九年级数学下册 24 圆 课题 切线长定理学案 (新版)沪科版
2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【学案】 切线的判定
切线的判定一、学习目标1.理解切线的判定定理和性质定理。
2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
3.提升数学学习能力。
二、自主探究请你先阅读课本，然后解决下面的问题：（一）引入新知1 、【画一画】请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？作法：（1）（2）（3）2、【想一想】为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？已知：直线a 切⊙O 于点A.求证：OA ⊥直线a证明：假设不垂直,作OM ⊥a因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.这与线圆相切矛盾.故：圆的切线垂直于经过切点的半径.3、【说一说】通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什么是圆的切线吗？（1）· · M A O a（2）（3）4、【议一议】（1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
（二）尝试运用1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。
2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。
3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.AB E O （1） （2） · O AC B三、归纳小结本节课你的收获有哪些？。
2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【教学设计】 切线长定理
切线长定理教学目标(一)知识与技能1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．(二)过程与方法1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．(三)情感态度与价值观经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用．教学难点探索圆的切线的判定方法．教学方法师生共同探索法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．Ⅱ．新课讲解1．探索切线的判定条件如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？[师]大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A 移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．[生](1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O 到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．[师]回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．[生](2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．[师]从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．[生]直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．[师]很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A 点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．[生]如下图．(1)连接OA．(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．Ⅴ．课后作业练习Ⅵ．活动与探究已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．证明：连结OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．。
沪科版九年级数学HK下册精品教学课件 第24章 圆 12 课题：切线长定理
∵∠DOB =∠ODE +∠OED， ∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC．
证明：∵ △ABC 三边都与 ⊙O 相切，
∴ AD = AE ①，BD = BF ②，CF = CE ③.
A
∴ ①+②+③，
得 AD + BD + CF = AE + BF + CE.
∴ AB + CF = AC + BF.
D E
O
B
FC
6. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一 点，以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相切于点 D. 求证：DE∥OC.
作法
A
1.连接OP.
2.以OP为直径作圆，设此圆交
O.
.
P
⊙O于点A，B. B
3.连接PA，PB.则直线PA，PB 即为所作.
切线长概念
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之 间的线段长叫做这点到圆的切线长。
P.
A
B
. O
过圆外一点能够作圆的两条切线.
比一比：
P. AB
. O
切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点.
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【学案】 切线的判定
切线的判定一、学习目标1.理解切线的判定定理和性质定理。
2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
3.提升数学学习能力。
二、自主探究请你先阅读课本，然后解决下面的问题：（一）引入新知1 、【画一画】请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？作法：（1）（2）（3）2、【想一想】为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？已知：直线a 切⊙O 于点A.求证：OA ⊥直线a证明：假设不垂直,作OM ⊥a因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.这与线圆相切矛盾.故：圆的切线垂直于经过切点的半径.3、【说一说】通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什么是圆的切线吗？（1）· · M A O a（2）（3）4、【议一议】（1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系， 并证明你的结论。
（2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。
（二）尝试运用1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。
2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。
3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB 是⊙O 的切线.AB E O （1） （2） · O AC B三、归纳小结本节课你的收获有哪些？。
