2020河南中考数学复习专题专题类比探究题
2024年河南省中考数学二轮复习微专题+半角模型探究系列+课件
[答案] 如图（1）.
图（1）
证明：连接 .
∵ = ， ∠ = ∠ = ∘ ， = ，
∴△ ≌△ ， ∴ = ， ∠ = ∠ ，
半角模型探究系列
以题串模型
例1 一题多问 如图（1），四边形 ABCD 是正方形， ∠MAN = 45∘ ，射线
AM 分别与直线 BC 、直线 BD 交于点 E ， G ，射线 AN 分别与直线 CD 、直
线 BD 交于点 F , H .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
图（5）
（1）当点 E 在线段 BC 上时.
BC 于点 E ，射线 AN 交线段 CD 于点 F .
（1）判断 BE ， DF ， EF 之间的数量关系，并加以证明.
[答案] = + .
证明：将 △ 绕点 逆时针旋转 ∘ ，得到 △ ，
如图，
则 = ， = ， ∠ = ∠ ，
∴ − = − = = .
（2）若 AB = 4 ， BE =
[答案]
1
BC ，直接写出 EF 的长．
2
的长为 或10.
以题串模型
例2 如图，在四边形 ABCD 中， ∠ABC = ∠ADC = 90∘ ，
∠BAD = 120∘ , AB = AD. ∠MAN = 60∘ ，射线 AM 交线段
点，将射线 AE 绕点 A 逆时针旋转 45∘ 交
直线 CD 于点 F ，连接 EF ．
（1）如图，点 E 在 BC 的延长线上，点 F
2020河南省历年中考数学考试试卷及答案解析 共四套 精选 P109
；
②BF、CE、EF 三条线段之间的数量关系为
．
（3）类比探究
如图 3，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 在射线 AC 上，且
∠BCF＝∠DEF＝∠BAD．
①判断 BC、DE、CE 三条线段之间的数量关系，并说明理由；
②若 OD＝3OB，△AED 的面积为 2，直接写出四边形 ABCD 的面积．
（1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，当 m＝﹣2 时，求 x1+x2+5 的值． 18．（9 分）某校在七、八年级学生中开展了一次“讲文明，树新风”文明礼仪知识竞赛， 根据比赛成绩（满分 100 分，参赛学生成绩均高于 80 分）绘制了如下尚不完整的统计图 表． 比赛成绩频数分布表
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3 分）一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图写出是它的主视图和左视图，
那么组成该几何体所需小正方体的个数最多为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从左视图可以看出每一层
为：75，85，91，85，95，85．这 6 名同学成绩的众数是（ ）
A．91
B．88
C．86
D．85
【分析】利用众数的定义求解即可．
【解答】解：数据 85 出现了 3 次，最多，
所以众数为 85，
故选：D．
【点评】本题考查了众数的定义，解题的关键是知道数据中出现次数最多的数是众数．
4．（3 分）不等式组
A．60°
2020年河南中招数学考试试题分析
2020年河南中招数学考试试题分析2020年河南中招数学考试试题分析本次中招考试由于疫情原因，题目难度系数适中。
考查学生得联系实际生活能力和应用知识能力。
下边就本次数学试题做以下具体详尽得分析。
基础题：相反数；三视图：给出立体图形判断出左视图和主视图不相同的；普查、抽样调查的区分；普查：新华字典中的错别字、安全隐患、全国人口、范围小要求精准度的调查等；抽样调查：有破坏性，调查的不太精准。
三线八角；带单位极大数的科学计数法；反比例函数图形的性质，数形结合比较大小；新运算结合一元二次方程判断根的情况；列一元二次方程，增长率问题；一次函数与平移问题；中垂线结合直角三角形勾股定理或特殊三角函数值计算线段长度进而计算四边形的面积；估算，写出满足题意的无理数；结合数周用字母表示出不等式的解集；转盘计算概率；求线段长度—中位线+勾股定理；与扇形有关的阴影部分面积；化简求值：（三步：①通分；②因式分解；③把除变为乘；带入求值有两种情况：①直接给出未知数的值；②给出范围去选择，要先排除使分式无意义的所有值，再看是否让选择一个合适的值或喜欢的值，若没有说，满足题意的所有值都要写。
）概率与统计；求出中位数、不合格率；给出表格里边结合两组数据的平均数、中位数、方差、不合格率去选择优异的小组，并说明理由。
三角函数；给出一实物，通过测量的数据计算出高度，减小误差的方法之一是多次实验求平均值。
应用题；一次函数+方案选择；一次函数需要注意的是k、b的几何意义；根据题目描述的意思，补充条件并给予证明；注意格式：已知……，求证……重难题抛物线：线段长度和图象相结合求抛物线解析式、顶点坐标；利用点坐标求线段长度图象的探究题图形旋转本次考试打破了以往15题比较难（翻折、旋转类题型）此次考试15题是阴影部分面积，14题是几何图形利用中位线、勾股定理计算线段长度；圆的题也与以往考试题型不太相同，通过自己写已知、求证这种自己写条件自己证明的形式去考察，不难，但是遇到不熟悉的题型学生容易心理上有压力。
2020年河南省中考数学压轴题专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识
专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转A BCDEA BC DEA BCDE模型二、K字型及其旋转AD CEBD CEB AA DCEB【例1】（2019·济源一模）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE．填空：BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=23，BE=219，请直接写出四边形ADPE 的面积．图1 图2图3 图4 【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∵∠ABC=60°，∴∠ABP=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠CAD=60°，∴∠ACE+∠CAD=90°，即CD⊥AD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°，∵∠CAH=60°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CE⊥BC，∵AB=23BE=19在Rt△BCF中，由勾股定理得：CE=8，由△BAP≌△CAE，得：BP=CE，BD=6，∴DP=BP－BD=2，AO，在Rt△AOP中，由勾股定理得：AP=∴S=S△ADP+S△APE=(2122⨯【变式1-1】（2019·周口二模）在△ABC中，∠ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以CM为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB．（1）如图1，图2，若△ABC为等腰直角三角形，问题初现：①当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_____________，数量关系是______________；深入探究:②当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，∠ACB≠90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA=45°，BC=，当BM=_________时，BP的最大值为__________．图1CBMNBC图2图3CBA MNP图1 图2 图3【答案】（1）BN⊥AM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，∠ACM=∠BCN，CM=CN，可证△ACM≌△BCN，∴BN=AM，∠A=∠CBN=45°，∴∠ABN=90°，即BN⊥AM.（2）BN ⊥AM ，BN =AM ；理由如下：A∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BC ，∠A =∠ABC =45°，∠ACB =90°， 同理，∠NCM =90°，NC =MC , ∴∠ACM =∠BCN ， ∴△ACM ≌△BCN ，∴BN =AM ，∠A =∠CBN =45°， ∴∠ABN =90°，即BN ⊥AM .(3)过C 作CG ⊥BC 交BA 的延长线于G ，过C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示，G易证△GCM ≌△BCN ， 由（2）知，BN ⊥AB ， ∴△CHM ∽△MBP ，∴CH HMBM BP =, 即44BM BM BP-=, 设BM =x ， 则BP =()21214x -+， ∴当BM =2时，BP 取最小值，最小值为1.【例2】（2018·洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AE⊥DF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，由题意知：DE=CF，∴△ADE≌△DCF，∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，∵∠ADE=90°，∴∠ADP+∠CDF=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=180°﹣90°=90°，∴AE⊥DF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD2或2，理由如下：①如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=2a，则CE：CD=2a：a=2；②如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=2a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，∴DE=CD=a，∴CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD=2或2；（3）∵点P在运动中∠APD=90°，∴点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在Rt△QDC中，由勾股定理得：QC=5，∴CP=QC+QP=5+1，即线段CP的最大值是5+1．【变式2-1】（2019·西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．图1 图2 图3【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）FG=CE，FG∥CE；∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（2）∵BF=CE，BC=CD，∠FBC=∠DCE=90°，∴△BCF≌△CDE，∴∠DEC=∠CFB，CF=DE，∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠DEC+∠FCB=90°，即CF⊥DE，∵DE⊥EG，∴EG∥CF，∴EG=DE=CF，∴四边形FCEG是平行四边形，∴FG=CE，FG∥CE；（3）成立．由上可证：△CBF≌△DCE，得：∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG∴∠DEC+∠CEG=90°∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．1.（2019·河南南阳一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到AB’，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC’，连接B’C’，当α+β=180°时，我们称△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，△AB’C’是△ABC的“旋补三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD是△ABC 的旋补中线，①如图2，当△ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）①由△ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∠BAC+∠B’AC’=180°，得∠B’=∠C’=30°，即BC=2AD；②可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，证得△ABC≌△B’AM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=AB’=AC’，∠BAC=60°，∵DB’=DC’，∴AD⊥B’C’，∵BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=120°，∴∠B’=∠C’=30°，∴BC=2AD，即：答案为BC=2AD.②∵∠BAC=90°，BAC+∠B’AC’=180°，∴∠B’AC’=∠BAC=90°∵AB=AB’，AC=AC’，∴△BAC≌△B’AC’，∴BC=B’C’，∵B’D=DC’，∴BC=2AD，∵BC=8，∴AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接B’M，C’M，∵AD=DM，B’D=DC’，∴四边形AC’MB’是平行四边形，∴AC’=B’M=AC，∵∠BAC+∠B’AC’=180°，∠AB’M+∠B’AC’=180°，∴∠BAC=∠AB’M，∵AB=AB’，∴△BAC≌△AB’M，∴BC=AM，即BC=2AD.2.（2019·郑州外国语测试）已知如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，DE⊥AB 交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α<90°），其它条件不变，线段FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=22，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FD⊥FC，理由如下：由题意知：∠ADE=∠ACE=90°，AF=EF，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=2∠FAC，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2（∠FAD+∠FAC）=90°，∴FD=FC，FD⊥FC.（2）结论不变，理由如下：延长AC至M使得CM=AC，延长ED至N，使DN=DE，连接BN、BM、EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O，如图所示，∵BC⊥AM，AC=CM，∴AB=BM，同理得：BE=BN，∵∠ABM=∠EBN，∠NBA=∠EBM，∴△ABN≌△MBE，∴AN=EM，∠BAN=∠BME，∵AF=FE，AC=CM，∴CF=12EM，CF∥EM，同理，FD=12AN，FD∥AN，∴FD=FC，∵∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH，∴∠BAN+∠AOH=90°，∴∠AHO=90°，即AN⊥MH，∴FD⊥FC.（3）由题意知，当点E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示，此时BF=32，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示，此时，BF2，2≤BF2.3.（2019·偃师一模）特殊：（1）如图 1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB 交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为；②线段BC，DE的位置关系为．一般：（2）如图 2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC 外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图 3，在等边三角形 ABC 中，作 BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M ，点 D 为射线 BM 上一点，以点 B 为旋转中心将线段 BD 逆时针旋转 60°得到线段 BE ，连接 DE 交射线 BA 于点 F ，连接 AD ，AE ．若 AB =4，当△ADM 与△AFD 全等时，请直接写出 DE 的值．图1 图2图3【答案】（1）BD =BE ，BC ⊥DE ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）由题意知：∠ACM =∠BCM =45°，由旋转知，∠DCE =90°，CD =CE ，∴∠ECB =∠DCB =45°，∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∵CD =CE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE ，（2）成立，理由如下，∵CM 平分∠ACB ，∠ACB =α，∴∠ACM =∠BCM =2α，由旋转知，∠DCE =α，CD =CE ，∴∠BCD =∠BCE =2α又∵BC =BC ，∴△BCD ≌△BCE ，∴BD =BE ，∴BC 是线段DE 的垂直平分线，∴BC ⊥DE .（3）①如图3，可证得：∠ABE =∠ABD =30°，AB ⊥DE ，由△ADM ≌△ADF ，得：∠FAD =∠MAD =30°，∴AF =BF =2，∴DE =2DF ，在Rt △ADF 中，DF =AF ·tan ∠DAF即DE=3. ②如下图所示，BD同理，得∠FBD=30°，AB =AD =4，∠ADF =∠ADM=30°，∴DE =2DF综上所述，DE 的长为：3，4.（2019·省实验一模）观察猜想（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是 ，BE +BF ＝ ；探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD ＝1，其余条件不变，如图②，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程；（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．图1 图2 图3【答案】（1）BF⊥BE；BC；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠EAF－∠BAE＝∠BAC－∠BAE,∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为: BF⊥BE，BC．（2）过D作DH∥AC交BC于H，∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可证得：BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD ＝DH ＝2，∴BH ＝22，∴BF +BE ＝BH ＝22；（3）过D 作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ．∵AC ∥DH ，∴∠ACH ＝∠H ，∠BDH ＝∠BAC ＝α，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB∴∠DBH ＝∠H ，∴DB ＝DH ，∵∠EDF ＝∠BDH ＝α，∴∠BDF ＝∠HDE ，∵DF ＝DE ，DB ＝DH ，∴△BDF ≌△HDE ，∴BF ＝EH ，∴BF +BE ＝EH +BE ＝BH ，∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ，∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ，∴BM ＝MH ＝BD •sin 2α．∴BF +BE ＝BH ＝2n •sin 2α．5.（2019·濮阳二模）在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．（1）特例猜想如图1，当α＝90°时，试猜想：①AF与BE的数量关系是；②∠ABE＝；（2）拓展探究如图（2），当0°＜α＜90°时，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，∠ACB＝α，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，连接BE，当BD＝3CD时，请直接写出BE的长度．图1 图2 图3【答案】（1）AF＝BF，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°，所以答案为AF＝BF，90°．（2）结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：∵DF‖AC∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，即∠ADF＝∠EDB，∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．（3）分两种情况讨论：①当点D在线段BC上时，由（2）可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴14 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，②当点D在BC的延长线上时，∵AC∥DF，∴12 AF CDBA BC==，∵AB＝8，∴AF＝4，即BE=4，综上所述，BE的长度为2或4．6.（2019·开封二模）问题发现如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系？拓展探究如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明．问题解决如果△ABC的边长等于23，AD＝2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．图1 图2 备用图【答案】见解析．【解析】解：（1）如图1，BD＝CE，理由是：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵DE∥BC，∴△ADE是等边三角形，即AD=AE，∴BD＝CE；（2）结论仍然成立，由图1得：AD＝AE，由旋转性质得：∠BAD＝∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；（3）分两种情况讨论，①如图所示，过D作DG⊥AB，垂足为G，∵AF⊥DE，AD=AE，∴∠DAF＝∠EAF＝30°，∴∠BAD＝30°，由AD＝2，得：DG＝1，AG3由AB＝3BG3由勾股定理得：BD＝2．②如图，由（2）中证明可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∵AD＝AE，DE⊥AC，∠ADE＝60°∴∠EAF＝∠FAD＝30°，∴EF＝FD＝12AD＝1，∴AF＝3，∴CF＝AC+CF＝33，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝27，∴BD＝EC＝27，综上所述，BD的长为2或27．7.（2019·安阳二模）（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE：EC＝3：4．点F在线段AE上，且∠EFD ＝∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．图1 图2 图3【答案】（1）AD＝AB+CD；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）结论：AD＝AB+CD．理由：∵AB∥CF，∴∠CFE＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEF＝∠AEB，∴△CEF≌△BEA，∴AB＝CF．∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠EAB，∵∠EAB＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，∵DF＝DC+CF＝CD+AB，∴AD＝AB+CD．（2）结论：AB＝AF+CF．理由：延长AE、DC交于G，∵AB∥DG，∴∠G＝∠EAB，∵CE＝EB，∠CEG＝∠BEA，∴△CEG≌△BEA，∴AB＝CG，∠G＝∠EAB，∵AE平分∠FAB，∴∠FAG＝∠EAB，∵∠G＝∠EAB，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∵CG＝CF+FG＝CF+AF，∴AB＝AF+CF．（3）结论：AB＝34（CD+DF）．延长AE、CD交于G．∵CG∥AB，∴34BE ABCE CG==，∠G＝∠A，∴AB＝34 CG，∵∠DFE＝∠A，∴∠DFG＝∠G，∴DF＝DG，∴CD+DF＝CD+DG＝CG，∴AB＝34（CD+DF）．8.（2019·中原名校大联考）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP＝12BE，PA⊥BE；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）设PA交BE于点O．∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，∵∠DAC＝90°，DP＝PC，∴PA＝12CD＝PC＝PD，∴PA＝12BE，∠C＝∠PAE，∵∠CAP+∠BAO＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE，（2）结论成立．理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O．∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，∴△APD≌△MPC，∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，∴AD∥CM，∴∠DAC+∠ACM＝180°，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠ACM，∵AB＝AC，AE＝CM，∴△EAB≌△MCA，∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，∵PA＝12AM，PA＝12BE，∵∠CAM+∠BAO＝90°，∴∠ABE+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∴PA⊥BE．（3）∵AC＝10，CM＝4，∴10﹣4≤AM≤10+4，∴6≤AM≤14，∵AM＝2AP，∴3≤PA≤7．∴PA的最大值为7，最小值为3．9.（2018·新乡一模）如图1，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠A是公共角.（1）BD与CE的数量关系是：；（2）把图1的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.①求证：BD＝CE；②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的数量关系是什么？说明理由.（3）若AD=10，AB=6，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α度(0°<α≤360)直接写出BD长度的取值范围.图1 图2【答案】（1）=；（2）（3）见解析. 【解析】解：∵AD=AE，AB=BC，∴AD－AB=AE－AC，即BD=CE；（2）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE.即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE.②BD与CE所在直线的夹角与∠DAE的度数相等. 延长DB交CE于点F.OF BEC∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC∵∠AOD=∠EOF，∴180°-∠ADB-∠AOD =180°-∠AEC-∠EOF，即∠DAE=∠DFE③当B在线段AD上时，BD最小，最小值为10－6=4；当B在线段DA延长线上时，BD最大，最大值为10+6=16，即4≤BD≤16.10.（2019·河南模拟）【问题探索】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E分别在AC、BC边上，DC=CE，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN. 探索BE与MN的数量关系. 聪明的小华推理发现PM、PN的关系为，最后推理得到BE与MN的数量关系为.【深入探究】（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；【答案】见解析.【解析】解：（1）PM=PN，PM⊥PM；BE2MN；∵AM=ME，AP=PB，∴PM∥BE，PM=12 BE，同理：PN∥AD，PN=12 AD，∵AC=BC，CD=CE，∴AD=BE，∴PM=PN，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，∴MN2PM，∴MN2×12 BE，∴BE2MN.（2）结论仍然成立．连接AD、延长BE交AD于点H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，CA=CB，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠ECB，∴△ECB≌△DCA，∴BE=AD，∠DAC=∠EBC，∠AHB=180°-（∠HAB+∠ABH）=180°-（45°+∠HAC+∠ABH）=∠180°-（45°+∠HBC+∠ABH）=90°，∴BH⊥AD，∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点，∴PM∥BE，PM=12BE，PN∥AD，PN=12AD，∴PM=PN，∠MPN=90°，∴BE=2PM 2MN2．。
