北大计量经济学讲义-第五讲
计量经济学第五讲---模型函数形式
Prob. 0.0000 0.0000 5.468946 0.086294 -9.94267 -9.84926 81786.04 0.000000
ˆ 5.317 0.0098t ln Y t
斜率0.0098表示，平均而言， se (0.000608 )(0.0000343 ) Y的年增长率为0.98％。
每提高1个百分点，平均而言，数学S.A.T分数将增加0.13 个百分点。根据定义，如果弹性的绝对值小于1，则称缺 乏弹性。因此，在该例中，数学S.A.T分数是缺乏弹性的。 另外，r2＝0.9， 表明logX解释了变量logY的90％的变 动。
13
第5章
经济学的弹性：
以价格弹性为例： 价格弹性的准确定义是需求量变动的百分比除以价格变动的百分 比。 价格变动一个百分点，引起需求量变动超过一个百分点，则该物 品就富有价格需求弹性；需求变动量不到一个百分点，则缺乏价 格需求弹性；需求变动量等于一个百分点，则该物品拥有单位需 求价格弹性。
S.D. dependent var
Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
20.51101
2.260832 2.354245 23141.80 0.000000
S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood
2642.152 134.6207
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
第五讲 动态面板数据模型
E ( uit − ui,t −1 ) yi,t −s
如果
{
}
N T 1 = plim ∑∑( uit −ui,t−1 ) yi,t−s = 0 N (T −1) i=1 t =2
'
（7.10）
Δui = ( ui 2 − ui1 ui 3 − ui 2 " uiT − ui ,T −1 )
⎛ [ yi 0 ] ⎜ Zi = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
− y i ,t −3 )( y i ,t − y i ,t −1 )
（5.4）
∑∑ ( y
i =1 t =3
i ,t − 2
− y i ,t −3 )( y i ,t −1 − y i ,t − 2 )
显然，对于 N → ∞、T → ∞或者 N 和 T → ∞，如果
plim
和
N T 1 ∑ ∑ ( uit − ui ,t −1 ) yi ,t − 2 = 0 N (T − 1) i =1 t = 2
(
)
( yi ,t −1 − yi ,t −2 ) 相 关 ， 但 是 与 ( u
it
− ui ,t −1 ) 无 关 。 因 此 ， y i ,t − 2 和
( yi ,t −2 − yi ,t −3 ) 均 为
( yi ,t −1 − yi ,t −2 ) 的工具变量。于是，模型（5.2）中参数的工具变量估计分别是
⎛ N ⎞ ⎛ N ' ⎞⎞ ⎛⎛ N ⎞ ⎛ N ' ⎞⎞ ' ' ˆ GMM = ⎜ ⎛ α ⎜ ∑ Δyi ,−1 Z i ⎟ W N ⎜ ∑ Z i Δyi ,−1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ∑ Δyi ,−1 Z i ⎟ W N ⎜ ∑ Z i Δyi ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎠ ⎝ ⎝ i =1
最新计量经济学课件-第五章教学讲义PPT
Y t a b 0 X t b 1 Y t 1 b 2 Y t 2 b q Y t q U t
• 3、分布滞后模型的OLS估计 （1）估计中存在的问题： 无限分布滞后：样本有限，无法估计； 有限分布滞后： 没有先验准则确定滞后长度； 滞后期过长导致丧失过多自由度； 容易出现多重共线；
Y b 0 b 1 X b 2 P a 1 D 1 a 2 D 2 a 3 D 3 a 4 D 4 U
存在什么问题？
• 解释变量观测值矩阵为：
1
X1
1
X2
P1
1 0 0 0
P2
0
1
0
0
1
X3
1
X4
P3
0 0 1 0
P4
0 0 0 1
1
X0
1
X n2
Pn 2
• （2）一般处理
各种方法的基本思想大致相同：都是通过对各滞后变 量加权，组成新变量从而有目的地减少滞后变量的数 目，以缓解多重共线性，保证自由度。
经验权数法
根据实际问题的特点、实际经验给各滞后变量指定权 数，滞后变量按权数线性组合，构成新的变量。权数
据的类型有：
• 递减型： 权数是递减的，X的近期值对Y的影响较远期 值大。 如消费函数中，收入的近期值对消费的影响作 用显然大于远期值的影响。 例如：滞后期为 3的一组权数可取值如下： 1/2， 1/4， 1/6， 1/8 则新的线性组合变量为：
W 1 t1 2X t1 4X t 11 6X t 28 1X t 3
• 矩型： 即认为权数是相等的，X的逐期滞后值对值Y 的影响相同。 如滞后期为3，指定相等权数为1/4，则新的线 性组合变量为：
北大计量经济学讲义-工具变量与两阶段最小二乘法
Intermediate Econometrics,
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Yan Shen
18
When an IV is Available: Estimation 当IV存在时：估计
When assumptions (15.4) and (15.5) hold, one can show that the IV estimator is