九年级数学下册24.4直线与圆的位置关系第3课时切线长定理教案沪科版(new)
24。
4 直线与圆的位置关系第3课时切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明（重点，难点）；2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】利用切线长定理求线段的长如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点C在错误!上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．解析:因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练"第3题【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°。
又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝错误!∠APB＝20°.故答案为20。
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB。
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的圆心为O，连接OP、OA。
沪科版数学九年级下册《切线长定理》教学设计1
沪科版数学九年级下册《切线长定理》教学设计1一. 教材分析《切线长定理》是沪科版数学九年级下册第四章“圆”的内容，本节课主要介绍了切线与圆之间的性质。
通过学习切线长定理，为学生进一步学习圆的性质和解决实际问题打下基础。
教材通过丰富的例题和练习，帮助学生理解和掌握切线长定理，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了直线、圆的基本性质，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于切线长定理的理解和运用还需要加强。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步理解切线长定理，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解切线长定理，学会运用切线长定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生独立思考和合作解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 教学重难点1.重点：理解并掌握切线长定理。
2.难点：如何运用切线长定理解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、操作，培养学生的独立思考能力。
3.小组合作学习：鼓励学生相互讨论、交流，提高合作解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的图片、道具等教学资源。
2.设计好课堂练习题和拓展题。
3.准备好黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片，如自行车轮子、硬币等，引导学生思考：圆上的一点到圆外的一点的连线段有哪些性质？从而引出切线长定理的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示PPT，详细介绍切线长定理的定义和性质。
同时，教师可以利用实物模型或动画演示，帮助学生直观地理解切线长定理。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关切线长定理的练习题，让学生独立完成。
教师在旁边指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，共同解决一些与切线长定理相关的实际问题。
2020年春沪科版九年级数学下册学案24.4 第2课时 切线的性质和判定
24.4 直线与圆的位置关系第2课时 切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能 正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明.3.掌握圆的判定和性质的综合应用.［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］一、导学自习（教材P34-37）⒈切线的定义：直线与圆有 公共点时，这条直线叫做圆的切线.2.切线的判定方法：（1）和圆有 公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义）(2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线.二、研习展评活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O 中，经过半径的外端点作直线,则圆心O 到OA A l OA ⊥直线的距离是多少？直线和⊙O 有什么位置关系？为什么？l l (2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的直线是不是圆的切线.定理的几何语言：如图2，________________,_________ 直线是⊙O 的切线∴l （3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！活动2: 如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（分析：已知AB 经过圆上的点C ，要用上面的判定定理，应该连接 ，证明 ）证明：（图1）（图2）（图3）小结：当直线与圆有公共点，常连接 和公共点得半径，证明直线垂直于 .活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）OB 小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 .活动4：（1）想一想：如图，直线是⊙O 的切线，切点为，那么直线与半径是否一定垂l A l OA 直呢？（可以用反证法证明，选学）(2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，直线是⊙O 的切线 l ______________.∴由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.活动5: 如图，是⊙O 的直径，切⊙O 于，交AB PA A OP ⊙O 于，连接.若，求的度数.C BC 30P ∠=︒B ∠活动6: 如图，为等腰三角形，,是底边ABC ∆AB AC =O BC的中点，⊙O 与腰相切于点，求证：与⊙O 相切.AB D AC 小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点.［课堂小结］1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法：（1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”；(2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］（图4）1.下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,是⊙O 外一点,的延长线交⊙O 于点,点A AO C B 在圆上,且,.求证:直线是⊙O 的切线.AB BC =30A ∠=︒AB ［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．已知：如图7，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．［学后反思］（图6）（图7）。
