数学高二-选修2教案 第二节导数的概念及其几何意义2.2导数的概念

第二节 导数的概念及其几何意义 2.2.1 导数的概念 教学设计

教学目标

1．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数。 2．能解释具体函数在一点的导数的实际意义。 3．会求一些简单函数在某一点处的导数。 教学指导

导数概念的建立比较困难，所以学习中可先回顾上一节的概念，体会从平均变化率到瞬时变化率（即导数）的变化过程，从而产生从更一般的角度研究函数瞬时变化率即导数的心理需求。学习中可以相对淡化概念，注重用定义求导数的方法与过程。 知识点归纳

设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为0101)()(x x x f x f x y --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00当1x 趋于0x 时，即0→∆x ，如果

平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数()x f y =在0x 点的瞬时变化率。在数学中，称 为函数()x f y =在0x 点的 ，通常用符号 表示。

重难点剖析

重点：了解导数的概念，会用定义法求导数； 难点：导数概念的理解； 剖析： 1．导数的概念

设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为： 0

101)()(x x x f x f x y --=∆∆x x f x x f ∆-∆+=)()(00 当1x 趋于0x 时，即0→∆x ，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们就说()x f y =在0

x 处可导，并把这个值叫做()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，即

()x y

x f x ∆∆='→∆00lim

1010)()(lim

x x x f x f x --=→∆ x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000 说明：

（1）函数()x f y =在0x 处可导是指0→∆x 时，x

y ∆∆能够趋于一个固定的值，如果x

y ∆∆不能趋

于一个固定的值，就说()x f y =在0x 处不可导，或说无导数。

注意：()x y x f x ∆∆='→∆00lim 不存在可分两种情况，其一是当x ∆趋于零时x

y

∆∆的值趋于∞；其

二是x

y ∆∆在0→∆x 的方向不同时的值不同；

(2) x ∆是自变量0x 处的改变量，0≠∆x ，而y ∆是函数值的改变量，可以为零。 2．求导数的方法：

由导数的定义可知，求()x f y =在0x 处的导数的步骤为： ⑴求函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆ ⑵求平均变化率=∆∆x

y x

x f x x f ∆-∆+)()(00

⑶求导数()x

y x f x ∆∆='→∆0

0lim

典例分析

例1求()11===x x x f y 在处的导数。

分析：利用导数的概念即可．

解： 1=x 点附近的平均变化率：

)

()(x x x x x x x

x

x x

y

∆+∆∆+-∆+=

∆-∆+∆+=∆-∆+=∆∆1111

111

11

)

)(()

)(()(x x x x

x x x x x x ∆++∆+∆+∆--=

∆++∆+∆+∆∆+-∆+=

1111111112

当0→∆x 时得()11===x x x f y 在处的导数为：21-。 变式练习1

求下列函数在0x x =处的导数。 （1）求()12===x x x f y 在处的导数。 （2）求()31===x x

x f y 在处的导数。

解：（1）2； （2）9

1-；

例2已知函数)(x f 在0

x x =处可导，则[][]=--→0

2

020

x x x f x f x x )()(lim

（ ）

A ．()0x f '

B ．()0x f

C ．()[]20x f '

D ．())(200x f x f ' 分析：利用导数的概念即可．

解：[][]0

000

2

0200

x x x f x f x f x f x x x f x f x x x x --⨯+=--→→)]

()([)]()([lim

)()(lim

[]0

00000000x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f x x x x x x --⨯+=--⨯+=→→→)

()(lim

)()(lim )]()([)]()([lim

)()(002x f x f '⋅= 故选（D ）

变式练习2

设函数)(x f 在0x x =处可导，试求下列各式的值．

（１）x

x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000

= ；（２）h

h x f h x f x 2)()(lim 000

--+→∆= 。

解：（1）)(0x f '-； （2）)(0x f '；

课堂小结

注 意

.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x .)()(30'0处的函数值在处的导数就是导函数在）函数（x x x f x x f =

基础训练

1．如果函数0)(x x x x f ==在点处的瞬时变化率是03

3x ，则的值是（ A ）

A ．4

3 B ．2

1 C ．1 D ．3