2020河南中考数学复习专题专题类比探究题

专题七 类比探究题

专题类型突破

类型一 图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP.

(1)观察猜想

如图1，当α＝60°时，BD CP

的值是________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是________．

(2)类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出BD CP

的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

(3)解决问题

当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写

出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP

的值．

【分析】(1)延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O.证明△CAP≌△BAD，即可解决问题．

(2)设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD＝DC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC，解决问题．

【自主解答】

1．(2018·河南)(1)问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：

①AC

BD

的值为________；

②∠AMB的度数为________；

(2)类比探究

如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连

接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD

的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸

在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．

2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．

(1)观察猜想

图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________；

(2)探究证明

把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的

形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．

图1 图2

3．(2015·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

(1)问题发现

①当α＝0°时，AE BD

＝________；

②当α＝180°时，AE BD

＝________； (2)拓展探究

试判断：当0°≤α<360°时，AE BD

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)解决问题

当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．

类型二 动点引起的探究

(2016·河南)(1)发现

如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.

填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含a ，b 的式子表示)；

(2)应用

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值；

(3)拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P的坐标．

【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；

(2)①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；

②由于线段BE的最大值＝线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果．

(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN ＝PA ＝2，BN ＝AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为22＋3；过P 作PE⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标．

【自主解答】

4．(2019·河南模拟)(1)问题发现

如图1，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB

AC ＝1，点

P 是边BC 上一动点(不与点B

重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD.

填空：①PB CD

＝________； ②∠ACD 的度数为________；

(2)拓展探究

如图2，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB AC

＝k.点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题

如图3，在△ABC 中，∠B＝45°，AB ＝42，BC ＝12，P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD.若PA ＝5，请直接写出所有CD 的长．

类型三 图形形状变化引起的探究