Suppose the true model regresses log(wage) on education (educ) and ability (abil). 假定真实模型将对数工资对教育和能力回归
Now ability is unobserved, and the proxy, IQ, is not available. 现在能力不可观测，而且没有代理变量IQ
Sometimes we refer to this regression as the first-stage regression. 有时我们将这个回归称为第一阶段回归。
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11
Example: wage determination 例子：工资决定
In this context, identification means that we can
write b1 in terms of population moments that can
经济计量学第五讲 回归方程的函数形式
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以
用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消
费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
东北财经大学数量经济系
第六节 多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Yi B1 B2 X i B3 X B4 X ui
Yi B1 B2 ln X i ui
B2的含义为：X的相对变化引起的Y的绝对量变 化量；即表示自变量的一个单位相对增量引起因变量 平均的绝对增量。
Y B2 (X / X )
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第五节 双曲函数模型
下述模型称为双曲函数模型：
Yi B1 B2 1 Xi ui
2 i 3 i
多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广
泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个 解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它
们看做是多元回归模型中的不同解释变量。
东北财经大学数量经济系
我们通过观察散点图，认为需求量和价格之间是近似
的线性关系，因此建立两变量线性回归模型来研究需 求量和价格之间的关系。 若需求量和价格之间的关系不是线性关系而是指 数形式，则我们就需要建立下面的模型来描述需求量
和价格之间的关系，即：
Yi AX
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B i
(1)
第一节 双对数模型（2）
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第三节 多元对数线性回归模型（4）
例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对 数模型的结果如下：
东北财经大学数量经济系
第四节 半对数模型（1）
下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：
计量经济学讲义第五讲(共十讲)
第五讲 自相关高斯-马尔科夫假定五是：(,)0,i j i j C ovariance i j εεεεδ==≠如果该假定不成立，那么称模型的误差项是序列相关的。
由于序列相关主要针对于时间序列数据，因此，下面把i 改写为t ，样本容量N 改写为T 。
笔记：1、如果基于横截面数据的回归模型其误差项是相关的，则称为空间自相关。
但是要记住，除非观察顺序具有某种逻辑或者经济上的意义，否则，在横截面数据回归中，观察顺序是可以随意的，因此，也许在某种观测顺序下误差项呈现出一种模式的自相关但在另一种观测顺序下又呈现出另外一种模式的自相关。
然而，当我们处理时间序列时，观测服从时间上的一种自然顺序。
2、在经济变量时间序列回归模型中，误差项经常被称之为冲击（Shock ）。
对经济系统的冲击经常具有持续性，从而这为误差项序列相关提供了现实依据。
一、 自相关的后果在证明高斯-马尔科夫定理时，我们仅仅在证明OLS 估计量的方差最小（在所有线性无偏估计量中）时用到了序列无关假定，而在证明线性、无偏性并没有用到该假定，因此违背无自相关性假定并不影响线性、无偏性，只影响方差最小性质。
在证明方差最小时，我们分了两步，其中第一步是计算OLS 估计量的方差。
对模型：t 01t t y x ββε=++有：12ˆ12222()()()()(())()()[()]t t t t t t t t tx x Variance x x x x Variance x x Variance x x x x βεδβεε-=+---==--∑∑∑∑∑∑在假定五：0,0t t j j εεδ+=≠下，有：122ˆ222()[()]ttt x x x x βεδδ-=-∑∑如果假定五不成立，那么正确的方差表达式应该是：12ˆ1221122()2()()[()]t t t jT T tt t t j t j t x x x x x x x x βεεεδδδ+--+==-+--=-∑∑∑∑所以， OLS 法下通常的系数估计量方差的表示是错误的。
第五讲-多重共线性、异方差、自相关
表 4.3.3 中国粮食生产与相关投入资料
农业化肥施 粮食播种面 受灾面积 农业机械总
用量 X 1
（万公斤）
积X 2
（千公顷）
X3
（公顷）
动力X 4
（万千瓦）
1659.8
