数学思想在等腰三角形中的运用-课件
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方法专题 数学思想在等腰三角形中的运用
方法一 分类思想 【例1】已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的 夹角为50°，求△ABC的三个内角度数．
例 1： ①当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，∵BD⊥ AC，∴∠ABD＋∠A＝90°，又∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90 °－50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－40°)＝70°，即 这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70°；
xy＝＝181，，且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系，故得 这个三角形的三边长为 10，10，7 或 8，8，11
方法二 方程思想 【例2】如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB ＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
例 2 设∠A＝x°，∵AD＝DE＝BE，∴∠DEA＝∠A＝x°，∠ EBD＝∠EDB＝12x°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝32x°，∵AB＝AC， BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝32x°，在△ABC 中，x＋32x＋32x ＝180，解得 x＝45，即∠A＝45°
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
变式练习 2 已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝12BC， 则△ABC 底角的度数多少度？
变式练习 2 如图 1，AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，
∠ADB＝90°，∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，即此时△ABC 底角的度数为 45°；如图 2，AC＝BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°，∴∠CAB＝∠B＝180°2－∠C ＝75°，此时△ABC 底角的度数为 75°；如图 3，AB＝BC，∵AD⊥ BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝12BC＝12AB，∴∠ABD＝30°，∵AB
变式练习4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的 周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
变式练习 4 在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝CD，设 AB＝x，
BC ＝ y. ① 当
AB
＋
AD
＝
15
，
DC
＋
BC
＝
12
，
则
x2＋x＝15， x2＋y＝12.
解Biblioteka Baidu
得
xy＝＝71；0，②当 AB＋AD＝12，BC＋CD＝15 时，有2x2x＋＋xy＝＝1152，，解得
A∠CC＝＝A∠BB，，
∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点 M，N 在
∠AMC＝∠ANB，
BC 边上运动时，M，N 运动的时间 y 秒时，△AMN 是等腰三角形，∴ CM＝y－12，NB＝36－2y，CM＝NB，∴y－12＝36－2y，解得 y＝16， 故假设成立．∴当点 M，N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的 等腰三角形 AMN，此时 M，N 运动的时间为 16 秒
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/12021/3/1Marc h 1, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
(3)当点 M，N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三 角形，由(1)知 12 秒时 M，N 两点重合，恰好在 C 处，如图 2，假设△ AMN 是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ ANB ，∵ AB ＝ BC ＝ AC ，∴ ∠C ＝ ∠ B， 在△ ACM 和 △ ABN 中，
②当△ABC 为钝角三角形时，如图所示，∵BD⊥AC，∠DBA＝50 °，∴∠BAC＝90°＋50°＝140°，
∴∠ABC＝∠C＝12(180°－140°)＝20°， 即这个三角形的三个内角分别为 140°，20°，20°， 综上所述，这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70° 或 140°，20°，20°
【方法总结】运用方程思想解决等腰三角形的问题时，等 腰三角形的性质与内外角之间的等量关系是列代数式的依 据，三角形的内角和等于180°是列方程常用的等量关系．
变式练习 5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA， 求∠A 的度数．
变式练习 5 设∠A＝x°，∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠A＝x °，∴∠BED＝2x°，∵BD＝ED，∴∠EBD＝∠BED＝2x°， ∴∠BDC＝3x°，∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝3x°，∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，在△ABC 中，x＋3x＋3x＝180， x＝1870，即∠A＝(1780)
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:27:25 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
【方法总结】分类讨论思想是对数学对象进行分类寻找解题 答案的一种思维方法，正确把握此思想必须遵循两条规则： (1)每一次分类要按照统一标准进行；(2)分类要做到不重不 漏．
变式练习1 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三 角形的三个角为多少度？
变式练习1 当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个 角应该为70°，55°，55°；当底角的外角是110°时，则这 个三角形的三个角应该为70°，70°，40°，这个三角形的 三个角应该为70°，55°，55°或70°，70°，40°
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
＝BC，∴∠BAC＝∠C，又∵∠ABD＝∠C＋∠BAC，∴∠C＝12∠ABD ＝15°，综上，△ABC 底角的度数为 45°或 75°或 15°
变式练习3 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数．
变式练习3 ①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所 在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B＝ (180°－∠A)÷2＝70°；②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平 分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°， ∴∠BAC＝140°，∴∠B＝∠C＝(180°－140°)÷2＝20°， 综上所述，∠B的度数为70°或20°
变式练习 6 (1)设点 M，N 运动 x 秒后，M，N 两点重合， 则 x×1＋12＝2x，解得 x＝12
(2)设点 M，N 运动 t 秒后，可得到等边三角形△AMN，如图 1，AM＝t ×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵△AMN 是等边三角形，∴t＝12－2t， 解得 t＝4，∴点 M，N 运动 4 秒后，可得到等边△AMN
变式练习6 如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有 两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已 知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达 B点时，M，N同时停止运动．
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN? (3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等 腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．
方法一 分类思想 【例1】已知等腰三角形ABC一腰上的高与另一腰的 夹角为50°，求△ABC的三个内角度数．
例 1： ①当△ABC 为锐角三角形时，如图所示，∵BD⊥ AC，∴∠ABD＋∠A＝90°，又∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90 °－50°＝40°，∴∠ABC＝∠C＝12(180°－40°)＝70°，即 这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70°；
xy＝＝181，，且这两种情况三角形的三边都符合三角形的三边关系，故得 这个三角形的三边长为 10，10，7 或 8，8，11
方法二 方程思想 【例2】如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且AB ＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数．
例 2 设∠A＝x°，∵AD＝DE＝BE，∴∠DEA＝∠A＝x°，∠ EBD＝∠EDB＝12x°，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝32x°，∵AB＝AC， BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝32x°，在△ABC 中，x＋32x＋32x ＝180，解得 x＝45，即∠A＝45°
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变式练习 2 已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝12BC， 则△ABC 底角的度数多少度？
变式练习 2 如图 1，AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC，
∠ADB＝90°，∵AD＝12BC，∴AD＝BD，∴∠B＝45°，即此时△ABC 底角的度数为 45°；如图 2，AC＝BC，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵AD＝12BC，∴AD＝12AC，∴∠C＝30°，∴∠CAB＝∠B＝180°2－∠C ＝75°，此时△ABC 底角的度数为 75°；如图 3，AB＝BC，∵AD⊥ BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝12BC＝12AB，∴∠ABD＝30°，∵AB
变式练习4 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的 周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．
变式练习 4 在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝CD，设 AB＝x，
BC ＝ y. ① 当
AB
＋
AD
＝
15
，
DC
＋
BC
＝
12
，
则
x2＋x＝15， x2＋y＝12.