河南中考数学类比探究学生精选文档
河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究 实战演练（一）22.（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ； （2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA．中考数学类比探究 实战演练（二）22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________． （2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究 实战演练（三）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ， 过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=，请直接写出CE 的长．图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究 实战演练（四）22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（五）22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究 实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究 实战演练（七）22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ；②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究 实战演练（八）22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）． C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究 实战演练（九）22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ． （1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）22.（10分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DB，DG，直接写出∠BDG的度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究 实战演练（十一）图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. （10分）已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 是斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．中考数学类比探究 实战演练（十二）22. （10分）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值． 类比归纳：在图1中，若13CE CD =，则AM BN 的值为__________；若14CE CD =，则AMBN 的值为__________；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值为__________．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设1AB BC m =（1m >），1CE CD n =，则AMBN的值为_______．（用含m n ，的式子表示）图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。
河南中考：解答题重难点题型(九) 第22题类比、拓展探究题 (2)
解答题重难点题型(九)第22题类比、拓展探究题例1：(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB 外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．例子2：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AEBD＝；②当α＝180°时，AEBD＝；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．2．(1)发现如图1，直线l1∥l2，l1和l2的距离为d，点P在l1上，点Q在l2上，连接PQ，填空：PQ 长度的最小值为d；(2)应用如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上，AM＝3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值；(3)拓展如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．3．(1)问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC，CD，CE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断∠ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．图1图2图34．(1)探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°，∴P′P2＋BP2＝P′B2，即PA2＋PB2＝PC2.(2)类比延伸如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明；(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．5．已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图1，线段OF与EC的数量关系为；②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图2，OF与EC的数量关系为；(2)类比延伸将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明；(3)拓展探究将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．6．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是；(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图4)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．7．(1)问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，直接写出线段AF的长．8．(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．9．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为；猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．图4 图5解答题重难点题型(九)第22题类比、拓展探究题答案例子1：(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB 外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．【思路点拨】(1)当点A在线段CB延长线上时，AC长度最大；最大值是AB与BC长度之和；(2)①图中与BE相等的线段是CD.运用三角形全等的判定方法即可证明；②因为BE ＝CD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根据(1)中结论可知CD的最大值为BD与CB的长度之和；(3)通过(2)的学习可知，如图4，需要构造△BPN≌△MPA，则BN＝AM，由(1)得当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如图5)，易得AN＝22，所以AM＝NB ＝3＋2 2.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝EA＝2，从所以P(2－2，2)．解：(1)CB的延长线上a＋b2分(2)①CD ＝BE ，理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD ＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°. ∴∠BAD ＋∠BAC ＝∠CAE ＋∠BAC ， 即∠CAD ＝∠EAB.5分在△CAD 与△EAB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠CAD ＝∠EAB ，AC ＝AE ，∴△CAD ≌△EAB(SAS )． ∴CD ＝BE.6分②BE 长的最大值是4.8分(3)AM 的最大值3＋22，点P 的坐标为(2－2，2).10分【解法提示】 如图4，连接BM ，∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形， ∴PN ＝PA ＝2，BN ＝AM.点B 的坐标为(5，0)， 长的最大值＝线段BN 长的最大值．的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值＝AB ＋AN.轴于点E ， 是等腰直角三角形，∴OE ＝OA －AE ＝2－ 2. ∴P(2－2，2)． 例子2：如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现①当α＝0°时，AE BD ＝2②当α＝180°时，AE BD ＝2(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．【思路点拨】 (1)①根据题意可知DE 是△ABC 的中位线，根据中位线的性质和勾股定理求得AE 的长度即可求解；②根据旋转180°，画出图形，结合①，分别得到AC ，CE ，BC 和CD 的长即可求解；(2)由(1)可知CE CA ＝CD CB ，结合旋转的性质得到CE CA ＝CDCB 任然成立，运用两边对应成比例，夹角相等求得，△ACE ∽△BCD ，利用相似三角形的性质，求得AEDB 的值．(3)当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时分两种情况讨论，即边DE 在BC 上方和在BC 下方，再针对每一种情况分类讨论计算即可．【自主解答】 (2)证明：在图1中，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，∴CE CA ＝CDCB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.∴AEBD的大小不变． (3)45或1255.提示：如图3，当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ＝45；如图4，当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得AD ＝AC 2－CD 2＝8，∴AE ＝AD －DE ＝6，根据AE BD ＝52可求得BD ＝1255.1．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是PM ＝PN ，位置关系是PM ⊥PN ；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解：(2)等腰直角三角形，理由如下： CAE. ， SAS )， ＝∠ACE.，DE 的中点， 的中位线． CE.PN ∥BD.∴PM ＝PN ，∠MPD ＝∠ECD ，∠PNC ＝∠DBC.∴∠MPD ＝∠ECD ＝∠ACD ＋∠ACE ＝∠ACD ＋∠ABD. ∠DPN ＝∠PNC ＋∠PCN ＝∠DBC ＋∠PCN.∴∠MPN ＝∠MPD ＋∠DPN ＝∠ACD ＋∠ABD ＋∠DBC ＋∠PCN ＝∠ABC ＋∠ACB ＝90°.即△PMN 为等腰直角三角形． (3)492. 提示：由(2)知，△PMN 是等腰直角三角形，PM ＝PN ＝12BD ，∴PM 最大时，△PMN 面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上，∴BD ＝AB ＋AD ＝14，∴PM ＝7， ∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×72＝492.2．(1)发现如图1，直线l 1∥l 2，l 1和l 2的距离为d ，点P 在l 1上，点Q 在l 2上，连接PQ ，填空：PQ长度的最小值为d；(2)应用如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上，AM＝3MD，点N在直线BC上，连接MN，求MN长度的最小值；(3)拓展如图3，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M在线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．解：(2)如图．MN的值最小，∴∠E＝45°.∴△EMN是等腰直角三角形，∵EM＝3，∴MN＝32＝322.(3)10.提示：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CMN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴CGBG＝12.∴G是BC上一定点．作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即DCHB＝12.∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB＋BH＝6＋4＝10，∴当MN ⊥AD 时，MN 的长最小，即为10.则线段MN 长度的最小值为10.3．(1)问题发现如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE.请填空： ①∠ACE 的度数为60°；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系为AC ＝CD ＋CE ；(2)拓展探究 如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点D 在边BC 上，连接CE.请判断∠ACE 的度数及线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题如图3，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB ＝AD ＝2，CD ＝1，AC 与BD 交于点E ，请直接写出线段AC 的长度．图1 图2 图3 解：(1)①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠B ＝60°.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD ＝∠CAE.∴△BAD ≌△CAE(SAS )．∴∠ACE ＝∠B ＝60°.②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系为：AC ＝CD ＋CE. 理由是：由①得：△BAD ≌△CAE ，∴BD ＝CE. ∵AC ＝BC ＝BD ＋CD ，∴AC ＝CD ＋CE.(2)∠ACE ＝45°，2AC ＝CD ＋CE ，理由如下：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，且∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE. ∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ，∠ACE ＝∠B ＝45°. ∵BC ＝CD ＋BD ，∴BC ＝CD ＋CE.∵在等腰直角三角形ABC 中，BC ＝2AC ， ∴2AC ＝CD ＋CE. (3)14＋22. 提示：在CB 的延长线上截取BF ＝DC ，易证△ABF ≌△ADC.∴AF ＝AC ，∠FAB ＝∠CAD.∴∠FAC ＝∠FAB ＋∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°. ∴△ACF 是等腰直角三角形，由(2)得2AC ＝BC ＋CD.∴AC ＝BC ＋CD 2＝7＋12＝14＋22.4．(1)探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：如图1，在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∴∠APP′＝60°，PA＝PP′，PC＝P′B．∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°，∴P′P2＋BP2＝P′B2，即PA2＋PB2＝PC2.(2)类比延伸如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明；(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．解：(2)关系式为：2PA2＋PB2＝PC2.证明：将△APC绕A得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等腰直角三角形．∴∠APP′＝45°，PP，∵∠APB＝135°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴2PA2＋PB2＝PC2.(3)k＝ 3.提示：将△APC绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，可得∠APP′＝30°，PP′＝3PA，PC＝P′B.∵∠APB＝60°，∴∠BPP′＝90°.∴P′P2＋BP2＝P′B2.∴(3PA)2＋PB2＝PC2.∵(kPA)2＋PB2＝PC2，∴k＝ 3.5．已知，如图1，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形(其顶点B，E重合)，∠BAC＝∠AED＝90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.(1)问题发现①如图1，线段OF与EC的数量关系为OF＝2EC；②将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图2，OF与EC的数量关系为OF＝2EC；(2)类比延伸将图1中△AED绕点A逆时针旋转到如图3所示的位置，请判断线段OF与EC的数量关系，并给出证明；(3)拓展探究将图1中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°≤α≤90°，AD＝2，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．解：(2)OF＝22EC.证明：在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，∴AF＝12AD＝22AE.在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，连接AO，∴AO＝2AC，∠BAO＝∠CAO＝45°.DAO＝∠CAE.提示：∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形，∴AD＝BC＝2，∴ED＝AE＝AB＝AC＝1.△ACD为直角三角形时，分两种情况：①当AD与AB重合时，如图4，连接CD，∵△ACD为直角三角形，AD⊥AC，即将△ADE逆时针旋转45°.∵AD＝2，AC＝1，∴由勾股定理可得CD＝（2）2＋12＝3；②当AE与AC重合时，如图5，△ACD为直角三角形，AC⊥CD，即将△ADE逆时针旋转90°，此时CD＝AC＝1.综上：CD的长为3或1.6．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C ＝90°，∠B ＝∠E ＝30°. (1)操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是DE ∥AC ；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2.则S 1与S 2的数量关系是S 1＝S 2；(2)猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想；(3)拓展探究已知∠ABC ＝60°，点D 是其角平分线上一点，BD ＝CD ＝4，DE ∥AB 交BC 于点E(如图4)．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF ＝S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长． 解：(2)根据已知∠DCE ＝90°，作AN ⊥EC 交EC 延长线于点N ，则∠ANC ＝∠DCN ＝90°. 而∠ACB ＝90°，∠ACN ＝90°－∠NCM ＝∠DCM ， AC ＝DC ，MD ⊥BC 于点M ， 则∠DMC ＝90°.在△ANC 和△DMC 中，⎩⎨⎧∠ANC ＝∠DMC ，∠ACN ＝∠DCM ，AC ＝DC ，则△ANC ≌△DMC(AAS )，∴AN ＝DM.而CE ＝BC ，△BDC 和△AEC 等底等高，∴△BDC 和△AEC 面积相等，则S 1＝S 2的数量关系仍然成立． (3)BF 长度是433或833.图5提示：(3)如图5，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，∴BE ＝DF 1，且BE ，DF 1上的高相等，此时S △DCF 1＝S △BDE .过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D ＝∠ABC ＝60°.∵BF 1＝DF 1，∠F 1BD ＝12∠ABC ＝30°，∠F 2DB ＝90°， ∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°.∴△DF 1F 2是等边三角形．∴DF 1＝DF 2.∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°. ∴∠CDH 1＝180°－∠BCD ＝180°－30°＝150°.∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°.∴∠CDF 1＝∠CDF 2.⎪⎧DF 1＝DF 2，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833. 故BF 的长为433或833.7．(1)问题发现：如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，点D 为BC 的中点，以CD 为一边作正方形CDEF ，点E 恰好与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF 绕点C 旋转，连接BE ，CE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决：当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．解：(2)无变化．