第二章能带理论

2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
3p
3s
每个能带最多容
纳 6Ｎ个电子
2p
每个能带最多容
2s
纳 2Ｎ个电子
1s
Mg原子
晶体Mg（N个原子）
电子排布时， 应从最低的能 级排起。
能带被占据情况的几个概念：
E
满带：填满电子的能带 电子占据了一个能带中所有的状态 不满带：未填满电子的能带 空带：没有电子占据（填充）的能带
绝缘体的电阻率 ~ 1014 1022 cm
—— 导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？ —— 电子的能带理论解释了导体与绝缘体
采用能带理论可以解释固体的导电本质
基本观点：满带中的电子不导电； 不满带中的电子才参与导电
导体的能带结构
E
空带
空带
价
导带
带
满带
某些一价 金属， 如:Li …
导体
104 107 m
108 m
半导体
绝缘体
它们的导电性能不同， 108 m 是因为它们的能带结构不同。
一般填充规律：
孤立原子的内层电子能级一般都是填满的， 在形成固体时，其相应的能带也填满了电子。
孤立原子的最外层电子能级可能填满了电子也可 能未填满电子。若原来填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也填满电子。
CO2， H2O
有用化学品
Practical Applications
引言
固体中电子的运动状态对其力学、热学、电磁学、光学等物理性质具有非常重 要的影响，因此，研究固体电子运动规律的理论（固体电子理论）是固体物理学的 一个重要内容。
固体电子理论包括经典自由电子理论、量子自由电子理论和能带理论。特鲁 德(P. Drude)在1900年提出的经典自由电子气体模型。它将在当时已非常成功的 气体分子运动理论运用于金属，用以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲 (A. Sommerfeld)又进一步将费米-狄拉克统计理论用于自由电子气体，在经典自 由电子气体模型的基础上建立了量子的自由电子气模型，解决了经典自由电子气 模型在金属电子热容、磁化率等问题上遇到的困难。
实际上，晶体中的离子是有规律地排列的，电子也并不完全自由，它们的运动要 受到组成晶体的离子和电子共同产生的晶格周期性势场的影响。因此，1928年， 跟索末菲提出他的自由电子气模型的同一年，布洛赫(F Bloch)首先运用量子力学 原理来分析晶体中外层电子的运动，阐明了周期场中运动的电子所具有的基本特 征，为固体能带理论奠定了基础。
核磁共振方法不仅在核物理研究中起着重要作用，而且在科学技术上也有 着广泛的应用。例如，核磁共振分析可以用来探测物质的微观结构和各种 相互作用；核磁共振人体成像有望成为诊断疾病的有力工具。
自由电子气 真实晶体中的电子
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
他也是一位杰出的老师，教导和培养了很多优秀的理论物理学家。索末菲是 目前为止教导过最多诺贝尔物理学奖得主的人。
但是：索末菲量子的自由电子气理论仍有对不少物理性质无法解释。 如：有些金属霍尔系数为正；
固体分为导体、半导体和绝缘体的物理本质等。
回顾自由电子模型的假设，再对照上述与自由电子模型不相符合的试验现象， 自由电子模型的主要问题出在对于固定离子与电子的相互作用的处理上。特鲁德的 模型假设电子除碰撞瞬间外，与离子晶格无关，也即假定晶体中的势能为零，因而 在其中运动的电子不受束缚而是自由的(自由电子假设)；碰撞后的状态与碰撞前无 关(碰撞自由时间假设)。这是一个大的简化，进一步固体理论的发展就从这里入手。
—— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距
在一定的条件下，一个分子在连续两次碰撞之间可能通过的各段自由程的平 均值，微粒的平均自由程是指微粒与其他微粒碰撞所通过的平均距离。
晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距?
在完整晶体中,电子运动可以不被格点散射地传播 （所以该模型又称为近自由电子近似）,金属晶体就 是这样的晶体.所以电子在金属晶体内可不被散射的 传播,也就是可以自由移动.所以自由程远大于金属原 子间距.