解Biblioteka Baidu
得
xy＝＝71；0，②当 AB＋AD＝12，BC＋CD＝15 时，有2x2x＋＋xy＝＝1152，，解得
A∠CC＝＝A∠BB，，
∴△ACM≌△ABN，∴CM＝BN，设当点 M，N 在
∠AMC＝∠ANB，
BC 边上运动时，M，N 运动的时间 y 秒时，△AMN 是等腰三角形，∴ CM＝y－12，NB＝36－2y，CM＝NB，∴y－12＝36－2y，解得 y＝16， 故假设成立．∴当点 M，N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的 等腰三角形 AMN，此时 M，N 运动的时间为 16 秒
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/1
(3)当点 M，N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三 角形，由(1)知 12 秒时 M，N 两点重合，恰好在 C 处，如图 2，假设△ AMN 是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ ANB ，∵ AB ＝ BC ＝ AC ，∴ ∠C ＝ ∠ B， 在△ ACM 和 △ ABN 中，
②当△ABC 为钝角三角形时，如图所示，∵BD⊥AC，∠DBA＝50 °，∴∠BAC＝90°＋50°＝140°，
∴∠ABC＝∠C＝12(180°－140°)＝20°， 即这个三角形的三个内角分别为 140°，20°，20°， 综上所述，这个三角形的三个内角分别为 40°，70°，70° 或 140°，20°，20°
【方法总结】运用方程思想解决等腰三角形的问题时，等 腰三角形的性质与内外角之间的等量关系是列代数式的依 据，三角形的内角和等于180°是列方程常用的等量关系．
变式练习 5 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA， 求∠A 的度数．
变式练习 5 设∠A＝x°，∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠A＝x °，∴∠BED＝2x°，∵BD＝ED，∴∠EBD＝∠BED＝2x°， ∴∠BDC＝3x°，∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝3x°，∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x°，在△ABC 中，x＋3x＋3x＝180， x＝1870，即∠A＝(1780)
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:27:25 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
【方法总结】分类讨论思想是对数学对象进行分类寻找解题 答案的一种思维方法，正确把握此思想必须遵循两条规则： (1)每一次分类要按照统一标准进行；(2)分类要做到不重不 漏．
变式练习1 一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三 角形的三个角为多少度？
变式练习1 当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个 角应该为70°，55°，55°；当底角的外角是110°时，则这 个三角形的三个角应该为70°，70°，40°，这个三角形的 三个角应该为70°，55°，55°或70°，70°，40°
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/12021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月1日星期 一2021/3/12021/3/12021/3/1
＝BC，∴∠BAC＝∠C，又∵∠ABD＝∠C＋∠BAC，∴∠C＝12∠ABD ＝15°，综上，△ABC 底角的度数为 45°或 75°或 15°
变式练习3 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的度数．
变式练习3 ①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所 在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A＝40°，∴∠B＝ (180°－∠A)÷2＝70°；②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平 分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝40°， ∴∠BAC＝140°，∴∠B＝∠C＝(180°－140°)÷2＝20°， 综上所述，∠B的度数为70°或20°
变式练习 6 (1)设点 M，N 运动 x 秒后，M，N 两点重合， 则 x×1＋12＝2x，解得 x＝12
(2)设点 M，N 运动 t 秒后，可得到等边三角形△AMN，如图 1，AM＝t ×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t，∵△AMN 是等边三角形，∴t＝12－2t， 解得 t＝4，∴点 M，N 运动 4 秒后，可得到等边△AMN
变式练习6 如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有 两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已 知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达 B点时，M，N同时停止运动．
(1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN? (3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等 腰三角形AMN？如存在，请求出此时M，N运动的时间．