理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴sin ∠ABC ＝AC BC ＝22. 在正方形CDEF 中，∠FEC ＝12∠FED ＝45°， 在Rt △CEF 中，sin ∠FEC ＝CF CE ＝22，∴CF CE ＝AC BC. ∵∠FCE ＝∠ACB ＝45°，∴∠FCE －∠ACE ＝∠ACB －∠ACE.②当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3， ∵△ABC ，△CFE 为等腰直角三角形．易证：△ACF ∽△BCE. ∴BE AF ＝BC AC＝ 2.∴BE ＝2AF. 由(1)知，CF ＝EF ＝CD ＝ 2.在Rt △BCF 中，CF ＝2，BC ＝22，根据勾股定理得，BF ＝6，∴BE ＝BF ＋EF ＝6＋ 2.由(2)知，BE ＝2AF ，∴AF ＝3＋1.即当正方形CDEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，线段AF 的长为3－1或3＋1.8．(1)问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB 的度数为60°；②线段AD ，BE 之间的数量关系为AD ＝BE ；(2)拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出点A 到BP 的距离．解：(2)∠AEB ＝90°，AE ＝2CM ＋BE.理由：∵△ACB 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ，即∠ACD ＝∠BCE.∴△ACD ≌△BCE(SAS )．∴AD ＝BE ，∠BEC ＝∠ADC ＝135°.∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝135°－45°＝90°.在等腰直角三形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM ＝DM ＝ME ，∴DE ＝2CM.∴AE ＝DE ＋AD ＝2CM ＋BE.(3)3－12或3＋12. 提示：∵PD ＝1，∠BPD ＝90°.∴BP 是以点D 为圆心，以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点．第一种情况：如图4，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P′，可证△APD ≌△AP′B ，PD ＝P′B ＝1.∵CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP′＝12(PB －BP′)＝3－12. 第二种情况，如图5，可得AM ＝12PP′＝12(PB ＋BP′)＝3＋12.9．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B′C′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△①如图2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则猜想论证：(2)在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°在四边形内部是否存在点P ，使△PDC 是△并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，图4 图5解：(2)①猜想：AD ＝12BC. 证明：如图5，延长AD 至点E ，使DE ＝AD.∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B ′D ＝C′D.∴四边形AB′EC′是平行四边形．∴EC ′∥B ′A ，EC ′＝B′A.∴∠AC ′E ＋∠B′AC′＝180°.由定义可知∠B′AC′＋∠BAC ＝180°，B ′A ＝BA ，AC ＝AC′，∴∠AC ′E ＝∠BAC ，EC ′＝BA.∴△AC ′E ≌△CAB(SAS )．∴AE ＝BC.∵AD ＝12AE ， ∴AD ＝12BC. (3)存在．以AD 为边向四边形ABCD 的内部作等边△PAD ，连接PB ，PC ，延长BP 交AD 于点F ， 则有∠ADP ＝∠APD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝6.∵∠CDA ＝150°，∴∠CDP ＝90°.过点P 作PE ⊥BC 于点E ，易知四边形PDCE 为矩形．∴CE ＝PD ＝6.∴tan ∠DPC ＝CD PD ＝236＝33. ∴∠DPC ＝30°，∠EPC ＝60°.∴BE ＝12－6＝6＝CE.又PE ⊥BC ，在Rt △ABF 中，AB ＝（73）2＋32＝239.∵△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∴△PAB 的“旋补中线”长为12AB ＝39.。
2024河南考数学二轮中考题型研究 题型四 类比、拓展探究题题(课件)
和三角形的内外角关系，得到∠DPC＝2∠BAC，
通过题干得到∠BAC的度数，即可求解．
例1题图①
【解法提示】
∵∠ACB＝90°，点P为AE的中点，∴PC为Rt△AEC斜边AE的中线，
∴CP＝ 1 AE，同理可证，DP＝ 1 AE，∴DP＝CP；
2
2
∴∠DPE＝2∠DAE，∠CPE＝2∠CAE，
∵AC＝BC，∴∠BAC＝45°，∴∠DPC＝2∠BAC＝90°，
例1题图①
填空：①DP与CP的数量关系是________； ②DP与CP的位置关系是____________；
【思维教练】①要求DP与CP的数量关系，通过直角三角形的性质：
斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CP＝1 AE，DP＝1 AE，即
2
2
可求解；②要求DP与CP的位置关系，
即求∠DPC的度数，通过等腰三角形性质
பைடு நூலகம்∴DP⊥CP.
填空：①DP与CP的数量关系是_D_P_＝__C__P_； ②DP与CP的位置关系是_D__P_⊥__C_P_；
例1题图①
(2)类比探究 把△BDE绕点B逆时针旋转45°至如图②的位置，(1)中的结论是否仍 然成立？若成立，请就图②的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
【思维教练】要求DP与CP的数量关系和位 置关系，过点P作AC的垂线，并构造出DP 与PC所在的两个直角三角形，结合旋转的 性质可证明DP和PC所在的两个三角形全等， 即可求解．
②如解图③，由(2)可知DP⊥CP，DP＝CP，
例1题解图②
∴△PCD为等腰直角三角形，
∵BC＝3BD＝3 2，∴CD＝BC－BD＝2 2，∴CP＝2. 综上所述，CP的长为4或2.
中考复习数学--类比探究专题
类比探究专题1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC上，AD =AE ，连接DC ，BE ，点P 为DC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段AP 与BE 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，小航猜想（1）中的结论仍然成立，请你证明小航的猜想； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出线段AP 的取值范围．（1）操作：如图1，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图1画出一对以点O 为对称中心的全等三角形．（不写画法）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论． （3）探究二：如图3，DE ，BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE :EC =1:2，∠BAE =∠EDF ，CF ∥AB ．若AB =5，CF =1，求DF 的长度．PEDA BC 图1PEDABC图2图1M NQ PO图2F EDC B AAB C D E F图32.特殊：（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°．作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD，BE．填空：①线段BD，BE的数量关系为_________________；②线段BC，DE的位置关系为_________________．一般：（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=α，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE，BD，BE．请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由．特殊：（3）如图3，在等边三角形ABC中，作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD，AE．若AB=4，当△ADM 与△AFD全等时，请直接写出DE的值．M F ED CB A图1EMDCBA图2MFEDC BA图33. 已知△ABC 中，CA =CB ，0°＜∠ACB ≤90°．点M ，N 分别在边CA ，CB 上（不与端点重合），BN =AM ，射线AG ∥BC 交BM 延长线于点D ，点E 在直线AN 上，EA =ED ．（1）【观察猜想】如图1，点E 在射线NA 上，当∠ACB =45°时， ①线段BM 与AN 的数量关系是_________； ②∠BDE 的度数是____________．（2）【探究证明】如图2，点E 在射线AN 上，当∠ACB =30°时，判断并证明线段BM 与AN 的数量关系，求∠BDE 的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E 在直线AN 上，当∠ACB =60°时，AB =3，点N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长．图1A B CD ENMG图2AB CD MN EG 图3A BCG4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=__________．（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=__________（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明．（3）拓展应用：若ACBC=DF=CE的长．FEDC BA图1图2ABCDEFDB FECA图3DC BA备用图5. （1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠EFC =90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为__________； （2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明； （3）【问题发现】当AB =AC =2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时，直接写出线段AF 的长．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 是BC 的中点，以点D 为顶点作正方形DFGE ，使点A ，C 分别在DE 和DF 上，连接BE ，AF ，则线段BE 和AF 数量关系是________．（2）类比探究：如图2，保持△ABC 固定不动，将正方形DFGE 绕点D 旋转α（0＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC =DF =2，在（2）的旋转过程中，连接AE ，请直接写出AE 的最大值．F图1CBA (E )EABC图2F备用图CBA图1A BC DEF G图2GFED CB A 备用图A BC DEFG6.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是__________，CE与AD的位置关系是__________．（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明）．（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=BE= ADPE的面积．（直接写出结果）P EDCBA图1图2ABCDEPPEDCBA图3图4ABCDEP7. （1）操作发现如图1，AD 是等边三角形ABC 的角平分线，请你按下列要求画图：过点A 作AM ⊥AB ，过点C 作CN ∥AB ，AM 与CN 相交于点E ．则AD 与AE 的数量关系是________，∠EAC =________°． （2）问题探究将图1中的△AEC 绕点A 逆时针旋转，点C 落在点F 的位置，连接EC ，DF ，如图2所示，请你探究DF 与EC 的数量关系并说明理由． （3）拓展延伸若（2）中等边△ABC 的边长为2，当F A ⊥AC 时，请直接写出DF 2的值．在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）问题发现如图1，当α=90°时，线段BD 1的长等于__________，线段CE 1的长等于__________． （2）探究证明如图2，当α=135°时，求证：BD 1=CE 1，且BD 1⊥CE 1． （3）问题解决求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）图1AB CD图2EFDCBA备用图CBAE1(D1)ABCDE PEDCBAD1E1图2图18. 如图1，在正方形ABCD 和正方形AB′C′D′中，AB =2，AB′=，连接CC′．（1）问题发现：CC BB'='__________；（2）拓展探究：将正方形AB′C′D′绕点A 逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB′，试判断：当0°≤θ＜360°时，CC BB ''的值有无变化？请仅就图2中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C ，C′，D′三点共线时BB′的长．问题发现：如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边AB 上的一点，过点D 作DE ∥BC 交AC 于E ，则线段BD 与CE 的数量关系为___________；拓展探究：如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明；问题解决：如果△ABC的边长等于AD =2，直接写出当△ADE 旋转到DE 与AC 所在的直线垂直时BD 的长．D′C′B′ABCD 图1图2DCBA B′C′D′A BCD备用图图1EDCBA 图2ABCDE备用图E D A9. 如图1，已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断AGBE的值为_______．（2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG =6，GH=BC =________．GFDC BAE图1ABCD EFG图2H GF EDCBA 图310. （1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A =1，PB，PC =2．求∠BPC 的度数． 为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得△AP′C ，连接PP′，则PP′的长为__________；在△P AP′中，易证∠P AP′=90°，且∠PP′A 的度数为__________，综上可得∠BPC 的度数为__________． （2）类比迁移 如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB =90°，P A =2，PB，PC =1．求∠APC 的度数． （3）拓展应用如图3，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =5，AB =AC =12AD ，∠BAC =2∠ADC ，请直接写出BD 的长．P′ABCP图1图2P CBAD图3C BA11. 如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，以点O 为顶点的∠EOF 的两边分别与边AB ，AD 交于点E ，F ，且∠EOF 与∠BAD 互补． （1）观察猜想若四边形ABCD 是正方形，则线段OE 与OF 有何数量关系？请直接写出结论．（2）延伸探究若四边形ABCD 是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展证明若AB :AD =m :n ，探索线段OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．（1）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB =FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系为_____________；（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图3，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，BE :EC =2:3，点D 在线段AE 上，且∠EDF =∠BAE ，试判断AB ，DF ，CF 之间的数量关系，并证明你的结论．A BCDOEFABCD EF图1ABCDE F图2A BCDE F图312. 如图1，菱形ABCD 与菱形GECF 的顶点C 重合，点G 在对角线AC 上，且∠BCD =∠ECF =60°． （1）问题发现： AGBE的值为__________． （2）探究与证明：将菱形GECF 绕点C 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展与运用：菱形GECF 在旋转过程中，当点A ，G ，F 三点在一条直线上时，如图3所示，连接CG 并延长，交AD 于点H ，若CE =2，GHAH 的长为__________．已知∠AOB =90°，点C 是∠AOB 的角平分线OP 上的任意一点，现有一个直角∠MCN 绕点C 旋转，两直角边CM ，CN 分别与直线OA ，OB 相交于点D ，点E ．（1）如图1，若CD ⊥OA ，猜想线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并说明理由．（2）如图2，若点D 在射线OA 上，且CD 与OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD ，OE ，OC 之间的数量关系，并加以证明．图1AB CDEFGG FE DCB A图2H图3AB CD E FG（3）如图3，若点D 在射线OA 的反向延长线上，且OD =2，OE =8，请直接写出线段CE 的长度．图1OABC D EMPN N PMED CBAO图2图3O ABCD E MPN13.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别是边DC，DA的中点，四边形DFGE为矩形，连接BG．（1）问题发现在图1中，CEBG__________．（2）拓展探究将图1中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中，CEBG的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当矩形DFGE 旋转至B ，G ，E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．GFED CBA 图1图2ABCDEFG备用图ABCD14. 四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD 等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，则AC 与BD 的位置关系是__________，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD 的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，AB =5，求GE 的长．观察猜想（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =3，点D 与点A 重合，点E 在边BC 上，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接BF ，BE 与BF 的位置关系是_________，BE +BF =_________； 探究证明（2）在（1）中，如果将点D 沿AB 方向移动，使AD =1，其余条件不变，如图2，判断BE 与BF 的位置关系，并求BE +BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸ABCD图1图2DCB AABCDEFG图3（3）如图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，点D 在边BA 的延长线上，BD =n ，连接DE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转，旋转角∠EDF =α，连接BF ，则BE +BF 的值是多少？请用含有n ，α的式子直接写出结论．图1A (D )B CE FD FE C B A 图2图3A C D E F。
河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练
专题七类比探究题类型一线段数量关系问题1 (2018 -河南)(1)问题发现如图①，在△ OAB 和厶OCD 中，OA= OB OC= OD / AOB=Z COD= 40°,连接 AC, BD 交于点 M.填空: AC① 击的值为 ：BD② / AMB 的度数为 _______ ; (2) 类比探究如图②，在△ OAB 和厶OCD 中，/ AOB=Z COD= 90°,/ OAB=Z OCD= 30°,连接 AC 交BD 的延长线于点 ACM.请判断乔的值及/ AMB 的度数，并说明理由；BD(3) 拓展延伸 在⑵ 的条件下，将△ OCD 绕点O 在平面内旋转，AC , BD 所在直线交于点 M 若OD= 1, OB=Q7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图① 图② 备用图例1题图②由△ COA^A DOB,得/CAO=/ DBQ 根据三角形的内角和定理 =180°— 140°= 40°;一AC OC 厂一(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△ AO &A BOD 则 BD = OD = 3,由全等三角形的性质得/ AMB 的度 数； ⑶ 正确画出图形，当点 C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得厶 AO &A BOD 则/ AMB AC 厂=90° , BD = 3 ,可得 AC 的长. 【自主解答】【分析】 (1)①证明△ COA^A DOB(SAS,)得AC= BD,比值为1;,得/ AMB= 180°— ( / DBO-/ OABH / ABD)解：⑴问题发现①1【解法提示】•••/ AOB=Z CO 空40•••/ COA F Z DOB .•/ OC= OD OA= OB ，•••△ COA^ DOB(SAS,)• AC= BD, AC 二一=1 BD②40°【解法提示】•/△ COA^A DOB•••/ CAO / DBO. •••/ AO = 40°, •••/ OABH / ABO= 140°,在厶 AMB 中，/ AM = 180°— ( / CAO- / OABH / ABD = 180°— ( / DBO- / OABH / ABD = 180°— 140° =(2)类比探究ACBD = ,3,/ AM = 90°，理由如下:在 Rt △ OCD 中,/ DC(= 30°,/ DO = 90°,同理，得OB = tan 30•••/ AO =/ CO = 90°,• / AO(= BOD • △ AOC^ BOD• AC = …BD =• / AM = 180°—/ CAO- / OA — MBA 180°— ( / DA —/ MB —/ OBD^180°— 90° = 90° (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△ AO &A BOD AC 厂 • / AM = 90°,侖,3,BD 设 BD= x ，贝U AC = • 3x ,OD• OC = tan 303OD = . 3, / CAO / DBO.在Rt△ COD中,•••/ 0C空30°, OD= 1, ••• CD= 2,BC= x —2.在Rt△ AOB中，/ OA= 30°, OB= '7.•AB= 2OB= 2 ：7 ,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC= Ah,即（：3 x）2+ （x —2）2= （2 ：7）2,解得x i= 3, X2=—2（舍去），•AC= 3=：.f3;AC②点C与点M重合时，如解图②，同理得：/ AM= 90°,BD= ；'3,设BD= x，贝U AC= _：3x,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC = AB",即（:'3x）2+ （x + 2）2= （2 ；7）2解得x i=—3,解得x2 = 2（舍去）.• AC= 2\ 3.综上所述，AC的长为3 '3或2 ：'3.图①图②例1题解图1 . （2016 -河南）（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC= a, AB= b.填空：当点A位于___________________ 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________ (用含a, b 的式子表示)•(2) 应用点A 为线段BC 外一动点，且BC= 3, AB= 1，如图②所示，分别以 AB AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边 三角形ACE 连接CD BE.① 请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段BE 长的最大值. ⑶拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2 ,且PA = 2, Pg PB,Z BP 昨90°,请直接写出线段备用图2. (2015 -河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ B = 90°, BC = 2AB= 8，点D, E 分别是边 BC, AC 的中点，连 接DE.