九年级数学下册 24 圆 课题 切线长定理学案 (新版)沪科版
课题：切线长定理【学习目标】1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题．2．注意切线与切线长，切线的性质与切线长定理的对比和应用．【学习重点】切线长定理及其应用．【学习难点】切线长定理及其应用．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：注意图形中切线长定理的灵活运用．情景导入生成问题旧知回顾：1．切线的性质和判定是什么？答：切线的性质定理：切线垂直于经过切点的半径；切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．过圆上一点A作⊙O的切线如何作？如果我们过圆外一点P作⊙O的切线，能作几条？答：连接AO，过A作AO的垂线，即得⊙O的切线．过圆上一点，只能作⊙O的一条切线，过圆外一点P能作⊙O的两条切线．作法：①连接OP；②以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于A，B，③连接PA，PB，直线PA，PB即为所作．自学互研生成能力知识模块一切线长定理阅读教材P37～P38，完成以下问题：1．从圆外一点能作圆的几条切线？什么是切线长？答：从圆外一点能作圆的两条切线，切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．2．什么是切线长定理？答：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．范例1：如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( D)A．∠1＝∠2B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO(范例1图)(仿例1图)(仿例2图)仿例1：(南充中考)如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是70°．仿例2：如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 相切，且AB ＝8cm ，CD ＝5cm ，则AD ＋BC ＝13cm .方法指导：切线长定理能实现线段之间数量关系的转化，经常与垂径定理、勾股定理、三角函数相互配合使用，另外，需掌握列方程去解决几何中求线段长度及角的度数等问题．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．知识模块二 切线长定理的应用范例2：如图，PA ，PB ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，∠APB ＝54°，则∠COD＝63°．(范例2图)(仿例1图)仿例1：如图，AB ，AC ，CE 是⊙O 的切线，B ，D ，E 为切点，P 为BDE ︵上一点，若∠A＋∠C＝110°，则∠BPE ＝55°．仿例2：如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别与⊙O 相切于点A ，B ，CD 分别交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝4，BC ＝9，求⊙O 的半径R. 解：(1)作OE⊥DC 于E. ∵AM 是⊙O 切线，∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC，∴OA＝OE，∴CD是⊙O切线；(2)作DH⊥BC于H，R＝6.交流展示生成新知1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一切线长定理知识模块二切线长定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：______________________________________________________________。
沪科版九年级数学下册24.4.3切线长定理课件
例5 已知：如图四边形ABCD的边AB，BC，
CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.
求证：AB+CD=DA+BC.
D
证明：∵AB，BC，CD，DA都与 ⊙O相切，E，F，G，H是切点，
H
G
C
·O F
∴AE=AH，BE=BF， CG=CF，DG=DH.
A
EB
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
•3.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F ，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm ，求BC的长.
•
•解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切， •则OB平分∠EBF，OC平分∠FCG. •∵AB∥CD， •∴∠EBF+∠GCF=180°. •∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF
•2.如图，一个油桶靠在墙边，量得WY=1.65m ， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少?
解：设圆心为O，连接OW，OX. ∵YW，YX均是⊙O的切线， ∴OW⊥WY，OX⊥XY， 又∵XY⊥WY， ∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°， ∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX. ∴四边形OWYX是正方形. ∴OW=WY=1.65m. 即这个油桶底面半径是1.65m.
与⊙O相切.
作法
A
1.连接OP. 2.以OP为直径作圆，设此圆交
O.
.P
⊙O于点A，B.
B
3.连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点 之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
A P. B
. O
过圆外一点能够作圆的两条切线.
九年级数学下册 24 圆 课题 切线的判定定理学案 (新版)沪科版
课题：切线的判定定理【学习目标】1．掌握圆的切线判定定理，能用它们进行解答和证明．2．经历圆的切线判定定理的推导，能区分切线判定和性质定理．【学习重点】圆的切线判定定理的推导及应用．【学习难点】区分并应用圆的切线的判定和性质定理进行解答和证明．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是圆的切线？答：如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系是相切，这条直线是圆的切线，这个公共点是切点．2．切线的性质定理是什么？答：圆的切线垂直于经过切点的半径．自学互研生成能力知识模块一切线的判定定理阅读教材P35～P36，完成以下问题：1．在前面的学习中，你有哪些方法可以确定一条直线是圆的切线？答：有两种．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．2．切线的判定定理是什么？答：由圆的切线作图方法可知：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．范例1：如图，点D是∠ABC的角平分线上一点，已知点D到BC的距离DE＝3，现以D为圆心，DE为半径画圆，则圆D与直线BA的位置关系是相切．仿例1：如图，⊙O的半径为4cm，BC为直径，若AB＝10cm，则AC＝6cm时，AC是⊙O的切线．(范例1图)(仿例1图)(仿例2图)(仿例3图)仿例2：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC ＝40°，当∠BCD＝50°时，CD 为⊙O 的切线．