七年级数学面积问题专题

七年级数学之动点面积问题

1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从B点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y=3向右平移，又P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形OBPQ的面积为8；（2）连接AQ，当△APQ是直角三角形时，求Q的坐标．2、如图，在下面直角坐标系中，已知A（-4，a），B（-8，0）（1）请用含a的代数式表示△ABO的面积；（2）若a满足关系式（a+4）2≤0，且以点A、B、O为顶点画平行四边形，则请你“利用平移的知识”直接写出符合条件的所有的平行四边形的第四个顶点C的坐标（3）在（2）的条件下，是否存在x轴上的点M（x，0），使△ABM的面积是△ABO的面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在（2）的条件下，请你直接写出y轴上的点N的坐标，使△AON的面积是△ABO的面积的3倍3、如图，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒a个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒b个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）如图1，若|a+2b-5|+（2a-b）2=0，试分别求出1秒钟后，A，B两点的坐标；（2）如图2，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC，∠FCA，∠ABC的平分线交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH，∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并证明；（3）如图3，过A，O两点的直线相交于点N，AB的延长线交ON于点M，若∠MAN=∠NOB，∠BAO-∠N=m°，试求∠AMO的度数．4、如图，在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，OB＞OC，点A在y轴正半轴上，AD平分∠BAC，交x轴于点D．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAO的度数？（2）试写出∠DAO与∠C-∠B的关系？（不必证明）（3）若点A在y轴正半轴上运动，当点A运动至点P时，请你作出△BPC及其角平分线PQ，并直接写出∠QPO与∠PBC、∠PCB三者的关系？5、如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①DCP BOPCPO∠+∠∠的值不变，②DCP CPOBOP∠+∠∠的值不变其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．7、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，c=2b-a；（1）求a，b，c的值；（2）如果再第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠Q的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由8、在平面直角坐标系中，D（0，-3），M（4，-3），直角三角形ABC的边与x轴分别交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，请写出∠CEF与∠AOG之间的等量关系：（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NED+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG 之间的等量关系，并说明理由．9、已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（-4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）．（1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是，并写出当t=2时，点C的坐标（2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．（3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围10、如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，（c-4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．11、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．12、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点P只做向右或向上运动，则运动1s后它可以到达（0，1）、（1，0）两个整点；它运动2s后可以到达（2，0）、（1，1）、（0，2）三个整点；运动3s后它可以到达（3，0）、（2，1）、（1，2）、（0，3）四个整点；…请探索并回答下面问题：（1）当整点P从点O出发4s后可以到达的整点共有个（2）在直角坐标系中描出：整点P从点O出发8s后所能到达的整点，并观察这些整点，说出它们在位置上有什么特点？（3）当整点P从点O出发 s后可到达整点（13，5）的位置．12、如图，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（5，O）B（2，4）．（1）求△ABO的面积，（2）若B（2，4），O（0，0）不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍，并说明理由．13、如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2）（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，2），试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由14、已知点A（a，0）、B（b，0），且（a+4）2+|b-2|=0．（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是12？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，若点P沿x轴负半轴以每秒1个长度单位平行移动至Q，当运动的时间t为多少秒时，四边形ABPQ的面积S为15个平方单位？写出此时Q点的坐标．15、如图建立平面直角坐标系，长方形OABC中，A（8，0），点C（0，10），点P从原点出发，以每秒1个单（2）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为4个单位长度时，则点P 运动的时间为秒．（3）若点P 出发11秒时，点Q 以每秒2个单位长度的速度也沿着O-C-B-A-O 的路线运动到点O 停止，求t 为何值时点P 、Q 在运动路线上相距的路程为5个单位长度？15、如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A ，C 两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B 在第一象限内．（1）如图，请直接写出点B 的坐（2）若过点C 的直线CD 交长方形OABC 的边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为3：1两部分，求点D 的坐标．16、如图1，点A （a ，6）在第一象限，点B （0，b ）在y 轴负半轴上，且a ，b 满足：(240a b −++=（1）求△AOB 的面积．（2）若线段AB 与x 轴相交于点C ，在点C 的右侧，x 轴的上是否存在点D ，使S △ACD =S △BOC ？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若∠AOx 轴=60°，射线OA 绕O 点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA ′，射线OB 绕B 点以每秒10°的速度顺时针旋转到O ′B ，当OB 转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA ′∥O ′B ？17、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，且S △ABC =18．（1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，S △APC =12S △PBC ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，说明理由．18、在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），点C在x轴上．（1）如图（1），若△ABC的面积为3，则点C的坐标为（2）如图（2），过点B点作y轴的垂线BM，点E是射线BM上的一动点，∠AOE的平分线交直线BM于F，OG⊥OF且交直线BM于G，当点E在射线BM上滑动时，BEOBOF∠∠的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．19、在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（x n，y n），n=1，2，3，…．（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；（2）计算x1+x2+…+x8的值；（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．20、如图：一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，在第一分钟内，它从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位．（1）当粒子所在位置分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）时，所经过的时间分别是多少？（2）在第2004分钟后，这个粒子所在的位置的坐标是多少？21、问题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（1）小明画出如图的图形，并写出问题：如图，点P在∠AOB的内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，求∠P的度数．请你帮助小明完成解题过程．（2）小刚说，这道题应该还有一种情况：点P在∠AOB的外部．他说的对吗？22、如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．（1）请直接写出D点的坐标（2）连接线段OB、OD、BD，请直接求出的面积（3）若长方形ABCD以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．23、在△ABC中，∠A=∠C，点E在BC边上，过点E作射线EF∥AB交AC于点F，EM交AC于点M，点N 在射线EF上，且∠EMN=∠ENM，设∠ABC=α，∠MEN=β．（1）如图1，若点M在线段AF上，α=60°，β=30°，求∠FMN的度数；（2）若点M在AC边上（不与点A、C、F重合），α、β为任意角度，探究∠FMN与α、β的数量关系，请在图2中画出图形，并说明理由．24、如图，在△A B C中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．（1）请你写出三类不同的正确的结论；（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．25、．已知，在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜．（1）求证：∠ABC+∠ADC=180゜；（2）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．26、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．27、如图，锐角△ABC中，高BE、CF交于点H．（1）若∠BAC=70°，求∠BHC的度数；（2）直接给出四条线段AF、HE、AC、CH之间的数量关系；（3）若AD平分∠BAC交BC于D，AD、CF交于点K，HG平分∠BHC交BC于G．求证：HG∥AD．28、1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E 的补角的和为190°，求∠ABE的度数；（3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．29、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE 与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．30、如图，直线AB∥C D．（1）在图1中，∠B M E、∠E，∠EN D的数量关系为：；（不需证明）在图2中，∠B M F、∠F，∠FN D的数量关系为：（不需证明）（2）如图3，NE平分∠FN D，MB平分∠FM E，且2∠E与∠F互补，求∠FM E的大小．（3）如图4中，∠B M E=60°，EF平分∠M EN，NP平分∠EN D，EQ∥N P，则∠FEQ的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠FEQ的度数．31、如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C是坐标轴上的定点，平移线段AB得到线段CD，使点A与点C 对应，点B与点D对应．（1）画出线段CD，并写出画法；（2）点P是x轴上的动点（不与点B，C重合），设∠PAC=α，∠PBD=β，∠APB=θ．①当点P在线段BC上时，求证：θ=α+β；②当点P在线段CB（BC）的延长线上时，①中的结论是否成立？并说明理由32、将两个大小不同的含30°角的三角板的直角顶点O重合在一起，保持△COD不动，将△AOB绕点O旋转，设射线AB与射线DC交于点F．（1）如图①，若∠AOD=120°，①AB与OD的位置关系②∠AFC的度数=（2）如图②当∠AOD=130°，求∠AFC的度数．（3）由上述结果，写出∠AOD和∠AFC的关系（4）如图③，作∠AFC、∠AOD的角平分线交于点P，求∠P的度数．33、（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．34、已知：如图（1）所示，D是∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）请你确定EF、BE、CF三者之间的关系，并加以证明．（2）如图（2）所示，当点D为∠ABC的外角的角平分线和∠ACB的外角的角平分线的交点时，EF、BE、CF 三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．（3）如图（3）所示，当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB外角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．35、如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，连接AC、BD．（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）如图2，在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使S△PA B=S四边形ABDC，若存在这样的一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）若点Q在线段CD上移动（不包括C、D两点），QO与线段CD、AB所成的角∠2与∠1如图3所示，给出下列两个结论：①∠2+∠1的值不变②12∠∠的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出这个结论36、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．。

七年级数学培优专题专题25 图形面积的计算_答案

专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △SSS =S △SSS −S △SSS =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例 2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48SS =484SS =12SS =12SS. 设△ABC 底边DE 上的高为S 1，△BDE 底边DE上的高为S 2，则h =S 1+S 2.∴S △SSS +S △SSS =12∙SS ∙S 1+12∙SS ∙S 2=12∙SS ∙（S 1+S 2）=12∙SS ∙S=12∙SS ∙12SS=6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5S −12S (5+S )=95S =30，解得DE =2.例454提示：2S CES EA==丙甲,2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AEC ABC S S ==V V，1133BGF ABC S S ==V V .设=x PEC S V ，=y PFC S V 则=3x PBC S V ，=3y PCA S V于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S Y ，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a 4ADE ABF S S ==V V .∴APD BEPF S S =V 四边形.如图，连接EF,DF ，则a a ==82AEF ADF S S V V ，.所以a18=a 42EP PD =. 设xAEP S =V ，则=4xADP S V .由APD BEPFS S =V 四边形得ax=4x 4-. ∴a x=20. ∴a a 4=205APD S =⨯V . 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQ ACQS S =V V ， ∴a 5ACQ ADQ S S +=V V . ∴a a 3=a 2510CDQ S =-V .连接PB ，则a =20EBP AEP S S=V V . 由1=a 2ABP CDP S S +V V ，得a a a 3a a 22101010CPQ ABP CDQ S S S =--=--=V V V .∴aPQ 110=3a 310CPQCDQS DQ S ==V V ，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQ APD S S =V V .于是a a 3a==201020APQ CPQ APCQ S S S +=+V V 梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S Y 梯形.A 级 1.14提示：POC AOE S S =V V ,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABG S S =V V ,EFH DHC S S =V V .10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEK ADE CDG PKG FHK ABCD BEFG EHPF S S S S S S S S =++----V V V V V 正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GED GEB S S =V V ，同理GE ∥FK ，得GEK GEF S S =V V .∴16DEKGED GEK GEB GEF BEFG S S S S S S =+=+==V V V V V 正方形.B 级 1.2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b -c -，DF=a -d ，c=12b ，d= 15a ，cd=8.3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=12AE=7.111474922AKE S AE KH =••=⨯⨯=V .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可.9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOB CBO AOD BCDA S S S S =+-V V V 梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABO S =V . 11.14AMD AMC S S ==V V . ∵AMG S V 为公共部分, ∴AGD CMG S S =V V .又因为△AMG与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMGOMG AMDMCD S S MGS S MD==V V V V ,即141142CMGCMGS S -=V V ，解得：1=6CMG S V .∴11=2=63S ⨯阴影.连BG ，设ABC S S =V ,x DOG S =V ，y BGF S =V .则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩同理可得：121.EAH FBI S S S ==V V 又13ADC BEA S S ==V V S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHI S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭V 故17GHI ABC S S =V V .。