将厶EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ⑴问题发现(2)拓展探究0)，点B 的坐标为(5 , 0)，点P 为线段AB 外一动点, AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图③ (X .①当a= 0°时,B D = —"F —；②当a = 180°时,AE = _5 ；BD — 2 一'AE的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.BD (3)解决问题当厶EDC 旋转至A, D, E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.3. (2014・河南) ⑴问题发现如图①，△ ACB 和厶DCE 均为等边三角形，点 A, D, E 在同一直线上，连接 BE. 填空：① / AEB 的度数为 __________ ;② 线段AD BE 之间的数量关系为 _______________ . (2)拓展探究如图②，△ ACB^n ^ DCE 均为等腰直角三角形， / ACB=Z DCE= 90°,点A, D E 在同一直线上，DCE 中DE 边上的高，连接 BE,请判断/ AEB 的度数及线段 CM AE, BE 之间的数量关系，并说明理由. (3) 解决问题如图③，在正方形 ABCD 中, CD=〔 2,若点P 满足PD= 1,且/ BPD= 90°,请直接写出点 A 到BP 的距离.试判断：当O °Wa <360°时, 图①图① 图② 图③4. （2018 •南阳二模）在厶ABC中，/ ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.（1）操作发现若AB= AC / BAC= 90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是（2）猜想论证在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断.（3）拓展延伸如图③，若AB^AC / BAO90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ ACB等于 _______________ 度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C, E重合除外）？此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC= 3匹时，请直接写出线段CF的长的最大值是_______ .D C 图③图①图②5. 已知，如图①，△ ABC △ AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B E重合），/ BAC=Z AED= 90°,O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.⑴问题发现类型二图形面积关系问题W^.-(2017 •河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90°, AB = AC 点 D, E 分别在边 AB, AC 上, A» AE , 连接DC 点M, P, N 分别为DE, DC BC 的中点. (1) 观察猜想图①中，线段PM 与 PN 的数量关系是 ________ ,位置关系是 _________ ; ⑵探究证明把厶ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接 MN BD CE,判断△ PMN 的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸把厶ADE 绕A 在平面内自由旋转，若 AD= 4 , AB= 10，请直接写出△ PMN 面积的最大值.①如图①,OF EC②将△ AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②, OF EC =⑵类比延伸将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出 OC 勺值，并说明理由.(3)拓展探究将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为a, 0°WaW 90°, AD= ：2, △ AED 在旋转过程中，存在△ ACD 为直角三角形，请直接写出线段 CD 的长.Ca N例2题图1 1【分析】⑴ 利用三角形的中位线定理得出pg2°E PN^尹D,进而判断出BD= CE即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/ DPM^Z DCA最后用互余即可得出结论；1 1⑵先判断出厶ABD^A ACE得出BD= CE同⑴的方法得出PMk qBD PN^ qBD即可得出PMk PN,同⑴的方法即可得出结论；⑶ 先判断出MN最大时，△ PMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解：（1）•••点P , N是BC, CD的中点,1••• PN// BD PN=-BD.〜2•••点P , M是CD DE的中点，1•PM/ CE PMI= qCE.•/ AB= AC, AD= AE,•BD= CE•PM= PN.•/ PN// BD•/ DPN=Z ADC•/ PM/ CE• / DP=/ DCA.•••/ BAC= 90° ,• / ADCF Z ACD= 90° , • / MPN=Z DPMM DPN=Z DCAb Z ADC= 90° ,••• PML PN⑵由旋转知，/ BAD=Z CAE•/ AB= AC, A» AE,•△ABD^A ACE(SAS)•••/ ABD=Z ACE BD= CE.1同⑴ 的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,1pg 2CE•PM k PN•••△PMN是等腰三角形，同⑴的方法得，PM/ CE•••/ DPM=/ DCE同⑴的方法得，PN// BD•••/ PNC=Z DBC.•••/ DPN=Z DCBF Z PNC=Z DCBH Z DBC•••/ MPN=Z DPMk Z DPN=Z DCEb Z DCBF Z DBC=Z BCEF Z DBC=Z ACBF Z ACEF Z DBC=Z ACBF Z ABD + Z DBC=Z ACBF Z ABC.•••/ BAC= 90° ,•••/ ACBF Z ABC= 90° ,•••/ MPN= 90° ,•△ PMN是等腰直角三角形，8 N Cl例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△ PMN是等腰直角三角形,•••当MN最大时，△ PMN的面积最大，• DE// BC且DE在顶点A上面，MN最大=AW AN连接AM AN在厶ADE 中，AD= AE= 4, / DAE= 90° ,••• AMk 2 2在Rt△ ABC中，AB= AC= 10, AN k 5 -'2,• MN最大=2 :'2 + 5 ,：2 = 7 :'2,1 2 1 1 2 1 - 2 49△PMN最大=2^ gMNh 4 X （7、；2）=—.1. (2013 -河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C= 90°,/ B=/E =30(1) 操作发现如图②，固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______________ ;②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是__________________ .(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC, CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ABC= 60°，点D是角平分线上一点，BD= CD= 4, DE// AB交BC于点E(如图④).若在射线BA上存在点F,使S^DCF= S^BDE, 请直接写出相应的BF的长.图①图②D为AB边的中点，/ ED「90°,将/ EDF 绕点D旋转，它的两边分2 .已知Rt△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,别交AC CB(或它们的延长线)于E, F.当/EDF绕点D旋转到DEL AC 于E时，如图①所示，试证明1S^DEF+ &CEF= •S A ABC・(1)当/EDF绕点D旋转到DE和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由.⑵直接写出图③中，&DEF, & CEF与SU BC之间的数量关系.图①图②图③3. (2018 -郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE, BG.(1)图中/ DC曰/ BCG= _________ ° ;设厶DCE的面积为S i,A BCG的面积为S,则S与S的数量关系为猜想论证：⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DE BG设厶DCE的面积为S,A BCG的面积为S，猜想S i和S2的数量关系，并加以证明；⑶如图③所示，在△ ABC中，AB= AC= 10 cm,/ B= 30°，把△ ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ ACD的面积，请写出CP的长.RG4. (2018 •驻马店一模)如图①，△ ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC, CD在同一条直线上，点M, N分别是斜边AB, DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD, PM，PN, MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是_______________ ，位置关系是 ______________ ；⑵探究证明将图①中的△ CDE绕着点C顺时针旋转a (0 ° <a< 90° )，得到图②，AE与MP BD分别交于点G H判断A PM”的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶CDE绕点C任意旋转，若AC= 4, CD= 2,请直接写出△ PMN面积的最大值.图①参考答案类型一针对训练1解：⑴•••点A为线段BC外一动点，且BO a, AB= b,•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+ AB= a + b.⑵①CD= BE理由：•••△ ABD与厶ACE是等边三角形，•AD= AB, AC= AE,Z BAD=Z CAE= 60°,•••/ BADb Z BAC=Z CABF Z BAC 即/ CAD=Z EAB.AD= AB在^。
2020年中考数学一轮复习题型09几何类比、拓展、探究题(原卷版)
题型09 几何类比、拓展、探究题一、解答题1．如图1，ABC ∆（12AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ． （1）AFD ∠与BCE ∠的关系是 ；（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．①AFD ∠与GCD ∠的关系是 ，请说明理由；②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．2．（问题）如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．（探究发现）（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；（数学思考）（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；（拓展引申）（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．(1)温故：如图 1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6 ，AD=4，求正方形PQMN的边长．(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图 2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．(3)推理：证明图2 中的四边形PQMN是正方形．(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图 3)．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=;6．如图，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且2AB BC =，取EF 的中点M ，连接MD ，MG ，MB ．（1）试证明DM MG ⊥，并求MBMG的值． （2）如图，将如图中的正方形变为菱形，设()2090EAB αα∠=<<︒，其它条件不变，问（1）中MBMG的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．7．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：()1如图1，点A B C ，，在O e 上，ABC ∠的平分线交O e 于点D ，连接AD CD ，．求证：四边形ABCD 是等补四边形； 探究：()2如图2，在等补四边形ABCD 中AB AD ，＝，连接AC AC ，是否平分?BCD ∠请说明理由． 运用：()3如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ＝，其外角EAD ∠的平分线交CD 的延长线于点105F CD AF ，＝，＝，求DF 的长．8．已知V ABC 内接于O e ，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=o 时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当90BAC ∠=o 时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若BC =5，BD =4，求ADAB AC+ 的值．9．如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，AD 与BE 交于点F ，BH AB ⊥于点B ，点M 是BC 的中点，连接FM 并延长交BH 于点H ．（1）如图①所示，若30ABC ∠=o ，求证：DF BH +=； （2）如图②所示，若45ABC ∠=o ，如图③所示，若60ABC ∠=o （点M 与点D 重合），猜想线段DF 、BH 与BD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．10．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADC的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）11．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC BD ⊥．试证明：2222AB CD AD BC +=+；(3)解决问题：如图3，分别以Rt ACB V 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．12．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．13．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP FD =．（1）求AFAP的值； （2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM EB =，连接MF ，求证：MF PF =； （3）如图2，过点E 作EN CD ⊥于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ AP =，连接BQ ，BN ．将AQB ∆绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点'Q 落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点'B 是否落在线段BN 上，并说明理由．14．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，ABn BC=，M 是BC 上一点，连接AM （1）如图1，若1n =，N 是AB 延长线上一点，CN 与AM 垂直，求证：BM BN =（2）过点B 作BP AM ⊥，P 为垂足，连接CP 并延长交AB 于点Q . ①如图2，若1n =，求证：CP BMPQ BQ=②如图3，若M 是BC 的中点，直接写出tan BPQ ∠的值（用含n 的式子表示）15．⑴如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G . ①线段DB 和DG 的数量关系是 ； ②写出线段BE BF 、和DB 之间的数量关系.⑵当四边形ABCD 为菱形，ADC 60∠=o ，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD DE 、，将BDE ∠绕着点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .①如图2，点E 在线段上时，请探究线段BE BF 、和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ；若 BE 1,AB 2==,直接写出线段GM 的长度.16．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AB 的中点，,AD CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD ==，证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD Y 中，对角线AC BD 、交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ． （1）如图②，若ABCD Y 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ． （2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD Y 的面积为 ．17．如图1，在矩形ABCD 中，BC =3，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称'PAB ∆，设点P 的运动时间为()t s（1）若AB =①如图2，当点B ’落在AC 上时，显然△PCB ’是直角三角形，求此时t 的值②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB ’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB ’与直线CD 相交于点M ，且当t ＜3时存在某一时刻有结论∠P AM =45°成立，试探究：对于t ＞3的任意时刻，结论∠P AM =45°是否总是成立？请说明理由.18．在等腰三角形ABC ∆中，AB AC =，作CM AB ⊥交AB 于点M ，BN AC ⊥交AC 于点N ． （1）在图1中，求证：BMC CNB ∆≅∆；（2）在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作//PE AB 交CM 于点E ，作//PF AC 交BN 于点F ，求证：PE PF BM +=；（3）在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似（2）过P 作//PE AB 交CM 的延长线于点E ，作//PF AC 交NB 的延长线于点F ，求证：···AM PF OM BN AM PE +=．19．问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处．若正方形ABCD的边长为4 ，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD 沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG＝52，请直接写出FH的长．20．箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠∠+∠∠+∠+∠＝＝．．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠∠+∠+∠＝”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用:（1）直接应用：①如图2，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠= ．②如图3，ABE ACE ∠∠、的2等分线（即角平分线）BF CF 、交于点F ，已知12050BEC BAC ∠=∠=o o ，，则BFC ∠=③如图4，i i BO CO 、分别为ABO ACO ∠∠、的2019等分线12320172018i =⋯（，，，，，）．它们的交点从上到下依次为1232018O O O O ⋯、、、、．已知BOC m BAC n ∠=∠=o o ，，则1000BO C ∠= 度 （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，2BC CD BCD BAD =∠=∠，．O 是四边形ABCD 内一点，且OA OB OD ==．求证：四边形OBCD 是菱形．21．如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当0α︒=时，AEBD= ；② 当时，AEBD= （2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决当△EDC 旋转至A 、D 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.22．操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合)，过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.(1)如图1，求证：BE＝BF；(2)特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；(3)类比探究：若DE＝a，CF＝b.①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)23．如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，.CD）24．（1）（探究发现）如图1，EOF ∠的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，90EOF ︒∠=，将EOF ∠绕点O 旋转，旋转过程中，EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则,,CE CF BC 之间满足的数量关系是 ． （2）（类比应用）如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“120BCD ∠=o 的菱形ABCD ”，其他条件不变，当60EOF ∠=o 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）（拓展延伸）如图3，120BOD =o ∠，34OD =，4OB =，OA 平分BOD ∠，AB =且2OB OA >，点C 是OB 上一点，60CAD ∠=o ，求OC 的长．25．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（ 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFDE 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．26．在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过G 点的直线分别交AB 、AC 于点E 、F .（1）如图1，当EF ∥BC 时，求证：1BE CFAE AF+=； （2）如图2，当EF 和BC 不平行，且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.27．如图，在等腰Rt ABC V 中，90,ACB AB ∠==o 点D ,E 分别在边AB ,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．28．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+. 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM …小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =…请你选择一种方法证明．(2)类比探究（探究1）如图②，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O e 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O e 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．29．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GF AE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BC k AB =（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长．30．在ABC ∆，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．（1）观察猜想如图1，当60α︒=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ． （2）类比探究如图2，当90α︒=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当90α︒=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．。
中考数学专题复习《类比探究题》
典例解析：(2015' 河南)
如图1，在RtΔABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的
中点，连接DE.将ΔDEC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为ɑ.
