数学二2015年考研真题及答案解析

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2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C)；；，(2)函数在(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)(若(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【解析】在外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

点两侧恒正，对应的点不是拐，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是(5)设函数满足则与(A)(B)(C)(D)【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)是第一象限中由曲线与直线区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(7)设矩阵A=,b=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时类似的，若当时，，(8)设二次型在正交变换下的标准形为,,=在正交变换下的标准形为(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为(9)设则=,综上所述，本题正确答案是48。

2015年考研数学二真题及标准答案

2015年考研数学二真题一、选择题:（１~8小题,每小题4分，共3２分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C ）∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在（－∞,+∞)内(A)连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选Ｂ。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 （Ｂ)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0x α−1cos1x β=0， lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015考研数学二真题及答案

2015考研数学二真题及答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰. (2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cos x x x x f x x xαβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x xααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。

2015年考研数学二真题及答案

精心整理2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(C)【答案】D。

；；；，因此(D)是收敛的。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，所以是的可去间断点，选B。

设函数().(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时.当，，=因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数在二阶导函数则曲线(A) (B)(D)【解析】在内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，点两侧点不是拐点，虽然不存在，但点的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A)(B)(C)(D)【答案】D令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

是第一象限中由曲线与直线上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

D的极坐标表示为综上所述，本题正确答案是B。

A=,=。

若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若，则，排除(C)当时，，综上所述，本题正确答案是D。

【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。

(8)设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若Q=在正交变换下的标准形为(B)(C) (D)【答案】A都是A的特征向量，特征值依次为-因此在正交变换下的标准二次型为【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫1√x +∞2xx (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫x x x +∞2xx 【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x (x )=lim x →0(1+xxx xx)x 2x=xlim x →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义，且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在?α>1，此时x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0连续?α−β>1。

2015年考研数学真题及答案解析(数二)

1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )dr （D） ∫ dθ ∫
1
π 3 π 4
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1 1 1 1 (7)．设矩阵 A= 1 2 a ，b= d ,若集合 Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的 1 4 a 2 d2
（1）式对 x 求导得，解得
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
（6）选 B 由 y = x 得， θ = 由y=
π 4
3 x 得， θ =
2
π 3
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
由 2 xy = 1 得， 2r cos θ sin θ = 1, r =
D
（A）
∫ ∫
π 2 π 4
dθ ∫ sin12θ f (r cos θ , r sin θ )dr （B） ∫π2 dθ ∫
2 sin 2θ 4
1
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ 1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
（C）
π 3 π 4
dθ ∫
(0) =
∫
x2
0
xf (t ) dt , 若 ϕ (1) = 1 ， ϕ ' (1) = 5 ，则 f (1) =
（12）设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 0 的解，且在 x = 0 处 y ( x) 取值 3，则 y ( x) = （13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0，0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015年考研数学(二)真题及答案详解【完整清晰版】

2 0 0 且 P AP 0 1 0 . 0 0 1
T
1 0 0 由已知可得 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 T T T 故 Q AQ C ( P AP)C 0 1 0 0 0 1
为( )
2 2 2 (B) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (D) 2 y1 y2 y3
2 2 2 (A) 2 y1 y2 y3 2 2 2 (C) 2 y1 y2 y3
【答案】(A)
2 2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax yT ( PT AP) y 2 y1 . y2 y3
2 2
2 f 2u (1 v) f 2u 2 u uv u (1 v) , .故， f (u, v) u 1 v v (1 v) 2 1 v 1 v 1 v
因而
f u
u 1 v 1
0,
f v
得： 1 0 ，答f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线
y f ( x) 的拐点的个数为(
(A) 0 (B)
) (D)
1
(C)
2
3
【答案】(C) 【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个. (5) 设函数 f u, v 满足 f x y, x 2 y 2 ，则 u x 与
1 1 1 【解析】 ( A, b) 1 2 a 1 4 a 2
1 1 1 1 a 1 d 1 0 1 d2 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2) ， 1 d

