数学高二-选修2教案 第二节导数的概念及其几何意义2.2导数的概念

第二节 导数的概念及其几何意义 2.2.1 导数的概念 教学设计
教学目标
1．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数。

2．能解释具体函数在一点的导数的实际意义。

3．会求一些简单函数在某一点处的导数。

教学指导
导数概念的建立比较困难，所以学习中可先回顾上一节的概念，体会从平均变化率到瞬时变化率（即导数）的变化过程，从而产生从更一般的角度研究函数瞬时变化率即导数的心理需求。

学习中可以相对淡化概念，注重用定义求导数的方法与过程。

知识点归纳
设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为0101)()(x x x f x f x y --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00当1x 趋于0x 时，即0→∆x ，如果
平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数()x f y =在0x 点的瞬时变化率。

在数学中，称 为函数()x f y =在0x 点的 ，通常用符号 表示。

重难点剖析
重点：了解导数的概念，会用定义法求导数； 难点：导数概念的理解； 剖析： 1．导数的概念
设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为： 0
101)()(x x x f x f x y --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00 当1x 趋于0x 时，即0→∆x ，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们就说()x f y =在0
x 处可导，并把这个值叫做()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，即
()x y
x f x ∆∆='→∆00lim
1010)()(lim
x x x f x f x --=→∆ x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000 说明：
（1）函数()x f y =在0x 处可导是指0→∆x 时，x
y ∆∆能够趋于一个固定的值，如果x
y ∆∆不能趋
于一个固定的值，就说()x f y =在0x 处不可导，或说无导数。

注意：()x y x f x ∆∆='→∆00lim 不存在可分两种情况，其一是当x ∆趋于零时x
y
∆∆的值趋于∞；其
二是x
y ∆∆在0→∆x 的方向不同时的值不同；
(2) x ∆是自变量0x 处的改变量，0≠∆x ，而y ∆是函数值的改变量，可以为零。

2．求导数的方法：
由导数的定义可知，求()x f y =在0x 处的导数的步骤为： ⑴求函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆ ⑵求平均变化率=∆∆x
y x
x f x x f ∆-∆+)()(00
⑶求导数()x
y x f x ∆∆='→∆0
0lim
典例分析
例1求()11===x x x f y 在处的导数。

分析：利用导数的概念即可．
解： 1=x 点附近的平均变化率：
)
()(x x x x x x x
x
x x
y
∆+∆∆+-∆+=
∆-∆+∆+=∆-∆+=∆∆1111
111
11
)
)(()
)(()(x x x x
x x x x x x ∆++∆+∆+∆--=
∆++∆+∆+∆∆+-∆+=
1111111112
当0→∆x 时得()11===x x x f y 在处的导数为：21-。

变式练习1
求下列函数在0x x =处的导数。

（1）求()12===x x x f y 在处的导数。

（2）求()31===x x
x f y 在处的导数。

解：（1）2； （2）9
1-；
例2已知函数)(x f 在0
x x =处可导，则[][]=--→0
2
020
x x x f x f x x )()(lim
（ ）
A ．()0x f '
B ．()0x f
C ．()[]20x f '
D ．())(200x f x f ' 分析：利用导数的概念即可．
解：[][]0
000
2
0200
x x x f x f x f x f x x x f x f x x x x --⨯+=--→→)]
()([)]()([lim
)()(lim
[]0
00000000x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f x x x x x x --⨯+=--⨯+=→→→)
()(lim
)()(lim )]()([)]()([lim
)()(002x f x f '⋅= 故选（D ）
变式练习2
设函数)(x f 在0x x =处可导，试求下列各式的值．
（１）x
x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000
= ；（２）h
h x f h x f x 2)()(lim 000
--+→∆= 。

解：（1）)(0x f '-； （2）)(0x f '；
课堂小结
注 意
.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x .)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f =
基础训练
1．如果函数0)(x x x x f ==在点处的瞬时变化率是03
3x ，则的值是（ A ）
A ．4
3 B ．2
1 C ．1 D ．3
2．设2)(=x x f 在处有导数，则=∆∆--∆+→∆x
x f x f x 2)2()2(lim 0
（ C ）
A ．)2(2f '
B ．)2(2
1f ' C ．)2(f ' D ．)2(4f '
3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2000)()(lim --→=（ A ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
1
4．已知函数1422++=x x y ，则='-=1x y 0 ，='=3x y 散 16 。

5．质点M 按规律1)(2+=at t s 作直线运动（s t cm s 单位：单位：,）若质点M 在s t 2=时的瞬时速度为s cm /8，则常数a ＝ 2 。

6．求函数5
1)(+==x x f y 在0x 点的导数．
解：2
051
)(+-x
能力提高
1．求下列函数的导数
（1）求函数142-=-=x x x y 在处的导数；（２）求函数511
1．在=+=x x y 处的导数；
解：（1）6；（2）25
4
-
； 2．已知一物体的运动方程是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+〈≤+==.
3,)3(329;
30,23)(2
2t t t t t f s ，求此物体分别在41==t t 和时的瞬时速度。

解：此物体在41==t t 和时的瞬时速度均为6。