（1）问题发现 AE
①当ɑ=0°时，BD
；
②当
ɑ=180°时,
AE BD
.
（2）拓展探究
AE
试判断：当0°≤ ɑ <360°时，BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形
给出证明.
（3）问题解决
当ΔDEC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
A E
A
E
D
B 图1 D
CB
图2
C
A
A B
B
C
E
D
D
E
C
解决类比探究问题的一般方法：
1.根据题干条件，结合分支条件，先解决第 一问； 2.用解决第一问的方法类比解决第二问，如 果不能，两问结合起来分析，找出不能类比 的原因和不变特征，依据不变的特征，探索 新的方法； 3.如果有第三问，要充分利用第二问的结论 以及前两问的方法类比解决第三问.
证ΔAFG≌
，故EF,BE,DF之间的数量关系
为
.
B
A
E
CF
DG
图1
（2）类比引申：如图2，点E,F分别在正
方形ABCD的边CB,DC的延长线上， ∠EAF=45°，连接EF，试猜想EF,BE,DF 之间的数量关系，并给出证明.
E
B
A
F
C
GD
图2
（3）联想拓展：如图3，在∆ABC中，
∠BAC=90°，AB=AC,点D,E均在边BC
河南中考第22题类比探究题(一)汇编试卷
2020中考第22题类比探究题（一）如图,△ABC 与△CDE 为等腰直角三角形,△BAC=△DEC=90°,连接AD,取AD 的中点P,连接BP,并延长到点M,使BP=PM,连接AM,EM,AE,将△CDE 绕点C 顺时针旋转.(1)如图1,当点D 在BC 上,点E 在AC 上时,AE 与AM 的数量关系是 ,△MAE= ;(2)判断当△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)若CD=21BC,将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α(0°<α<360°),当ME=26CD 时,请直接写出α的值.2020中考第22题类比探究题（二）问题发现:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是 ;拓展探究:(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;解决问题:(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若点A满足AB=AC,∠BAC=90°,请直接写出线段AD的长度.2020中考第22题类比探究题（三）(1)【问题发现】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,△BAC=△DAE=90°,延长CA到点F,使得AF=AC,连接DF,BE,则线段BE与DF的数量关系为,位置关系为;(2)【拓展研究】将△ADE绕点A旋转,(1)中的结论有无变化?仅就(2)的情形给出证明;(3)【解决问题】当AB=2,AD=2,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时,直接写出线段DF的长.图（1）2020中考第22题类比探究题（四）在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,△BAC=△DAE=90°,AB=4,AE=2,其中△ABC固定,将△ADE绕点A作360°旋转,点F,M,N分别为线段BE,BC,CD的中点,连接MN,NF.问题提出:(1)如图1,当AD在线段AC上时,则△MNF的度数为,线段MN和线段NF的数量关系为;深入讨论:(2)如图2,当AD不在线段AC上时,请求出△MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系;拓展延伸:(3)如图3,在△ADE持续旋转过程中,若CE与BD的交点为点P,则△BCP面积的最小值为.2020中考第22题类比探究题（五）(1)问题发现如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,当点D落在BC的延长线上时,连接EC,写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系,并证明;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCF中,△ABC=△ACB=△AFC=45°.若BF=13,CF=5,请直接写出AF的长.2020中考第22题类比探究题（六）如图1,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△BAC=30°,点D是AC边上一点,过点D作DE△AB于点E,连接BD,点F 是BD的中点,连接EF,CF.(1)发现问题线段EF,CF之间的数量关系为;△EFC的度数为;(2)拓展与探究若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,判断(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)拓展与运用如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.2020中考第22题类比探究题（七）已知△AOB=90°,点C是△AOB的平分线OP上的任意一点,现有一个直角△MCN绕点C旋转,两直角边CM, CN分别与直线OA,OB相交于点D,E.(1)如图1,若CD△OA,猜想线段OD,OE,OC之间的数量关系,并说明理由;(2)如图2,若点D在射线OA上,且CD与OA不垂直,则(1)中的数量关系是否仍成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出线段OD,OE,OC之间的数量关系,并加以证明;(3)如图3,若点D在射线OA的反向延长线上,且OD=2,OE=8,请直接写出线段CE的长度.2020中考第22题类比探究题（八）如图1,在Rt△ABC中,△BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点.(1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是;(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请证明,否则请说明理由; (3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值..2020中考第22题类比探究题（九）(1)问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：△△ACE的度数为；△线段AC，CD，CE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断△ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在四边形ABCD中，△BAD＝△BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．图1图2图3。
2020河南中考数学复习专题专题 类比探究题
专题七 类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起得探究(2019·河南)在△ABC 中,CA ＝CB,∠ACB＝α、点P 就是平面内不与点A,C 重合得任意一点.连接AP,将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP,连接AD,BD,CP 、(1)观察猜想如图1,当α＝60°时,BD CP得值就是________,直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数就是________.(2)类比探究如图2,当α＝90°时,请写出BD CP得值及直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数,并就图2得情形说明理由.(3)解决问题当α＝90°时,若点E,F 分别就是CA,CB 得中点,点P 在直线EF 上,请直接写出点C,P,D 在同一直线上时AD CP得值.【分析】(1)延长CP 交BD 得延长线于E,设AB 交EC 于点O 、证明△CAP≌△BAD,即可解决问题.(2)设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E 、证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.(3)分两种情况:当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 得延长线于H 、证明AD ＝DC 即可解决问题;当点P 在线段CD 上时,同法可证DA ＝DC,解决问题.【自主解答】1.(2018·河南)(1)问题发现如图1,在△OAB 与△OCD 中,OA ＝OB,OC ＝OD,∠AOB＝∠COD＝40°,连接AC,BD 交于点M 、填空:①AC BD得值为________; ②∠AMB 得度数为________;(2)类比探究如图2,在△OAB 与△OCD 中,∠AOB＝∠COD＝90°,∠OAB＝∠OCD＝30°,连接AC交BD 得延长线于点M 、请判断AC BD得值及∠AMB 得度数,并说明理由; (3)拓展延伸在(2)得条件下,将△OCD 绕点O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点M,若OD ＝1,OB ＝7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 得长.2.(2017·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠A＝90°,AB＝AC,点D,E 分别在边AB,AC 上,AD ＝AE,连接DC,点M,P,N 分别为DE,DC,BC 得中点.(1)观察猜想图1中,线段PM 与PN 得数量关系就是________,位置关系就是________;(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2得位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN 得形状,并说明理由;(3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转,若AD ＝4,AB ＝10,请直接写出△PMN 面积得最大值.图1 图23.(2015·河南)如图1,在Rt△ABC 中,∠B＝90°,BC＝2AB ＝8,点D,E 分别就是边BC,AC 得中点,连接DE 、将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转,记旋转角为α、(1)问题发现①当α＝0°时,AE BD＝________; ②当α＝180°时,AE BD＝________; (2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,AE BD得大小有无变化？请仅就图2得情形给出证明. (3)解决问题当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时,直接写出线段BD 得长.类型二动点引起得探究(2016·河南)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC＝a,AB＝b、填空:当点A位于________时,线段AC得长取得最大值,且最大值为________(用含a,b得式子表示);(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC＝3,AB＝1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD与等边三角形ACE,连接CD,BE、①请找出图中与BE相等得线段,并说明理由;②直接写出线段BE长得最大值;(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A得坐标为(2,0),点B得坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA＝2,PM＝PB,∠BPM＝90°,请直接写出线段AM长得最大值及此时点P得坐标.【分析】(1)根据点A 位于CB 得延长线上时,线段AC 得长取得最大值,即可得到结论;(2)①根据等边三角形得性质得到AD ＝AB,AC ＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形得性质得到CD ＝BE;②由于线段BE 得最大值＝线段CD 得最大值,根据(1)中得结论即可得到结果.(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN 就是等腰直角三角形,根据全等三角形得性质得到PN ＝PA ＝2,BN ＝AM,根据当N 在线段BA 得延长线时,线段BN 取得最大值,即可得到最大值为22＋3;过P 作PE⊥x 轴于E,根据等腰直角三角形得性质即可得到点P 得坐标.【自主解答】4.(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC＝1,点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD 、填空:①PB CD＝________;②∠ACD 得度数为________;(2)拓展探究如图2,在Rt△ABC 中,∠BAC＝90°,AB AC＝k 、点P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝90°,∠APD＝∠B,连接CD,请判断∠ACD 与∠B 得数量关系以及PB 与CD 之间得数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在△ABC 中,∠B＝45°,AB＝42,BC ＝12,P 就是边BC 上一动点(不与点B 重合),∠PAD＝∠BAC,∠APD＝∠B,连接CD 、若PA ＝5,请直接写出所有CD 得长.类型三 图形形状变化引起得探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1,点B,A,C 在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE＝90°,AD＝AE,则BC,BD,CE 之间得数量关系为________;(2)问题解决如图2,在Rt△ABC 中,∠ABC＝90°,CB＝4,AB ＝2,以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC,连接BD,求BD 得长;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCD 中,∠ABC＝∠ADC＝90°,CB＝4,AB ＝2,DC ＝DA,请直接写出BD 得长.【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC,可得结论:BC ＝AB ＋AC ＝BD ＋CE;(2)过D 作DE⊥AB,交BA 得延长线于E,同理证明△ABC≌△DEA,可得DE ＝AB ＝2,AE＝BC＝4,最后利用勾股定理求BD得长;(3)同理证明三角形全等,设AF＝x,DF＝y,根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论.【自主解答】5.(2014·河南)(1)问题发现如图1,△ACB与△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE、填空:①∠AEB得度数为________;②线段AD,BE之间得数量关系为________;(2)拓展探究如图2,△ACB与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB＝∠DCE＝90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上得高,连接BE,请判断∠AEB得度数及线段CM,AE,BE之间得数量关系,并说明理由;(3)解决问题如图3,在正方形ABCD中,CD＝2,若点P满足PD＝1,且∠BPD＝90°,请直接写出点A到BP得距离.参考答案类型一【例1】(1)1 60°(2)BD CP 得值为2,直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数为45°、理由如下: 如图,设BD 交AC 于点O,BD 交PC 于点E 、∵∠PAD＝∠CAB＝45°,∴∠PAC＝∠DA B 、∵AB AC ＝AD AP ＝2, ∴△DAB∽△PAC,∴∠PCA＝∠DBA,BD PC ＝AB AC ＝2、 ∵∠EOC＝∠AOB,∴∠CEO＝∠OAB＝45°,∴直线BD 与直线CP 相交所成得较小角得度数为45°、(3)AD CP得值为2＋2或2－2、 如图,当点D 在线段PC 上时,延长AD 交BC 得延长线于H 、∵CE＝EA,CF ＝FB,∴EF∥AB,∴∠EFC＝∠ABC＝45°、∵∠PAO＝45°,∴∠PAO＝∠OFH、∵∠POA＝∠FOH,∴∠H＝∠APO、∵∠APC＝90°,EA＝EC,∴PE＝EA ＝EC,∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH,∴∠H＝∠BAH,∴BH＝BA 、∵∠ADP＝∠BDC＝45°,∴∠ADB＝90°,∴BD⊥AH,∴∠DBA＝∠DBC＝22、5°、∵∠ADB＝∠ACB＝90°,∴A,D,C,B 四点共圆,∠DAC＝∠DBC＝22、5°,∠DCA＝∠ABD＝22、5°, ∴∠DAC＝∠DCA ＝22、5°,∴DA＝DC 、设AD ＝a,则DC ＝AD ＝a,PD ＝22a, ∴AD CP ＝a a ＋22a ＝2－2、 如图,当点P 在线段CD 上时,同法可证DA ＝DC 、设AD ＝a,则CD ＝AD ＝a,PD ＝22a,∴PC＝a －22a, ∴AD PC ＝a a －22a ＝2＋2、 综上所述,点C,P,D 在同一直线上时,AD CP 得值为2－2或2＋2、 跟踪训练1.解:(1)①1提示:∵∠AOB＝∠COD＝40°,∴∠COA ＝∠DOB、∵OC＝OD,OA ＝OB,∴△COA≌△DOB(SAS),∴AC＝BD,∴AC BD＝1、 ②40°提示:∵△COA≌△DOB,∴∠CAO＝∠DBO、∵∠AOB＝40°,∴∠OAB＋∠ABO＝140°、在△AMB 中,∠AMB＝180°－(∠C AO ＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB ＋∠ABD)＝180°－140°＝40°、(2)AC BD ＝3,∠AMB＝90°、理由如下: 在Rt△OCD 中,∠DCO＝30°,∠DOC＝90°,∴OD OC ＝tan 30°＝33、 同理得OB OA ＝tan 30°＝33、 ∵∠AOB＝∠COD＝90°,∴∠AOC＝∠BOD,∴△AOC∽△BOD, ∴AC BD ＝OC OD＝3,∠CAO＝∠DBO, ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB －MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°、(3)23或33、提示:①点C 与点M 重合时,如图,同理得△AOC∽△BOD,∴∠AMB＝90°,AC BD ＝3、 设BD ＝x,则AC ＝3x 、在Rt△COD 中,∵∠OCD＝30°,OD＝1,∴CD＝2,∴BC＝x －2、在Rt△AOB 中,∠OAB＝30°,OB＝7、∴AB＝2OB ＝27、在Rt△AMB 中,由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2,即(3x)2＋(x －2)2＝(27)2,解得x 1＝3,x 2＝－2(舍去),∴AC＝33、②点C 与点M 重合时,如图,同理得∠AMB＝90°,AC BD ＝3、设BD ＝x,则AC ＝3x,在Rt△AMB 中,由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2,即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2、解得x 1＝－3,解得x 2＝2(舍去),∴AC＝23、综上所述,AC 得长为33或23、2.解:(1)PM ＝PN PM⊥PN提示:∵点P,N 就是BC,CD 得中点,∴PN∥BD,PN＝12BD 、∵点P,M 就是CD,DE 得中点,∴PM∥CE,PM＝12CE 、 ∵AB＝AC,AD ＝AE,∴BD＝CE,∴PM＝PN 、∵PN∥BD,∴∠DPN＝∠ADC,∵PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCA、∵∠BAC＝90°,∴∠ADC＋∠ACD＝90°,∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°,∴PM⊥PN、(2)△PMN 为等腰直角三角形.理由如下:由旋转知,∠BAD＝∠CAE、∵AB＝AC,AD ＝AE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD＝∠ACE,BD＝CE 、同(1)得方法,利用三角形得中位线定理得PN ＝12BD,PM ＝12CE, ∴PM＝PN,∴△PMN 就是等腰三角形.同(1)得方法得PM∥CE,∴∠DPM＝∠DCE、同(1)得方法得PN∥BD,∴∠PNC＝∠DBC、∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC,∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB ＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC、∵∠BAC＝90°,∴∠ACB＋∠ABC＝90°,∴∠MPN＝90°,∴△PMN 就是等腰直角三角形.(3)492、 提示:同(2)得方法得△PMN 就是等腰直角三角形,∴当MN 最大时,△PMN 得面积最大,∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面,∴MN 最大＝AM ＋AN 、如图,连接AM,AN 、在△ADE 中,AD ＝AE ＝4,∠DAE＝90°,∴AM＝22、在Rt△ABC 中,AB ＝AC ＝10,AN ＝52,∴MN 最大＝22＋52＝72,∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492、 3.解:(1)①52提示:当α＝0°时,∵在Rt△ABC 中,∠B＝90°,∴AC＝AB 2＋BC 2＝(8÷2)2＋82＝45、∵点D,E 分别就是边BC,AC 得中点, ∴AE＝45÷2＝25,BD ＝8÷2＝4,∴AE BD ＝254＝52、 ②25提示:如图,当α＝180°时,则可得AB∥DE、∵AC AE ＝BC BD, ∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52、 (2)当0°≤α≤360°时,AE BD得大小没有变化. ∵∠ECD＝∠ACB,∴∠ECA＝∠DCB、又∵EC DC ＝AC BC ＝52, ∴△ECA∽△DCB,∴AE BD ＝EC DC ＝52、 (3)BD 得长为45或1255 提示:a 、如图,∵AC＝45,CD ＝4,CD⊥AD,∴AD＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝80－16＝8、∵AD＝BC,AB ＝DC,∠B＝90°,∴四边形ABCD 就是矩形,∴BD＝AC ＝45、b.如图,连接BD,过点D 作AC 得垂线交AC 于点Q,过点B 作AC 得垂线交AC 于点P 、∵AC＝45,CD ＝4,CD⊥AD, ∴AD＝AC 2－CD 2＝(45)2－42＝80－16＝8、∵点D,E 分别就是边BC,AC 得中点, ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2, ∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6,由(2)得AE BD ＝52, ∴BD＝652＝1255、 综上所述,BD 得长为45或1255、 类型二【例2】(1)CB 得延长线 a ＋b(2)①CD＝BE 、理由:∵△ABD 与△ACE 就是等边三角形,∴AD＝AB,AC ＝AE,∠BAD＝∠CAE＝60°,∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC,即∠CAD＝∠EAB、在△CAD 与△EAB 中,⎩⎨⎧AD ＝AB∠CAD＝∠EAB AC ＝AE∴△CAD≌△EAB,∴CD＝BE 、②4提示:∵线段BE 长得最大值等于线段CD 得最大值,由(1)知,当线段CD 取得最大值时,点D 在CB 得延长线上,∴线段BE 得最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4、(3)线段AM 得最大值为22＋3,点P 得坐标为(2－22,2).