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。

2015-数二真题、标准答案及解析

2015年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列反常积分收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰ （C ）21ln dx x x +∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰【详解】21p dx x +∞⎰当且仅当1p >时才收敛，所以（A）2+∞⎰是发散的；（B ）22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞⎰是发散的；（C ）221ln ln ln dx x x x+∞+∞==+∞⎰是发散的；事实上，对于（D ）22213()|x xx dx x e e e+∞−+∞−=−+=⎰，应该选（D ）． 2．函数21sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)−∞+∞内（）（A ）连续（B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点（D ）有无穷间断点【详解】220010sin limsin ()lim ,t x t x tx x tt t f x ee x x →⋅→⎛⎫=+==≠ ⎪⎝⎭函数在0x =处没有定义，而01lim ()lim xx x f x e →→==，所以应该选（B ）．3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（）（A ）1αβ−> （B ）01αβ<−≤ （C ）2αβ−> （D ）02αβ<−≤【详解】当0x >时，1111()cossin f x x x x xααβββαβ−−−'=+，当0x <时，0()f x '=， 10011000cos(),()lim lim cos x x x x f f x x xαβαβ++−−+→→''===要使函数在0x =处可导，必须满足101αα−>⇒>；当1α>时，1111000cos sin ,(),x xx f x x xx ααβββαβ−−−⎧+>⎪'=⎨⎪≤⎩显然要使()f x '在0x =处连续，必须满足1010ααβ−>⎧⎨−−>⎩，应该选（A ）4．设函数()f x 在(,)−∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)−∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（）（Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,− （Ｄ）102,−【详解】设x y uy v x+=⎧⎪⎨=⎪⎩，则当11,u v ==时，12x y ==．由多元复合函数的求导法则有111121221111122212||||||||u u v x y x y v u u v x y x y v fy fx u x v f fy u x v ================∂∂⎧−=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=−⎪∂∂⎩可解得1111102|,|.u u v v f f u v ====∂∂==−∂∂所以应该选（D ） 6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)D f x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）． 7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→−−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d −−=−−=同时成立，当然应该选（D ）．8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +−，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =−，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y −+ （B ）2221232y y y +−（C ）2221232y y y −− （D ） 2221232y y y ++【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，100001010TT Q P ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭211T T T Tf x Ax y PAPy y y ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪−⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101TT Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d y dx == ．【详解】221331,dx dy t dt t dt ==++，2231()dydy dt t dxdx dt ==+ 22222261212111()()d y t t t t dx t +⋅==++，21248|.t d y dx ==10．函数22()xf x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．【详解】222()()(ln )x k x k =，所以由莱布尼兹公式可知221220222222222()()()(())()()(ln )()(ln )(ln )nn k k x n k x n x n x n n n k f x C x x n x C −−−===++⨯∑ 所以2012()()()(ln ).n n fn n −=−11．设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．【详解】22()()()x x x xf t dt x f t dt ϕ==⎰⎰，22202()()()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰所以1101121512()(),()()()()f t dt f t dt f f ϕϕ'==+=⇒=⎰⎰．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+−=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．【详解】20y y y '''+−=的通解为212xx y C eC e −=+，由条件0x =处()y x 取极值3可知1221212312220,,()x x C C C C y x e e C C −+=⎧⇒===+⎨−+=⎩ 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．【详解】当00,x y ==时，，0z =设231(,,)x y zF x y z e xyz ++=+−，则23232323,,,x y z x y z x y z x y z F e yz F e xz F e xy ++++++=+=+=+在点000(,,)处，1233,y x z z F F z z x F y F ∂∂=−=−=−=−∂∂，所以001233(,)|dz dx dy =−− 14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,−，2B A A E =−+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．【详解】矩阵B 的三个特征值分别为371,,，所以21.B = 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+−+++−+=++−+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪−+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =−=−=−16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值．