114047 16209.3
18022
1739.8
11288பைடு நூலகம் 15264.0
19497
1775.8
108845 22705.3
20913
0.9752 1.53
t值
0.85
19.6 3.35 -3.57
Y=f(X1,X2,X3,X4) -13056 6.17 0.42 -0.17 -0.09
0.9775 1.80
t值
-0.97 9.61 3.57 -3.09 -1.55
Y=f(X1,X3,X4,X5) -12690 5.22 0.40 -0.20
含义：解释变量的样本向量近似线性相关。
多重共线性来源：
（1）解释变量x受到同一个因素的影响； 例如：政治事件对很多变量都产生影响，这些变量同时上升 或同时下降。
（2）解释变量x自己的当期和滞后期；
（3）错误设定。
二、多重共线性的后果
1、完全共线性下参数估计量不存在
Y X
的OLS估计量为： βˆ (XX) 1 XY
1、检验多重共线性是否存在
(1)对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说
明两变量存在较强的多重共线性。
(2)对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法
若 在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小， 说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解 释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不 能分辨，故t检验不显著。
第五讲 多值、排序与计数模型 高级计量经济学及Stata应用课件
• 这些解释变量都只依赖于个体，而不依赖于方案 ，故应使用多项logit或多项probit回归。
2020/7/27
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20
数据特征
• use nomocc2.dta, clear • sum
• 解释变量xij，既随个体i而变，也随方案j而变。
• 系数 β 表明，xij对随机效用Uij的作用不依赖于方 案j。比如，乘车时间依个体与方案而变，但乘车 时间太长所带来的负效用是一致的。
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条件Logit (续)
• 根据与多项Logit类似的推导，
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混合logit的Stata命令
• asclogit y x1 x2 x3,case(varname) alternatives(varname) casevars(varname) base(#) or
• “asclogit”表示“alternative-specific conditional logit”
• 如果假设 i1, ,iJ 服从J维正态分布，可
得“多项probit”(multinomial probit)模型
• 但多项Probit的计算涉及高维积分，不易计 算，较少使用。
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随方案而变的解释变量
• 多项Logit仅考虑不随方案而变的解释变量(比如， 个体收入)，但有些解释变量既随个体，也随方案 而变。比如，在选择交通工具时，乘车时间既因 个体而异，也因交通工具而异。
计量经济学第5章PPT学习教案
量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y 的均值E(Y)的变化;
或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
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2
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 Y Xβ μ
其中
1 X 11
X
1
X 12
1 X 1n
所以，
ˆ ~ N(, 2(X X )1)
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以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估 计量的 方差为 ： 其中，2为随机误差项的总体 方差， 由于总 体未知 ，故方 差也不 可知。 因此， 在实际 计算时 ，用它 的估计 量代替:
ˆi ~ N (i , 2cii )
2Q
ˆˆ
2X X是一个正定矩阵
ˆ (X X ) XY 1
是使方程最小化的解。
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14
知识点：正定矩阵
对于任意的非零向量c，令
a cX Xc
则
a cXXc vv
vi2
除非v中的每一个元素为0， 否则a为正的。但是，若v为0， 则
v Xc 0
这与X中的向量线性无关的假设是矛盾的，故X满秩，则必
n
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8
回忆：由线性代数可知
如果一个矩阵没有逆矩阵，则被称 为奇异矩阵，如果有则为非奇异矩 阵（non-singular）
对于n阶方阵A，A是非奇异矩阵的 证明： 充要条件是A的行列式不等于0
当r且an仅k(当X X矩)阵 满ran秩k时(X，) 其k行1列式不 X X为(k等+1于)(零k+1)阶方阵,所以,X X为非奇异矩阵,可逆.