提示:如图,将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN 就是等腰直角三角形,∴PN＝PA ＝2,BN ＝AM 、∵点A 得坐标为(2,0),点B 得坐标为(5,0),∴OA＝2,OB ＝5,∴AB＝3,∴线段AM 得最大值等于线段BN 得最大值,∴当点N 在线段BA 得延长线时,线段BN 取得最大值,即最大值为AB ＋AN 、 ∵AN＝2AP ＝22,∴线段AM 得最大值为22＋3、如图,过点P 作PE⊥x 轴于点E 、∵△APN 就是等腰直角三角形,∴PE＝AE ＝2,∴OE＝BO －AB －AE ＝5－3－2＝2－2, ∴P(2－2,2).跟踪训练4.解:(1)①1②45°(2)∠ACD＝∠B,PB CD＝k 、 理由如下:∵∠BAC＝∠PAD＝90°,∠B＝∠APD,∴△ABC∽△APD,∴AB AC ＝AP AD＝k 、 ∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAD＝90°,∴∠BAP＝∠CAD,∴△ABP∽△CAD,∴∠ACD＝∠B,PB CD ＝AB AC＝k 、 (3)102或7102、 类型三【例3】(1)BC ＝BD ＋CE提示:∵∠B＝90°,∠DAE＝90°,∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°,∴∠D＝∠EAC 、∵∠B＝∠C＝90°,AD＝AE,∴△ADB≌△EAC,∴BD＝AC,EC ＝AB,∴BC＝AB ＋AC ＝BD ＋CE 、(2)如图,过D 作DE⊥AB,交BA 得延长线于E 、由(1)同理得△ABC≌△DEA,∴DE＝AB ＝2,AE ＝BC ＝4、在Rt△BDE 中,BE ＝6,∴由勾股定理得BD ＝62＋22＝210、(3)如图,过点D 作DE⊥BC 于E,作DF⊥AB,交BA 得延长线于F 、同理得△CED≌△AFD,∴CE＝AF,ED ＝DF 、设AF ＝x,DF ＝y,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3 ∴BF＝2＋1＝3,DF ＝3,由勾股定理得BD ＝32＋32＝32、跟踪训练5.解:(1)①60°提示:∵△ACB 与△DCE 均为等边三角形,∴CA＝CB,CD ＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°,∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD 与△BCE 中,⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACD＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD≌△BCE,∴∠ADC＝∠BEC、∵△DCE 为等边三角形,∴∠CDE＝∠CED＝60°、∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC＝120°,∴∠BEC＝120°,∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝60°、②AD＝BE(2)∠AEB＝90°,AE＝BE ＋2CM 、理由如下:∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形,∴CA＝CB,CD ＝CE,∠ACB＝∠DCE＝90°,∴∠ACD＝∠BCE、在△ACD 与△BCE 中, ⎩⎨⎧CA ＝CB∠ACD＝∠BCE CD ＝CE∴△ACD≌△BCE,∴AD＝BE,∠ADC＝∠BEC、∵△DCE 为等腰直角三角形,∴∠CDE＝∠CED＝45°、∵点A,D,E 在同一直线上,∴∠ADC＝135°,∴∠BEC＝135°,∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°、∵CD＝CE,CM⊥DE,∴DM＝ME、∵∠DCE＝90°,∴DM＝ME＝CM, ∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM、(3)点A到BP得距离为3－12或3＋12、提示:∵PD＝1,∴点P在以点D为圆心,1为半径得圆上.∵∠BPD＝90°,∴点P在以BD为直径得圆上,∴点P就是这两圆得交点.(i)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交BP于点E、∵四边形ABCD就是正方形,∴∠ADB＝45°,AB＝AD＝DC＝BC＝2,∠BAD＝90°,∴BD＝2、∵DP＝1,∴BP＝3、∵∠BPD＝∠BAD＝90°,∴点A,P,D,B在以BD为直径得圆上,∴∠APB＝∠ADB＝45°,∴△PAE就是等腰直角三角形.又∵△BAD就是等腰直角三角形,点B,E,P共线,AH⊥BP,∴由(2)中得结论可得BP＝2AH＋PD,∴3＝2AH＋1,∴AH＝3－1 2、(ii)当点P在如图所示位置时,连接PD,PB,PA,作AH⊥BP,垂足为H,过点A作AE⊥AP,交PB得延长线于点E、同理可得BP＝2AH－PD,∴3＝2AH－1,∴AH＝3＋1 2、综上所述,点A到BP得距离为3－12或3＋12、。
河南省2020年中考模拟数学试卷及答案参考(一) 解析版 (1)
河南省2020年中考模拟数学试卷 (一)一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×10123．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数 2 3 9 8 5 3 这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05 6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1 B．C．D．28．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON 分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE ≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝时，△CDE为等腰三角形．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）40 65售价（元/盏）60 100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1．（3分）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||＝，||＝且0.5＜＜＜3，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．2．（3分）港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程投资总额1269亿元，1269亿用科学记数法表示为（）A．1.269×1010B．1.269×1011C．12.69×1010D．0.1269×1012【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：1269亿＝126900000000，用科学记数法表示为1.269×1011．故选：B．3．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合题意；B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D不符合题意；故选：B．4．（3分）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠BOC＝64°，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝64°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2＝64°，故选：C．5．（3分）在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25人数 2 3 9 8 5 3 这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（）A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05 【分析】中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；由于一共调查了30人，所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．故选：C．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：，解①得：x＞﹣6，解②得：x≤13，故不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，在数轴上表示为：．故选：B．7．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与一次函数y＝x+的图象交于点A，若点P 是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为（）A．1 B．C．D．2【分析】判断出OP⊥AB时，OP最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【解答】解：由得，∴A（2，3），由一次函数y＝x+，令y＝0，解得x＝﹣2，∴（﹣2，0），∴S△AOB＝OB•|y A|＝＝3，AB＝＝5，∵当OP⊥AB时，OP最小，∴S△AOB＝AB•OP最小，∴×5OP最小＝3∴OP最小＝，故选：C．8．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，即可得出∠MPN ＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON 分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE ≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2＝OG•OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④【分析】①由正方形证明OC＝OD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COM＝∠DOF，便可得结论；②证明点O、E、C、F四点共圆，得∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，进而得OGE∽△FGC便可；③先证明S△COE＝S△DOF，∴便可；④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC＝OE2，再证明OG•AC＝EF2，再证明BE2+DF2＝EF2，得OG•AC＝BE2+DF2便可．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，AC⊥BD，∠ODF＝∠OCE＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠COM＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；②∵∠EOF＝∠ECF＝90°，∴点O、E、C、F四点共圆，∴∠EOG＝∠CFG，∠OEG＝∠FCG，∴OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S△COE＝S△DOF，∴，故③正确；④）∵△COE≌△DOF，∴OE＝OF，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG＝∠OCE＝45°，∵∠EOG＝∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC＝OG：OE，∴OG•OC＝OE2，∵OC＝AC，OE＝EF，∴OG•AC＝EF2，∵CE＝DF，BC＝CD，∴BE＝CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，∴BE2+DF2＝EF2，∴OG•AC＝BE2+DF2，故④错误，故选：B．10．（3分）在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝，①当P在OB上时，即0≤x≤1，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC＝BP：OB，∴EF＝2BP＝2x，∴y＝EF•OP＝×2x（1﹣x）＝﹣x2+x；②当P在OD上时，即1＜x≤2，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴EF：AC＝DP：OD，即EF：2＝（2﹣x）：1，∴EF＝4﹣2x，∴y＝EF•OP＝＝﹣x2+3x﹣2，这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．根据题意可知符合题意的图象只有选项B．故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：﹣（）﹣1+＝0 ．【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣4+4＝0．故答案为：0．12．（3分）2019年永州市初中体育学业水平考试实行改革，增加了两类自选类项目：一类是运动技能测试，学生可以从篮球、足球、排球向上垫球三个项目中必须自选一项；另一类是身体力量测试，学生从一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目中再选一项，则某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率是．【分析】用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：用A、B、C分别表示篮球、足球、排球向上垫球三个项目，用a、b、c、d 分别表示一分钟跳绳、仰卧起坐（女）或引体向上（男）、原地正面掷实心球、立定跳远四个项目，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的结果数为1，所以某一初三男学生同时选择篮球和立定跳远这两项的概率＝．故答案为．13．（3分）关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n两根为x1＝﹣1，x2＝3，则方程a（x ﹣h﹣3）2+k+3＝x+n的两根为2或6 ．【分析】根据函数与方程的关系及函数平移的规律，变形要求的方程，利用平移规律可解．【解答】解：由方程a（x﹣h﹣3）2+k+3＝x+n得a（x﹣h﹣3）2+k＝x+n﹣3①方程①可看作左边是二次函数y＝a（x﹣h﹣3）2+k，右边是一次函数y＝x+n﹣3根据平移知识，可知方程①相当于关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝x+n②，左右两边都向右平移3个单位而方程②的两根为x1＝﹣1，x2＝3∴方程①的两根为x1＝2，x2＝6故答案为2或6．14．（3分）如图，7个腰长为1的等腰直角三角形（Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3…）有一条腰在同一条直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，则S1+S2+S3+S4+S5+S6＝．【分析】连接B1、B2、B3、B4点，显然它们共线且平行于AC1，依题意可知△B1B2C1与△C1AA1相似，求出相似比，根据三角形面积公式可得出S1，同理：B2B3：AA2＝1：2，所以B2C2：C2A＝1：2，进而S2的值可求出，同样的道理，即可求出S3，S4…S6的值，即可求解．【解答】解：解：连接B1、B2、B3、B4．∵n+1个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上，∴＝×1×1＝，＝×2×1＝1，＝×3×1＝，…＝＝3，连接B1、B2、B3点，显然它们共线且平行于AA1易知S1＝，∵B2B3∥AA2，∴△B2C2B3∽△A2C2A，∴＝，∴S2＝＝，同理可求，S3＝＝，S4＝×2＝，S5＝＝，S6＝＝，∴S1+S2+S3+S4+S5+S6＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD是△ABC的中线，E是边BC上一动点，将△BED沿ED折叠，点B落在点F处，EF交线段CD于点G，当△DFG是直角三角形时，则CE＝1或﹣．【分析】分两种情形：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．【解答】解：①如图1中，当∠DGF＝90°时，作DH⊥BC于H．在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝＝2，∵AD＝DB，∴CD＝AB＝，∵DH∥AC，AD＝DB，∴CH＝BH，∴DH＝DG＝AC＝1，∴CG＝﹣1，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∴cos∠DCB＝cos∠B＝，∴CE＝CG÷cos∠DCB＝﹣．②如图2中，当∠GDF＝90°，作DH⊥BC于H，DK⊥FG于K．易证四边形DKEH是正方形，可得EH＝DH＝1，∵CH＝BH＝2，∴CE＝1，综上所述，满足条件的CE的值为1或﹣．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程a2+a﹣6＝0的解．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2+a﹣6＝0可以求得a的值，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题，注意代入a的值必须使得原分式有意义．【解答】解：＝＝＝＝，由a2+a﹣6＝0，得a＝﹣3或a＝2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，∴a＝﹣3，当a＝﹣3时，原式＝＝．17．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作作⊙D．（1）求证：AC是⊙D的切线．（2）设AC与⊙D切于点E，DB＝1，连接DE，BF，EF．①当∠BAD＝30°时，四边形BDEF为菱形；②当AB＝+1 时，△CDE为等腰三角形．【分析】（1）作DM⊥AC于M，由角平分线的性质可得DM＝DB，由切线的判定可证AC是⊙D的切线；（2）①由菱形的性质可得BD＝BF，且BD＝DF，可证△BDF是等边三角形，可得∠ADB＝60°，即可求解；②由切线的性质可得DE⊥AC，由等腰直角三角形的性质可得CD＝DE＝，∠C＝45°，可证AB＝BC＝+1．【解答】证明：（1）如图1，作DM⊥AC于M，∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DM⊥AC，∴DM＝DB，∵DB是⊙D的半径，∴AC是⊙D的切线；（2）①如图2，∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF，∵BD＝DF＝DE，∴BD＝DF＝DE＝EF＝BF，∴△BDF，△DEF是等边三角形，∴∠ADB＝∠ADE＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝30°，∴当∠BAD＝30°时，四边形BDEF是菱形，故答案为：30°；②∵AC与⊙D切于点E，∴DE⊥AC，∵△DEC是等腰三角形，且DE⊥AC，∴DE＝EC，∠C＝∠EDC＝45°，∴DC＝DE，∵∠ABC＝90°，∠C＝45°，∴∠BAC＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BD＝DE＝EC＝1，∴DC＝x，∴AB＝BC＝+1，∴当AB＝+1时，△CDE为等腰三角形，故答案为：+1．18．（9分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级；75≤x＜85为B级；60≤x＜75为C级；x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了50 名学生，A级人数占本次抽取人数的百分比为24 %；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为72 度；（4）若该校共有1000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【分析】（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出α；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：24÷48%＝50（人），α＝×100%＝24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4＝10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°＝72°；故答案为：72；（4）根据题意得：1000×＝80（人），答：该校D级学生有80人．19．（9分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）（参考数据：＝1.73，＝2.24，sin53°＝cos37°＝0.80，sin37°＝cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，tan37°＝0.75，sin38°＝cos52°＝0.62，sin52°＝cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，tan52°＝1.28，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73．）【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝，在Rt△ABF中BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3，sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km），∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°，在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km），∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（9分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB 于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时，不等式2x+6＜0的解集；（3）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）结合函数图象找到直线在双曲线下方对应的x的取值范围；（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），∴m＝2×1+6＝8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）不等式2x+6＜0的解集为0＜x＜1；（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴＞0∴S△BMN＝|MN|×|y M|＝＝（n﹣3）2+，∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．21．（10分）某商场计划经销A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．A型B型进价（元/盏）40 65售价（元/盏）60 100（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？（3）若该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，其中A种台灯不超过30盏，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a ＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？