七年级数学面积与周长练习题及答案

七年级数学面积与周长练习题及答案1. 圆形的面积与周长计算（1）已知一个圆的半径为5cm，求其面积和周长。

解答：首先计算圆的面积S。

根据公式S = π * r^2，其中π取近似值3.14，r为半径。

代入已知数据可得：S = 3.14 * 5^2 = 3.14 * 25 = 78.5（平方厘米）接下来计算圆的周长C。

根据公式C = 2 * π * r，代入已知数据可得：C = 2 * 3.14 * 5 = 31.4（厘米）所以，该圆的面积为78.5平方厘米，周长为31.4厘米。

（2）已知一个圆的周长为10π cm，求其面积和半径。

解答：首先计算圆的半径r。

根据公式C = 2 * π * r，可以得到：10π = 2 * 3.14 * rr = 10π / (2 * 3.14) = 5（厘米）接下来计算圆的面积S。

根据公式S = π * r^2，代入已知数据可得：S = 3.14 * 5^2 = 3.14 * 25 = 78.5（平方厘米）所以，该圆的面积为78.5平方厘米，半径为5厘米。

2. 矩形的面积与周长计算（1）已知一个矩形的长为8cm，宽为4cm，求其面积和周长。

解答：矩形的面积S可以直接计算，即长乘以宽：S = 8 * 4 = 32（平方厘米）接下来计算矩形的周长C。

根据公式C = 2 * (长 + 宽)，代入已知数据可得：C = 2 * (8 + 4) = 2 * 12 = 24（厘米）所以，该矩形的面积为32平方厘米，周长为24厘米。

