 的彩票，均可以表示成如下形式： L = ( p1 $10, p2 $0, p3 $ − 10) ，其中 p1 , p2 , p3 ≥ 0 ，且 p1 + p2 + p3 = 1 。则该消 费者的期望效用为 U ( L) = p1u ($10) + p2u ($0) + p3u ($ − 10) 。我们接下来要找满足题 意的三个贝努利效用 u ($10) ， u ($0) ， u ($ − 10) 。因为该消费者认为 L1 优于 L2 ，所 以我们有 0.5u ($10) + 0.5u ($ − 10) < u ($0) ，故可以令 u ($10) = 1 ， u ($ − 10) = 0 ， u ($0) = a ，其中 a ∈ (0.5,1) 。 (2) 根据(1)中构造的效用函数， 我们可以比较彩票 L3 和 L4 的效用值得到消费者的偏好：
∑
n i =1
p(ai )u (ai ) = ∑ a ∈G p(ai ) ，彩票 q 的期望效用为 ∑ a ∈G q(ai ) ，
i i
a2 ， 根 据 该 标 准 ， L1 = (1 a1 ,0 a2 ) 应当严格优于 L2 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ，考虑彩票 L3 = (0 a1 ,1 a2 ) ， 对于复合彩票 L4 = (0.5 L1 ,0.5 L3 ) 和 L5 = (0.5 L2 ,0.5 L3 ) ，假如独立公理成立，应 当有 L4 L5 ，但是根据标准 II， L4 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ∼ L5 = (0.25 a1 , 0.75 a2 ) ，即 L4 与 L5 无差异，矛盾。
第四部分 不确定性下的选择
第一节 彩票与期望效用
1． [简单] (Varian, 1992) 假设一个彩票有 A ，B 和 C 三种可能的结果， 一个消费者认为 A 优 于 B ， B 优于 C ，(1) 写出该消费者心目中最好的彩票 Lmax 和最差的彩票 Lmin 。(2) 构 简单彩票 (0.6, 0, 0.4) ，那么 α 等于多少？(3) 假设该消费者的期望效用为 U ( Lmin ) = 0 ， 其中 α ∈ [0,1] ， 如果我们要用 L 表示 造 Lmax 和 Lmin 的复合彩票 L = α Lmax + (1 − α ) Lmin ，
2．[简单] (Varian, 1992) (1) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = w 。 假设他的初始财富为 8 元，现在这个消费者拥有一张彩票，这张彩票以 0.5 的概率给他 带来 8 元的收入，以 0.5 的概率给他带来 1 元的收入，计算该消费者的期望效用。该消 费者愿意最低以多少钱将这张彩票卖出？ 答：该消费者的期望效用为 0.5 8 + 8 + 0.5 8 + 1 = 3.5 。假设该消费者愿意以 P 的价格卖 出这张彩票，我们有如下关系式： 8 + P = 3.5 ，故 P = 4.25 。 3．[简单] (Varian, 1992) 一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = −1/ w ， 假设该消费者的初始财富为 w ，他面对的彩票为以 p 得概率使他的财富变成 w1 ，以