第二章能带理论
能带理论
能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
能带理论-2
三、一维电子：空格子模型
∞, x ≤ 0, x ≥ L V(x) = 0, 0 < x < L 本征波矢：l l 2π
一维无限 深势阱
布里渊区：
l k = b= = 2π N N a L
π π k ∈ − , , a a 2π π π 2π − , , , , a a a a
H(r + Rn )ψ (r + Rn ) = Eψ (r + Rn ) V(r ) =V(r + Rn ) H(r ) = H(r + Rn )
H(r )ψ (r + Rn ) = Eψ (r + Rn )
ψ (r + Rn ) = λR ψ (r )
n
一、Bloch 定理（证明）
由归一性： λRn =1
根据Bloch波：
e
ik ⋅Rn
=1
k ⋅ Gn = k ⋅ (N1α1 + N2α2 + N3α3) = h2π
二、K的值及物理意义
可以取：
l为整数
根据周期性，可以把 li 限制在第一布里渊区：
Ni Ni Ni − , − +1, ⋯, 2 2 2
K态在第一BLZ 均匀分布，总数为N, 密度为：
一、Bloch 定理（2）
单电子在等效周期势中运动时，波函数形式为：
ψ (r + Rn ) = e
ik ⋅Rn
ψ (r )
即：平移晶格矢量 Rn 时，波函数只增加一 个相因子
e
ik ⋅Rn
在一维情况下被称为Floquet定理， 因为Floquet首先证明了一维情况。
一、Bloch 定理（证明）
材料物理性能课件第二章能带理论
3
光电子器件性能分析
能带理论用于分析光电子器件的性能，如LED、 激光器等，有助于优化其性能参数。
在能源科学中的应用
新能源材料设计
能带理论在新能源材料的设计中 发挥了重要作用，如太阳能电池
、燃料电池等。
能源转化与存储
03
电子填充
根据泡利不相容原理，每个能带只能填充有限个电子， 而电子填充的方式决定了材料的物理和化学性质。
能带理论的重要性
01
02
03
预测材料性质
通过能带理论，可以预测 材料的电子结构和性质， 如导电性、光学性质等。
指导材料设计
能带理论为材料设计提供 了理论基础，帮助科学家 了解材料性能的来源和变 化规律。
揭示新现象
能带理论的发展和应用， 不断揭示出新的物理现象 和材料特性，推动了科学 技术的发展。
能带理论的发展历程
初创期
能带理论起源于20世纪初的金属电子 论，初步建立了固体电子结构的理论 基础。
发展期
成熟期
现代计算技术和计算机模拟的进步， 使得能带理论在材料科学、物理学等 领域得到广泛应用，成为研究材料性 能的重要工具。
半导体能带结构
03
半导体的导电性
电子导电
在半导体中，部分电子可 以获得足够的能量越过禁 带，形成自由电子，在电 场作用下参与导电。
空穴导电
当价电子被激发到导带时 ，会在价带中留下空穴， 空穴也可以参与导电。
离子导电
在某些半导体中，离子的 迁移也是导电的主要方式 。
半导体的光电效应
光电导效应
当光照射在半导体表面时，光子能量 大于禁带宽度的部分光子可以激发电 子从价带跃迁到导带，产生自由电子 和空穴，从而改变半导体的导电性。
第二章 能带理论
第二章 能带理论 *能带：在完整的晶体中运动的的电子，其能谱值是一些密集的能级组成的带，这种带称能带。
能带与能带之间被能量禁区分开。
其中，0K 时完全空着的最低能带称导带，完全被电子占满的最高能带称价带，二者间的能量禁区称禁带。
*能带理论：又称固体能带理论。
是关于晶体中电子运动状态的一种量子力学理论。
其预言晶体中电子能量总会落在某些限定范围或“能带”中。
晶体的电学、光学和磁学等性质都与电子的运动有关，在研究这些问题时，都要用到能带理论。
能带理论成功地解释了金属、半导体和绝缘体之间的差别，解释了霍耳效应现象。
半导体物理学就是建立在能带理论基础之上的。
随着实验技术的发展，人们通过回旋共振、电光、磁光、光谱等手段已成功地测定了许多晶体的电子能带结构。
特别是近年来由于计算机技术的广泛应用，在理论上已可以对电子的能带结构进行更为精确的计算。
尽管如此，由于能带理论毕竟是经过许多简化后的近似理论，所以其只适于有序晶体，并且即使对于有序晶体，当其结构较为复杂时，能带理论处理起来往往也显得有些困难。
§2-1 晶体的薛定谔方程及其近似解一．薛定谔方程。
晶体由大量原子周期性排列构成，原子由原子核和核外电子组成。
由于内层电子不参与晶体的物理过程，因此可认为晶体是由原子最外层电子和失去电子的离子组成的。
若用i r r r r ,,,321表示电子的位矢、用 j R R R R ,,,321表示失去电子的离子的位矢，则晶体定态薛定谔方程为：ψψE H =（2-1）式中ψ为波函数，E 为能量本征值，H是哈密顿算符，且：V u u u T T H eZ Z e Z e+++++= （2-2） 式中 )2(22i ii i e m T T ∇-==∑∑为全部电子的动能算符，m 为电子质量，2222222ii i iz y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇为第i 个电子的拉普拉斯算符。
)2(22ααααα∇-==∑∑M T T Z为全部离子的动能算符，αM 为离子质量，2α∇为第α个离子的拉普拉斯算符。
材料物理：第二章 材料的导电性
3、热性能 4、耐腐蚀和耐气候性能 5、阻燃性能
6）晶粒度
晶粒尺寸减小到一定程度后， 能级发生改变。导电性能下 降。而升温可以激发电子的 跃迁，反而增加了导电性能。
材料的导电性
目录
1、材料的能带结构 2、金属中的电阻 3、影响导电性的因素
1、材料的能带结构
能带理论可以看成 是多原子分子轨道 理论的极限情况， 由分子轨道的基本 原理可以推知，随 着参与组合的原子 轨道数目的增多， 能级间隔减小， 能 级过渡到能带。
对轨道数量进行统计，得到轨道密度图（态密度图）
反常金属元素
电阻率随压力升高到一定值后下降，即电阻率有极大值， 如碱金属、碱土金属、稀土金属和第Ⅴ族的半金属等。