（2）已知一个矩形的周长为20cm，宽为3cm，求其面积和长。

解答：首先计算矩形的长L。

根据公式C = 2 * (L + 宽)，可以得到：20 = 2 * (L + 3)10 = L + 3L = 7（厘米）接下来计算矩形的面积S。

根据公式S = L * 宽，代入已知数据可得：S = 7 * 3 = 21（平方厘米）所以，该矩形的面积为21平方厘米，长为7厘米。

初一数学第二学期名校优选小专题05 与三角形的中线有关的面积问题

初一数学第二学期名校优选小专题05 与三角形的中线有关的面积问题【例题讲解】已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝30，S△ADC＝12S△ABC＝30，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD，∴12ABDS BD AH∆=⋅，12ACDS CD AH∆=⋅，∴S△ABD＝S△ACD，故答案为：＝；（2）解方程组得1010xy=⎧⎨=⎩，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：1010xy=⎧⎨=⎩，20；（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝13S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝12S△AEO，设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y ，由题意得：S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为：3154240x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：92x y =⎧⎨=⎩，∴S 四边形ADOE ＝S △ADO +S △AEO ＝x +2 y ＝13．【综合演练】1．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABCS=，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．12．如图，已知D 、E 分别是ABC 的边BC 、AC 的中点，AG 是ABE 的中线，连接BE 、AD 、GD ，若ABC 的面积为40，则阴影部分ADG △的面积为（）A ．10B ．5C ．8D ．43．如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 三边的中线，若S △ABC =12，则图中的阴影部分的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．64．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为8cm 2，则△CEF 的面积为（）A ．0.5cm 2B ．1cm 2C ．2cm 2D ．4cm 25．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别为BC 、AD 的中点，EF=2FC ，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△BEF 的面积为（）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm6．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为（）A ．2B ．4C ．6D ．87．如图，△ABC 的面积是12，点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点，则△AFG 的面积是（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．68．如图，ABC 的面积为1．第一次操作：分别延AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C 使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =顺次连接1A ，1B ，1C 得到111.A B C 第二次操作：分别延长11A B ，11B C ，11C A 至点2A ，2B ，2C 使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =顺次连接2A ，2B ，2C ，得到222A B C △，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（）A ．4B ．5C ．6D ．7第II 卷（非选择题）二、填空题(共0分)9．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且24ABCS cm ，则阴影部分的面积为____2cm ．10．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE 的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．11．如图，△ABC 的面积为12，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，那么阴影部分的面积是_____．12．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，3CD BD =，点E 是AC 的中点，BE 、AD 交于点F ，四边形DCEF 的面积的最大值是______．13．如图，若S △ABC =1分别倍长(延长一倍)AB 、BC 、CA 得到111A B C ，再分别延长111111A B B C C A 、、得到222A B C ，……，按此规律，延长n 次后得到的n n n A B C 的面积为_________.三、解答题(共0分)14．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t 秒．(1)当t =______时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？ (2)当t =______时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？ (3)当t 为何值时，BCP 的面积为12？15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC 的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上（1）画出△ABC 先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△111A B C（2）画出△ABC的中线AD；（3）画出△ABC的AC边上的高BE；（要求只能通过连接格点方式作图）（4）找△ABP（要求各顶点在格点上，P不与C点重合），使其面积等于△ABC的面积．满足这样条件的点P共个．16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝，S△ADC＝12S△ABC＝，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE 交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．18．（1）【阅读理解】如图（1），AD 是△ABC 的中线，作△ABC 的高AH ． ∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD ＝CD∵S △ABD ＝12•BD •AH ，S △ACD ＝12CD •AH ∴S △ABD S △ACD （填：＜或＞或＝）（2）【结论拓展】△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD mCD n=，则ABD ACDS S ＝（3）【结论应用】如图（3），请你将△ABC 分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）如图（4），BE 是△ABC 的中线，F 是AB 边上一点，连接CF 交BE 于点O ，若2AF BF =，则COOF＝．说明你的理由答案与解析【例题讲解】已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝30，S△ADC＝12S△ABC＝30，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为．（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝CD，∴12ABDS BD AH∆=⋅，12ACDS CD AH∆=⋅，∴S△ABD＝S△ACD，故答案为：＝；（2）解方程组得1010xy=⎧⎨=⎩，∴S△AOD＝S△BOD＝10，∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，故答案为：1010xy=⎧⎨=⎩，20；（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，∴S△ADO＝13S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴S△CEO＝12S△AEO，设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y ，由题意得：S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为：3154240x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：92x y =⎧⎨=⎩，∴S 四边形ADOE ＝S △ADO +S △AEO ＝x +2 y ＝13．【综合演练】1．如图，点D 、E 在ABC 的边上，连接AD 、BE 交于点F ．若BD CD =，13CE AC =，224cm ABCS=，则图中两个阴影面积之差即AEF BDF S S -△△等于（）2cm ．A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】利用BD CD =，224cm ABCS=，求出212cm ==A D DC AB S S △△，再利用13CE AC =求出2216cm 3==BEA ABC S S △△，再根据21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△，即可求出24cm =-B A F DF E S S △△．【解析】解：∵BD CD =，224cm ABCS=．∴212cm ==A D DC AB S S △△．∵13CE AC =．∴218cm 3==BEC ABC S S △△，2216cm 3==BEA ABC S S △△．∵21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△．∴24cm =-B A F DF E S S △△．故选：B【点评】本题考查利用中线求三角形面积，解题的关键是找出21216cm -=-++=ABD BDF BD AEF AEF F S S S S S △△△△△．2．如图，已知D 、E 分别是ABC 的边BC 、AC 的中点，AG 是ABE 的中线，连接BE 、AD 、GD ，若ABC的面积为40，则阴影部分ADG△的面积为（）A．10 B．5 C．8 D．4【答案】B【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG=S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可．【解析】解：连接DE，如图，∵D为BC的中点，G为BE的中点，∴DG为△BCE的中位线，∴DG∥AC，∴S△ADG=S△EDG，∵E点为AC的中点，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20，∵D点为BC的中点，∴S△BDE=12S△EBC=12×20=10，∵G点为BE的中点，∴S△EDG=12S△BDE=12×10=5．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S =12×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质．3．如图,AD 、BE 、CF 是△ABC 三边的中线，若S △ABC =12，则图中的阴影部分的面积是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】先根据三角形中线的定义可得162BCFABCS S ==，162BCEABCSS ==，162ABD ABC S S ==△△，12BDG CDGBCGSSS ==，BFGAFGSS=，设AFGBFGSSa ==，则6BCGSa =-，13,2BDGCEGSa Sa =-=，再根据AFGBFGBDGABDS SSS++=建立方程可求出a 的值，由此即可得出答案．【解析】解：CF 是ABC 三边的中线，且12ABC S =△， 162BCFABCSS ∴==，同理可得：162BCEABCS S ==，162ABD ABC S S ==△△， 12BDG CDGBCGSSS ==，BFGAFGSS=，设AFGBFGS S a ==，则6BCGBCFBFGSSS a =-=-， 132BDG CDGSSa ∴==-，CEGBCEBCGSSSa =-=，AFGBFGBDGABDSSSS++=，1362a a a ∴++-=，解得2a =，则图中的阴影部分的面积是24BFGCEGS Sa +==，故选：B ．【点评】本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线与三角形面积的关系是解题关键．4．如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 上的中点，且△ABC 的面积为8cm 2，则△CEF 的面积为（）A．0.5cm2B．1cm2C．2cm2D．4cm2【答案】C【分析】由点D为BC的中点，根据等高的两三角形面积的比等于底边的比得到S△ADC=12S△ABC，S△EDC=12S△EBC，同理由点E为AD的中点得到S△EDC=12S△ADC，则S△EBC=2S△EDC=12S△ABC，然后利用F点为BE的中点得到S△CEF=12S△EBC=12×12S△ABC，再把△ABC的面积为8cm2代入计算即可．【解析】解：如图，∵点D为BC的中点，∴S△ADC=12S△ABC，S△EDC=12S△EBC，∵点E为AD的中点，∴S△EDC=12S△ADC，∴S△EDC=14S△ABC，∴S△EBC=2S△EDC=12S△ABC，∵F点为BE的中点，∴S△CEF=12S△EBC=12×12S△ABC=12×12×8=2（cm2）．故选：C．【点评】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高的积的一半；等底等高的两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．5．如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF=2FC，若△ABC的面积为12 cm2，则△BEF 的面积为（）A ．22cmB ．23cmC ．24cmD ．25cm【答案】C【分析】由点D 是BC 的中点，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积=12△ABC ，由E 是AD 的中点，得出△ABE 的面积=△D BE 的面积=14△ABC 的面积，进而得出△BCE 的面积=12△ABC 的面积，再利用EF=2FC ，求出△BEF 的面积.【解析】点D 是BC 的中点，∴△ABD 的面积=△ACD 的面积=12△ABC 的面积= 6，E 是AD 的中点，∴△ABE 的面积=△DBE 的面积=14△ABC 的面积= 3，△ACE 的面积=△DCE 的面积=14△ABC 的面积= 3，∴△BCE 的面积=12△ABC 的面积= 6,EF= 2FC ，∴△BEF 的面积=23⨯6=4.故选C【点评】利用三角形中线将三角形分为两个面积相等的三角形这一性质，即可求解.6．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AD 的中点，连接BE 、CE ，若△ABC 的面积是8，则阴影部分的面积为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．【解析】∵AD 是△ABC 的中线，∴S △ABD =S △ACD =12S △ABC ， ∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD ，S △CDE =S △CAE =12S △ACD ，∵S △ABE =14S △ABC ，S △CDE =14S △ABC ，∴S △ABE +S △CDE =12S △ABC =12×8=4； ∴阴影部分的面积为4，故选B ．【点评】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此题难度不大．7．如图，△ABC 的面积是12，点D 、E 、F 、G 分别是BC 、AD 、BE 、CE 的中点，则△AFG 的面积是（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．6【答案】A【解析】∵点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，∴AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，CE 是△ACD 的中线，AF 是△ABE 的中线，AG 是△ACE 的中线，∴△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=131282⨯=，同理可得△AEG 的面积=32，△BCE 的面积=12×△ABC 的面积=6，又∵FG 是△BCE 的中位线，∴△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，∴△AFG 的面积=△AEF 的面积+△AEG 的面积+△EFG 的面积=32×3=4.5，故选：A ．