【详解】平面区域D 绕坐标轴旋转一周形成的旋转体的体积分别为：22222104sin V A xdx A πππ==⎰；22022sin V xA xdx A πππ==⎰；由于12V V =，所以8.A π=17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),xxy f x y y e ''=+01(,)(),xx f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．【详解】由于21(,)(),xxy f x y y e ''=+所以211(,)()()xx f x y y e C x '=++由于01(,)(),xx f x x e '=+则111()()()x x xe C x x e C x xe +=+⇒=所以21(,)()xxx f x y y e xe '=++2211(,)()()()x x f x y y e x e C y =++−+由条件202(,)f y y y =+，可得20()C y = 从而可得211(,)()()xxf x y y e x e =++− 下面求函数的极值：解方程组210210(,)()(,)()x x xx y f x y y e xe f x y y e ⎧'=++=⎪⎨'=+=⎪⎩得函数的驻点01(,)−．2112(,)()(),(,)x x x xx yy f x y y e x e f x y e ''''=+++=，21(,)()x xyf x y y e ''=+ 在01(,)−处，01100120010(,),(,),(,)xxyy xy A f C f B f ''''''=−=>=−=>=−=，由于200,AC B A −>>，所以(,)f x y 在01(,)−处取得极小值011(,).f −=− 18．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y −⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥【详解】由对称性可知0dxdy Dxy =⎰⎰，22()dxdy dxdy dxdy dxdy DDDDx x y x xy x −=−=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112220114022244002202221124225522545)()(sin cos )(sin )sin x dx x dy x x dxxx dx t tdt tdt udu ππππ===−=−=−=−=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰19．（本题满分10分）已知21()x f x =+⎰⎰，求()f x 的零点个数．【详解】显然函数的定义域为(,)x ∈−∞+∞．110()f −∞=+>⎰⎰当0x >时，令2t u =，则21112x xudu ==⎰⎰⎰21121()(x x xf x t =+=−⎰⎰⎰1210()(f t +∞+∞=−>⎰函数()f x的导数：21()(f x x '=− 令0()f x '=，得函数唯一驻点12x =．当12x <时，0()f x '<，函数是单调减少的；当12x >时，0()f x '>，函数是单调增加的；所以函数()f x 在12x =取到最小值，且12112102(f t ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭⎰所以函数存在两个零点，分别位于1122(,),,⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭． 20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？【详解】设物体在t 时刻时的温度为()y t ，则由题意可知20()(())y t y t λ'=−，满足0120()y =，3030()y =解方程得通解为20()ty t Ce λ=+．由初始条件0120()y =确定100C =，由3030()y =确定1030ln λ=−．也就是物体在t 时刻时的温度为103020100ln ()t y t e−=+．令21()y t =解得60t =，也就是若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却30分钟． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线与x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<【详解】曲线在点(,())b f b 的切线方程为()()()y f b f b x b '−=−令0y =得切线与坐标轴的交点为0(),()f b b f b ⎛⎫−⎪'⎝⎭，也就是0()()f b x b f b =−'．由于00(),(),f a f x '=>所以00()()(),()f b f b f a f b '>>>，可得0.x b < 下面只需要证明()()f b b a f b −>'，等价于0()()()bf b f b af b ''−−>．令()()()()g x xf x f x af x ''=−−，则()g x 在[,)a +∞上可导，且0()g a =，0()()(),(,)g x x a f x x a '''=−>∈+∞，所以()g x 在[,)a +∞上单调增加，所以0()()g b g a >=也就是0()()()bf b f b af b ''−−>，()()f b b a f b −>'．所以0.a x b << 22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E −−−=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．【详解】（１）先计算Ａ的行列式：23100111110101a a aA a aa a a−=−=−=，由于30,A =所以0A =，可得0a =，010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭（２）由条件22X XA AX AXA E −−−=，可知2()()E A X E A E −−=所以1212121()()(()())()X E A E A E A E A E A A −−−−=−−=−−=−−由于010101010A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，2101000101A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，2011111112E A A −⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭，112121011312111111112211()()()X E A E A E A A −−−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−=−−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a −⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪−⎝⎭相似于矩阵12000031B b −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP −为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩．（2）由212050150031()()E B λλλλλλ−−=−=−−=−−，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ=== 解方程组0()E A x −=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x −=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123231 101 011,, Pξξξ−−⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，则1100010005.P AP−⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭令()。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。