与压力作用下的相变有关
2）受力情况
应力敏感材料的应用
2）受力情况
斜拉桥上的斜拉绳应变测试
3）冷加工
冷加工使金属的电阻率增大。这是由于冷塑性变形使晶体 点阵畸变和晶体缺陷增加，特别是空位浓度的增加，造成点 阵电场的不均匀而加剧对电磁波散射的结果。此外，冷塑性 变形使原子间距有所改变，也会对电阻率产生一定影响。
硅
铝 用能带结构来理解材料的塑性变形能力
材料的所有性能（力学、电学、光学…） 都取决于原子和电子的空间排布：
•如果外界条件打破了原子排列的平衡状态，就会有位错， 晶界，裂纹
•如果外界条件打破了电子排列的平衡状态，就会导电、 发光、化学键断裂等现象。
……
要除开核物理性能，因为核物理性能，和 中子、质子的排列相关
1、材料的能带结构
对轨道数量进行统计，得到轨道密度图（态密度图）
1、材料的能带结构
－3π/a －2π/a －π/a
0 π/a
2π/a 3π/a
第二章--能带理论(1)
第二章能带理论(1)能带理论是固体物理学中描述电子在晶体中运动规律的重要理论，它为我们理解固体材料中的电子行为提供了坚实的基础。
在晶体中，电子的运动受到原子核和周围电子的相互作用，这种相互作用导致了电子能级的分裂，形成了能带结构。
能带理论的应用非常广泛，它不仅可以帮助我们理解固体材料的导电性，还可以用于解释固体材料的光学、热学、磁学等性质。
例如，通过能带理论，我们可以解释为什么半导体材料在光照下会产生电流，以及为什么不同颜色的光会对半导体的导电性产生影响。
能带理论为我们提供了一种研究固体材料性质的有力工具，它不仅有助于我们深入理解固体材料的微观结构，还可以指导我们设计和制备新型材料。
随着科技的不断发展，能带理论的应用将越来越广泛，为我们揭示更多固体材料的奥秘。
能带理论不仅仅局限于电子的能级分裂和能带的形成，它还深入探讨了电子在晶体中的运动状态和相互作用。
在能带理论中，电子被视为量子力学中的粒子，其运动受到量子力学规律的约束。
电子在晶体中的运动状态可以用波函数来描述，而波函数的平方则代表了电子在空间中的概率分布。
能带理论还可以用来解释固体材料的光学性质。
当光照射到固体材料上时，电子会吸收光子能量，从而跃迁到导带。
这种跃迁会导致光的吸收，因此固体材料会呈现出不同的颜色。
通过能带理论，我们可以解释为什么不同颜色的光会对半导体的导电性产生影响。
例如，红色光的光子能量较低，无法使半导体中的电子跃迁到导带，因此半导体在红色光照射下导电性较差；而蓝色光的光子能量较高，可以使半导体中的电子跃迁到导带，因此半导体在蓝色光照射下导电性较好。
能带理论的应用不仅限于解释固体材料的性质，还可以用于设计和制备新型材料。
例如，通过调控能带结构，我们可以设计和制备具有特定性质的材料，如高效的光电器件、高速的电子器件等。
能带理论还可以用于解释和研究材料的缺陷、杂质等对材料性质的影响。
能带理论是固体物理学中一个非常重要的理论，它为我们理解固体材料的性质提供了有力的工具。
第二章能带理论
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
经典自由电子理论
正离子所形成的电场是均匀的；自由电子运动的规律遵循经典力学气体分子的运动 定律；自由电子与正离子之间的相互作用仅仅是类似于机械碰撞。
该理论认为，在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动的几率相同， 故不产生电流。当施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是便沿外电场方向发 生定向迁移，从而形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子发生碰 撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm
能带理论及其应用ppt课件
分布向电场反方向移动。因为有
dk
e
dt
•
（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于
v(k )
是
k
的周
期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空
间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。
• （b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷 的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。 此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不
(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考 虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡
位置的小振动问题。
(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格 具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处
理——即能带理论，研究固体中的电子状态。
单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其
•
出,
l1,
k
l2,l3 为整数），
相邻取值相差很小。
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12
•
2． 能带： 对于同一个n的
En(k)
由不同的
k
组成许多靠得很
近的能级组，称为能带。
• 3． 能带结构 对于不同的n，En(k) 形成单电子能谱。En(k) 的总体 称为晶体的能带结构。
1．