仿例3：如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，直线EF 过点A ，要使得EF 是⊙O 的切线，还需添加的条件是∠FAC ＝∠B．仿例4：如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于点E ，连接AD ，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝12AC ；④DE 是⊙O 的切线．正确的有①②③④．方法指导：证明圆的切线，如果有切点，连接过切点的半径，证明它们垂直，如果无切点，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段等于半径．行为提示：积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每一步运算都要有理有据，避免出现知识上的混淆及符号等错误.知识模块二 切线判定在证明中的应用范例2：(滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，EF ⊥AC ，垂足为F.求证：直线EF 是⊙O 的切线．证明：连接OE.∵AB ＝AC ，OB ＝OE ，∴∠B ＝∠C，∠B ＝∠OEB，∴∠C ＝∠OEB，∴OE ∥AC ，∴∠OEF ＝∠EFC.∵EF ⊥AC ，∠EFC ＝90°，∴∠OEF ＝90°，∴EF ⊥OE ，即EF 是⊙O 的切线．仿例：(衡阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由．证明：连接OD.∵AD ︵＝DC ︵＝BC ︵，∴∠BOC ＝∠DOC＝∠AOD＝60°.∵OA ＝OD ＝OC ，∴△AOD 、△DOC 为等边三角形，∴∠A ＝∠BOC＝60°，∴OC ∥AE ，∴∠ECO ＝180°－∠E＝90°，∴CE 是⊙O 的切线，(2)是，理由略．交流展示 生成新知1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 切线的判定定理知识模块二 切线判定在证明中的应用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________。
2020春沪科版九年级数学下册课件-第24章 圆-【学案】 切线的判定
切线的判定一、学习目标1.理解切线的判定定理和性质定理。
2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。
3.提升数学学习能力。
二、自主探究请你先阅读课本，然后解决下面的问题：（一）引入新知1 、【画一画】请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？作法：（1）（2）（3）2、【想一想】为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？已知：直线a 切⊙O于点A.求证：OA⊥直线a证明：假设不垂直,作OM⊥a因“垂线段最短”,a A·M故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径. O这与线圆相切矛盾.故：圆的切线垂直于经过切点的半径.3、【说一说】通过以上两个问题的交流，在阅读课本P95的基础上，你能用一句话描述什么是圆的切线吗？（1）（2）（3）4、【议一议】（1）.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。
（2）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB是⊙O的切线。
这两题的辅助线的作法有什么不同？AoCDO E B （1）（2）BCA（二）尝试运用1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。
2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。
3、【动动脑】已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线.BC O·A三、归纳小结本节课你的收获有哪些？。
沪科版（2012）初中数学九年级下册 24.4.2 直线与圆的位置关系-切线的判定定理 教案
24.4 直线与圆的位置关系——《切线的判定定理》【教学目标】：知识与技能：1.理解切线的判定定理，并学会初步运用．2.知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。
3.掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。
过程与方法：通过复习直线与圆的位置关系，以“d=r 直线是圆的切线”为依据，探究切线的判定定理。
情感、态度与价值观：经历观察、探究、证明等数学活动过程，培养学生初步的演绎推理能力，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
【教学重点】：探索圆的切线的判定定理，并能运用【教学难点】：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径,利用切线的判定解决几何问题的技巧——辅助线的添加。
【教具】：三角板、圆规、多媒体课件【教学过程】：一、情景导入：当你在下雨天快速转动雨伞时，雨水飞出的方向是什么方向呢？雨水是沿着圆的切线的方向飞出的．怎样判断一条直线是圆的切线呢？二、新知探究思考交流图中直线l满足什么条件就是⊙O的切线？方法1：直线与圆只有一个公共点方法2：圆心到直线的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用方法1;方法2是从“数量关系”的角度来判定圆的切线的方法。
判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗?观察与思考在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA。
（1）圆心O到直线l的距离d和圆的半径r有什么数量关系?d=r（2）直线 l 和⊙O有什么位置关系呢？相切由此你发现直线l满足什么条件，又能得到什么结论呢？①直线l经过半径OA的外端点A；②直线l垂直于半径0A．结论: 直线l是⊙O切线归纳新知：切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
对定理的理解：切线必须同时满足两个条件：①经过半径外端点；②垂直于这条半径．定理的数学语言表达：∵ OA是半径， l ⊥OA于点A∴ l是⊙O的切线判断：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.注意：在此定理中，1.“经过半径的外端点”2.“垂直于这条半径”，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、应用新知例1 已知：如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC.求证：AC是☉O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.∵AB是☉O的直径，∴ AC是☉O的切线.证明直线和圆相切的常见类型①有交点，连半径，证垂直例2 如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
24.4+第四课时+切线长定理+ 课件 2023—2024学年沪科版九年级下册
起航加油
随堂演练
课后达标
23
拓展延伸
8.（陕西中考）如图16， ⊙ O 的半径为3， C 是 ⊙ O 外一
点，且 OC = 6 .过点 C 作 ⊙ O 的两条切线 CB ， CD ，切点
分别为 B ， D ，连接 BO 并延长交切线 CD 于点 A ． （1）求 AD 的长.