05：第五讲 模型设定和虚拟变量专题
5
Beta 系数
标准化系数，只有标准化后才有大小比较的价 值
其基本原理是y，x均是去均值并除以各自的标 准差
则回归系数表示，x一个标准化变化对y一个标 准化变化的影响效应
6
7
Beta 系数
zy bˆ1z1 bˆ2 z2 ... bˆk zk error 其中，zy 表示 y的z-得分, z1 表示x1 的 z 得分，以此类推。而对于
在该例中，y的预测值为
yˆ exp ˆ 2 2 exp lnˆ y
bk xk
E y | x 0 exp b0 b1x1 bk xk yˆ ˆ0 exp logˆ y
27
当因变量为log y时对y的预测：
（1）从logy对x1 ,x2 , ,xk的回归中得到拟合值logˆyi .
28
例6.7 对CEO薪水的预测
对样本中的每一个观测都求出mˆ exp lsalˆary ；
将salary对mˆ 进行回归（没有常数项）得ˆ0 1.117。
lsalˆary 4.504 0.163 log 5000 0.109 log 10000 0.0117 10 7.013 salˆary 1.117 exp 7.013 1240.967或1240967美元。
25
通过增加回归变量来减少方差的误差
在回归中增加一个新的自变量会加剧多重共线 性问题；另一方面，从误差项中取出一些因素 作为解释变量可以减少误差方差。
应该将那些影响y而又与所有我们关心的自变 量都无关的自变量包括进来。
26
§ 5 对数模型中对y 的预测
经济学计量经济学第五章PPT课件
• 当a>0、0<b<1时，y 随着t 的增加而趋向于0
• 描述以几何极数递增或递减的现象
• 序列的观察值按指数规律变化
• 序列的逐期观察值按一定的增长率增长或衰减
• 参数估计方法 • 采用对数变换法将模型化为线性进行估计
29
第29页/共45页
修正指数型增长曲线模型
• 一般形式
y L ab •
•
~yi ˆ0 yi f xi , ˆ0 zi ˆ0 ˆ0
• 易平~y求方i 出和ˆ其式0参最数小zi 的ˆ0普 通ˆ最小二i 乘估计值
•
ˆ
，该估计值使得残差
2
ˆ1
n
S ˆ1
~yi ˆ0 zi ˆ0 ˆ1 2
i 1
17
第17页/共45页
Gauss-Newton迭代法（续2）
• 类别 • 多项式增长曲线模型 • 简单指数型增长曲线模型 • 修正指数型增长曲线模型 • Logistic增长曲线模型 • Gompertz增长曲线模型
27
第27页/共45页
多项式增长曲线模型
• 一般数学形式
•
y• t
yt：a第0t
期
的a1某t
个经a济2t指2
标
；t ：时a间k t
k
• a0，a1，…，ak：模型参数
• 至此完成非线性模型的OLS估计
18
第18页/共45页
Gauss-Newton迭代法（续3）
• 步骤
• 给出参数估计值 近似值
的初值 ，将
ˆ
在 处展开泰勒级数，取一阶
ˆ0
f xi , ˆ
ˆ0
• 计算
和
的样本观z测i 值ˆ0
北大经济学原理第五课
第五章弹性及其应用Elasticity and ItsApplication1弹性Elasticity . . .……是对买者和卖者对市场环境变化作出反应程度大小的一种度量方法…is a measure of how much buyers and sellers respond to changes in market conditions……使我们能够更精确地分析供给和需求…allows us to analyze supply and demand with greater precision.2需求的价格弹性Price Elasticity of Demand给定百分之一的价格变化，需求量变化的百分数就是需求的价格弹性Price elasticity of demand is the percentage change in quantity demanded given a percent change in the price.它衡量了一种物品的需求量对该物品价格变化作出反应的程度大小It is a measure of how much the quantity demanded of a good responds to a change in the price of that good.34需求价格弹性的决定因素Determinants ofPrice Elasticity of Demand 必需品还是奢侈品Necessities versus Luxuries相近替代品的可获得性Availability of Close Substitutes市场的界定Definition of the Market时间范围Time Horizon需求价格弹性的决定因素Determinants ofPrice Elasticity of Demand需求倾向于更富有弹性：Demand tends to be more elastic :如果该商品是奢侈品if the good is a luxury.