所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应 一个能带）。 • 对值一，个靠能得带很中近的为准En(k连)是续）k 相的邻准能连带续E函n(k)数和（分立 En1(k) 之间可以相接，重叠或分开。
23
紧束缚近似的晶格势场
A
rRm
注：
V(rR m)
r
Rm
Rm 处格点对A处
电子的作用；
a
V
能带理论基础2
所以， uk(r) 是一个周期函数。 同时也说明：
ik r (r ) k (r ) Ce u k (r )
是一个满足布洛赫定理要求 的波函数。它是由原子波函 数的线性组合来表示的。所 以又称为原子轨道线性组合 近似。是紧束缚近似的出发 点。 (r ) Cli (r Rl ) （2）
注意：该图不能用 来讨论近邻原子波 函数之间的相互重 叠的情况
12
能带宽度随原子间距离变化示意图
由于能带的宽度取决于γ。 而 γ 的大小取决于近邻原子波函 数之间的相互重叠的程度。所以， 当原子间的距离逐渐增大时，γ 的值会逐渐减小，能带的宽度也 随之变窄，最终会收缩为孤立原 子的能级。反之亦然。
Rm
r Rm
r
Eis —— 原子 s 态的能量本征值（ s 能级的能量值）。 二、原子轨道线性组合近似 (LCAO) ：
（1）原子轨道线性组合近似 (LCAO) ： 晶体中的单电子 ：它被认为是属于 N 个处在不同格点上的 原子，其零级波函数可以用这些原子波函数的线性组合来表示。
R2 ai R4 aj R6 ak
所以有：
Rn Nearest
e
i k Rn '
e
ik x a
e
ik x a
e
ik y a
e
ik y a
e
ik z a
e
ik z a
对简单立方可得： 讨论：
2(cosk x a cos k y a cos k z a)
2 2 [ Va (r Rm )] k (r ) [V (r ) Va (r Rm )] k (r ) E k (r ) 2m 2 2 [ Va (r Rm )] k (r ) V (r Rm ) k (r ) E k (r ) 2m 2 2 Ha Va (r Rm ) 定义： 2m
研究生课件-能带理论
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
6
2N(2l+1)
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。 2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
计算表明： U0b 的数值越大所得到的能带越窄。 由于原子的内层电子受到原子核的束缚较大， 与外层电子相比，它们的势垒强度较大。
所以，内层电子的能带较窄。 外层电子的能带较宽。
26
从 E ~ k 曲线还可以
E
看出： k 值越大，
相应的能带越宽。
E7
k n 2 n 2
Na L (n 0,1,2,)
maU 2
0b
sin
a
a
cos
(
a)
cos(ka)
(4)
式中
2mE
而 k 2 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
21
maU 2
0b
s
in
a
由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
13
证明如下:
由周期性边界条件 k ( x) k ( x Na)
(3)
按照布洛赫定理：
左边为 右边为
k ( x) ei k xuk ( x)
k
(
x
Na )
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。
第二章能带理论
周期性势场的特点： 1)能带理论的出发点是固体中的电子不在束缚于个别的原子,
而是在整个固体内运动,称为共有化电子。
2)在讨论共有化电子的运动状态时,假定原子实处在平衡位置, 而把原子实偏离平衡位置的影响看成微 扰 perturbation
3．能量的二级微扰：
E (2 )(k)
H k k''2 nE (0 )(k) E (0 )(k)'
'
2 m V n2
n 2 k2 2k2 π na2
微扰后经二级校正的电子总能量为:
E (k)
2k2
'
2m V n2
2m n
2k2
2k 2πna2
(3)
第二章能带理论
计入微扰后电子的波函数：
kx
k'
H' kk'
固体材料电子的能量结构与状态，给出了金属、半导体、 绝缘体的导电基础。
第二章能带理论
2．1 固体电子模型（能带理论）
band theory of solid 材料中原子、分子、离子的不同排列方式：
——材料的内部出现不同形式的势场 ——使不同材料中电子表现出不同的运动状态。 能带理论: 关于材料中电子运动规律的一种量子力 学理论。能带理论是在量子力学研究金属导电理 论的基础上发展起来的，它的成功之处在于定性 地阐明了晶体中的电子运动的规律。
晶体中的电子就在一个具有周期性的等效势场中运动
波动方程
2
2
2m
V(r)
E
(2 1)
势的周期性
V rV rR n R n 任 意 晶 格 矢 量
能带理论
§ 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。
5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度 d e dt=-k E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。
第二章能带理论 ppt课件
ppt课件
14
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
第二章 半导体能带理论
ppt课件
1
● 回顾
能源光催化
环境光催化
将低密度的太阳能转化为 高密度的化学能（氢能）
H2O
- 导带
H2, O2
价带 +
CO2, CH4
Fundamental Research
光催化合成
ppt课件
通过光催化反应分解各种 污染物和杀灭细菌与病毒
Organics
（甲醛、苯、PCB、二恶英、 染料、农药…）