8．如图，ABC 的面积为1．第一次操作：分别延AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C 使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =顺次连接1A ，1B ，1C 得到111.A B C 第二次操作：分别延长11A B ，11B C ，11C A 至点2A ，2B ，2C 使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =顺次连接2A ，2B ，2C ，得到222A B C △，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】结合题意根据三角形的面积公式可知如果两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出S △ABC ＝S △A 1BC ，S △A 1BC ＝S △A 1B 1C ，，进而得到S △A 1B 1C 1＝S △A 1B 1B ＋S △A 1C 1A ＋S △B 1C 1C ＋S △ABC ＝7S △ABC ，再以此类推进行求解即可．【解析】解：如图，连接A 1C ，∵AB ＝A 1B ，S △ABC ＝1 ∴S △ABC ＝S △A 1BC ， ∵BC ＝B 1C ， ∴S △A 1BC ＝S △A 1B 1C ， ∴S △A 1B 1B ＝2S △ABC ＝2，同理，S △A 1C 1A ＝2S △ABC ，S △B 1C 1C ＝2S △ABC ，∴S △A 1B 1C 1＝S △A 1B 1B ＋S △A 1C 1A ＋S △B 1C 1C ＋S △ABC ＝7S △ABC ＝7，同理可得，第二次操作后S △A 2B 2C 2＝7S △A 1B 1C 1＝7×7＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401，故按此规律，要使到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作．故选：A ．【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是根据三角形边的关系推出其面积的关系，从而结合图形进行求解．9．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且24ABCS cm =，则阴影部分的面积为____2cm ．【答案】1【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形得出11,22ABDABC ACDABCSS S S ==，11,22BDEABD CDEACDSS S S ==，进而求得11,22BCEABC BEFBCESS S S ==，然后代入数据进行计算求解即可【解析】解：∵点D 、E 分别是边BC 、AD 的中点 ∴11,22ABDABC ACDABCSS S S ==，11,22BDEABD CDEACDSS S S ==，∴ 1122BCEBDECDEABDACDS SSS S =+==+12ABC S =△ ∵点F 是CE 的中点111222BEFBCEABCSS S ∴==⨯14ABC S =△ 24cm ABCS=2141cm 4BEFS∴=⨯= 故答案为：1【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．10．设E 、F 是ABC 边AB 、AC 上的点，线段BE 、CF 交于D ，已知BDF ，BCD △，CDE 的面积分别为5，9，9，则四边形AEDF 的面积为___________．【答案】40【分析】连接AD ，设S △ADF ＝x ，S △ADE ＝y ，根据三角形的面积与三角形底边成比例，进而求出四边形AEDF 的面积．【解析】解：连接AD ，如下图所示：设S △ADF ＝x ，S △ADE ＝y ，则ADF ACDS S＝9x y +＝FD CD ＝59， ADE ABDS S＝5y x +＝EDBD ＝99，解得x ＝17.5，y ＝22.5，故四边形AEDF 的面积＝x ＋y ＝17.5＋22.5＝40．故答案为：40．【点评】本题主要考查三角形的面积的知识点，根据等高的三角形的面积与底边成比例进行解答，此题需要同学们熟练掌握．11．如图，△ABC 的面积为12，BD ＝2DC ，AE ＝2EC ，那么阴影部分的面积是_____．【答案】2【分析】连接CF ，根据BD=2DC ，AE=2EC 可设△DFC 的面积为x ，△EFC 的面积为y ，则△BFD 的面积为2x ，△AEF 的面积为y ，再列出关于x 、y 的方程，求出x+y 的值即可．【解析】解：连接CF ，∵BD=2DC ，AE=2EC ，∴设△DFC 的面积为x ，△EFC 的面积为y ，则△BFD 的面积为2x ，△AEF 的面积为2y ， ∵△BEC 的面积=13S △ABC =4，∴3x+y=4 ①，∵△ADC 的面积=13S △ABC =4，∴x+3y=4 ②①+②，可得4x+4y=8． ∴x+y=2．故答案为2【点评】本题考查的是三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形面积的性质求解． 12．如图，在ABC 中，6AB =，8AC =，3CD BD =，点E 是AC 的中点，BE 、AD 交于点F ，四边形DCEF 的面积的最大值是______．【答案】545【分析】如图，连接CF ，设S △BFD =a ，根据3CD BD =，点E 是AC 的中点可分别表示出S 四边形DCEF 与S △ABC ，根据AB ⊥AC 时S △ABC 最大，即可得答案．【解析】解：如图，连接CF ，设S △BFD =a ， ∵3CD BD =，点E 是AC 的中点，∴S △CDF =3S △BDF =3a ，S △BCE =S △BAE ，S △CFE =S △AFE ， ∴S △ABF =S △CBF =S △BDF +S △CDF =4a ， ∴S △ABD =S △ABF +S △BDF =5a ， ∴S △ADC =3S △ABD =15a ，∴S △ABC =S △ABD +S △ADC =20a ，S △CFE =12（S △ADC -S △CDF ）=6a ， ∴S 四边形DCEF =S △CDF +S △CFE =9a ， ∴S 四边形DCEF =920S △ABC ， ∵AB =6，AC =8，∴AC 边上的高的最大值为6，∴AB ⊥AC 时S △ABC 最大，即S 四边形DCEF 的值最大， ∴S 四边形DCEF 的最大值=920S △ABC =920×12×6×8=545，故答案为：545. 【点评】本题考查三角形的面积及中线的性质，等高的三角形面积比等于它们的底边的比；三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个三角形；熟练掌握相关性质是解题关键．13．如图，若S △ABC =1分别倍长(延长一倍)AB 、BC 、CA 得到111A B C ，再分别延长111111A B B C C A 、、得到222A B C ，……，按此规律，延长n 次后得到的n n n A B C 的面积为_________.【答案】19n【分析】先根据图形特征找出延长各边后得到的三角形的面积是原三角形的面积的倍数的规律，再利用发现的规律求延长第n 次后的面积．【解析】△AA 1C =3△ABC =3， △AA 1C 1=2△AA 1C =6，所以△A 1B 1C 1=6×3+1=19；同理得△A 2B 2C 2=19×19=361； △A 3B 3C 3=361×19=6859， △A 4B 4C 4=6859×19=130321， △A 5B 5C 5=130321×19=2476099，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n 次后，得到△AnBnCn ，则其面积为19n ，故答案为：19n【点评】本题考查图形的变化规律及三角形中线的性质，解题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．14．如图，ABC 中，90C ∠=︒，8cm AC ，6cm BC ，10cm AB =．若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm.设运动的时间为t 秒．(1)当t =______时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分？(2)当t =______时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分？(3)当t 为何值时，BCP 的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3)当t 为2或6.5时，BCP 的面积为212 cm【分析】（1）先根据CP 把ABC 的周长分成相等的两部分可知，此时点P 在边AB 上，再根据线段的和与动点的速度列出方程求解即可；（2）先根据三角形的中线的性质确定点P 的位置，从而可得AP 的长，再根据线段的和差求出AC AP +的长，由此即可得出答案；（3）分点P 在边AC 上和点P 在边AB 上两种情况，然后分别利用三角形的面积公式列出等式求解即可．【解析】（1）解：在ABC 中，8cm 6cm 10cm AC BC AB ===，，，ABC ∴的周长为()861024cm ++=，∴当CP 把ABC 的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时．12cm CA AP BP BC +=+=∵运动速度为每秒2cm ，212t ∴=，解得6t =故当t 为6时，CP 把ABC 的周长分成相等的两部分．（2）解：∵当点P 在AB 中点时，CP 把ABC 的面积分成相等的两部分，此时AP =12AB =5cm ∴()8513cm AC AP +=+=，213t ∴=，解得 6.5t =，把ABC 的面积分成相等的两部分．）解：分两种情况：12cm BCP S =12BC ∴⨯⨯6cm,BC =4cm,CP ∴=24,t ∴=解得2t =当点P 在2212cm ,24cm BCP ABC SS ==12BCP ABC S S ∴=，∴点P 为AB 的中点，213,t ∴=时，BCP 的面积为【点评】本题考查了线段的中点、线段的和差、三角形的面积公式等知识点，较难的是题（正确分两种情况讨论是解题关键．15．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度△ABC 的顶点都在正方形两格的格点（网格线的交点）上（1）画出△ABC 先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的△111A B C（2）画出△ABC 的中线AD ；（3）画出△ABC 的AC 边上的高BE ；（要求只能通过连接格点方式作图）（4）找△ABP （要求各顶点在格点上，P 不与C 点重合），使其面积等于△ABC 的面积．满足这样条件的点P 共个．【答案】（1）见解析；（2）见解析部（3）见解析；（4）4【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）取BC的中点，连接AD即可．（3）取格点M，作直线BM交AC于点E，直线BE即为所求．（4）利用等高模型解决问题即可．【解析】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求．（2）如图，线段AD即为所求．（3）如图，线段BE即为所求．（4）满足条件的点P有4个，如图所示．故答案为4．【点评】本题考查作图-平移变换，三角形的中线，高，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积△ACD的面积（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD和BE交于点O．求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，由题意得：S△ABE＝12S△ABC＝，S△ADC＝12S△ABC＝，可列方程组为：230230x yx y+=⎧⎨+=⎩．解得，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为；（3）如图3，若点D、点E分别在线段AB和AC上，满足AD：DB＝1：1，CE：AE＝1：2，CD和BE 交于点O．请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．【答案】（1）＝；（2）30；30；1010xy=⎧⎨=⎩；20；（3）25，理由见解析【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；（2）利用题干所给解答方法解答即可；（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图1，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD＝DC．∵1=2ABDS BD AE△，1=2ADCS CD AE△∴S△ABD＝S△ACD．故答案为：＝．（2）连接AO，如图2，∵AD＝DB，由（1）得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，∵CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，∴S△ABE＝S△BEC＝12S△ABC＝30，S△ADC＝S△BDC＝12S△ABC＝30，∵S△ABE＝S△BDC+S四边形ADOE，S△ADC＝S△CEO+S四边形ADOE，∴可列方程组为：230230 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：1010 xy=⎧⎨=⎩∴四边形ADOE的面积为：x+y＝20．故答案为：30；30；1010xy=⎧⎨=⎩；20；（3）连接AO，如图3，∵AD：DB＝1：1，∴AD＝DB．由（1）知：S△ADO＝S△BDO，∵CE：AE＝1：2，∴AE＝2CE．∴12CEO AEO S S=△△设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，∵AE＝2CE，∴2403ABE ABCS S==△△∵AD＝BD，∴1302ACD ABCS S==△△∵S△ABE＝S△BDO+S四边形ADOE，S△ACD＝S△CEO+S四边形ADOE，∴可列方程组：2240330x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：155 xy=⎧⎨=⎩∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2y＝25．【点评】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，列二元一次方程组解决几何问题，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．17．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．【结论应用】（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．【迁移应用】（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．【答案】（1）23a（2）12（3）512【分析】（1）根据三角形的面积公式及比例特点即可求解；（2）连接AE，先求出△ACE的面积，再得到△ABC的面积即可；（3）连接BD，设△ADM的面积为a，则△BDM的面积为2a,设△CDN的面积为b，则△BDN的面积为b，根据图形的特点列出方程组求出a,b,故可求解．【解析】（1）设△ABC中BC边长的高为h，∵BM=2AM．【点评】此题主要考查三角形面积公式的应用，解题的关键是根据题意找到面积的之间的关系． 18．（1）【阅读理解】如图（1），AD 是△ABC 的中线，作△ABC 的高AH ．∵AD 是△ABC 的中线∴BD ＝CD∵S △ABD ＝12•BD •AH ，S △ACD ＝12CD •AH∴S △ABD S △ACD （填：＜或＞或＝）（2）【结论拓展】△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD m CD n =，则ABD ACD S S ＝（3）【结论应用】如图（3），请你将△ABC 分成4个面积相等的三角形（画出分割线即可）如图（4），BE 是△ABC 的中线，F 是AB 边上一点，连接CF 交BE 于点O ，若2AF BF =，则CO OF＝．说明你的理由【答案】（1）＝；（2）m n;（3）3．【分析】（1）结合中线的定义，根据等底同高的两个三角形面积相等可得结论；（2）同理计算两三角形面积，并计算比值可得结论；（3）根据三角形中线、中位线的性质可以解决分成4个面积相等的三角形问题．如图4，连接AO ，先根据三角形的中线平分三角形的面积得：S △ABE =S △CBE ，S △AOE =S △COE ，由差可得S △ABO =S △CBO ，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【解析】解：（1）∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵S △ABD ＝12•BD•AH ，S △ACD ＝12CD•AH∴S △ABD ＝S △ACD ，故答案为＝；（2）如图2，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵S △ABD ＝12•BD•AH ，S △ACD ＝12CD•AH ， ABDACD 1BD AH SBD m 21S CD n CD AH 2⋅⋅∴===⋅⋅，故答案为m n ；（3）如下图：将△ABC 的面积四等分的方法如图所示，（方法见图中说明）如图4，结论：CO OF＝3；理由是：如图4，连接AO ，∵BE 是△ABC 的中线，∴S △ABE ＝S △CBE ，S △AOE ＝S △COE ，∴S △ABO ＝S △CBO ，AFO BFO S S =S △BFO ＝CB0BFO∆∆=。