时间间隔越长the longer the time period.相近替代品的个数越多the larger the number of close substitutes.市场界定得越狭隘the more narrowly defined the market.5计算需求价格弹性Computing the Price Elasticityof Demand用需求量变动的百分数除以价格变动的百分数，就计算出了需求的价格弹性The price elasticity of demand is computed as the percentage change in the quantity demanded divided by the percentage change in price.Price Elasticity of Demand=Percentage Change in Quantity Demanded Percentage Changein Price67计算需求价格弹性Computing the Price Elasticityof Demandpricein change Percentage demandedquatity in change Percentage demand of elasticity Price =例：如果冰淇淋蛋卷的价格从2.00美元上升到2.20美元，你所购买的数量从10个下降到8个，那么你的需求弹性可以计算如下：Example: If the price of an ice cream cone increases from $2.00to $2.20 and the amount you buy falls from 10 to 8 cones then your elasticity of demand would be calculated as:(810)10020102(2.20 2.00)101002.00percent percent−×−==−−×运用中点公式计算需求价格弹性Computing the Price Elasticity of Demand Using the MidpointFormula如果你试图计算需求曲线上两点之间的需求价格弹性，你马上就会注意到一个恼人的问题：从A点到B点的弹性，与从B点到A点的弹性是不同的。
第五讲异方差和自相关精制课件
reg lny lnk lnl 检查是否具有异方差
精制课件
16
4。use nerlove,clear reg lntc lnq lnpl lnpf lnpk 检验是否具有异方差
对于经典计量模型，我们的基本假设有：
假设 对于解释变量的所有观测值，随机误差项
有相同的方差。
Var(i
)
E
(
2 i
)
2
i 1, 2,...n
Var(U ) E[U E(U )][U E(U )]' E(UU ')
E(μμ )
E
1
1
n
12 E
1 n
n
n
1
2 n
其二，可能的情况下对变量取自然对数。变量取对 数降低了变量的变化程度，因此有助于消除异方差。
精制课件
26
自相关
经典假设 随机误差项彼此之间不相关 Cov(i , j ) E(i j ) 0 i j i, j 1,2,, n • 如果存在自相关，则：
COV (ui,uj) 0
• 时间序列数往往存在着自相关，即：
精制课件
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异方差的处理
1。使用“OLS+异方差稳健标准误”（robust standard error）：这是最简单，也是目前比较 流行的方法。只要样本容量较大，即使在异方差 的情况下，只要使用稳健标准误，则所有参数估 计、假设检验均可照常进行。
sysuse nlsw88, clear
reg wage ttl_exp race age industry hours
第五讲 自相关
第五讲、自相关1、自相关的概念：古典线性回归中假设扰动项u i中不存在自相关，即E(u i u j)=0, i≠j这表明任一观察值的扰动项不受其他观察值的扰动项的影响。
但是如果存在E(u i u j) ≠0, i≠j表明存在自相关问题。
自相关通常与时间序列数据有关，但截面数据中也可能产生自相关的问题（空间相关），例如，某一家庭消费支出的增加可能影响不愿比别人逊色的另一家庭消费支出的影响。
图a-d表明扰动项u存在可辨别的模式（可能存在自相关），而图e则表明不存在系统模式（可能不存在自相关）。
2、导致自相关的因素：（1）在涉及时间序列数据的回归方程中，大多数经济时间序列数据的一个显著特征是“惯性”或“延迟性”。
如GDP、就业、货币供给等时间序列都呈现周期性，连续的观察值之间很可能存在相互依赖或是相关的。