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
—— 说明了导体、非导体的区别
—— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
11
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
说明了导体、半导体及绝缘体的区别
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展
随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计
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阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
能带理论
能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出.能带和能带隙具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
第2章 能级、能带
量子阱结构
Double Heterostructure DH Refractive index Separate Confinement Heterosturcture SCH
π nx
L是半导体晶体的线度，L3=V， 是半导体晶体的线度， =V， 为晶体体积。 为晶体体积。由kx，ky，kz为坐标 系所描写的k空间中， 系所描写的k空间中，每一组整数 （nx、ny、nz）就对应着一个波 空间中， 矢k。在k空间中，状态是均匀分 布的，每个k状态所占据k 布的，每个k状态所占据k空间的 体积为π /V。由于每个k 体积为π3/L3=π3/V。由于每个k 状态可以占据两个电子（ 状态可以占据两个电子（自旋相 ），因而在 空间中， 因而在k 反），因而在k空间中，电子的允 许状态密度是2V/π 许状态密度是2V/π3。
n0 =
4π ( 2mn kT )
*
3/ 2
h3
− ( Ec − EF ) ∞ 1/ 2 exp ∫0 η exp ( −η ) dη kT
• 因而：
− ( Ec − EF ) exp kT − ( Ec − EF ) = N c exp kT 2π mn kT n0 = 2 2 h
量子阱激光器的优点
发射波长向短波方向可选择范围更宽； 发射波长向短波方向可选择范围更宽； 高的温度稳定性； 高的温度稳定性； 光谱变窄； 光谱变窄； 输出光具有偏振特性； 输出光具有偏振特性； 以较小的电流获得更大的输出。 以较小的电流获得更大的输出。
应变量子阱激光器
利用量子阱层和垒层晶格常数的差异 在量子阱内部引入应变：
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1905年10月23日 - 1983年9月10日 瑞士物理学家。与爱德华·珀塞尔（Edward Mills Purcell, 1912-1997）合作，因为发展核磁精密测量的新方法及 其有关的发现，共同分享了1952年的诺贝尔物理学奖。
1946年美国科学家费利克斯·布洛赫和爱德华·珀塞尔首先发现了核磁共振现 象，他们因此获得了1952年的诺贝尔物理学奖。
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
空带
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
导体 导带
Eg 价带（不满）
导体 导带 价带（满）
导体 导带 价带（满）
导带 绝缘体 Eg 价带（满）
半导体
导带 Eg
价带（满）
三、导体，绝缘体和半导体
能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展 随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计 算
能带论的基本出发点:
固体中的电子可以在整个固体中运动
电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求 出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由 能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带 论。
能带论是用量子力学研究固体中电子的运动 规律。
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
他也是一位杰出的老师，教导和培养了很多优秀的理论物理学家。索末菲是 目前为止教导过最多诺贝尔物理学奖得主的人。
但是：索末菲量子的自由电子气理论仍有对不少物理性质无法解释。 如：有些金属霍尔系数为正；
固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。
回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不相符合的试验现象， 自由电子模型的主要问题出在对于固定离子与电子的相互作用的处理上。特鲁德的 模型假设电子除碰撞瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而 在其中运动的电子不受束缚而是自由的(自由电子假设)；碰撞后的状态与碰撞前无 关(碰撞自由时间假设)。这是一个大的简化，进一步固体理论的发展就从这里入手。
量子自由电子理论
金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所束缚，可以在整个金属中 自由地运动。自由电子的能量必须符合量子化的不连续性。
能带理论