人教版七年级数学下册专题训练25-图形面积的计算试题(含答案)

25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A【例5】如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCB A（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ⋅31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(--C.))((c b c a --D.))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B. 100 C.50π D. 200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A.29 B.27 C.310D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B A D（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△A BC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h=错误！未找到引用源。

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

七年级数学之动点面积问题

1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从B点出发，以每秒2个单位的速度沿直线y=3向右平移，又P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形OBPQ的面积为8；（2）连接AQ，当△APQ是直角三角形时，求Q的坐标．2、如图，在下面直角坐标系中，已知A（-4，a），B（-8，0）（1）请用含a的代数式表示△ABO的面积；（2）若a满足关系式（a+4）2≤0，且以点A、B、O为顶点画平行四边形，则请你“利用平移的知识”直接写出符合条件的所有的平行四边形的第四个顶点C的坐标（3）在（2）的条件下，是否存在x轴上的点M（x，0），使△ABM的面积是△ABO的面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在（2）的条件下，请你直接写出y轴上的点N的坐标，使△AON的面积是△ABO的面积的3倍3、如图，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒a个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒b个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）如图1，若|a+2b-5|+（2a-b）2=0，试分别求出1秒钟后，A，B两点的坐标；（2）如图2，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC，∠FCA，∠ABC的平分线交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH，∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并证明；（3）如图3，过A，O两点的直线相交于点N，AB的延长线交ON于点M，若∠MAN=∠NOB，∠BAO-∠N=m°，试求∠AMO的度数．4、如图，在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，OB＞OC，点A在y轴正半轴上，AD平分∠BAC，交x轴于点D．（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAO的度数？（2）试写出∠DAO与∠C-∠B的关系？（不必证明）（3）若点A在y轴正半轴上运动，当点A运动至点P时，请你作出△BPC及其角平分线PQ，并直接写出∠QPO与∠PBC、∠PCB三者的关系？5、如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①DCP BOPCPO∠+∠∠的值不变，②DCP CPOBOP∠+∠∠的值不变其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．7、如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，c=2b-a；（1）求a，b，c的值；（2）如果再第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠Q的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由8、在平面直角坐标系中，D（0，-3），M（4，-3），直角三角形ABC的边与x轴分别交于O、G两点，与直线DM分别交于E、F点．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，请写出∠CEF与∠AOG之间的等量关系：（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NED+∠CEF=180°，请写出∠NEF与∠AOG 之间的等量关系，并说明理由．9、已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（-4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）．（1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是，并写出当t=2时，点C的坐标（2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．（3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围10、如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，（c-4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，12），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．11、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB=∠EOB，∠A=∠E，求∠A的度数；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，∠A=40°，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问∠P的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．12、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，速度为1cm/s，且整点P只做向右或向上运动，则运动1s后它可以到达（0，1）、（1，0）两个整点；它运动2s后可以到达（2，0）、（1，1）、（0，2）三个整点；运动3s后它可以到达（3，0）、（2，1）、（1，2）、（0，3）四个整点；…请探索并回答下面问题：（1）当整点P从点O出发4s后可以到达的整点共有个（2）在直角坐标系中描出：整点P从点O出发8s后所能到达的整点，并观察这些整点，说出它们在位置上有什么特点？（3）当整点P从点O出发 s后可到达整点（13，5）的位置．12、如图，△OAB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（5，O）B（2，4）．（1）求△ABO的面积，（2）若B（2，4），O（0，0）不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍，并说明理由．13、如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，1），（3，0），（2，2）（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，2），试用含a的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下是否存在点P，使得四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由14、已知点A（a，0）、B（b，0），且（a+4）2+|b-2|=0．（1）求a，b的值；（2）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是12？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴正半轴上一点，且到x轴的距离为3，若点P沿x轴负半轴以每秒1个长度单位平行移动至Q，当运动的时间t为多少秒时，四边形ABPQ的面积S为15个平方单位？写出此时Q点的坐标．15、如图建立平面直角坐标系，长方形OABC中，A（8，0），点C（0，10），点P从原点出发，以每秒1个单（2）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为4个单位长度时，则点P 运动的时间为秒．（3）若点P 出发11秒时，点Q 以每秒2个单位长度的速度也沿着O-C-B-A-O 的路线运动到点O 停止，求t 为何值时点P 、Q 在运动路线上相距的路程为5个单位长度？15、如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A ，C 两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B 在第一象限内．（1）如图，请直接写出点B 的坐（2）若过点C 的直线CD 交长方形OABC 的边于点D ，且把长方形OABC 的周长分为3：1两部分，求点D 的坐标．16、如图1，点A （a ，6）在第一象限，点B （0，b ）在y 轴负半轴上，且a ，b 满足：(240a b −++=（1）求△AOB 的面积．（2）若线段AB 与x 轴相交于点C ，在点C 的右侧，x 轴的上是否存在点D ，使S △ACD =S △BOC ？若存在，求出D 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若∠AOx 轴=60°，射线OA 绕O 点以每秒4°的速度顺时针旋转到OA ′，射线OB 绕B 点以每秒10°的速度顺时针旋转到O ′B ，当OB 转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，OA ′∥O ′B ？17、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点C 在y 轴正半轴上，且S △ABC =18．（1）求点C 的坐标；（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，S △APC =12S △PBC ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，说明理由．18、在平面直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），点C在x轴上．（1）如图（1），若△ABC的面积为3，则点C的坐标为（2）如图（2），过点B点作y轴的垂线BM，点E是射线BM上的一动点，∠AOE的平分线交直线BM于F，OG⊥OF且交直线BM于G，当点E在射线BM上滑动时，BEOBOF∠∠的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．19、在直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去，设Pn（x n，y n），n=1，2，3，…．（1）依次写出x1、x2、x3、x4、x5、x6的值；（2）计算x1+x2+…+x8的值；（3）计算x1+x2+…+x2003+x2004的值．20、如图：一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，在第一分钟内，它从原点运动到（1，0），第二分钟从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，且每分钟移动1个长度单位．（1）当粒子所在位置分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）时，所经过的时间分别是多少？（2）在第2004分钟后，这个粒子所在的位置的坐标是多少？21、问题：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（1）小明画出如图的图形，并写出问题：如图，点P在∠AOB的内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，求∠P的度数．请你帮助小明完成解题过程．（2）小刚说，这道题应该还有一种情况：点P在∠AOB的外部．他说的对吗？22、如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．（1）请直接写出D点的坐标（2）连接线段OB、OD、BD，请直接求出的面积（3）若长方形ABCD以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为t秒，问是否存在某一时刻，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．23、在△ABC中，∠A=∠C，点E在BC边上，过点E作射线EF∥AB交AC于点F，EM交AC于点M，点N 在射线EF上，且∠EMN=∠ENM，设∠ABC=α，∠MEN=β．（1）如图1，若点M在线段AF上，α=60°，β=30°，求∠FMN的度数；（2）若点M在AC边上（不与点A、C、F重合），α、β为任意角度，探究∠FMN与α、β的数量关系，请在图2中画出图形，并说明理由．24、如图，在△A B C中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的高，且BD、CE相交于O．（1）请你写出三类不同的正确的结论；（2）设∠CBD=α，∠A=β，试找出α与β之间的一种关系等式，并给予适当的说明（友情提示：∠ABC=∠ACB）．25、．已知，在四边形ABCD中．∠A=∠C=90゜．（1）求证：∠ABC+∠ADC=180゜；（2）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．26、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一点，设∠CDP=α，∠CPD=β，当点P在BC上移动时，猜想α，β与∠B的关系，并说明理由．27、如图，锐角△ABC中，高BE、CF交于点H．（1）若∠BAC=70°，求∠BHC的度数；（2）直接给出四条线段AF、HE、AC、CH之间的数量关系；（3）若AD平分∠BAC交BC于D，AD、CF交于点K，HG平分∠BHC交BC于G．求证：HG∥AD．28、1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E 的补角的和为190°，求∠ABE的度数；（3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．29、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE 与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．30、如图，直线AB∥C D．（1）在图1中，∠B M E、∠E，∠EN D的数量关系为：；（不需证明）在图2中，∠B M F、∠F，∠FN D的数量关系为：（不需证明）（2）如图3，NE平分∠FN D，MB平分∠FM E，且2∠E与∠F互补，求∠FM E的大小．（3）如图4中，∠B M E=60°，EF平分∠M EN，NP平分∠EN D，EQ∥N P，则∠FEQ的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变化，求∠FEQ的度数．31、如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C是坐标轴上的定点，平移线段AB得到线段CD，使点A与点C 对应，点B与点D对应．（1）画出线段CD，并写出画法；（2）点P是x轴上的动点（不与点B，C重合），设∠PAC=α，∠PBD=β，∠APB=θ．①当点P在线段BC上时，求证：θ=α+β；②当点P在线段CB（BC）的延长线上时，①中的结论是否成立？并说明理由32、将两个大小不同的含30°角的三角板的直角顶点O重合在一起，保持△COD不动，将△AOB绕点O旋转，设射线AB与射线DC交于点F．（1）如图①，若∠AOD=120°，①AB与OD的位置关系②∠AFC的度数=（2）如图②当∠AOD=130°，求∠AFC的度数．（3）由上述结果，写出∠AOD和∠AFC的关系（4）如图③，作∠AFC、∠AOD的角平分线交于点P，求∠P的度数．33、（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小；（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．34、已知：如图（1）所示，D是∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）请你确定EF、BE、CF三者之间的关系，并加以证明．（2）如图（2）所示，当点D为∠ABC的外角的角平分线和∠ACB的外角的角平分线的交点时，EF、BE、CF 三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．（3）如图（3）所示，当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB外角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．35、如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现将线段AB向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，连接AC、BD．（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）如图2，在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使S△PA B=S四边形ABDC，若存在这样的一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）若点Q在线段CD上移动（不包括C、D两点），QO与线段CD、AB所成的角∠2与∠1如图3所示，给出下列两个结论：①∠2+∠1的值不变②12∠∠的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出这个结论36、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．。

七年级数学方程中面积问题,先观察图形找等量关系,再列方程求解

七年级数学方程中面积问题，先观察图形找等量关系，再列方程求解
《七年级数学方程中面积问题，先观察图形找等量关系，再列方程求解》
一、面积问题的重要性
数学的面积问题是数学方程的基本内容，在七年级知识体系中，面积问题可以被正确理解、分析和解决，对对学生数学知识的理解和运用能力具有重要意义。

弄清面积问题的基本概念，从而求出几何图形的面积，有助于加深学生数学基础知识和综合能力的培养，为学生的进一步学习打下良好的基础。

二、观察图形找到等量关系
面积问题中的等量关系是比较复杂的，对几何图形不同形状的面积求解，必须根据实际情况，建立等量关系，才能求解出结果。

例如：某长方形ABCD的边长分别是a和b，面积S=ab，这就是一个等量关系，推出面积是两个边长乘积，也就是S=ab，求出此图形的面积。

另外，当给出的几何图形有上下对称轴时，面积可以通过反比例缩放的方法求解；当给出的几何图形有左右对称轴时，面积可以通过多边形定积法求解。

三、列等式求解面积问题
面积求解的核心步骤是列等式求解，要求学生在联系实际和抽象之间进行跳跃，将图形中的量形结合等量关系，正确的列出方程来求解面积问题。

在认知面积问题等量关系的基础上，学生可以根据图形中已知量的类型，写出正确的面积方程进行解决。

比如：三角形BCD的底边长是a，高是h，则三角形BCD的面积S=1/2 × a × h；圆C的半径是R，
则圆C的面积S=πR^2。

最后，关于面积问题，要求学生不仅要深入学习，掌握几何图形的面积定义及性质，而且要通过观察图形，加深学生对面积求解的理解，从而学会运用数学方程，列面积等式求解，正确解决面积问题，加深学习数学知识，为未来数学学习打下坚实的基础。

七年级数学表面积和体积练习题

七年级数学表面积和体积练习题
1.立方体的表面积和体积计算
已知一个立方体的边长是3cm，请计算：
1.此立方体的表面积。

2.此立方体的体积。

2.长方体的表面积和体积计算
已知一个长方体的长为5cm，宽为4cm，高为2cm，请计算：
1.此长方体的表面积。

2.此长方体的体积。

3.圆柱体的表面积和体积计算
已知一个圆柱体的底面半径为2cm，高为6cm，请计算：
1.此圆柱体的表面积。

2.此圆柱体的体积。

4.球体的表面积和体积计算
已知一个球体的半径为3cm，请计算：
1.此球体的表面积。

2.此球体的体积。

5.锥体的表面积和体积计算
已知一个锥体的底面半径为4cm，高为5cm，请计算：
1.此锥体的表面积。

2.此锥体的体积。

6.金字塔的表面积和体积计算
已知一个金字塔的底面边长为6cm，高为8cm，请计算：
1.此金字塔的表面积。

2.此金字塔的体积。

7.等腰三角形的面积计算
已知一个等腰三角形的底边长为10cm，高为8cm，请计算此等腰三角形的面积。

8.长方形的面积计算
已知一个长方形的长为12cm，宽为6cm，请计算此长方形的面积。

9.正方形的面积计算
已知一个正方形的边长为5cm，请计算此正方形的面积。

10.圆的面积计算
已知一个圆的半径为6cm，请计算此圆的面积。

以上是关于数学表面积和体积的练习题。

请根据题目要求，计算出每道题的结果，并写在相应位置。

苏科版初一数学下学期期末专题练习——面积问题(含答案解析)