（2）模型设定错误：应该包括在模型中的重要变量未包括进模型（过低设定）或模型选择了错误的函数形式，这时残差会呈现出系统模式。
（3）蛛网现象：即解释变量是时间滞后变量，即具有时间滞后效应。
如农产品供给模型中价格对供给的影响存在蛛网现象（滞后效应）。
这种情况下的扰动项不是随机的。
（4）数据加工：在实证研究中，通常原数据是要经过加工的。
例如季度数据的时间序列回归中，数据通常是由月度数据按季相加再平均得到，而这种“平滑”过程的本身可能导致扰动项的系统模式，从而产生自相关。
3、自相关的后果：（1）虽然最小二乘估计仍然是线性和无偏的，但不是有效的，即最小二乘估计量(OLS)不是最优线性无偏估计量(BLUE)。
（2）OLS估计量的方差是有偏的，计算OLS估计量的方差或标准差的公式可能严重低估真实的方差或标准差，从而导致常用的t检验和F检验是不可靠的。
（3）通常计算的R2也是不可靠的。
4、自相关的诊断自相关的诊断存在异方差诊断中的类似问题，即ui是无法观察的，而且也不知道其产生机制：我们通过OLS估计，仅仅得到的是ei，通过对ei的讨论来“了解”自相关是否存在。
北大计量经济学讲义-第五讲
Intermediate Econometrics, Yan Shen
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Sampling Distributions as n increases
当n增加时样本的分布
n1 < n2 < n3
n3
例：n1:每次从班上抽取10人， 抽若干次后，平均身高的分布； n2:每次从班上抽取100人， 抽若干次后，平均身高的分布； n3:每次从班上抽取200人， 抽若干次后，平均身高的分布。
ˆ b 1
Intermediate Econometrics, Yan Shen 13
Proving Consistency
证明一致性
B e c a u se a s n , n 1 x i 1 x 1 u i 0 n
1
x i1 x1
2
d o e s n o t c o n v e rg e to z e ro ,
Intermediate Econometrics, Yan Shen
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Consistency
一致性
Under the Gauss-Markov assumptions OLS is BLUE, but in other cases it won’t always be possible to find unbiased estimators 在高斯－马尔可夫假定下OLS 是最优线性无偏估计量， 但在别的情形下不一定能找到无偏估计量。 In those cases, we may settle for estimators that are consistent, meaning as n ∞, the distribution of the estimator collapses to the true parameter value 在那些情形下，我们只要找到一致的估计量，即当n ∞ 时, 这些估计量的分布退化为参数的真值。
完整的计量经济学 计量经济学第五章 线性回归的PPT课件
X 若采用变量关系 E () ( 0 0 ) ( 1 1 )X 1 0 (2 2 )X 2 3 X 3
Y 0 1 X 1 2 X 2
Y Y
或
D 1i
0,当 i是男性时 1,当 i是女性时
38
对于截面数据计量分析的例子
对于截面数据计量分析中，观测对象特征差异导致的规律 性扰动，也可以利用虚拟变量加以处理。
如观测对象的性别是一个影响因素，解决的办法就是在模 型中引进虚拟变量，即
D1，D2，D3和D4，
这个虚拟变量就能解决由于观测对象的性别因素所导 致的误差项均值非0问题。
非线性变量关系的残差序列图
e
i
8
（三）问题的处理和非线性回归
1、模型修正和变换 恢复模型的合理非线性形式 然后再变换成线性模型
9
泰勒级数展开法
2、泰勒级数展开法 假设一个非线性的变量关系为：
Y f X 1 , ,X K ;1 P
在 处对 B 0b 1,0 ,b P 0 β1, ,P 作泰勒级数展开：
第五章 线性回归的定式偏差
1
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总体概述
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2
线性回归的定式偏差
本章讨论变量关系非线性、存在异常值、 规律性扰动和解释变量缺落等导致的线性 回归模型前两条假设不成立的定式偏差， 包括它们对线性回归分析的影响、判断和 处理的方法等。
1 0 2 0
1 1 X 2 1 X