能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的 晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
空带 价带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，由于各原子间的相互作用，对 于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能
级，称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
3p
3s
每个能带最多容
纳 6Ｎ个电子
2p
每个能带最多容
2s
纳 2Ｎ个电子
1s
Mg原子
晶体Mg（N个原子）
电子排布时， 应从最低的能 级排起。
能带被占据情况的几个概念：
E
满带：填满电子的能带 电子占据了一个能带中所有的状态 不满带：未填满电子的能带 空带：没有电子占据（填充）的能带
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
在完整晶体中,电子运动可以不被格点散射地传播 （所以该模型又称为近自由电子近似）,金属晶体就 是这样的晶体.所以电子在金属晶体内可不被散射的 传播,也就是可以自由移动.所以自由程远大于金属原 子间距.
而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm
—— 导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？ —— 电子的能带理论解释了导体与绝缘体
采用能带理论可以解释固体的导电本质
基本观点：满带中的电子不导电； 不满带中的电子才参与导电
导体的能带Biblioteka 构E空带空带
价
导带
带
满带
某些一价 金属， 如:Li …
空带
禁带 不满带
导带 价带
禁带：不能填充电子的能区 两个能带之间，不允许存在的能级宽度， 也称为带隙
满带
价带：在0k时能被电子占满的最高能带，对半导体价带通常 是满带
导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
导带：半导体最外面（能量最高）的一个能带。 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满即不满带，或说最 下面的一个空带
CO2， H2O
有用化学品
Practical Applications
引言
固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等物理性质具有非常重 要的影响，因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电子理论）是固体物理学的 一个重要内容。
固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。特鲁 德(P. Drude)在1900年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲 (A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气体，在经典自 由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子气模型，解决了经典自由电子气 模型在金属电子热容、磁化率等问题上遇到的困难。
导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还 有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用 --------- 起导电作用的不满带称为导带
绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好 填满了许可的能带，形成满带，满带和空带之间之间存在 一个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子 半导体 —— 能带结构与绝缘体类似，但是禁带宽度比较 小（3eV以下）。满带中的部分电子会被热激发到空带。 电子和近满带中留下的空状态都参与导电
（2） 服从能量最小原理
对孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能 容纳 2 (2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N个能级组成的能带， 一个能带最多能容纳 2 (2l+1) N 个电子。
初态为s态(能级Enl,l=0),终态为p态(能级En'l',l'=1)
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。
电子的能量是量子化的 电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
能带中电子的排布 固体中的一个电子只能处在某个能带中的
某一能级上。
1. 排布原则： （1） 服从泡里不相容原理（费米子）
若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。
若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。
导体、半导体和绝缘体的能带理论解释
问题的提出
—— 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却 相差非常大
导体的电阻率 半导体的电阻率
~ 106 cm ~ 102 109 cm
电子受到周期性势场的作用。
a
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两个重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约