函数的奇偶性专题

《函数的奇偶性》专题

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

逃避只会带来更大的阴影。

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y 轴对称或者关于原点对称。 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2

()[1,2]f x x

x =∈- （2）32

()1

x x f x x -=-

（3）x x x f +=3

)( （4）1

1

)

1()(-+-=x x x x f

（5）f(x) =x+x 1； （6）()f x =

（7）()f x （8）0,)(≠=a a x f

偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数，且

【类型一】分段函数奇偶性的判断

例1.判断函数的奇偶性：2

211(0)2

()11(0)2

x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩

练习：1.证明⎪⎩

⎪

⎨

⎧<--->+-=)

0(320)

0(32)(22x x x x x x x f ，是奇函数.

例2.)(x f 为R 上的偶函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(+∞∈x 时，

=)(x f x(x+1) 若f(x)是奇函数呢？

【类型二】已知函数的奇偶性求参数值：

例3、已知函数2

()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．

练习：1.如果二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是偶函数，则b = 0．

2．已知函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a=1

3

b= 0

【类型三】构造奇偶函数求值 例4、已知函数5

3

()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f 的值。

练习 1.已知f (x )＝x 7＋ax 5

＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( -15 )

2.若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1

常用结论：

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

【类型四】单调性与奇偶性

例1．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围． 2

1

<

m

例2.设函数f （x ）对任意x ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），且x ＞0时f （x ）＜0，f （1）=-1

（1）求证：f （x ）是奇函数

（2）判断f （x ）的单调性并证明

（3）试问当-3≤x≤3时f （x ）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由

5、已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的R b a ∈,，都有

)()()(a bf b af ab f +=

（1）、求)1(),0(f f 的值； 0 ， 0

（2）、判断函数)(x f 的奇偶性，并加以证明 奇

4、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是 （ B ）

A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->- C.)2()0()1(->>f f f D.)0()2()1(f f f >->

例．判断下列函数的奇偶性

（1）2

()[1,2]f x x

x =∈- 为非奇非偶函数

（2）32

()1

x x f x x -=-为非奇非偶函数

（3）x x x f +=3

)( 奇函数

（4）1

1

)

1()(-+-=x x x x f （5）f(x) =x+

x

1

； 奇函数 （6

）()f x = 奇函数

（7

）()f x = 既是奇函数又是偶函数 （8）0,)(≠=a a x f 为非奇非偶函数

常用结论：

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

一．分段函数奇偶性的判断

例1.判断函数的奇偶性：2

211(0)2

()11(0)2

x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩

解：当x ＞0时，－x ＜0，于是