解：如图86，连接 OD. ∵ BC ， CD 为 ⊙ O 的两条 切线， ∴ OB ⊥ BC ， OD ⊥ AC ， CD = BC.
∴ ∠DOC = ∠BOC = 60∘， CD = BC = 3 3.
∴ ∠DOA = 180∘ − ∠DOC − ∠BOC = 60∘.
图86
∵ ∠DOC = ∠DOA = 60∘， OD = OD， ∠ODC = ∠ODA = 90∘， ∴
△ ODC ≌△ ODA ASA .
∴ AD = CD = 3 3 ．
图16
起航加油
随堂演练
课后达标
26
图15
【问题拓展】 请同学们用不同于“问题分析”中的方法与思路，计算 AD
的长.
起航加油
随堂演练
课后达标
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解： ∵ AB ， BC ， CD ， AD 分别与 ⊙ O 相切于点E， F ， G ， H ， ∴ AE = AH ， BE = BF , CF = CG ， DG = DH , ∵ AB = 10 ， BC = 7 ， CD = 8 ， ∴ AB = AE + BE = 10① ； BC = BF + CF = 7 ，即 BE + CF = 7② ； CD = CG + DG = 8 ，即 CF + DG = 8③. ① + ② + ③ , 得 AE + 2 BE + CF + DG = 25. ∵ BE + CF = 7, ∴ AE + DG = 11. ∵ AD = AH + DH = AE + DG ， ∴ AD = 11 .
【沪科版】九年级数学下册配套学案设计24.4第2课时切线的性质和判定
24.4 直线与圆的位置关系第2课时切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明.3.掌握圆的判定和性质的综合应用.［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］一、导学自习（教材P34-37）⒈切线的定义：直线与圆有公共点时，这条直线叫做圆的切线.2.切线的判定方法：（1）和圆有公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义）(2)到圆心的距离半径的直线是圆的切线.二、研习展评活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l OA⊥,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？为什么？(2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的直线是不是圆的切线.定理的几何语言：如图2，________________,_________Q∴直线l是⊙O的切线（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！活动2: 如图3，直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.（分析：已知AB经过圆上的点C，要用上面的判定定理，应该连接，证明）证明：（图1）（图2）（图3）小结：当直线与圆有公共点，常连接 和公共点得半径，证明直线垂直于 .活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：OB 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 . 活动4：（1）想一想：如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么直线l 与半径OA 是否一定垂直呢？（可以用反证法证明，选学） (2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，Q 直线l 是⊙O 的切线 ______________.∴由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.活动5: 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC .若30P ∠=︒，求B ∠的度数.活动6: 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =,O 是底边BC的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切.小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点. ［课堂小结］1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法： （1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”； (2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］1.下列说法正确的是（ ）（图4）lOAACB OD OA ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB BC =,30A ∠=︒.求证:直线AB 是⊙O 的切线.［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．已知：如图7，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．［学后反思］（图6） （图7）。
沪科版2019-2020年九年级数学下册学案：24.4 第2课时 切线的性质和判定
24.4 直线与圆的位置关系第2课时切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明.3.掌握圆的判定和性质的综合应用.［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］一、导学自习（教材P34-37）⒈切线的定义：直线与圆有公共点时，这条直线叫做圆的切线.2.切线的判定方法：（1）和圆有公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义）(2)到圆心的距离半径的直线是圆的切线.二、研习展评活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l OA⊥,则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？为什么？(2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的直线是不是圆的切线.