综上所述，本题正确答案是B 。

2015年考研数学二真题答案完整版

2015年考研数学二真题答案（完整版）（1）选D （A ）2212dx x x+∞+∞==+∞⎰，发散（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散（D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛（2）选B当0x ≠时，22sin sin00sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t xx t t x t t t t t f x e x x→→+=+= （3）选A100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x xααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ-> （4）选C由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 （5）选D法一：,yu x y v x=+=所以,11u uvx y v v ==++ 所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2）（1）式对y 求导得，12f fy u x v∂∂+=-∂∂（3）由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v fu ==∂=∂，1112u v f v ==∂=-∂ （6）选B 由y x =得，4πθ=由3y x =得，3πθ=由21xy =得，212cos sin 1,sin 2r r θθθ==由41xy =得，214cos sin 1,2sin 2r r θθθ==所以1sin 23142sin 2(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）解析：[]()()()()2211111111,120111140012121212A b ad a d a d a a d d Ax b a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦=↔↔====有无穷多解R(A)=R(A,b)<3或且或，故选（D ）（8）()()12322211231321222123,,,,22,1,,,,121,12-+A P e e e x Py y y y P AP Q e e e Q AQ x Qy y y y --==⎡⎤⎢⎥+-==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=设二次型对应的矩阵为二次型在正交变换下的标准型为则若则故在正交变换下的标准型为：，故选（A ）。

2015年考研数学二真题及解析

2015年考研数学二真题及解析2015年的考研数学二试卷是考生们备考的重点之一，本文将为大家提供2015年考研数学二真题及解析，帮助大家更好地理解和掌握考试内容，并提高备考效果。

一、选择题部分1. 已知函数f(x)在区间[-π, π]上连续，若f(-π/4)=-1，f(π/4)=3，且f(x+π)=f(x)，则函数f(x)在区间[0, π]上的最小值是（）。

A. -1B. 0C. 1D. 2解析：首先我们可以根据已知条件得出f(x)是一个关于x的周期函数，它的周期是2π。

那么在[0, π]区间上，我们可以通过作图的方法来求出f(x)的最小值。

根据已知条件，我们可以得出f(0)=1，f(π/4)=3，f(π/2)=1，f(π)=3。

由于f(x)是一个关于x的周期函数，所以在[0, π]之外的区间上的函数值与区间内的值是相等的。

综上所述，函数f(x)在区间[0, π]上的最小值是1。

因此，答案选C. 1。

2. 在某乘积国家，每一笔买卖交易的总金额都必须是并且只能是一种货币的整数倍。

如果一种货币的币值是整数，并且该国所有货币的币值的乘积是2000，则可以推断出该国最多有（）种不同的货币。

A. 3B. 4C. 5D. 6解析：根据题目条件，我们可以得到该国货币的币值只可能是20、20、20和50。

因此，该国最多有4种不同的货币。

因此，答案选B. 4。

二、计算题部分1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+1，求a1+a2+...+a2015的值。

解析：首先我们可以列出前几项数列：a1=2，a2=5，a3=11，a4=23，a5=47......可以观察到数列{an}的通项公式为an=3 · 2^(n-1) - 1。

所以，a1+a2+...+a2015 = (3 · 2^0 - 1) + (3 · 2^1 - 1) + ... + (3 · 2^2014 - 1)= 3(2^0 + 2^1 + ... + 2^2014) - 2015= 3(2^2015 - 1) - 2015。