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第五讲 自相关性
第5章 自相关性5.1 自相关性及其产生的原因5.1.1 什么是自相关性对于模型：t kt k t t t u x b x b x b b y +++++= 22110 (5.1.1)如果随机误差项的各期值之间存在着相关关系，即协方差0)())())(((),cov(≠=--=s t s s t t s t u u E u E u u E u E u u （s t ≠，k s t ,2,1,=）这时，称随机误差项之间存在自相关性或序列相关(Autocorrelation or serial correlation)。
随机误差项的自相关性可以有多种形式，其中最常见的类型是随机误差项之间存在一阶自相关性或一阶序列相关：0)(),cov(11≠=--t t t t u u E u u ，或者：)(1-=t t u f u 。
一阶自相关性可以表示为t t t v u u +⋅=-1ρ (5.1.2)其中ρ是t u 与1-t u 的一阶自相关系数，t v 是满足回归模型基本假定的随机误差项。
因为在大样本情况下，根据OLS 原理，ρ的OLS 估计式为：∑∑--=211ˆt t tuuu ρ（0)(=t u E ）而t u 和1-t u 之间的相关系数r 为：∑∑∑--=2121t tt t uu u u r ≈ρˆ211=∑∑--t t tuu u （在大样本情况下，∑∑-≈212t t u u ） 因此，可以认为ρ是t u 与1-t u 的一阶自相关系数。
1≤ρ，1=ρ表示完全正自相关，t t t v u u +=-1；10〈〈ρ表示正自相关；0=ρ表示不存在自相关，t t v u =；01〈〈-ρ表示负自相关；1-=ρ表示完全负自相关，t t t v u u +-=-1。
自相关性的一般形式可以表示成：),,,(21p t t t t u u u f u ---= ，或者：t p t p t t t v u u u u ++++=---ρρρ 2211 (5.1.3)称之为p 阶自回归形式，或模型存在p 阶自相关。
计量经济学重点笔记第五讲
第五讲 自相关高斯-马尔科夫假定五是：(,)0,i j Cov i j εε=≠如果该假定不成立，那么称模型的误差项是序列相关的。
由于序列相关主要针对于时间序列数据，因此我们把脚标i 改写为t ，把样本容量N 改写为T 。
笔记：1、如果基于横截面数据的回归模型其误差项是相关的，则称为空间自相关。
但是要记住，除非观察顺序具有某种逻辑或者经济上的意义，否则，在横截面数据回归中，观察顺序是可以随意的，因此，也许在某种观测顺序下误差项呈现出一种模式的自相关但在另一种观测顺序下又呈现出另外一种模式的自相关。
然而，当我们处理时间序列时，观测服从时间上的一种自然顺序。
2、在时间序列模型中，误差项经常被称之为冲击(Shock)。
对经济系统的冲击经常具有持续性，从而这为误差项序列相关提供了现实依据。
一、 自相关的后果与仅仅违背同方差假定一样，仅仅违背序列无关假定并不影响OLS 估计量所具有的线性、无偏性、一致性等性质。
在误差项序列相关的情况下，OLS 估计法并没有利用这个信息，故OLS 估计量不是最有效的。
我们下面来推导在误差项序列相关情况下OLS 估计量的方差表达。
假定真实模型是：t 01t t y x ββε=++则12ˆ12222()()()()(())()()[()]t t t t t t t t tx x Var x x x x Var x x Var x x x x βεδβεε-=+---==--∑∑∑∑∑∑ 在假定五：0,0t t jj εεδ+=≠下，有：122ˆ222()[()]tt t x x x x βεδδ-=-∑∑但如果假定五不成立，那么正确的方差表达式应该是：12ˆ1221122()2()()[()]t t t j T T tt t t j t j t x x x x x x x x βεεεδδδ+--+==-+--=-∑∑∑∑所以， OLS 法下通常的系数估计量方差的表示是错误的，一般来说它小于真实的方差。
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Suppose true value of z=0, a random variable x =z with probability (n-1)/n, and x=n with probability 1/n. 假设Z的真值为0，一个随机变量X以(n-1)/n的概率取值为Z，而以 1/n的概率取值为n。 E(x)=z* (n-1)/n+n* 1/n=1 X的期望为1 plim(x) is the value of x as n goes to infinity. Therefore plim(x)=z=0.
