圆锥曲线运算的几种数学思想

专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想
（一）极端思想
通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。

这是简化运算量的一条重要途径。

[例1] 求已知离心率
52
=
e ，过点（1，0）且与直线l ：032=+-y x 相切于点（35,
32-），
长轴平行于y 轴的椭圆方程。

解：把点（35,32-）看作离心率52=e 的椭圆0
)35(51)32(22=-++y x （“点椭圆”），
则与直线l ：032=+-y x 相切于该点的椭圆系即为过直线l 与“点椭圆”的公共点的椭
圆系方程为：0
)32()35
(51)32(22=+-+-++y x y x λ
又由于所求的椭圆过点（1，0），代入上式得，
32
-
=λ
因此，所求椭圆方程为：1
52
2
=+y x
（二）补集思想
有些圆锥曲线问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全又容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。

[例2] k 为何值时，直线l ：)1(1-=-x k y 不能垂直平分抛物线x y =2
的某弦。

解：设}|{R k k I ∈=，|{k A =直线l 垂直平分抛物线x y =2
的某弦}。

若直线l 垂直平分抛物线的弦AB ，且A ),(11y x ，B ),(22y x ，则121x y =，22
2x y =
上述两式相减得：212121))((x x y y y y -=+-
即212
12111y y x x y y k +=
--=-
又设M 是弦AB 的中点，且),(00y x M ，则
22210k
y y y -=+=
因为点M 在直线l 上，所以
k x 1210-=
由于M 在抛物线的内部，所以02
0x y <，即042121)2(32<+-⇒-<-k k k k k 0
20)
22)(2(2<<-⇒<+-+⇒k k k k k
故原命题中k 的取值范围是2-≤k 或0≥k
（三）整体思想
对有些圆锥曲线问题，注意其整体结构特点，设法将问题整体变形转化，以达到避免一些不必要的运算，降低解题难度。

[例3] 从椭圆1232
2=+y x 外一点P （2，4）作椭圆的切线，求两切线的夹角。

解：由椭圆的切线方程222b k a kx y +±=知两切线的方程为：232
+±=k kx y
又切线过点P （2，4），所以23242+±=k k ，整理得，014162
=+-k k
所以1621=+k k ，1421=⋅k k
所以
212
11tan k k k k +-=θ2
12
122114)(k k k k k k +-+=
322141144162=
+⨯-= 所以两切线的夹角
32
2arctan
=θ
（四）方程思想
把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。

[例4] 已知双曲线C ：)1()1(2
2222>=+-a a y a x a ，设该双曲线上支的顶点为A ，且上
支与直线x y -=相交于P 点，一条以A 为焦点，M （m ,0）为顶点，开口向下的抛物线
通过点P ，设PM 的斜率为k ，且314
1≤
≤k ，求实数a 的取值范围。

解：由双曲线方程知A （0，1），则抛物线方程为))(1(42
m y m x ---=，由双曲线与直
线相交，解得点P 的坐标为),(a a -，又因为点P 在抛物线上，所以
))(1(42m a m a ---= ①
而MP 的斜率为
a a
m k -=
，所以a ak m +=
将a ak m +=代入①，得))(1(42ak a ak a --+-=，即0)1(442
=--+a k a ak ②
根据题意，方程②在区间]
31,41[上有实根
令a k a ak k f --+=)1(44)(2
，其对称轴方程为
021<-=
a a
k
所以47120)31(0)4
1
(≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤a f f 所以实数a 的取值范围为]4,712[
（五）函数思想
对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。

[例5] 直线m ：1+=kx y 和双曲线12
2=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过P （0,2-）
和AB 线段的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。

解：由)1(11
22-≤⎩⎨⎧=-+=x y x kx y 消去y 得
022)1(2
2=++-kx x k ，由题意，有： ⎪⎪
⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>--=<-=+>-+=∆0120120)1(842
212
2122k x x k k x x k k 21<<⇒k
设M （00,y x ），则⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=-=+=20
022*******k kx y k k x x x 由P （0,2-）、M （2
211,1k k k --）、Q （b ,0）三点共线，可求得222
2++-=k k b 设2
2)(2
++-=k k k f 817
)41(22+
--=k ，则)(k f 在)2,1(上为减函数。