定理的几何语言：如图2，________________,_________∴直线l是⊙O的切线（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！活动2: 如图3，直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线.（分析：已知AB经过圆上的点C，要用上面的判定定理，应该连接，证明）证明：小结：当直线与圆有公共点，常连接和公共点得半径，证明直线垂直于 . OA（图1）l OA（图2）O（图3）活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：OB 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？） 小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 .活动4：（1）想一想：如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么直线l 与半径OA 是否一定垂直呢？ （可以用反证法证明，选学） (2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，直线l 是⊙O 的切线 ______________.∴由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.活动5: 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC .若30P ∠=︒，求B ∠的度数.活动6: 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =,O 是底边BC的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切.小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点. ［课堂小结］1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法： （1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”； (2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］1.下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB BC =,30A ∠=︒.求证:直线AB 是⊙O 的切线.（图4）lOACB OD O［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．已知：如图7，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．［学后反思］（图6） （图7）。
2022春九年级数学下册 第24章 圆24.4 直线与圆的位置关系第2课时 切线的判定教案沪科版
切线的判定教学目标：1、理解切线的判定定理，并并能初步运用它解决简单的问题。
2、知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。
3、掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。
情感态度：通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并激发学生学习数学的兴趣；。
教学重点：切线的判定定理的理解和应用。
教学难点：理解切线判定定理的中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直线垂直于这条半径。
教学过程：一、创设情景,导入新课。
问题：直线和圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？在学生回答后再展示相应的位置关系及判断的方法：判断的方法：（1）根据直线与圆的交点的个数；（2）圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系。
教师强调：图（2）中的直线与圆相切，我们可以通过上述两种方法来判断它们的位置关系。
但在实际问题中如果我们始终用寻找交点的个数和圆心到直线的距离来判断很不方便，也难于操作，还有没有其它的方法呢？（引导学生思考）二，启发学生，探究新知。
1、待学生思考后，可能没有什么发现。
我们可以让学生在观察刚才的图（2），提示学生可再任作一条半径。
如图（4）所示：教师引导：回顾图（2）中判断直线l与圆相切的方法：利用圆心O到直线l的距离等于圆的半径。
2、教师启发：（1）你能否把上面的文字叙述的条件改成数学语言呢？可由学生积极思考，讨论，然后给出参考的答案：距离OA：改写成OA⊥l;图（4）l AOr等于半径：改写成OA ＝r;垂足A 在半径OA 上且为半径的一个端点。
（2）你能尝试在不改变句子意思的条件下把上面的文字叙述的命题改成意思相同的命题吗？学生改写后交流，然后在集体讨论交流的基础上得出：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（这就是我们今天要学习的内容：圆的切线的判定，并板书课题）（3）熟悉定理，分析命题的题设和结论，并能用几何语言表示它们。
如图：题设两条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径。
沪科版数学九年级下册《第24章 圆 24.4 直线与圆的位置关系 第3课时 切线长定理》教学课件
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL).
∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线， 两条切线长相等，圆心与这一点 的连线平分两条切线的夹角.
A P. B
. O
几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理为证明线段 相等、角相等提供新的方法.
即AB+CD=DA+BC.
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O于
点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC， OA=OB=OD=OE，PA=PB，AC=BC.
=90°.
在 R t B O C 中 ， B C O B 2 O C 2 6 2 8 2 1 0 ( c m ) .
