9.2 GPS基线向量的解算

《GPS 定位原理及应用》授课教案

第9章 GPS 测量数据处理

9.2 GPS 基线向量的解算

在第五章中我们着重讨论了由双差观测值列出误差方程式，然后利用最小二乘平差原理求解基线向量的方法。由于未知数个数和误差方程个数很多，平差解算的工作量很大。 本节重点将讨论9.2.2节法方程的组成及解算，双差观测值模型直接从第五章（5-51）式引用，不作为必修内容。有兴趣的同学可自学，自学方式为：课后在网上通过与教师讨论的形式进行。

9.2.1 法方程的组成及解算

1、方程式的组成

在第五章中我们着重讨论了由双差观测值列出误差方程式，然后利用最小二乘平差原理求解基线向量的方法。由于未知数个数和误差方程个数很多，平差解算的工作量很大。本节将重点讨论9.2.2节法方程的组成及解算，双差观测值模型直接从第五章（5-51）式引用即：

()()()()()1221212/()

()

()[(()()()()]

2

2

222012012kj j j

k k DD t t t t t i i i i i

x j j k k k k k k k f c l t m t n t y N f c t t t t z φφφφδδρρρρδ=--+⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤⎢⎥=-∆∆∆-∆∆+--+⎢⎥⎣⎦

⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

令：

()j

k k N t N N

∆∆=∆-∆（9-5）

()/(()()()())()

20120112

j j jk

k k k L t f c t t t t DD t ρρρρϕ∆∆=--+-（9-6）

误差方程式的形式为：

2()/()()()()

22222x k k k k k k V t f c l t m t n t y N L t z δδδ⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤⎢⎥=-∆∆∆-∆∆+∆∆⎢⎥⎣⎦⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

（9-7）

式中：

121()()()()T j n V t V t V t V t ⎛⎫

-= ⎪

⎪⎝⎭

当两站同步观测的卫星数为j n 时，误差方程式如下：

2()()()()

V t A t X B t N L t δ=+∆∆+∆∆（9-8）

式中：

(

)

111()

()

()222222()

()

()222()/111()()()2

2

2100010()22

2

2

001121()()()()1

l t m t n t l t m t n t A t f c j

j j

n n

n l t m t n t T

B t X

x y

z

T j

n L t L t L t L t N N δδδδ⎡⎤∆∆∆⎢⎥⎢⎥∆∆∆⎢⎥=-⎢

⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥∆∆∆⎣⎦

⎡⎤⎢⎥⎢

⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫

-∆∆=∆∆∆∆∆∆ ⎪

⎪⎝⎭∆∆=∆∆∆∆

21T j n N N ⎛

⎫

-∆∆ ⎪

⎪⎝

⎭

如果在基线两端对同一组卫星观测的历元数为nt ，相应的误差方程式组为：

()2X V A B L

N δ⎡⎤

=+⎢⎥∆∆⎢⎥⎣

⎦（9-9）

式中：

()()

()()()

()()()()()1

212()()()12()()()12T

T

A A t A t A t

B B t B t B t nt nt

T

V V t V t V t nt

T

L L t L t L t nt ====∆∆∆∆∆∆

相应的法方程式： N △X+U=0 (9-10)

式中：

()()(

)

()2

T

T N AB P AB X X

N

T U AB PL

δ=∆=∆∆=

P 为双差观测量权矩阵

2、 权的确定

在上面的法方程式中权P 应如何确定?各观测量是相互独立还是相关？是我们必须关注的问题。下面我们从单差观测量的相关性讨论出发，给出双差观测量的权的确定方法。 1） 单差观测量的相关性

由单差的定义可知：观测站T 1、T 2，与历元t 同步观测卫星S j 的观测量之差为：

()()()

21

j j j t t t ϕϕϕ∆=-（9-11）

如果同一历元，还同步观测了另一颗卫星S k

，则同理可得：由矩阵表示为：

()()()

t r t t ϕϕ∆=∙（9-12）

式中各量表示为：

(

)

1

2

1

2

()()()()()k

k

j

j

T

t t t t t ϕϕϕϕϕ=

1100()0

1

1r t -=

-⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

观测量单差的方差和协方差阵

()()()()

T D t r t D t r t ϕϕ

=∙∙∆（9-13）

由于：

2()()

D t

E t σϕ

= E(t)：单位矩

由此得：

102()201()()()

21

D t k k k t t t σϕϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥∆⎣⎦∆=-（9-14）

从上面的协方差阵可知，两观测站同步观测两颗不同卫星的单差，其间是不相关的。这

一结论可推广到一般情况。 2） 双差观测量的相关性

设在观测站T 1、T 2，与历元t 同步观测卫星S i 、 S j 、 S k ,并取S i 作为参考星，则：

()()()()()()

j j i t t t k k i t t t ϕϕϕϕϕϕ∇∆=∆-∆∇∆=∆-∆（9-15）

由矩阵表示为：

()()()

t r t t ϕϕ∇∆=∙∆（9-16）

式中各量表示为：

T

t k t j t i t ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆∆=∆)()

()()(ϕϕϕϕ

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡--=

10

1011)(t r

观测量双差的方差和协方差阵:

()()()()

T D t r t D t r t ϕϕ

=∙∙∇∆∆（9-17）

2()2()

D t

E t σϕ=∆由于：

由此得：

2

12()21

2

D t σϕ⎡

⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

=∇∆（9-18）

从上面的协方差阵可知，两观测站同步观测两颗不同卫星的双差，其间是相关的。由此可得到权阵:

2

11

1()2321

2

P t ϕσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢

⎥⎣⎦

-=∇∆-（9-19）