【分析】（1）首先设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，然后根据题意，即可得方程，解方程即可求得答案；（2）设至少需购进B种台灯x盏，然后由该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，即可得一元一次不等式35y+20（50﹣y）≥1400，解此不等式即可求得答案；（3）首先设该商场购进A种台灯m盏，由该商场预计用不多于2600元的资金购进这批台灯，可通过不等式组求得m的取值范围，然后求得该商场获得的总利润与该商场购进A种台灯的盏数的一次函数，由10＜a＜20，根据一次函数的增减性即可求得答案．【解答】解：（1）设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，由题意得：40x+65（50﹣x）＝2500，解得：x＝30，∴该商场购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏．（2）设购进B种台灯y盏，由题意得：35y+20（50﹣y）≥1400，解得：y≥，∴y的最小整数解为27，∴至少需购进B种台灯27盏；（3）设该商场购进A种台灯m盏，由题意得：40m+65（50﹣m）≤2600，解得：m≥26，∴26≤m30，设该商场获得的总利润为w元，则w＝20m+（35﹣a）（50﹣m）＝（a﹣15）m+1750﹣50a，∵10＜a＜20，∴当10＜a≤15时，m＝26，即购进A种台灯26盏，购进B种台灯24盏，该商场获得的总利润最大，当15＜a＜20时，m＝30，即购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏，该商场获得的总利润最大．22．（10分）（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D 时线段AB上一动点，连接BE．填空：①的值为 1 ；②∠DBE的度数为90°．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D 是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝45°，可得∠DBE＝90°，通过证明△ACD ∽△BCE，可得的值；（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM＝，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAB＝45°∴∠ABC＝∠CAB＝45°∴AC＝BC，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且∠CAB＝∠CDE＝45°，∴△ACD∽△BCE∴故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，且△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x＝1为抛物线的对称轴．点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；（2）点P为直线x＝1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合）．记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S＝S△BCD，求点P的坐标；（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ延边EQ翻折得到△D′EQ，是否存在点Q使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的对称性得到B（3，0），则设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把解析式配成顶点式即可得到D 点坐标；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），先确定直线BC的解析式y＝x﹣3，再确定E（1，﹣2），则可根据三角形面积公式计算出S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝3，然后分类讨论：当点P在x轴上方时，即m＞3，如图1，利用S＝S△PAB+S△CAB＝S△BCD得到2m2﹣4m＝；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，利用S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝S△BCD得到﹣m2+m+6＝，再分别解关于m的一元二次方程求出m，从而得到P点坐标；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，利用两点间的距离公式计算出BD＝2，分类讨论：①如图3，EQ⊥DB于Q，证明Rt△DEQ∽Rt△DBF，利用相似比可计算出DQ＝，则BQ＝BD﹣DQ＝；②如图4，ED′⊥BD于H，证明Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，利用相似比计算出DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，则利用勾股定理可得x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，于是BQ＝BD﹣DH+HQ﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，利用①得结论可得EI＝，BI＝，而BE＝2，则BG＝BE﹣EG＝2﹣，根据折叠性质得∠EQD＝∠EQD′，则根据角平分线性质得EG＝EI＝，接着证明△BQG∽△BEI，利用相似比可得BQ＝﹣，所以当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ 的重叠部分图形为直角三角形．【解答】解：（1）∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线就笑着说为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（1，﹣2），∴S△BDC＝S△BDE+S△CDE＝×3×（﹣2+4）＝3，当点P在x轴上方时，即m＞3，如图1，S＝S△PAB+S△CAB＝•3•（3+1）+•（3+1）•（m2﹣2m﹣3）＝2m2﹣4m，∵S＝S△BCD，∴2m2﹣4m＝，整理得4m2﹣8m﹣15＝0，解得m1＝，m2＝（舍去），∴P点坐标为（，）；当点P在x轴下方时，即1＜m＜3，如图2，连结OP，S＝S△AOC+S△COP+S△POB＝•3•1+•3•m+•3•（﹣m2+2m+3）＝﹣m2+m+6，∵S＝S△BCD，∴﹣m2+m+6＝，整理得m2﹣3m+1＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）∴P点坐标为（，），综上所述，P点坐标为（，）或（，）；（3）存在．直线x＝1交x轴于F，BD＝＝2，①如图3，EQ⊥DB于Q，△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∵∠EDQ＝∠BDF，∴Rt△DEQ∽Rt△DBF，∴＝，即＝，解得DQ＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝2﹣＝；②如图4，ED′⊥BD于H，∵∠EDH＝∠BDF，∴Rt△DEQ＝H∽Rt△DBF，∴＝＝，即＝＝，解得DH＝，EH＝，在Rt△QHD′中，设QH＝x，D′Q＝DQ＝DH﹣HQ＝﹣x，D′H＝D′E﹣EH＝DE﹣EH＝2﹣，∴x2+（2﹣）2＝（﹣x）2，解得x＝1﹣，∴BQ＝BD﹣DQ＝BD﹣（DH﹣HQ）＝BD﹣DH+HQ＝2﹣+1﹣＝+1；③如图5，D′Q⊥BC于G，作EI⊥BD于I，由①得EI＝，BI＝，∵BE＝＝2，∴BG＝BE﹣EG＝2﹣，∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，∴∠EQD＝∠EQD′，∴EG＝EI＝，∵∠GBQ＝∠IBE，∴△BQG∽△BEI，∴＝，即＝，∴BQ＝﹣，综上所述，当BQ为或+1或﹣时，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ，使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形．。
2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识含答案
专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A 字形（手拉手）及其旋转模型二、K 字型及其旋转【例1】（2019·洛阳二模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点 D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，连接 DE ，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD ，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．（1）问题发现 当 α=0°时，CEBD= ，β=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE 旋转过程中，当 DE ∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．图1 图2【答案】见解析.ACCCBC【解析】解：（1）由题意知，AC，CE =AE，BD =AD =2， ∴CEBD，β=∠A =45°， （2）无变化，理由如下： 延长CE 交BD 于F ，∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，∴AC AEAB AD==DAE =∠BAC =45°， ∴∠DAB =∠CAE ， ∴△ABD ∽△ACE ，∴CE ACBD AB== ∠ABD =∠ACE ， ∴∠CFB =45°， 即β=∠CFB =45°. (3)①如图所示，S =12BC ·BE =12×4×（4-）=8-； ②如下图所示，ADS =12BC ·BE =12×4×（）； 综上所述，在△ADE 旋转过程中，DE ∥AC 时，此时△CBE 的面积为8－或.【变式1-1】（2019·洛阳三模）如图 1，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，D ，E 两点分别是 AC ，CB 上的点，且 CD =6，DE ∥AB ，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．（1）问题发现 ①当 α=0°时，ADEB = ； ②当 α=90°时，ADEB= ．（2）拓展探究请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，ADEB是否发生变化？根据图2证明你的猜想． （3）问题解决在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD时，BE = ，此时α= ．图1 图2【答案】（1）43，43；（2）见解析；（360或300.【解析】解：（1）∵AB =10，AC =8， ∴由勾股定理得：BC =6， ①∵DE ∥AB ，∴CD CEAC BC =, 即686CE =， ∴CE =92，∴BE =32，∴AD EB =43； ②由勾股定理得：AD =10，BE =152， ∴AD EB =43； （2）不变化，理由如下： 由题意知：△DCE ∽△ACB ， ∴CD CEAC BC=， 由旋转性质得：∠ACD =∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ， ∴AD ACBE BC =, 即8463AD BE ==. （3）由(2)知43AD BE =，∵AD ，∴BE如图，过D作DF⊥AC于F，设AF=x，则CF=8－x，由勾股定理得：（）2－x2=62－（8－x）2，解得：x=5，即AF=5，CF=3，由CD=6，得∠FDC=30°，∴∠DCF=60°，即α=60°；同理可得，当α=300°时，AD60°或300°.【例2】（2019·南阳毕业测试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；图1 图2 图3 备用图【答案】（1）1；（2）①mn；②见解析．【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=1，即DEDF=1，（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，∴DEDF=ADCD=ACBC=nm，即DEDF=nm，②成立．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DEDF=ADCD，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴ADCD=ACBC=nm，∴DEDF=nm．【变式2-1】（2019·开封二模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE ＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．（1）问题发现当a＝0°时，AF＝，BE＝，AEBE＝；（2）拓展探究试判断：当0°≤a°＜360°时，AEBE的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．图1 图2 备用图【答案】（1）54；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，∴DG＝EF＝3，AG＝11，∵CE＝4，CD＝6，∴FG＝DE＝2，Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝同理，BE＝∴AEBE=54.（2）AEBE的大小无变化，理由如下：连接AC，∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，∴12EFAB=，12CEBC=，∴EFAB=CEBC，∵∠CEF＝∠ABC＝90°，∴△CEF∽△CBA，∴CF CEAC BC=，∠ECF＝∠ACB，∴54CF ACCE BC==，∠ACF＝∠BCE，∴△ACF∽△BCE，∴54AE CFBE CE==，即AEBE的大小无变化；（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：①E在A、F之间，如图，连接AC，Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，同理得：CF＝5，由（2）知：54 AE CFBE CE==，Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝∴AF ＝AE +EF ＝，∴BE ＝45AF ＝45（2；②点F 在A 、E 之间时，如图所示，连接AC ，同理得：AF ＝AE ﹣EF ＝3，∴BE ＝45AF ＝45（23）＝125；综上所述，BE ．1.（2018·河师大附中模拟）如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=1ABAC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD .填空：①PBCD= ;②∠ACD 的度数为 .（2）拓展探究如图②，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，=ABk AC. 点P 是边BC 上一个动点（不与B 重合），∠P AD =90°，∠APD =∠B ，连接CD . 请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图③，在△ABC 中，∠B =45°，AB ，BC =12，P 是边BC 上一动点（不与B 重合），∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，连接CD . 请直接写出所有CD 的长.① ② ③【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB =AC ，∠BAC =90°，∠P AD =90°， ∴∠BAP =∠CAD ，∠B =45°， ∵∠APD =∠B ， ∴∠APD =∠ADP =45°， ∴AP =AD ， ∴△ABP ≌△ACD ，∴BP =CD ，∠ACD =∠B =45°， 即PBCD=1，∠ACD =45°， 故答案为：1，45°. （2）∠ACD =∠B ，PBCD=k ，理由如下： ∵∠BAC =90°，∠P AD =90°，∠APD =∠B ， ∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB APAC AD=k ， 由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD =90°，得： ∠BAP =∠CAD ， ∴△ABP ∽△CAD ， ∴∠ACD =∠B ， ∴=PB ABCD AC=k . （3）①过A 作AH ⊥BC 于H ，如图所示，∵∠B =45°，∴△BAH 是等腰直角三角形，∵AB ， ∴AH =BH =4， ∵BC =12， ∴CH =8，在Rt △ACH 中，由勾股定理得：AC在Rt △APH 中，由勾股定理得：PH =3，∴BP =1，∵∠P AD =∠BAC ，∠APD =∠B ，∴△ABC ∽△APD ， ∴=AB AP AC AD， 由∠BAP +∠P AC =∠P AC +∠CAD ，得：∠BAP =∠CAD ，∴△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即1CD解得：CD ， ②如图所示，过A 作AH ⊥BC 于H ，同理可得：△ABP ∽△CAD ， ∴=PB AB CD AC，即7CD解得：CD =2综上所述，CD 2.（2018·河南第一次大联考）如图1，在等边三角形ABC 中，点M 为BC 边上异于B 、C 的一点，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，NC 与AB 的位置关系为__________；（2）深入探究：如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN，试求EF的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）NC∥AB；（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：∵AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，又∠ABC=∠ACN，∴△ABC∽△AMN，∴AB AC AM AN=,∴∠BAC=12（180°－∠ABC），∵AM=MN，∴∠MAN=12（180°－∠AMN），由∠ABC=∠AMN，得∠BAC=∠MAN，∴∠BAM=∠CAN，又AB AC AM AN=,∴△ABM∽△ACN，∴∠ABC=∠ACN，(3)连接AB，AN，∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC =∠BAC =45°，∠MAN =45°，∴∠BAM =∠CAN ，由AB AM BC AN =, ∴AB BC AC AM AN AN==, ∴△ABM ∽△ACN ， ∴BM AB CN AC=,=， ∴BM =2，∴CM =BC －BM =10－2=8，在Rt △AMC 中，由勾股定理得：AM∴EF =AM =3.（2017·新野一模）如图①，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连接EF ．（1）说明线段BE 与AF 的位置关系和数量关系；（2）如图②，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图③，当△CEF 绕点C 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC 交AB 于点D ，如果AD =6﹣α的度数．【答案】见解析．【解析】（1）解：BE ⊥AF ，AF ；理由如下：在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =2，∠A =30°，∴AC∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴BE ⊥AF ，BE =CE ，AF =CF ，∴AEACBE BC =∴AF ；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，∴EC =12BC ，FC =12AC ， ∴CE CFBC AC ==12，∵∠BCE =∠ACF ，∴△BEC ∽△AFC ，∴AE ACBE BC =CBE =∠CAF ，延长BE 交AC 于点O ，交AF 于点M ，如图所示：∵∠BOC =∠AOM ，∠CBE =∠CAF ，∴∠BCO =∠AMO =90°，即BE ⊥AF ；（3）解：∵∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴AB =2BC =4，∠B =60°，∴DB =AB ﹣AD =4﹣（6﹣）2，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：∴BH =12DB ﹣1，DH =2DB =3又∵CH =BC ﹣BH =2﹣1）=3∴CH =DH ，∴∠HCD =45°，∴∠DCA =45°，∴α=135°．4.（2019·安阳一模）（1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是__________，∠ACF 的度数为_________．（2）拓展探究：如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°，点D 为BC 边上一动点，DE ∥AB 交AC 于点E ，当∠ADF =∠ACF =90°时，求AE FC 的值． （3）解决问题：如图3，在△ABC 中，BC :AB =m ，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作DE ∥AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当∠ADF =∠ACF =∠ABC 时AEFC 的值．图1 图2图3 【答案】（1）AE =FC ，60；（2）（3）见解析；【解析】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，DE ∥AB ，∴△DCE 是等边三角形，∴CD =DE ，∠CDE =60°，由旋转性质知，AD =DF ，∠ADF =60°，∴∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ≌△FDC ，∴AE =FC ，∠DCF =∠DEA =120°，∴∠ACF =60°；（2）∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠ABC =90°，∵∠ADF =90°，∴∠ADC =∠CDF ，∵∠ACF =90°，即∠AED =∠EDC +∠ACB ，∠FCD =∠ACF +∠ACB ，∴∠AED =∠FCD ，∴△DAE ∽△DFC ， ∴AE DECF CD ,图1A B C D E F图2AB CD E F图3A B C D E F∵DE ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ， ∴DE AB CD BC =,∴AE AB CF BC= (3)与（2）证明可得：AE AB CF BC ==1m. 5.（2019·南阳模拟）（1）【问题发现】如图1，△ABC 和△CEF 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EFC ＝90°，点E 与点A 重合，则线段BE 与AF 的数量关系为 ；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，连接BE ，AF ，线段BE 与AF 的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当AB ＝AC ＝2，△CEF 旋转到B ，E ，F 三点共线时候，直接写出线段AF 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）BE AF ；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）BE AF ．