课后小结
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切
线长相等，圆心与这一点的连线平分两条 切线的夹角.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢 大家
探究
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点 分别为A、B，将⊙O沿着直线OP对折，图中 的PA与PB，∠APO与∠ BPO有什么关系?
折一折
发现： PA = PB ∠APO=∠BPO
A P. B
. O
请证明你所发现的结论.
证明： ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点.
【沪科版】2019年春九年级数学下册教案：24.4 第3课时 切线长定理
24.4 直线与圆的位置关系第3课时 切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)；2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点：切线长定理及应用【类型一】 利用切线长定理求线段的长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB .因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长是PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用切线长定理求角的大小A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝12∠APB ＝20°.故答案为20. 方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO 平分∠APB .变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】 切线长定理的实际应用上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA ＝8cm ，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O 作OQ ⊥AB 于Q ，设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA .∵AP 、AQ 为⊙O 的切线，∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO ＝∠QAO .又∵∠BAC ＝60°，∠PAO ＋∠QAO ＋∠BAC ＝180°，∴∠PAO ＝∠QAO ＝60°.在Rt △OPA 中，PA ＝8，∠POA ＝30°，∴OP ＝83(cm)，即铁环的半径为83cm.方法总结：运用切线长定理解决实际问题，要选择合适的数学模型，解题时要结合切线长的性质等求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题三、板书设计切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力.。
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课题：切线长定理
【学习目标】
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理，会应用切线长定理解决问题．
2．注意切线与切线长，切线的性质与切线长定理的对比和应用．
【学习重点】
切线长定理及其应用．
【学习难点】
切线长定理及其应用．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
方法指导：注意图形中切线长定理的灵活运用．情景导入生成问题旧知回顾：
1．切线的性质和判定是什么？
答：切线的性质定理：切线垂直于经过切点的半径；
切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．过圆上一点A作⊙O的切线如何作？如果我们过圆外一点P作⊙O的切线，能作几条？
答：连接AO，过A作AO的垂线，即得⊙O的切线．过圆上一点，只能作⊙O的一条切线，过圆外一点P能作⊙O的两条切线．
作法：①连接OP；②以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于A，B，③连接PA，PB，直线PA，PB即为所作．
自学互研生成能力
知识模块一切线长定理
阅读教材P37～P38，完成以下问题：
1．从圆外一点能作圆的几条切线？什么是切线长？
答：从圆外一点能作圆的两条切线，切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
2．什么是切线长定理？
答：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．
范例1：如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( D)
A．∠1＝∠2B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
(范例1图)
(仿例1图)
(仿例2图)
仿例1：(南充中考)如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是70°．
仿例2：如图，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 相切，且AB ＝8cm ，CD ＝5cm ，则AD ＋BC ＝13cm .
方法指导：切线长定理能实现线段之间数量关系的转化，经常与垂径定理、勾股定理、三角函数相互配合使用，另外，需掌握列方程去解决几何中求线段长度及角的度数等问题．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学．对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
知识模块二 切线长定理的应用
范例2：如图，PA ，PB ，CD 分别切⊙O 于点A ，B ，E ，∠APB ＝54°，则∠COD＝63°．
(范例2图)
(仿例1图)
仿例1：如图，AB ，AC ，CE 是⊙O 的切线，B ，D ，E 为切点，P 为BDE ︵上一点，若∠A＋∠C＝110°，则∠BPE
＝55°．
仿例2：如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别与⊙O 相切于点A ，B ，CD 分别交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分
∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.
解：(1)作OE⊥DC于E.
∵AM是⊙O切线，
∴OA⊥AD.
∵DO平分∠ADC，
∴OA＝OE，
∴CD是⊙O切线；
(2)作DH⊥BC于H，
R＝6.
交流展示生成新知
1．将阅读教材时生成的新问题和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一切线长定理
知识模块二切线长定理的应用
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：______________________________________________________________。