初一数学下学期期末专题练习——面积问题一．选择题（共6小题）1．将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n＝0，则a、b满足（）A．a＝b或a＝3b B．a＝b或a＝4b C．a＝b或a＝5b D．a＝b或a＝6b．2．如图，已知D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为15，且AB＝8，则△ABC中AB边上高的长为（）A．3B．6C．9D．无法确定3．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，且S△ABC＝1，则S△DEF的值为（）A．B．C．D．4．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（）A．25B．.30C．35D．405．如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B′，C′，A′，且使BB′＝AB，CC′＝2BC，AA′＝3AC．若S△ABC＝1，那么S△A'B'C'是（）A．15B．16C．17D．186．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（）A．x+y＝6B．x2+y2＝36C．x•y＝8D．x﹣y＝2二．填空题（共11小题）7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个相等的三角形．8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝．9．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，若△ABC的面积为16，则图中阴影部分的面积为．10．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，将△ABC平移至△DEF的位置，若四边形DGCF 的面积为35，且DG＝2，则CF的长为．11．如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形△A′B′C′，若△ABC的面积为3，则△A′B′C′的面积是．12．（实验班）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S1﹣S2＝a，则S△ABC＝．13．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式为．14．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为mm2．15．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是边AD的中点，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动，最终到达点B．若点P运动的时间为xs，那么当x＝时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．16．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，则四边形DHOG的面积为．17．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．三．解答题（共9小题）18．如图，在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；（2）图中AC与A′C′的关系是：；（3）画出AB边上的高CD；（4）画出△ABC中AB边上的中线CE；（5）平移过程中，线段AC扫过的面积为cm2．19．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．20．（1）如图，试用a的代数式表示图形中阴影部分的面积；（2）当a＝2时，计算图中阴影部分的面积．21．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：∠AED＝∠ACB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE＝9，求S△ABC．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝（3）当t＝时，△BPC的面积为18．23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？24．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．当AB长度不变而BC变长时，将6张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，S1与S2的差总保持不变，求a，b满足的关系式．（1）为解决上述问题，如图3，小明设EF＝x，则可以表示出S1＝，S2＝；（2）求a，b满足的关系式，写出推导过程．25．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2，可得等式；（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝．26．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b 的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．故选：B．3．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，且S△ABC＝1，则S△DEF的值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【解答】解：连结CD，∵点D是AG的中点，∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝，∴S△BCD＝S△ABC＝，∵点E是BD的中点，∴S△CDE＝S△BCD＝，∵点F是CE的中点，∴S△DEF＝S△CDE＝．故选：C．4．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（）6．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（）A．x+y＝6B．x2+y2＝36C．x•y＝8D．x﹣y＝2【分析】设小长方形的长为x、宽为y，根据图形可得出关于x、y的二元一次方程组，由方程组即可得出A、C、D正确，此题得解．【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，根据题意得：．A、由①可得出x+y＝6，A正确；C、由①﹣②可得出x•y＝8，C正确；D、由②可得出x﹣y＝2，D正确．故选：B．二．填空题（共11小题）7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝1．【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．【解答】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝6，∴S△EFD＝×4x×8＝16x；S△ECG＝×6×3x＝9x．∴S阴影部分＝16x﹣9x＝35．解得：x＝5．故答案为：5．11．如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形△A′B′C′，若△ABC的面积为3，则△A′B′C′的面积是21．【分析】连接C′B，根据三角形的中线平分线三角形的面积可得S△A′C′A＝2S△BAC′，再算出S△ABC′＝S△ABC＝3进而得到S△A′BC＝S△CC′B′＝6，从而得到答案．【解答】解：连接C′B，∵AA′＝2AB，∴S△A′C′A＝2S△BAC′，∵CC′＝2AC，∴S△ABC′＝S△ABC＝3，∴S△A′C′A＝6，同理：S△A′BC＝S△CC′B′＝6，∴△A′B′C′的面积是6+6+6+3＝21，故答案为：21．12．（实验班）如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF 的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S1﹣S2＝a，则S△ABC＝6a．【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S1﹣S2＝a，就可以求出S△ABC．【解答】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S1﹣S2＝a，∴S△ABE＝S△ABC．∵AD＝2BD，S△ABC＝9，∴S△BCD＝S△ABC，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝＝a．∴S△ABC＝6a，故答案为：6a13．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【分析】根据正方形面积公式求出第一个图形的面积，根据梯形面积公式求出第二个图形的面积，即可求出答案．【解答】解：∵第一个图形的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（b+b+a+a）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．14．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为5mm的小正方形，则每个小长方形的面积为375 mm2．【分析】设小长方形的长为xmm，宽为ymm，观察图形发现“3x＝5y，2y﹣x＝5”，联立成方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：设小长方形的长为xmm，宽为ymm，由题意，得：，解得：，则每个小长方形的面积为：25×15＝375（mm2）故答案是：375．15．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是边AD的中点，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿A→D→C→B运动，最终到达点B．若点P运动的时间为xs，那么当x＝或6时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．【分析】首先理解题意，分类讨论，再画出图形，根据三角形的面积求出每种情况的答案即可．【解答】解：①当P在AD上运动时，△BPE的面积小于5；②当P在DC上时，如图1∵△BPE的面积等于5，∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△DEP﹣S△BCP＝5，∴3×4﹣×2×3﹣×2×（x﹣4）﹣×4×（7﹣x）＝5，x＝6；③当P在BC上时，如图2∵△BPE的面积等于5，∴S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S梯形DEPC＝5，∴3×4﹣×2×3﹣×3×（x﹣7+2）＝5，x＝；综上当x＝或6以B、P、E为顶点的三角形的面积等于5cm2．故答案为或6．16．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、∵正方形ACDE和正方形CBFG，∴∠ACE＝∠ABG＝45°，∴EC∥BG，∴△BCG和△BEG是同底（BG）等高的三角形，即S△BCG＝S△BEG，∴当BC＝n时，S n＝n2，∴S2020﹣S2019＝×20202﹣×20192＝（2020+2019）（2020﹣2019）＝；故答案为：．三．解答题（共9小题）18．如图，在小正方形边长为1cm的方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．（1）补全△A′B′C′，利用网格点和直尺画图；（2）图中AC与A′C′的关系是：平行且相等；（3）画出AB边上的高CD；（4）画出△ABC中AB边上的中线CE；（5）平移过程中，线段AC扫过的面积为28cm2．【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）根据平移的性质可得出AC与A′C′的关系；（3）根据高线画出图形即可；（4）先取AB的中点E，再连接CE即可；（5）线段AC扫过的面积为平行四边形AA'C'C的面积，根据平行四边形的底为4，高为7，可得线段AC扫过的面积．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）由平移的性质可得，AC与A′C′的关系是平行且相等；【分析】（1）如图补全图形，先计算出大、小正方形的面积，再相减即可得；（2）将a的值代入计算可得．【解答】解：（1）如图，大正方形的面积为（2a+3）2＝4a2+12a+9，小正方形的面积为（2a+3﹣a）2＝（a+3）2＝a2+6a+9，则阴影部分面积为（4a2+12a+9）﹣（a2+6a+9）＝3a2+6a；（2）当a＝2时，原式＝3×22+6×2＝24．21．如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：∠AED＝∠ACB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE＝9，求S△ABC．【分析】（1）由BDC+∠EFC＝180°和∠EFC+∠DFE＝180°得到∠BDC＝∠DFE，根据平行线的判定得AB∥EF，则∠ADE＝∠DEF，而∠DEF＝∠B，所以∠ADE＝∠B，于是可判断DE∥BC，然后根据平行线的性质得到∠AED＝∠ACB；（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，而S四边形ADFE＝9，则S△ADE+S△EDC＝9，可计算出S△ADE＝6，则S△ADC＝12，然后利用D为AB的中点，根据S△ABC＝2S△ADC进行计算即可．【解答】（1）证明：∵∠BDC+∠EFC＝180°（已知），而∠EFC+∠DFE＝180°（邻补角的定义），∴∠BDC＝∠DFE（等角的补角相等），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），∴∠ADE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠ADE＝∠B（等量代换），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）；（2）解：∵E为AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，∵F为DC的中点，∴S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，∵S四边形ADFE＝9，∴S△ADE+S△EDC＝9，∴S△ADE＝9，∴S△ADE＝6，∴S△ADC＝2×6＝12，∵D为AB的中点，∴S△ABC＝2S△ADC＝2×12＝24．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t＝ 6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝1：4（3）当t＝或时，△BPC的面积为18．【分析】（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（2）求出当t＝5时，AP与BP的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．【解答】解：（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝12+7.5＝19.5（cm），∴3t＝19.5，解得t＝6.5．故当t＝6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）5×3＝15，AP＝15﹣12＝3，BP＝15﹣3＝12，则S△APC：S△BPC＝3：12＝1：4；（3）分两种情况：①当P在AC上时，∵△BCP的面积＝18，∴×9×CP＝18，∴CP＝4，∴3t＝4，t＝；②当P在AB上时，∵△BCP的面积＝18＝△ABC面积的＝，∴3t＝12+15×＝22，t＝．故t＝或秒时，△BCP的面积为18．故答案为：6.5；1：4；或．23．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为40，BD＝5，则△BDE中BD边上的高为多少？【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E作BC边的垂线即可；（3）过A作BC边的垂线AG，再根据三角形中位线定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+40°＝55°；（2）过E作BC边的垂线，F为垂足，则EF为所求；（3）过A作BC边的垂线AG，∴AD为△ABC的中线，BD＝5，∴BC＝2BD＝2×5＝10，∵△ABC的面积为40，∴BC•AG＝40，即×10•AG＝40，解得AG＝8，∵EF⊥BC于F，∴EF∥AG，∵E为AD的中点，∴EF是△AGD的中位线，∴EF＝AG＝×8＝4．24．将6张小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为S1和S2．已知小长方形纸片的长为①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是直接利用正方形的面积公式计算，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．（4）①依照前面的拼图方法，画出图形便可；②由图形写出因式分解结果便可．【解答】解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）∵a+b＝10，ab＝20，∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；（4）①根据题意，作出图形如下：②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．故答案为（a+2b）（2a+b）．26．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b 的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）根据分解结果画出图形即可．【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；（2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，∴由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣42×2＝60；（3）如图所示：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）．1、Great works are performed not by strengh, but by perseverance.20.7.27.2.202010:0910:09:08Jul-2010:09 2、I stopped believing in Santa Claus when I was six. Mother took me to see him in adepartment store and he asked for my autograph.。