∵△AFC 是等腰直角三角形，∴AC AF∵AB ＝AC∴BE ＝AB AF ；（2）BE AF ，理由如下：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∠EFC ＝90°，∴∠ABC ＝∠FEC =45°，∴sin ∠ABC ＝sin ∠FEC ，即:AC CF BC CE= ∵∠FEC ＝∠ACB ＝45°，∴∠FEC ﹣∠ACE ＝∠ACB ﹣∠ACE ．即：∠FCA ＝∠ECB ．∴△ACF ∽△BCE ，∴AC BE BC AF==2，∴BE AF ；（3）①当E 在B 、F 之间时，如图2，由（1）知，CF ＝EF ，在Rt △BCF 中，CF ，BC ＝，根据勾股定理得，BF∴BE ＝BF ﹣EF ，∵BE AF ，∴AF 1；②当F 在B 、E 之间时，由（1）可证，△ACF ∽△BCE ，∴BC BE AC AF==∴BE AF ；由①知：CF ，BC ＝，BF∴BE ＝BF +EF ，BE AF ，∴AF．当B，E，F三点共线时，线段AF﹣1．6.（2019·商丘二模）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）问题提出：如图1，若AD＝AE，AB＝AC．①∠ABD与∠ACE的数量关系为；②∠BPC的度数为．（2）猜想论证：如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，直接写出PB的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°∴△ADB≌△AEC∴∠ABD＝∠ACE，②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）=180°﹣45°﹣45°=90°；（2）（1）中结论成立，理由：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB AC，同理，AD，∴AD AE AB CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ADB ∽△AEC ．∴∠ABD ＝∠ACE ；∠BPC ＝180°﹣∠ABD ﹣∠ABC ﹣∠BCP＝180°﹣30°﹣60°=90°，（3）解：①当点E 在线段AB 上时，BE ＝AB ﹣AE ＝1．在Rt △AEC 中，由勾股定理得：CE ， 易证：△ADB ≌△AEC ．∴∠DBA ＝∠ECA ．∵∠PEB ＝∠AEC ，∴△PEB ∽△AEC ． ∴PB BE AC CE=， ∴2PB =∴PB ＝5； ②当点E 在BA 延长线上时，BE ＝AB +AE ＝3． 同理得：PB BE AC CE =， ∴32PB CE=∴PB综上所述，PB7.（2019·名校模考）问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究：（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．图1 图2 图3【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵DE∥BC，∴BD CEAB AC=，AD AEAB AC=,即BD AD AB CE AE AC==,∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC；（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵AD ABAE AC==tan∠ADE，∴△ABD∽△ACE，∴BD ABCE AC=＝k，即：BD＝k•EC；（3）BF•CF的值为2或1；由（2）知△ABD∽△ACE∴∠ACE＝∠ABD＝15°∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°由∠BAC＝90°，AC＝1，AB，得：∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，分两种情况讨论：①如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2∴BF＝CF＝∴BF•CF＝2；②如图在BF上取点G，使∠BCG＝15°，则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2CF，GF，BF=(2+ )CF由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2∴CF2+（）CF2＝22，∴CF2＝2，∴BF•CF＝（CF2＝1，即：BF•CF＝2或1．8.（2019·枫杨外国语三模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D是直线AB上的动点，连接CD，以CD为边，在CD的左侧作等边△CDE，连接EB（1）问题发现：如图(1)，当CD⊥AB时，ED和EB的数量关系是 .（2）规律论证：如图(2)当点D在线段AB上运动时，(1)中ED，EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.（3）拓展应用：如图(3)当点D在直线AB上运动时，若AC△BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的AD的长.图1 图2 图3【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BDE=30°，∵∠B=30°，∴∠BDE=∠B，∴ED=EB；（2）成立；过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，∵∠CBA=30°，∴∠BCF=60°，∵△CED是等边三角形，∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠ECH=∠DCF，∴△CDF≌△CEH，∴CH=CF，在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，∴BH=CH=CF，即H为BC中点，∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，∴△BEH≌△CEH，∴BE=CE，∵CE=DE，∴BE=DE；（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，由题意知：AC，∴AH，CH BC=2CH BE=CE=CD BC在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH∴AD=DH－AH；②如图所示，同理可得：DH AH，∴AD=DH+AH；综上所述，符合条件的AD.9.（2017·郑州一模）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB 于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若2AB EFBC BF==，求ANDN的值.【答案】见解析．【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，∴△BMF≌△ECF，∴BM=EC．∵E为CD的中点，∴EC=12DC=12AB，∴AM=BM=EC；（2）设MB =x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，AB =DC ，∠A =∠ABC =∠BCD =90°，AB ∥DC ， ∴2CE EF BM BF==， ∴EC =2x ，∴AB =CD =2CE =4x ，AM =AB ﹣MB =3x ， 由2AB BC=，得BC =AD =2x ， ∵MN ⊥MC ，∴∠CMN =90°，∵∠A =90°，∴∠BMC =∠ANM ，∴△AMN ∽△BCM ， ∴AN AM BM CB =, ∴32AN x x x=， ∴AN =32x ，ND =AD ﹣AN =12x ， ∴AN DN=3. 10. (2019·郑州名校二模) 如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，同理：PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，由（1）中知：PN＝12BD，PM＝12CE，PM∥CE，PN∥BD，∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，∴△PMN是等腰三角形，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，BD最大，最大值为：BD＝AB+AD＝14，即PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝492。
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专题七 类比探究题专题类型突破类型一 图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP.(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BD CP的值是________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．【分析】(1)延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O.证明△CAP≌△BAD，即可解决问题．(2)设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD＝DC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC，解决问题．【自主解答】1．(2018·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图23．(2015·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AE BD＝________；②当α＝180°时，AE BD＝________； (2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．类型二 动点引起的探究(2016·河南)(1)发现如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含a ，b 的式子表示)；(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P的坐标．【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE的最大值＝线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果．(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN ＝PA ＝2，BN ＝AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为22＋3；过P 作PE⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标．【自主解答】4．(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，ABAC ＝1，点P 是边BC 上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD.填空：①PB CD＝________； ②∠ACD 的度数为________；(2)拓展探究如图2，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB AC＝k.点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC 中，∠B＝45°，AB ＝42，BC ＝12，P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD.若PA ＝5，请直接写出所有CD 的长．类型三 图形形状变化引起的探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为________；(2)问题解决如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；(2)过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，同理证明△ABC≌△DEA，可得DE＝AB ＝2，AE＝BC＝4，最后利用勾股定理求BD的长；(3)同理证明三角形全等，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．【自主解答】5．(2014·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD，BE之间的数量关系为________；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．参考答案类型一【例1】(1)1 60°(2)BDCP 的值为2，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°.理由如下： 如图，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB. ∵AB AC ＝ADAP ＝2， ∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，BD PC ＝ABAC＝ 2.∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°. (3)ADCP的值为2＋2或2－ 2. 如图，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H.∵CE＝EA ，CF ＝FB ，∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45°.∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA.∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC.设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝2 2a，∴ADCP＝aa＋22a＝2－ 2.如图，当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC.设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝22a，∴PC＝a－22a，∴AD PC ＝a a －22a＝2＋ 2. 综上所述，点C ，P ，D 在同一直线上时，ADCP 的值为2－2或2＋ 2.跟踪训练 1．解：(1)①1提示：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA ＝∠DOB.∵OC＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ，∴ACBD ＝1.②40°提示：∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°.在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB ＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)ACBD ＝3，∠AMB＝90°.理由如下： 在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33. 同理得OB OA ＝tan 30°＝33.∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO， ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB －MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)23或3 3.提示：①点C 与点M 重合时，如图，同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x. 在Rt△COD 中， ∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2，∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27.在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x －2)2＝(27)2， 解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝3 3.②点C 与点M 重合时，如图，同理得∠AMB＝90°，ACBD＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2， 即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2. 解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)， ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3. 2．解：(1)PM ＝PN PM⊥PN 提示：∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴BD＝CE ，∴PM＝PN. ∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA.∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN.(2)△PMN 为等腰直角三角形．理由如下： 由旋转知，∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠AB D ＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得 PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形． 同(1)的方法得PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE. 同(1)的方法得PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB ＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形． (3)492.提示：同(2)的方法得△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN. 如图，连接AM ，AN.在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2 2.在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.3．解：(1)①52提示：当α＝0°时， ∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∴AC＝AB 2＋BC 2＝（8÷2）2＋82＝4 5. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴AE＝45÷2＝25，BD ＝8÷2＝4， ∴AE BD ＝254＝52. ②25提示：如图，当α＝180°时，则可得AB∥DE.∵AC AE ＝BC BD， ∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52. (2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52. (3)BD 的长为45或125 5提示：a.如图，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD ，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.b ．如图，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P.∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6， 由(2)得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255.类型二【例2】(1)CB 的延长线 a ＋b (2)①CD＝BE.理由：∵△ABD 与△A CE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD＝∠EAB，AC ＝AE ， ∴△CAD≌△EAB， ∴CD＝BE. ②4提示：∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值， 由(1)知，当线段CD 取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4.(3)线段AM的最大值为22＋3，点P的坐标为(2－22，2)．提示：如图，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM的最大值等于线段BN的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的最大值为22＋3.如图，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．跟踪训练4．解：(1)①1②45°(2)∠ACD＝∠B，PB CD＝k. 理由如下：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴AB AC ＝AP AD＝k. ∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAD＝90°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△CAD，∴∠ACD＝∠B，PB CD ＝AB AC＝k. (3)102或7102. 类型三【例3】(1)BC ＝BD ＋CE提示：∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC.∵∠B＝∠C＝90°，AD ＝AE ，∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC ，EC ＝AB ，∴BC＝AB ＋AC ＝BD ＋CE.(2)如图，过D 作DE⊥AB，交BA 的延长线于E.由(1)同理得△ABC≌△DEA，∴DE＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4.在Rt△BDE 中，BE ＝6，∴由勾股定理得BD ＝62＋22＝210.(3)如图，过点D 作DE⊥BC 于E ，作DF⊥AB，交BA 的延长线于F.同理得△CED≌△AFD，∴CE＝AF ，ED ＝DF.设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴BF＝2＋1＝3，DF ＝3，由勾股定理得BD ＝32＋32＝3 2.跟踪训练5．解：(1)①60°提示：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝60°.②AD＝BE(2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM.理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)点A到BP的距离为3－12或3＋12.提示：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．(i)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A 作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A，P，D，B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2.(ii)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E.同理可得BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。