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x2
2．函数
f
(
x)

lim
t0
1

sin t x
t
在 (, ) 内（
）
（A）连续（B）有可去间断点（C）有跳跃间断点（D）有无穷间断点
【详解】
x2
f
(x)

lim
t0

1

sin x
t

t
lim sin t x2
e t0 x t
ex, x 0
5．设函数
f
(u, v) 满足
f

x

y,
y x

x2

y2
，则
f u
|u1 ,
v 1
f v
|u1 依次为（
v 1
）
（Ａ） 1 , 0 （Ｂ） 0, 1 （Ｃ） 1 , 0 （Ｄ） 0, 1
2
2
2
2
【详解】设

x y x

函数在 x 0 处没有定义，而 lim f ( x) lim e x 1 ，所以应该选（B）．
x0
x0
3．设函数
f
(x)

x
cos
1 x
,
x

0 ,(

0,

0) ，若
f
( x) 在
x

0 处连续，则（
）
0, x 0
（A） 1 （B） 0 1 （C） 2 （D） 0 2
当
1 时，
f ( x)
x 1 cos
1 x
x 1 sin
1 x
,x
0

0,
x0
显然要使
f
(
x)
在
x

0
处连续，必须满足

1 0 1

0
，应该选（A）
4．设函数 f ( x) 在 (, ) 上连续，其二阶导数 f ( x) 的图形
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
1
B ( A, b) 1 2 a
d

0
1
a 1
d

1

0
1
a 1
d 1

1 4 a2 d 2 0 3 a2 1 d 2 1 0 0 (a 1)(a 2) (d 1)(d 2)
D

1

1
（Ａ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr （Ｂ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
4
2sin 2
4
2sin 2

1

1
（Ｃ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr （Ｄ）
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )dr
4
2sin 2
4
2sin 2
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
2xy 1 2r 2 sin cos 1 r 2 1 r 1
sin 2
sin 2
4xy 1 4r 2 sin cos 1 r 2 1 r 1
【详解】当 x 0 时，
f
(
x)

1
x
cos
1 x

x 1
sin
1 x
，当 x 0 时，
f ( x) 0 ，
f(0)
0,
f(0)
lim
x0
x
cos x
1 x

lim
x0
x 1
cos
1 x
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要使函数在 x 0 处可导，必须满足 1 0 1 ；
7．设矩阵 A 1 2
a

,
b

d

，若集合

1, 2，则线性方程组
Ax

b
有无穷多解的充
1 4 a2 d 2
分必要条件是
（A） a , d
（B） a , d
（C） a , d
（D） a , d
2015年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．下列反常积分收敛的是（）
1
（A）
dx
2x
ln x
1
x
（B） 2
dx （C）
dx
x
2 x ln x
（D） 2
e x dx
【详解】
2
1 xp
dx
当且仅当
p

1 时才收敛，所以（A）
y
|
x
y1
2
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可解得
f u
|u1
v 1
0,
f v
|u1
v 1

1 2
.
所以应该选（D）
6．设D是第一象限中由曲线 2xy 1, 4xy 1与直线 y x, y 3x 所围成的平面区域，函数
f ( x, y) 在D上连续，则 f ( x, y)dxdy （）
如右图所示，则曲线 y f ( x) 在 (, ) 的拐点个数为
（A）0 （B）1 （C）2
（D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点 x 0 ．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）
2
1 dx 是发散的； x
（B）
2
ln x x
dx

1 2
(ln
x)2
|2

是发散的；

（C）
1
dx ln ln x 是发散的；
2 x ln x
2
事实上，对于（D）
2
x ex
dx

( x
1)e x
|2

3e 2
，应该选（D）．
2sin 2
2sin 2
也就是D：
4

1

3

r

2sin
1 sin

1
所以
f ( x, y)dxdy
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr ，所以应该选（B）．
D
4
2sin 2
1 1 1 1
y v

u ，则当 u
1, v
1时，
x

y

1 2
．
由多元复合函数的求导法则有

f u
|u1
v 1

f u
|u1
v 1

y x2
1 x
|x y1 x y 1 2
|uv1
2