人教版七年级下册数学：《平面直角坐标系中面积的计算问题》

进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；
课后作业
1.已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,2)，求△ABC面积？
2.在平面直角坐标系中，已知点A(3,1),B(-2,4)， C（5,6），求三角形CAB的面积。
C
3 1 7 1 1 3 1 1 6
22
2
14 1.5 3
9.5
小结
1.求平面直角坐标系内的三角形面积的方法有几种？ ① 直接法； ② 间接法(构造四边形)；
2.如何判断使用哪种方法？若三角形有一边平行于X轴或者Y轴（与X轴或者Y 轴重合），用直接法；此外，用间接法。
课堂总结
谈谈本节课你的收获：
A B
线段AD长度无法计算
CD
能力提升
例：在平面直角坐标系中，已知点A(-2,1),B(4,0)，
C(-3,-2),求三角形CAB的面积；
解：
∵A(-2,1),B(0,4),C(-3,-2)
∴D(-3,1),E(4,1)
∴AD=1,CD=3,AE=6 BE=1,DE=7
DA
E
B
∴ SABC S梯CDEB SACD S AED
线AC的距离
C
AD
BD=4
∴
SABC
1 2
AC
BD
B
1 54 2
10
能力提升
例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？
思考1：此时△ABC的
面积可以采用“底×高
÷2”吗？为什么？
A
AB,AC,BC长度无法计算
C
思考2：那如何计算
B
△ABC的面积？

(完整版)七年级数学上册面积计算典型练习题

(完整版)七年级数学上册面积计算典型练习题一、填空题1. 一个长方形的长是12cm，宽是8cm，它的面积是\_\_\_\_\_\_\_平方厘米。

2. 一个正方形的边长是5cm，它的面积是\_\_\_\_\_\_\_平方厘米。

3. 一个矩形的长和宽之比是3:4，它的面积是72平方米，长是\_\_\_\_\_\_\_米。

4. 一个长方形的面积是60平方米，宽是6米，它的长是\_\_\_\_\_\_\_米。

5. 一个正方形的面积是81平方厘米，边长是\_\_\_\_\_\_\_厘米。

二、选择题1. 长方形的长是10cm，宽是6cm，它的面积是（）。

- [ ] A. 46平方厘米- [ ] B. 40平方厘米- [ ] C. 56平方厘米- [ ] D. 16平方厘米2. 一个正方形的周长是20cm，它的面积是（）。

- [ ] A. 40平方厘米- [ ] B. 100平方厘米- [ ] C. 25平方厘米- [ ] D. 400平方厘米3. 一个长方形的长是5cm，宽是4cm，它的周长是（）。

- [ ] A. 20cm- [ ] B. 18cm- [ ] C. 16cm- [ ] D. 9cm三、计算题1. 一个三角形的底是6cm，高是8cm，它的面积是多少平方厘米？2. 一个等边三角形的边长是9cm，它的面积是多少平方厘米？3. 一个梯形的上底和下底分别是5cm和9cm，高是7cm，它的面积是多少平方厘米？四、应用题1. 一块农田是矩形，长60m，宽30m，求这块农田的面积，并用平方米表示。

2. 一根木板宽30cm，长4m，它的面积是多少平方厘米？3. 一个房间的地板是长方形，长6m，宽4m，地板铺设地砖，每块地砖的边长是25cm，需要多少块地砖？以上是七年级数学上册面积计算典型练习题，希望能够帮助你更好地理解和掌握面积计算的方法和技巧。