所以)1()()2(f k f f <<，且0)(≠k f
所以1)()22(<<--k f 所以)22(+-<b 或2>b
（六）参数思想
处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。

[例6] 当a 为何实数时，椭圆1
2)(22=+-y a x 与曲线C ：
x y 21
2=有公共点？ 解：椭圆方程变形为：
1
)2
(22=+-y a x
设
2a
x -θθsin ,cos ==y ，即θθsin ,cos 2=+=y a x 代入曲线C 得： )cos 2(21
sin 2θθ+=
a ，即θθcos 2sin 22-=a （1）
椭圆与曲线C 有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数θθcos 2sin 22
-=y 的值
域
所以
22)42(cos 249cos 2sin 2+-=
-=θθθa
因为
49
)42(cos 24922≤
+-≤
-θ，所以a 的取值范围是
]49,2[- （七）转化思想
数学问题的求解过程，实际上就是问题的转化过程。

它主要体现在条件由“隐”转化为
“显”，结论由“暗”转化为“明”，即从陌生向熟悉、复杂向简单、间接向直接的过程。

[例7] 设圆满足：① 截y 轴所得弦长为2；② 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l ：02=-y x 的距离最小的圆的方程。

解：设圆的圆心为P （b a ,），半径为r ，由①知12
2+=a r ；由②知，圆P 截x 轴所得
劣弧对应的圆心角为︒90，即圆P 截x 轴所得的弦长为r 2，故有2
22b r =，消去r 得圆心的轨迹为：122
2=-a b
如何求圆心P （b a ,）到直线l ：02=-y x 的距离5
2b a d -=
的最小值，这样转化为从不
同角度求条件最值问题。

转化1：变量替换求最值
∵ 122
2=-a b ∴ 1)2)(2(=-+a b a b
设)0(2≠=+t t a b ，则有
t a b 12=
-，解得t t a 12-=，t t b 1
22+
=，所以有
52b a d -=
52)1(2)1(t t t t +--==521
)
12()12(t
t ++-
55
5
2)12(1)12(≥-+
-=
t
t
当且仅当
t t )12(1
)12(-=
-，即12+=t 时，d 达到最小值。

此时可求得1==b a 或
1-==b a
由于2
22b r =，故2=r 。

于是所求圆的方程是：
2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 转化2：三角代换求最值
令πθθθ20,tan ,sec 2≤≤==a b ，
则
θ
θθ
θcos 5sin cos 5sin 25
2d b a d ±⇒-=
-=
2=，
所以)sin(512
ϕθ±+d 2
由
1512)sin(2≤+=
±d ϕθ，得
55
≥
d 当d 达到最小值55
时，)sin(ϕθ±=1，从而4πϕ±=，并由此解得=θ4π或43πθ=
即1==b a 或1-==b a ，以下同解法1 转化3：判别式法求最值
由
5
2b a d -=
得d b a 52±=-，即2
225544d bd b a +±=①
将122
2-=b a 代入①式，整理得01554222=++±d bd b ②
把它看作b 的一元二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
0)15(82≥-=∆d ，得152≥d ，所以
55≥
d
将
55
=
d 代入②，得02422=+±b b
解得1±=b
从而1,222
2±===a b r ，由12=-b a ，知a 与b 同号
于是，所求圆的方程为：2)1()1(22=-+-y x 或
2)1()1(2
2=+++y x
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 已知椭圆1342
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准
线的距离为它到两焦点1F 、2F 距离的等比中项？
2. 求证：椭圆)0(2
22222>>=+b a b a y a x b 的弦中点与椭圆中心连线的斜率（两斜率均
存在时）与此弦的斜率之积为2
2a b -.
3. 一椭圆长短轴平行于坐标轴，与直线112=+y x 相切于点P （4，3），它还经过点Q （1,0-），R （110,1+），求椭圆方程.
4. 两个不同的点P 、Q 在曲线2
x y =上移动，不管如何选择其位置，它们总不能关于直线)3(-=x m y 对称，求m 的范围.
5. 过抛物线x y 42
=的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，
直线l 的斜率为k 。