r ( | W | ) 0 如果对于任何 > 0 ，当 n 时P n
W n 便是 的一个一致估计量。
当 W n 具有一致性时，我们也称 为 W n 的概率极限，写 Intermediate Econometrics, l i m ( W ) . 作是 p n Yan Shen
l i m i to fW ,w r i t t e na sp l i m ( W . n n)
W h e nW sc o n s i s t e n t ,w ea l s os a yt h a ti st h ep r o b a b i l i t y ni
令 W n 是基于样本 y 的关于 的估计量。 1, y 2,..., y n
Unbiasedness of OLS estimators (MLR.1-4) 在MLR. 1-4下 OLS估计量具有无偏性 BLUE of OLS estimators (MLR.1-5) 在MLR.1-5下 OLS估计量是最优线性无偏估计量 MVUE of OLS estimators (MLR.1-6) 在MLR.1-6 下OLS估计量是最小方差无偏估计量 The distribution of t (F) statistic is t (F)distribution t(F)统计量的分布为t(F)分布。
Multiple Regression Analysis: OLS Asymptotics (1) 多元回归分析： OLS的渐近性（1）
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . + b kx k + u
Intermediate Econometrics, Yan Shen
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Chapter Outline 本章提纲
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Consistency v.s. unbiasedness
一致性与无偏性
Is it possible for an estimator to be biased in finite sample but consistent in large sample? 一个估计量是否有可能在有限样本中是有偏的但又具有一 致性？
These properties hold for any sample size n. 样本容量为任意n时，这些性质都成立。
Intermediate Econometrics, Yan Shen 4
Why consider consistency?
为什么考虑一致性
Since in many situations the error term is not normally distributed, it is important to know the asymptotic properties (large sample properties), i.e., the properties of OLS estimator and test statistics when the sample size grows without bound. 由于在很多情形下误差项可能呈现非正态分布，了解 OLS 估计量和检验统计量的渐近性，即当样本容量任意 大时的特性就是重要的问题。
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Lecture Outline 本课提纲
What do we mean by saying consistency 一致性的含义是什么 Consistency of OLS estimators OLS估计量的一致性 The Inconsistency of OLS when the zero conditional mean assumption fails 当零条件均值假设不成立时OLS没有一致性。 What do we mean by asymptotic normality and large sample inference 渐近正态性和大样本推断的含义是什么 The asymptotic normality of OLS OLS的渐近正态
Intermediate Econometrics, Yan Shen
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What is Consistency
什么是一致性
W sac o n s i s t e n te s t i m a t o ro f i ff o re v e r y> 0 , ni P r ( |W |) 0a sn . n L e tW ea ne s t i m a t o ro f b a s e do nas a m p l ey ,y ,..., y . nb 1 2 n
Consistency 一致性 Asymptotic Normality and Large Sample Inference 渐近正态和大样本推断 Asymptotic Efficiency of OLS OLS的渐近有效性
InterБайду номын сангаасediate Econometrics, Yan Shen
Intermediate Econometrics, Yan Shen 3
Why considering consistency?
为什么考虑一致性
We have discussed the following finite sample (small sample) properties of the OLS estimators and test statistics: 我们已经讨论了有限样本(小样本）中OLS估计量和检验统计 量具有的如下性质：