如果还有其他问题，请随时提问。

专题1.16 整式的运算中图形面积问题(专项练习)七年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题1.16 整式的运算中图形面积问题（专项练习）一、单选题1．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（）A ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2=（a ﹣b ）2+4ab2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是（）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()22a a b a ab +=+C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()()a b a b a b +-=-3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如图，从边长为(4)cm a +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)cm a +的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（既没有重叠也没有缝隙），则长方形的面积为（）A ．()2225cm +a aB ．2(615)cm a +C ．2(69)cm a +D ．2(315)cm a + 4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，从边长为(1)cm a +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)cm a -的正方形(1)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是（）cm 2．A ．2B ．4aC ．2aD ．21a -5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）一个大长方形ABCD 按如图方式分割成九个四边形，且只有标号为①和①的两个正好为正方形，其余均为长方形．若已知小正方形①的周长为8，小长方形①的周长为2p ，小长方形①的周长为2q ，且2()31p q pq +=-，这个大长方形ABCD 的面积（）A ．25B ．30C ．35D ．406．（2021·贵州遵义市·八年级期末）为了提高广大市民的禁毒意识和防毒拒毒能力，某县准备修建一个禁毒文化广场，如图是该文化广场设计图纸的一部分，其面积表示错误的是（）A ．()()x p x q ++B ．2()x p q x pq +++C ．2x px qx pq +++D ．22x px q ++7．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，从边长为a 的大正方形纸片中挖去一个边长为b 的小正方形纸片后，将其裁成四个相同的等腰梯形（甲），然后拼成一个平行四边形（乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（）A ．()222a b a b -=-B ．()2222a b a ab b -=-+ C ．()2222a b a ab b +=++ D ．()()22a b a b a b -=+- 8．（2021·江西宜春市·八年级期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为a ，宽为b ()a b >，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（）A ．()222a b ab =B ．()()224a b a b ab +=-+ C ．()2222a b a b ab +=++ D ．()()22a b a b a b -=+- 9．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，矩形ABCD 的周长是10cm ，以AB ，AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2，那么矩形ABCD 的面积是（）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 210．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图①所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()()4a b a b ab -=+-D ．22()()a b a b a b +-=-11．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，长为()cm y ，宽为()cm x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长是5cm ，下列说法中正确的是（）①小长方形的较长边为15y -；①阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；①若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；①当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①12．（2021·浙江宁波市·七年级期末）已知长方形ABCD ，AD AB >，10AD =，将两张边长分别为a 和b （a b >）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当213S S b -=时，AB 的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1013．（2021·山东济宁市·八年级期末）在矩形ABCD 内将两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当4AD AB -=时，21S S -的值为（）A ．4aB ．4bC ．44a b -D ．5b二、解答题 14．（2021·云南玉溪市·七年级期末）如图，将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形．（1）用含m ，n 的式子表示新长方形的周长．（2）若m=10，n=4，求新长方形的面积．15．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块空地长为（3a＋2b）m，宽为（2a＋b）m；另一块长为（a＋b）m，宽为（a－b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a－b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪（1）求计划种植草坪的面积；（2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，种花的价格为50元/m2，求改造两块空地种植花草应投入的资金为多少元？16．（2021·河南焦作市·八年级期末）（1）如图，长方形ABCD的周长为16，四个正方形的面积和为68，求矩形ABCD的面积．（2）若（x2+nx+3）（x2﹣2x+m）的展开式中不含x2项和x3项，求m-n的值．17．（2021·河南新乡市·八年级期末）某公园有一块如图所示的长方形空地，计划修建东西、南北走向的两条小路（阴影部分），其余进行绿化，已知长方形空地的长为(4)a b +米，宽为(2)a b +米，道路宽都为a 米．（1）求绿化部分的面积（用含a ，b 的式子表示）；（2）当2a =，3b =时，求绿化部分的面积．18．（2021·山东济南市·七年级期末）如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边，两个小正方形的边长分别是a 、b ．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：________________；方法二：________________；（直接把答案填写在答题卡的横线上）（2）观察图2，试写出()2a b +，2a ，2ab ，2b 这四个代数式之间的等量关系：________________．（直接把答案填写在答题卡的横线上）（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求22a b +的值．19．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值．解：设9,4x a x b -=-=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=，222222(9)(4)()252417x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值；（2）若x 满足()()632x x --=，求()()2263x x -+-的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD DC 、上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF DF 、为边作正方形，求阴影部分的面积．20．（2021·河南商丘市·八年级期末）把一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示）．方法1：______________________________．方法2：______________________________．（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式()2m n +，()2m n -，mn 间的等量关系：________（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x ，y 满足6xy =，5x y -=，请求出x y +的值．21．（2021·河南安阳市·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______；（2）运用（1）中的结论，完成下列各题：①已知：3a b -=，2224a b -=，求+a b 的值；①计算：22222111111111123420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．22．（2021·陕西安康市·八年级期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为,b 宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．()1观察图②，请你写出代数式()222,,a b a b ab ++之间的等量关系是；()2根据()1中的等量关系，解决下列问题；①已知224,10a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()222020201852x x -+-=，求2019x -的值．23．（2021·山东济宁市·八年级期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位： cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．24．（2021·河南三门峡市·八年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯①(2)(2)m n p m n p +--+25．（2021·福建泉州市·八年级期末）如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为acm 的大正方形，两块是边长都为bcm 的小正方形，五块是长、宽分别是acm bcm 、的全等小长方形，且a b >．（1）用含a b 、的代数式表示切痕的总长为_ cm ；（2）若每块小长方形的面积为212cm ，四块正方形的面积和为280cm ，试求+a b 的值．26．（2021·山东滨州市·八年级期末）图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式2()a b +，2()a b -，ab 之间的等量关系为________．（3）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求m n+的值．（4）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1226S S +=，求图中阴影部分面积．27．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）拓展应用：若()()22202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值．28．（2021·湖北荆州市·八年级期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =，试求x y +的值；（3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．29．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示）（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；（3）观察图2，用等式表示出（2a-b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．30．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a＋b ＝8，ab＝6，求图中阴影部分的面积．31．（2021·山西长治市·八年级期末）综合与实践读下列材料，完成文后任务．2(15)40304010⨯-+=-+=．任务（1）方法1用到的乘法公式是（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若22(11)(9)10x x -+-=，求(11)(9)x x --的值．（3）如图，在长方形ABCD 中，10AB =，6BC =，E ，F 是BC ， CD 上的点，且BE DF x ==，分别以FC ，CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和 CEMN ，若长方形 CEPF 的面积为40，求图中阴影部分的面积和．32．（2021·广西河池市·八年级期末）图1是长为2a ，宽为2b 的长方形，按虚线将它分成四个全等的小长方形，然后拼成如图2的一个正方形图案．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（直接用含a ，b 的代数式表示）；（2）分别对（1）中的两个代数式进行化简，并写出你发现的相等关系式；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知5a b +=，4ab =，求2()a b -的值．33．（2021·山东滨州市·八年级期末）（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到()2222a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：_________．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++=__________．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()33++a b a b 长方形，则x y z ++=_________．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________．34．（2021·河南开封市·八年级期末）如图①是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图①的形状拼成一个正方形．（1）图①中阴影部分的正方形的边长是__________；（2）用两种不同的方法表示①中阴影部分的面积：方法1：____________________；方法2：____________________（3）观察图①，请你写出式子()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系：__________；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若7m n -=-，5mn =，则()2m n +的值为多少？35．（2021·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图①的形状拼成一个正方形．（1）观察图①，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系是______________；（2）有许多等式可以用图形的面积来表示．如图①，它表示了_________；（3）请你用图①提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：2243m mn n ++．要求：在图①的框中画出图形并在下方写出分解的因式．36．（2021·安徽六安市·七年级期末）如图，长方形长为8m ，宽为6m ，现从四个角割去四个边长为2m 的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体．（1）求长方体的体积（用含有m 的代数式表示）（2）当12m =时，求此时长方体体积． 37．（2021·河南安阳市·八年级期末）（1）探究发现：小明计算下面几个题目①()()23x x ++；①()()41x x -+；①()()42y y +-；①()()53y y --后发现，形如()()x p x q ++的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：2()()()()()p x x q x ++=++（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算()()x p x q ++，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．（3）逆用规律：学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：2710x x -+.38．（2020·浙江杭州市·七年级期末）数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．（1）观察图，直接写出代数式22(),()a b a b +-，ab 之间的等量关系________；（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知7,10a b ab -==-．求+a b 的值； ①已知13x x +=，求1x x-的值．39．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为()a b a >．（1）如图1，点H 与A 重合，点E 在边AB 上，点G 在边AD 上，请用两种不同的方法求出阴影部分1S 的面积（结果用a ，b 表示）．（2）如图2，在图1的正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD 的右下角又放了一个和正方形EFGH 一样的正方形，使一个顶点和点C 重合，两条边分别落在BC 和DC 上．若题（1）中14S =，图2中21S =，求阴影部分3S 的面积．（3）如图3，若正方形EFGH 的边GF 和正方形ABCD 的边CD 在同一直线上，且两个正方形均在直线CD 的同侧，若点D 在线段GF 上，满足14DF GF =，连结AH ，HF ，AF ，当三角形AHF 的面积为3时，求三角形EFC 的面积，写出求解过程．40．（2021·安徽合肥市·八年级期末）图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请写出图2中阴影部分的面积：________________；（2）观察图2，你能写出下列三个式子：2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？（3）根据（2）中的等量关系，已知：21a a -=求：2a a+的值．41．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，某小区有一块长为(24)a b +米，宽为(2)a b -米的长方形地块，角上有四个边长为()-a b 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a 、b 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化4b 平方米，每小时收费300元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a 、b 的代数式表示）42．（2021·河南周口市·七年级期末）如图，已知阴影部分面积为S（1）列出代数式表示S ．（2）若a=3，b=5，c=1，d=6，求出S 的值43．（2021·江西赣州市·八年级期末）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片长为a 、宽为b 的长方形并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请写出下列三个代数式：()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系____；（2）若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片_____张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：6a b +=，2214a b +=，求ab 的值：①已知()()22201820204x x -+-=．求()22019x -的值．三、填空题44．（2021·北京西城区·八年级期末）如图1，先将边长为a 的大正方形纸片ABCD 剪去一个边长为b 的小正方形EBGF ，然后沿直线EF 将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC ．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：________．（用含a ，b 的式子表示）45．（2021·河南漯河市·八年级期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分分折起，制成一个高为a 的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为26a b ，底面长方形的一边长为b ，则底面长方形的另一边长为______．46．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如图，记图①中阴影部分面积为S 甲，图①中阴影部分面积为S 乙，且(0)S k a b S =>>甲乙．（1）k =______（用含a ，b 代数式表示）．（2）若34k =，则a b值为______．47．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，一块直径为+a b 的圆形彩色纸板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个小圆，若3a b -=，2219+=a b ，则剩下的纸板的面积是_______．48．（2021·河北唐山市·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个）A ．2222()a ab b a b -+=-B ．22()()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若46x y +=，45x y -=，则221664x y -+的值为__________．49．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．50．（2021·福建泉州市·八年级期末）如图所示，将一个边长为a 的正方形减去一个边长为b 的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．（1）利用图形的面积关系可以得到一个代数恒等式是________；（2）求前n 个正奇数1，3，5，7，…的和是________．参考答案1．C【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．【详解】图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：C．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．2．B【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab．故选：B．【点拨】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．3．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．【详解】解：长方形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．①长方形的面积是（6a+15）cm2．故选：B【点拨】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．4．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．【详解】解：（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-a2+2a-1=4acm2，故选：B．【点拨】本题主要考查了整式的混合运算的应用，关键是根据题意列出式子，运用整式的混合运算法则进行计算，要熟记公式．5．C【分析】设小长方形①的宽为a，长为b，据此得出①的长和宽，从而表示出大长方形的长和宽，结合已知条件2（p+q）=31-pq得到结果．【详解】解：由题意可得：小正方形①的边长为8÷4=2，设小长方形①的宽为a，长为b，①①为正方形，①①的长为a，①①的周长为2q，①①的宽为q-a，①①的周长为2p，①a+b=p ，①S 长方形ABCD =（b+2+a ）（q -a+2+a ）=（p+2）（q+2）=pq+2（p+q ）+4①2（p+q ）=31-pq ，①S 长方形ABCD = pq+31-pq+4=35，故选C ．【点拨】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是用字母表示出相应线段的长度． 6．D【分析】利用长方形的面积公式表示图形面积，再利用多项式乘以多项式法则计算()()x p x q ++，从而可得答案．【详解】解：由图形面积是长方形的面积，所以可表示为：()()x p x q ++，故A 不符合题意； ()22()(),x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++ 故,B C 都不符合题意；显然()()x p x q ++≠22x px q ++，故D 符合题意；故选：.D【点拨】本题考查的是利用代数式表示图形面积，同时考查了多项式乘以多项式，掌握以上知识是解题的关键．7．D【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：a 2-b 2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b ）（a -b ） ①甲乙两图中阴影部分的面积相等①a 2-b 2=（a+b ）（a -b ）①可以验证成立的公式为（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2．故选：D ．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，属于基础题型，比较简单．8．B【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．【详解】解：大正方形的边长为：+a b ,空白正方形边长：-a b ，图形面积：大正方形面积()2a b +，空白正方形面积()2a b -，四个小长方形面积为：4ab ， ①()2a b +=()2a b -+4ab ．故选择：B ．【点拨】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．9．B【分析】设AB ＝x ，AD ＝y ，根据题意列出方程x 2+y 2＝17，2（x +y ）＝10，利用完全平方公式即可求出xy 的值．【详解】解：设AB ＝x ，AD ＝y ，①正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2①x 2+y 2＝17，①矩形ABCD 的周长是10cm①2（x +y ）＝10，①（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，①25＝17+2xy ，①xy ＝4，①矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．【点拨】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．10．A【分析】根据图形阴影部分的面积的不同求法可得等式．【详解】解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为（a-b）的正方形，因此面积为（a-b）2，由图2可知，阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：a2-2ab+b2，因此有（a-b）2=a2-2ab+b2，故选：A．【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．11．C【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；①由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法①错误；①由阴影A，B 的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+15），结合x为定值可得出说法①正确；①由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法①错误．【详解】解：①①大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，①小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；①①大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，①阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，①阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法①错误；①①阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，①阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），①阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），①若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法①正确；①①阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，①阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，①阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法①错误．综上所述，正确的说法有①①．故选：C．【点拨】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．12．A【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2-S1=3b，AD=10，列出方程求得AB便可．【详解】解：S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），。

七年级数学(上)面积计算的练习题

七年级数学(上)面积计算的练习题
目标
本文档旨在提供一些七年级上学期数学课程中涉及的面积计算
的练题，以帮助学生巩固所学知识。

题目一：正方形的面积
1. 给定一个正方形的边长为 5 cm，求其面积是多少？
题目二：矩形的面积
2. 一个矩形的长为 7 m，宽为 3 m，求其面积是多少？
题目三：三角形的面积
3. 三角形 ABC 的底边长为 6 cm，高为 4 cm，求其面积是多少？
题目四：梯形的面积
4. 一个梯形的上底长为 4 cm，下底长为 9 cm，高为 5 cm，求
其面积是多少？
题目五：圆的面积
5. 一个圆的半径为 2 cm，求其面积是多少？
题目六：复合图形的面积
6. 下图中，图形 ABCD 是一个矩形，它的长为 10 cm，宽为 6 cm；同时，图形 EFGH 是一个正方形，边长为 4 cm。

求复合图形ABCDEFGH 的面积是多少？
![复合图形](image_url)
总结
以上是七年级上学期数学课程中涉及的面积计算的一些练习题。

通过做这些练习题，可以帮助学生巩固和提升他们对面积计算的理
解和能力。

希望学生们能够认真思考并完成这些练习题，加深对数
学知识的掌握。

七年级数学培优专题1网格作图和面积计算

七年级数学培优专题1:网格作图和面积计算
姓名
一、作钝角三角形的高
例1如图1，分别作出∆ABC中AB边上的高和∆DEF中EF边上的高
.
二、计算三角形的面积
例2如图1，设每个小正方形的边长为1，分别计算出∆ABC和∆DEF的面积
.
三、构造与原三角形面积相等的三角形
B
B'
例3 如图，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，根据下列条件利用网格点和三角板画图：
⑴补全∆A′B′C′
⑵画出AB边上的中线CD；
⑶画出BC边上的高线AE；
⑷设格点小正方形边长为1，则∆A′B′C′的面积为 .
⑸在图中能使S∆
PAC =S∆
ABC
的格点P的个数有个(点P异于点B)
四、平移过程中扫过的面积
例4 在正方形网格中，每个小正方形的边为1，将格点∆ABC，先向左平移一格，再向上平移三格，求平移过程中，线段AC扫过的面积.
A
C
练习
如图，完成下列问题
(1)作出三角形AC边上的高BD
(2)计算△.ABC的面积
(3)将△ABC先向左平移2格，再向上平移4格，分别计算三边扫过的面积，找出面积之间数量关系
(4)通过作图，找出所有格点P，使S∆
PBC=S∆ABC
(5)能否找到格点Q，使S∆
QBC=2S∆ABC，这样的格点Q有个
A C B。

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