（1）试用k 表示点M 的坐标；
（2）若直线l 的斜率2k >，且点M 到直线l '：340x y m ++=的距离为1
5
，试确定实数m
的取值范围.
6. 已知椭圆122
22=+b y a x （0>>b a ），A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P （0,0x ），求证：
<
<--022x a b a a b a 2
2-.
【试题答案】
1. 解：由椭圆方程可知3,2==b a ，并求得1=c ，离心率21
=
e ，准线4±=x
设椭圆上y 轴左侧部分存在点M （00,y x ）（020<≤-x ） 满足212
MF MF MN
⋅= ① ||MN 为点M 到左准线的距离
则由椭圆第二定义，得214,2140201
=
-=+x MF x MF
因而由椭圆的焦半径公式知
001212x ex a MF +
=+=
002212x ex a MF -
=-=
又
011421
x MF e MF MN +==⋅
=
将以上各式代入①中得：
)21
2)(212()4(0020x x x -+
=+
整理得：048325020
=++x x ，所以512
0-
=x 或40-=x ，这与020≤≤-x 相矛盾，故不
存在满足条件的点M
2. 证明：设弦两端点为A （11,y x ），B （22,y x ），中点为P ，则
2121x x y y k OP ++=
1212x x y y k AB --=
由
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222222222212212b a y a x b b a y a x b 0))(())((1212212122=-++-+⇒y y y y a x x x x b 2212122121a b x x y y x x y y -=--⋅++⇒ 即2
2a b k k AB OP -=⋅
3. 解：视点P （4，3）为退化椭圆，其方程为
0)3()4(2
2=-+-y n x （1,0≠>n n ） 由此所求椭圆长、短轴与坐标轴平行且与直线112=+y x 相切于点P 的椭圆方程可设为：
0)112()3()4(22=-++-+-y x y n x λ（1）
将Q 、R 点坐标代入（1）式得：
2,21
==
λn ，代入椭圆方程（1）
得
12)1()2(22
2=-+-y x 即所求椭圆方程为112)1(6)2(2
2=-+-y x
4.
解析：从不能的角度考虑，需分别讨论各种情况，比较麻烦，用补集思想从问题的反面考虑就可以达到避繁就简的目的。

解：设|{},|{m A R m m I =∈=P 、Q 关于直线)3(-=x m y 对称}
若0=m ，显然曲线2
x y =上没有关于直线0=y 对称的点
当0≠m 时，设抛物线上的两点（211,x x ）、B （2
22,x x ）关于直线)3(-=x m y 对称，
则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=---+=+m x x x x x x m x x 1]3)(21[)(21212
221212
221⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=+⇒m x x x x m x x 1)6(21
212
221 消去2x 得
0161
222121=++++
m m m x x
由0)161
(8)2(22>++-=∆m m m ，得
0)126)(12(2
<+-+m m m ∵ 01262
>+-k k 恒成立
∴ 012<+m ，即-<m 21 ∴
}
21
|{-<=m m A 故当
21
-
≥m 时满足题设条件
5. 解：
（1）设直线方程)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2
222=++-k x k x k ，0≠k
设A （11,y x ），B （22,y x ），则=+21x x 22)2(2k k + k y y 421=
+ ∴ )
2
,21(2k k M +
（2）∵ M 到l '的距离
|863|512m k k d +++=
∴ 1|863|2=+++m k k ，从而2862---=k k m 或48
62---=k k m
令
2,1>=
k k t ，则210<<t ，这时
286)(2
---==t t t f m 或486)(2
---==t t t f m ∴
2215-<<-
m 或4219
-<<-m
因此m 的取值范围是（2,219--
）
6. 证明：设A （21sin ,cos θθb a ），B （22sin ,cos θθb a ），由2
2PB PA =可得：
222220122210sin )cos (sin )cos (θθθθb a x b a x +-=+-
∴
)cos (cos 2)cos )(cos (21022
1222θθθθ-=--ax b a ∵ AB 的垂直平分线与x 轴相交，故AB 与y 轴不平行，即21cos cos θθ≠
所以有：2cos cos 221<+<-θθ ∴
0212
22)cos )(cos (ax b a =+-θθ 即)(22)(22
2022b a ax b a -<<-- 故
a b a x a b a 22022-<<--。