而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
固体的能带结构！
自由电子理论忽略了电子与原子和其它电子 的相互作用，有局限性。
能带理论认为电子要受到一个周期性势场的作用。
能带理论是固体物理学的核心部分之一， 具有极重要的意义。
能带理论促进了半导体科学的发展，并对当代 高度发展的微电子工业作出了奠基性的贡献。
物理学前沿之一 材料的性质 大规模集成电路 半导体激光器 超导 人工微结构
§2.1 固体的能带结构
先看两个原子的情况
3p
3s
2p
Mg
2s
。 1s
Mg
3p
3s
2p
研究固体中电子运动的主要理论基础20世纪初 定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 说明了导体、半导体及绝缘体的区别 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体
技术的发展 随着计算机技术的发展20世纪六十年代，能带理论的研究从 定性的普遍性规律发展到对具体材料复杂能带结构的计 算
空带
禁带 不满带
导带 价带
禁带：不能填充电子的能区 两个能带之间，不允许存在的能级宽度， 也称为带隙
满带
价带：在0k时能被电子占满的最高能带，对半导体价带通常 是满带
导带以下的第一个满带，或最上面的一个满带
导带：半导体最外面（能量最高）的一个能带。 一个能带中所有的状态并没有都被电子占满即不满带，或说最 下面的一个空带
导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还 有部分被电子填充的能带（不满带），后者起着导电作用 --------- 起导电作用的不满带称为导带
绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好 填满了许可的能带，形成满带，满带和空带之间之间存在 一个很宽的禁带，在一般情况下，空带中没有电子 半导体 —— 能带结构与绝缘体类似，但是禁带宽度比较 小（3eV以下）。满带中的部分电子会被热激发到空带。 电子和近满带中留下的空状态都参与导电
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约
10-23eV。
能级
能带 E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。
点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
电子共有化
固体是具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
能带对电导的贡献 满带
…
电子交换能态并不改变 能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带 为什么把空带或不满带称为导带？
因为只有这种能带中的电子才能导电。
§2.2 导体、半导体和绝缘体 (conductor, semiconductor, insulator）
固体按导电性能的高低可以分为
量子自由电子理论
金属中的正离子形成的电场是均匀的，价电子不被原子所束缚，可以在整个金属中 自由地运动。自由电子的能量必须符合量子化的不连续性。
能带理论
能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的 晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
阿诺德·索末菲（1868～1951） 德国物理学家，量子力学与原子物理学的开 山鼻祖人物。 1868年12月5日生于东普鲁士的柯尼斯堡。 1951年4月26日卒于巴伐亚的慕尼黑。 他对原子结构及原子光谱理论有巨大贡献。 对陀螺的运动、电磁波的传播峙别在衍射力 一而）以及金属的电子论也有一定成就。
1905年10月23日 - 1983年9月10日 瑞士物理学家。与爱德华·珀塞尔（Edward Mills Purcell, 1912-1997）合作，因为发展核磁精密测量的新方法及 其有关的发现，共同分享了1952年的诺贝尔物理学奖。
1946年美国科学家费利克斯·布洛赫和爱德华·珀塞尔首先发现了核磁共振现 象，他们因此获得了1952年的诺贝尔物理学奖。
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg,
Zn, Ba …
空带
导带
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
导体 导带
Eg 价带（不满）
导体 导带 价带（满）
导体 导带 价带（满）
导带 绝缘体 Eg 价带（满）
半导体
导带 Eg
价带（满）
三、导体，绝缘体和半导体
能带理论解释固体的导电本质：满带不导电，不满带才导电
导体 在外电场的作用下，大量共有化电子很 易获得能量，集体定向流动形成电流。 E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
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绝缘体的能带结构
E
绝缘体在外电场的作用下，
空带 空带 共有化电子很难接受外电场的能量，
电子受到周期性势场的作用。
a
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两个重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动,称为 共有化电子。
原子的内层电子与原子核结合较紧,一般 不是 共有化电子。
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论： [ 2 2 V (r)] E 2m
电子的能量是量子化的 电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
能带中电子的排布 固体中的一个电子只能处在某个能带中的
某一能级上。
1. 排布原则： （1） 服从泡里不相容原理（费米子）
能带论的基本出发点:
固体中的电子可以在整个固体中运动
电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求 出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由 能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带 论。
能带论是用量子力学研究固体中电子的运动 规律。
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点
第二章 半导体能带理论
● 回顾
能源光催化
环境光催化
将低密度的太阳能转化为 高密度的化学能（氢能）
H2O
- 导带
H2, O2
价带 +
CO2, CH4
Fundamental Research
光催化合成
通过光催化反应分解各种 污染物和杀灭细菌与病毒
Organics
（甲醛、苯、PCB、二恶英、 染料、农药…）
若原来未填满电子的， 在形成固体时，其相应的能带也未填满电子。
若孤立原子中较高的电子能级上没有电子， 在形成固体时，其相应的能带上也没有电子。
导体、半导体和绝缘体的能带理论解释
问题的提出
—— 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却 相差非常大
导体的电阻率 半导体的电阻率
~ 106 cm ~ 102 109 cm
（2） 服从能量最小原理
对孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能 容纳 2 (2l +1)个电子。
这一能级分裂成由 N个能级组成的能带， 一个能带最多能容纳 2 (2l+1) N 个电子。
初态为s态(能级Enl,l=0),终态为p态(能级En'l',l'=1)
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。
经典自由电子理论
正离子所形成的电场是均匀的；自由电子运动的规律遵循经典力学气体分子的运动 定律；自由电子与正离子之间的相互作用仅仅是类似于机械碰撞。
该理论认为，在没有外电场作用时，金属中的自由电子沿着各方向运动的几率相同， 故不产生电流。当施加外电场后，自由电子获得附加速度，于是便沿外电场方向发 生定向迁移，从而形成电流。自由电子在定向迁移过程中，因不断与正离子发生碰 撞，使电子的迁移受阻，因而产生了电阻。
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 2s
分裂为两条
1s
空带 价带
各原子间的相互作用 原来孤立原子的能级发生分裂
若有N个原子组成一体，由于各原子间的相互作用，对 于原来孤立原子的一个能级，就分裂成N条靠得很近的能
级，称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级